专题 6.1 概率的进一步认识全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +中考链接）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题 6.1 概率的进一步认识全章复习讲义（知识梳理+题型精析+中考链接） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】等可能事件与概率公式 1 【知识点二】用频率估计概率 1 【知识点三】游戏公平性 2 【知识点四】综合应用与对立事件 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】等可能结果判断与概率公式 2 【题型 2】列表法求概率（古典概型） 4 【题型 3】树状图法求概率（不放回与放回） 6 【题型 4】用频率估计概率 9 三.题型精析（综合提高） 12 【题型 5】配紫色（几何转盘） 12 【题型 6】游戏公平性 15 【题型 7】实际应用 18 【题型 8】多步试验与策略 21 四.中考链接 26 一.知识梳理解读 【知识点一】等可能事件与概率公式 一般地，如果一个试验所有可能发生的结果共有n个，且每个结果出现的机会均等，则称这n个事件的发生是等可能的。若事件A包含其中的m个等可能结果，则事件A发生的概率为（其中 0≤m≤n，故 0≤P(A)≤1）。 用树状图求概率：分步展开各次试验的所有结果，末层的每条“路径”对应一个等可能结果，适合两次及两次以上的试验；用列表（表格）法求概率：把两次试验的结果用有序数对填入表格，适合两次试验。两种方法都能“不重复、不遗漏”地列出所有等可能结果。 注意：只有当各个“基本结果”出现机会均等时，才能直接用概率公式；若事件所含结果数不等（如“摸到红球”与“摸到白球”个数不同），不能简单等分。 【知识点二】用频率估计概率 当试验次数很大时，随机事件发生的频率稳定于它的概率，因此可以用事件发生的频率作为该事件概率的估计值。 模拟试验：当实际调查既费时又费力甚至带有破坏性时，可用摸球、转盘、计算器（产生随机整数）等替代。例如，可用 365 个编有号码、大小相同的球分别代表一年的 365 个日期，模拟“50 个人中有 2 个人生日相同”的试验。 注意：频率是概率的估计值，不一定等于概率；只有当试验次数足够大时，频率才趋于稳定。 【知识点三】游戏公平性 判断一个游戏是否公平，要看参与各方获胜的概率是否相等。若各方获胜的概率相等，则游戏公平；否则游戏不公平，获胜概率大的一方更有利。 设计公平游戏：应使各方获胜所包含的等可能结果数（即获胜概率）相同，可通过调整规则或转盘分区等方法实现。 【知识点四】综合应用与对立事件 本章综合应用包括“配紫色”等复合游戏、几何（转盘分区）概率、遗传（等位基因）、路线与分组、抽签、摸球等实际问题。求解时，先正确列举所有等可能结果，再按公式求概率。 “至少”“至多”类问题常利用对立事件转化：P(事件A)＝1－P(A 的对立事件)。可先求其对立事件（“全部不发生”）的概率，再用 1 减去，往往更简便。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】等可能结果判断与概率公式 【例题1】（26-27九年级上·全国·课后作业）班级里开展知识竞赛活动，必答题共有5组：A，B，C，D，E．它们被分别放入5个信封，请你随机抽取1个信封．用理论分析和重复试验这两种方法求恰好抽中C组题的概率． 【答案】①理论分析：恰好抽中C组题的概率为；②重复试验：估计恰好抽中C组题的概率为 【分析】①理论分析：用符合条件的等可能结果数除以总等可能结果数计算概率． ②重复试验：通过大量重复试验中频率的稳定值估计概率． 解：①理论分析： ∵从5个分别装有A、B、C、D、E组题的信封中随机抽取1个，每个信封被抽中的可能性相等，共有5种等可能的结果，其中恰好抽中C组题的结果有1种， ∴恰好抽中C组题的概率为． ②重复试验：将5个装有不同组题的相同信封打乱，有放回地随机抽取，记录抽中C组的次数并计算频率．随着试验次数的增多，抽中C组题的频率稳定在附近， 据此估计恰好抽中C组题的概率为． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）小夏出行时，携带三位滚轮密码锁的行李箱，但是密码锁的密码忘记了，只记得是由“3，6，9”这三个数字组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数字，一次就能打开行李箱的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵ 由3、6、9组成的各位数字不同的三位数有369、396、639、693、936、963，共6种等可能的结果，能打开行李箱的结果只有1种． ∴ 一次就能打开行李箱的概率为． 【变式2】（26-27九年级下·全国·课后作业）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排合影，乙没有站在中间的概率是________． 【答案】 【分析】列举出三人站成一排的所有等可能情况，统计乙不站在中间的情况数，根据概率公式计算即可． 解：甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排，所有等可能的排列情况为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共种情况，其中乙没有站在中间的情况有种， ∴乙没有站在中间的概率为． 【变式3】（25-26七年级下·江西吉安·期中）诺诺和妈妈计划在5月7日～13日去云南旅游，如图是她在某天气上查看到的这七天天气预报，求下列事件的概率： （1）随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨； （2）随机选择连续的两天去大理自驾游，恰好天气预报都是晴． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率公式求解； （2）先列举所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． （1）解：共有7天，其中天气预报是雨的只有1天， ∴随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨的概率是； （2）解：选择连续的两天的情况数有周四和周五，周五和周六，周六和周日，周日和周一，周一和周二，周二和周三，共6种情况， 其中恰好天气预报都是晴的有2种， ∴概率为． 【题型 2】列表法求概率（古典概型） 【例题2】（2026九年级·吉林·专题练习）苏州博物馆推出“非遗体验日”活动，设置了三项代表性体验项目：A．宋锦织造技艺，B．香山帮传统建筑营造技艺，C．苏州缂丝织造技艺．甲、乙两名学生各自独立地从三项活动中随机选择一项参与体验．用画树状图（或列表）的方法求甲、乙两名学生恰好选择同一项目的概率． 【答案】 【分析】列表，得到所有等可能情况以及甲、乙两名学生恰好选择同一项目的情况，利用概率公式即可解答． 解：列表可得： 乙甲 A B C A B C 由列表可得共有种等可能情况， 甲、乙两名学生恰好选择同一项目的是，，，共种， 所以甲、乙两名学生恰好选择同一项目的概率为． 【变式1】（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查放回试验的概率计算，可通过列表法得到所有等可能结果，再结合概率公式计算所求概率． 解：记白球为白，红球为红，根据题意列出所有可能结果如下： 白 红 白 （白，白） （红，白） 红 （白，红） （红，红） ∵ 一共有种等可能的结果，其中两次摸出都是白球的结果有种． ∴ 两次摸出都是白球的概率为． 【变式2】（2026·内蒙古通辽·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字2，4，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率为______． 【答案】 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找出甲出的卡片数字比乙大的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 解：根据题意列表如下： 甲\乙 由表格可知，一共有种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果有种，因此甲出的卡片数字比乙大的概率为． 【变式3】（26-27九年级下·全国·课后作业）在一个不透明的口袋中有个除标号外完全相同的小球，它们的标号分别是，从袋中随机摸取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，求两次摸取的小球的标号之和为的概率（用列表法计算）． 【答案】两次摸取的小球的标号之和为的概率是 【分析】根据题意列表，由表格可知一共有种结果，其中两次摸取的小球的标号之和为的结果有种，代入概率公式计算即可得答案． 解：根据题意，列表如下： 第二次第一次 2 3 4 2 × （2,3） （2,4） 3 （3,2） × （3,4） 4 （4,2） （4,3） × 由表格可知一共有种等可能性的结果数，其中两次摸取的小球的标号之和为的结果数有，这种情况， ∴两次摸取的小球标号之和为的概率是． 【题型 3】树状图法求概率（不放回与放回） 【例题3】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． （1）甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． （1）解：甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是； （2）解：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选到同一地点的结果有4种， 甲、乙两名同学选到同一地点的概率为． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课堂例题）某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过画树状图或列表的方法求解即可． 解：设“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别记为A，B，C． 根据题意，画树状图如下∶ 由图可得，共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”（A）的结果有1种， 所以甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是． 【变式2】（2026·贵州铜仁·一模）某校九年级（1）班在以“梦想启航，马到成功”为主题的元旦联欢会上共设计了4个小游戏．如果甲同学和乙同学每人随机选择参加其中一个小游戏，则他们俩恰好选到同一个小游戏的概率是______． 【答案】 【分析】先画树状图得到所有等可能的结果数，再找出满足题意的结果数，代入概率公式计算即可． 解：设4个小游戏分别为. 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲，乙两人恰好选到同一个小游戏的结果数为. 因此两人恰好选到同一个小游戏的概率为． 【变式3】（2026·江苏盐城·一模）2026年4月江苏省首次在全省义务教育阶段推行春假，旨在打破传统课堂边界，引导学生走出书本、亲近自然，促进亲子互动、研学成长． 春假期间，学校建议同学们利用假期自主到以下三个景区开展亲子研学活动． A．荷兰花海；    B．中华麋鹿园；    C．中华水浒园． 小明家和小丽家各自从中随机选择一个景区作为本次春假研学的第一站． （1）小明家选择景区的概率是______； （2）用列表或画树状图的方法，求小明家和小丽家选择相同景区的概率． 【答案】（1）；（2） （1）解：有三个景区，选择它们的概率等可能分布， 所以； （2）方法一：用表格列出所有可能的结果： A B C A B C 由表格可知，共有9种可能的结果，并且它们是等可能的，“小明家和小丽家选择相同景区”记为事件D，它的发生有3种． ． 答：小明家和小丽家选择相同景区的概率为． 方法二：树状图法 由图可知，共有9种可能的结果，并且它们是等可能的，“小明家和小丽家选择相同景区”记为事件D，它的发生有3种． ． 答：小明家和小丽家选择相同景区的概率为． 【题型 4】用频率估计概率 【例题4】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 47 96 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.95 0.951 （1）表中的__________，__________； （2）在此批次毛绒玩具中任取一个是优等品的概率约为_________（精确到）； （3）若此批次毛绒玩具共计有40000个，则这批玩具中大约有多少个是非优等品？ 【答案】（1）191；；（2）；（3）2000个 【分析】（1）根据频率、频数和总数的关系进行求解即可； （2）根据频率估计概率的原理，从表格数据可知，优等品的频率在附近波动，再根据题干要求精确到，即可得出答案； （3）根据优等品的概率，求出这批玩具中非优等品的个数即可． （1）解：根据题意得：， ； （2）解：随抽样数量n的增大，优等品的频率稳定在附近，故可估计其概率为，根据题中“精确到”的要求，可得概率的估计值是； （3）解：这批玩具中大约有非优等品的个数为： （个）． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）一个不透明的盒子里装有个黑色棋子和若干个白色棋子，这些棋子除颜色外都相同，搅匀后从盒子中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复的试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中白色棋子的数量约为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用频率估计概率，结合黑棋数量与总棋子数的关系列方程求解即可． 解：设盒子中白色棋子有枚， ∵摸到黑色棋子的频率稳定在， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∵总棋子数为枚，黑色棋子有枚， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴白色棋子约有枚． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 【答案】 【分析】根据大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察统计图得出频率稳定的数值即可． 解：观察折线统计图，随着试验次数的增加，黑色小球出现的频率波动逐渐变小. 频率最终稳定在附近， 摸到黑球的概率约为． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 a 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）求表格中a的值． （2）通过以上实验，摸到红球的概率估计为______（精确到0.1）． （3）估计盒子里红球的数量为______个． 【答案】（1）0.33；（2）0.3；（3）6 【分析】（1）根据频率等于频数除以总数可得答案； （2）大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此可得答案； （3）根据概率公式求解即可． （1）解：由题意得，； （2）解：由表格可知，随着实验次数的增加，摸到红球的频率逐步稳定在0.30附近， ∴摸到红球的概率估计为0.3； （3）解：由题意得，估计盒子里红球的数量为个． 三.题型精析（综合提高） 【题型 5】配紫色（几何转盘） 【例题5】（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，小颖和小明用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小颖获胜，否则小明获胜． （1）若只转动B盘，指针指在B盘红色区域的概率是 ． （2）利用画树状图或列表的方法表示游戏的所有可能出现的结果，并求出小颖和小明获胜的概率． 【答案】（1）；（2）列表如下： B盘             A盘 红 黄 蓝 红1 红红1 黄红1 蓝红1 红2 红红2 黄红2 蓝红2 蓝 红蓝 黄蓝 蓝蓝 P（小颖获胜），P（小明获胜） 【分析】此题主要考查了根据树状图或列表求概率，正确列出表格是解题关键． （1）根据概率公式解答即可； （2）列表表示出所有可能出现的结果，利用表格进而求出两人获胜的概率，即可得出答案． （1）解：若只转动盘，指针指在盘红色区域的概率是． （2）解：将B盘中红色区域等分成两个部分，红1，红2， 列表如下，由表格可知共有9种等可能结果，其中配成紫色的有3种， 所以P（小颖获胜），P（小明获胜）． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（规定红色和蓝色可配成紫色），每个转盘都被分成面积相等的三个扇形，配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率． 首先根据题意列表，然后由表可得所有等可能的结果数，再利用概率公式求解即可． 解：列表如下： 红 白 蓝 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） 由表可得，一共有9种等可能的结果，可以配成紫色的有2种可能结果. 所以P（配成紫色）， 答：配得紫色的概率是． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，熟练掌握相关方法是解题关键．先画出树状图，则可得同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种，再利用概率公式计算即可得． 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种， 则配成紫色的概率为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示有两个可以自由转动的转盘A，B，小明与小李用它们做配紫色（红色与蓝色配成紫色）游戏：让两个转盘分别自由转动一次，当两个转盘停止时，如指针所指区域的颜色分别是一红一蓝，就说“配成紫色”，小明胜；如果指针所指区域的颜色配不成紫色，则小李胜． （1）利用画树状图或列表等方法表示游戏所有可能出现的结果． （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1）画树状图如图所示． 由树状图可知共有9种等可能结果：，，，，，，，，． （2）游戏对双方不公平．理由如下： 由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果， ∴P（小明获胜），P（小李获胜）． ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率， （1）利用画树状图表示出游戏所有可能出现的结果即可； （2）找出能配成紫色的结果数，则根据概率公式计算出小明胜的概率，然后比较小明胜的概率和小李胜的概率的大小即可判断这个游戏是否公平． 注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 解：（1）将A盘中蓝色部分等分为2份，分别记为蓝a、蓝b，将B盘中红色部分等分为2份，分别记为红1、红2； （2）略 【题型 6】游戏公平性 【例题6】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵ ， ∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 解：略 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率与游戏、运用画树状图求概率等知识点，用树状图列举出所有情况以及2张牌中有老K的情况数及没有老k的情况数，然后比较即可解答． 解：设其余3张扑克分别为a,b,c. 共12种情况，含有k的情况有6种，不含k的情况也是6种， ∴两方机会一样． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得． 解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种， 则甲赢的概率为，乙赢的概率为， 所以甲赢的概率和乙赢的概率相等， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元测试）有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有及对应的等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张． A： B： C： D： （1）用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用表示）； （2）小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利？为什么？ 【答案】（1）          第1张 第2张 A B C D A B C D 所有情况共有12种：． （2）游戏不公平，这个规则对小强有利．理由如下： 上述四个等式中，对应的等式正确，对应的等式错误， 小明胜利包含的可能情况有：两种情况， 小强胜利包含的可能情况有种情况， ， （小明胜）（小强胜）， 这个规则对小强有利． 【分析】（1）列出所有等可能的抽取结果； （2）判断每张卡片上的等式是否成立，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏公平性． 解：（1）略 （2）略 【题型 7】实际应用 【例题7】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在不透明的箱子里放有个乒乓球，个乒乓球上分别写有数字−、−、，从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字．若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为纵坐标． （1）请写出两次摸球后所有可能的点的坐标，并用列表法或树状图法说明． （2）求这样的点落在第四象限的概率． 【答案】（1）画树状图如下： 由树状图可知，两次摸球共有种等可能的结果，对应的点坐标分别为、、、、、、、、． （2） 【分析】（1）画出树状图，写出对应的坐标即可； （2）根据直角坐标系中，各象限的点的坐标特征，结合（1）中结果，利用概率公式求解即可． （1）解：略 （2）解：由（1）可知，共有种等可能的结果，其中，第四象限的点有、两种， ∴点落在第四象限的概率为． 【变式1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）希希在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被2整除的概率 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先根据统计图得出频率稳定左右，即可得出该实验的概率为，分别求出各选项的概率，即可得答案． 解：由统计图可知，该实验的频率稳定左右， ∴该实验的概率为， A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故该选项不符合题意， B．抛一枚硬币，出现正面的概率为，故该选项不符合题意， C．任意写一个整数，它能被2整除的概率为，故该选项不符合题意， D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率为，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级下·河南郑州·开学考试）如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 【答案】 【分析】根据图形平移的性质可得出涂色部分为八个正方形，再根据概率公式计算即可． 解：如图，将中间涂色部分向右平移即可发现涂色部分共为八个正方形，游戏板总共有十六个正方形， ∴光点落在涂色部分的概率是． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）文晖实验学校隐秀数学节活动中，答题卡片上写有，，3这三个数，从中任选两个数分别作为点P的横坐标与纵坐标（横坐标与纵坐标不相等）． （1）请用画树状图或列表的方法，列出所有可能； （2）图象过点P的正比例函数中，求y随自变量x的增大而增大的概率． 【答案】（1）用列表法列出所有等可能的结果如下： 共有6种等可能的结果． （2） 【分析】（1）用列表法列出所有符合条件的点，得到全部等可能结果； （2）结合正比例函数增减性确定符合条件的结果数，计算概率． 解：（1）略； （2）解：∵ 正比例函数中，随的增大而增大， ∴ ， ∵ 点在的图象上， ∴ ，即， ∴ ， 即与同号， 由（1）得共有6种等可能的结果，其中横、纵坐标同号的结果有2种， ∴ 所求概率为． 【题型 8】多步试验与策略 【例题8】（25-26九年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． （1）经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． （2）猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 【答案】（1）；（2）当为奇数时，；当为偶数时， （1）解：画树状图得： ， 经过3次传球后，球在乙手中的概率是； 故答案为：； （2）解：经过2次传球后，画树状图为： 经过2次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 由（1）可得经过3次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 经过4次传球后，画树状图为： 经过4次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 根据上面的规律发现，由于从甲开始传球，奇数次时乙丙的可能性一样，且比甲多；偶数次时，乙丙的可能性一样，且比甲少； ∴当为奇数时，；当为偶数时，． 【变式1】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，概率公式求概率．简化不等式组得到解集范围，求整数解个数为，令其等于2得，再计算满足条件的概率． 解：∵不等式组 简化得和 ∴解集为 整数解个数为 令 得 从中选两个不同的数作为和， 总情况数 满足的对为、、，共3种 ∴概率 故选：C． 【变式2】（2026·安徽·二模）有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 【答案】 【分析】先确定两次操作的所有等可能基本事件总数，再根据题意推导3号盒子恰好比2号盒子多1个球的条件，求出符合条件的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式计算概率． 解：由题意，每次抽取卡片有种等可能结果，重复操作两次， 1 2 3 1 2 3 ∴共有种等可能的结果， 对单次操作，设抽取数字为时，2号盒子球的增量为，3号盒子球的增量为， 当时，，；当时，，；当时，，. ∵两次操作后，3号盒子恰好比2号盒子多个球，即满足. ∴设两次抽取中，抽的次数为，抽的次数为，抽的次数为， ∴，且：，， 代入条件得：. 联立方程， 其中为非负整数， ∴，，， 即符合条件的事件结果为和， ∴所求概率为． 【变式3】（24-25九年级下·广东茂名·阶段检测）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1），，补全条形统计图如下： （2）；（3） 【分析】（1）由等级人数除以其人数占比即可得出本次抽取的学生总人数，用乘以等级人数占比即可得出扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数，用本次抽取的学生总人数减去其他各等级人数即可得出等级人数，然后补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）先画出树状图，展示从这人中随机抽取人所有等可能的结果，再找出被抽取的人恰好是名男生名女生的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． （1）解：本次抽取的学生人数共有： （人）， 扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是： ， 等级人数为： （人）， 故答案为：，， （2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有： （人）， 故答案为：； （3）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种， 被抽取的人恰好是名男生名女生的概率． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 四.中考链接 一、单选题 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下： 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“铁人王进喜纪念馆”的结果数有种， ∴这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为， 故选：D． 2．（2026·贵州·中考真题）某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用画树状图法列出两人选择活动的所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好都选择“红色研学”的结果只有种， 两人恰好都选择“红色研学”的概率是． 3．（2026·山东济南·中考真题）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，画出树状图，然后即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中恰有一人直行，另一人右拐的结果数为2， 所以恰好有一人直行，另一人右拐的概率为： ． 4．（2026·河北·中考真题）掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 【答案】D 【分析】通过列表法计算各选项概率即可得解． 【详解】解：列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能结果共有种，点数之和为的结果只有种， ∴点数之和为2的概率为． 对各选项逐一验证：当时，共种，，排除A； 当时，共种，，排除B； 当时，共种，，排除C； 当时，共种，，与点数和为2的概率相等． ∴． 二、填空题 5．（2026·贵州·中考真题）某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 “盖口向上”的频率 “盖口向下”的频率 则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向_________（填“上”或“下”）． 【答案】 上 【分析】根据用频率估计概率的知识点，当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在概率附近，比较稳定后的频率大小，即可判断概率较大的事件． 【详解】解：当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近. 由表格数据可得， 随着累计抛掷次数增加，“盖口向上”的频率稳定在，“盖口向下”的频率稳定在， ， 抛掷这一瓶盖，盖口向上发生的概率较大． 6．（2025·四川雅安·中考真题）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 【答案】/度 【分析】用360度乘以落在一等奖区域的概率即可得到答案． 【详解】解：， ∴一等奖区域所对的圆心角度数为． 7．（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 【答案】 【分析】由题意可知书房里所有地砖的数量以及黑色地砖的数量，代入概率公式即可求解． 【详解】解：由题意可知，书房里地砖共有块，其中黑色地砖有块， 小球停在黑砖上的概率为． 8．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为_________． 【答案】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机两次取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：将这4张卡片记为，画出树状图如下： 由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4种， 则两次取到相同图案的卡片的概率为， 故答案为：． 三、解答题 9．（2025·江苏连云港·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，共有个球，搅匀后从中任意摸出1个球，有4种等可能的结果，其中摸到红球的情况只有1种， ∴摸到红球的概率是； （2）根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图： 由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种， 所以2次都摸到白球的概率为． 10．（2024·江苏常州·中考真题）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； (2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同， ∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是， 故答案为：； （2）解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下： 甲乙 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种， ∴甲获胜的概率为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.1 概率的进一步认识全章复习讲义（知识梳理+题型精析+中考链接） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】等可能事件与概率公式 1 【知识点二】用频率估计概率 1 【知识点三】游戏公平性 2 【知识点四】综合应用与对立事件 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】等可能结果判断与概率公式 2 【题型 2】列表法求概率（古典概型） 3 【题型 3】树状图法求概率（不放回与放回） 3 【题型 4】用频率估计概率 4 三.题型精析（综合提高） 6 【题型 5】配紫色（几何转盘） 6 【题型 6】游戏公平性 7 【题型 7】实际应用 8 【题型 8】多步试验与策略 9 四.中考链接 10 一.知识梳理解读 【知识点一】等可能事件与概率公式 一般地，如果一个试验所有可能发生的结果共有n个，且每个结果出现的机会均等，则称这n个事件的发生是等可能的。若事件A包含其中的m个等可能结果，则事件A发生的概率为（其中 0≤m≤n，故 0≤P(A)≤1）。 用树状图求概率：分步展开各次试验的所有结果，末层的每条“路径”对应一个等可能结果，适合两次及两次以上的试验；用列表（表格）法求概率：把两次试验的结果用有序数对填入表格，适合两次试验。两种方法都能“不重复、不遗漏”地列出所有等可能结果。 注意：只有当各个“基本结果”出现机会均等时，才能直接用概率公式；若事件所含结果数不等（如“摸到红球”与“摸到白球”个数不同），不能简单等分。 【知识点二】用频率估计概率 当试验次数很大时，随机事件发生的频率稳定于它的概率，因此可以用事件发生的频率作为该事件概率的估计值。 模拟试验：当实际调查既费时又费力甚至带有破坏性时，可用摸球、转盘、计算器（产生随机整数）等替代。例如，可用 365 个编有号码、大小相同的球分别代表一年的 365 个日期，模拟“50 个人中有 2 个人生日相同”的试验。 注意：频率是概率的估计值，不一定等于概率；只有当试验次数足够大时，频率才趋于稳定。 【知识点三】游戏公平性 判断一个游戏是否公平，要看参与各方获胜的概率是否相等。若各方获胜的概率相等，则游戏公平；否则游戏不公平，获胜概率大的一方更有利。 设计公平游戏：应使各方获胜所包含的等可能结果数（即获胜概率）相同，可通过调整规则或转盘分区等方法实现。 【知识点四】综合应用与对立事件 本章综合应用包括“配紫色”等复合游戏、几何（转盘分区）概率、遗传（等位基因）、路线与分组、抽签、摸球等实际问题。求解时，先正确列举所有等可能结果，再按公式求概率。 “至少”“至多”类问题常利用对立事件转化：P(事件A)＝1－P(A 的对立事件)。可先求其对立事件（“全部不发生”）的概率，再用 1 减去，往往更简便。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】等可能结果判断与概率公式 【例题1】（26-27九年级上·全国·课后作业）班级里开展知识竞赛活动，必答题共有5组：A，B，C，D，E．它们被分别放入5个信封，请你随机抽取1个信封．用理论分析和重复试验这两种方法求恰好抽中C组题的概率． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）小夏出行时，携带三位滚轮密码锁的行李箱，但是密码锁的密码忘记了，只记得是由“3，6，9”这三个数字组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数字，一次就能打开行李箱的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级下·全国·课后作业）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排合影，乙没有站在中间的概率是________． 【变式3】（25-26七年级下·江西吉安·期中）诺诺和妈妈计划在5月7日～13日去云南旅游，如图是她在某天气上查看到的这七天天气预报，求下列事件的概率： （1）随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨； （2）随机选择连续的两天去大理自驾游，恰好天气预报都是晴． 【题型 2】列表法求概率（古典概型） 【例题2】（2026九年级·吉林·专题练习）苏州博物馆推出“非遗体验日”活动，设置了三项代表性体验项目：A．宋锦织造技艺，B．香山帮传统建筑营造技艺，C．苏州缂丝织造技艺．甲、乙两名学生各自独立地从三项活动中随机选择一项参与体验．用画树状图（或列表）的方法求甲、乙两名学生恰好选择同一项目的概率． 【变式1】（2026·北京·模拟预测）不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·内蒙古通辽·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字2，4，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率为______． 【变式3】（26-27九年级下·全国·课后作业）在一个不透明的口袋中有个除标号外完全相同的小球，它们的标号分别是，从袋中随机摸取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，求两次摸取的小球的标号之和为的概率（用列表法计算）． 【题型 3】树状图法求概率（不放回与放回） 【例题3】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． （1）甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课堂例题）某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·贵州铜仁·一模）某校九年级（1）班在以“梦想启航，马到成功”为主题的元旦联欢会上共设计了4个小游戏．如果甲同学和乙同学每人随机选择参加其中一个小游戏，则他们俩恰好选到同一个小游戏的概率是______． 【变式3】（2026·江苏盐城·一模）2026年4月江苏省首次在全省义务教育阶段推行春假，旨在打破传统课堂边界，引导学生走出书本、亲近自然，促进亲子互动、研学成长． 春假期间，学校建议同学们利用假期自主到以下三个景区开展亲子研学活动． A．荷兰花海；    B．中华麋鹿园；    C．中华水浒园． 小明家和小丽家各自从中随机选择一个景区作为本次春假研学的第一站． （1）小明家选择景区的概率是______； （2）用列表或画树状图的方法，求小明家和小丽家选择相同景区的概率． 【题型 4】用频率估计概率 【例题4】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 47 96 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.95 0.951 （1）表中的__________，__________； （2）在此批次毛绒玩具中任取一个是优等品的概率约为_________（精确到）； （3）若此批次毛绒玩具共计有40000个，则这批玩具中大约有多少个是非优等品？ 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）一个不透明的盒子里装有个黑色棋子和若干个白色棋子，这些棋子除颜色外都相同，搅匀后从盒子中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回盒子中．通过大量重复的试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中白色棋子的数量约为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 a 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）求表格中a的值． （2）通过以上实验，摸到红球的概率估计为______（精确到0.1）． （3）估计盒子里红球的数量为______个． 三.题型精析（综合提高） 【题型 5】配紫色（几何转盘） 【例题5】（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，小颖和小明用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小颖获胜，否则小明获胜． （1）若只转动B盘，指针指在B盘红色区域的概率是 ． （2）利用画树状图或列表的方法表示游戏的所有可能出现的结果，并求出小颖和小明获胜的概率． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（规定红色和蓝色可配成紫色），每个转盘都被分成面积相等的三个扇形，配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是______． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示有两个可以自由转动的转盘A，B，小明与小李用它们做配紫色（红色与蓝色配成紫色）游戏：让两个转盘分别自由转动一次，当两个转盘停止时，如指针所指区域的颜色分别是一红一蓝，就说“配成紫色”，小明胜；如果指针所指区域的颜色配不成紫色，则小李胜． （1）利用画树状图或列表等方法表示游戏所有可能出现的结果． （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【题型 6】游戏公平性 【例题6】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【变式1】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（    ） A．红方 B．蓝方 C．两方机会一样 D．不知道 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是________的．（填“公平”或“不公平”） 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元测试）有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有及对应的等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张． A： B： C： D： （1）用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用表示）； （2）小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利？为什么？ 【题型 7】实际应用 【例题7】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在不透明的箱子里放有个乒乓球，个乒乓球上分别写有数字−、−、，从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中，摇匀后再摸出一个球记下数字．若将第一次摸出的球上的数字记为点的横坐标，第二次摸出的球上的数字记为纵坐标． （1）请写出两次摸球后所有可能的点的坐标，并用列表法或树状图法说明． （2）求这样的点落在第四象限的概率． 【变式1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）希希在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被2整除的概率 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 【变式2】（25-26九年级下·河南郑州·开学考试）如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）文晖实验学校隐秀数学节活动中，答题卡片上写有，，3这三个数，从中任选两个数分别作为点P的横坐标与纵坐标（横坐标与纵坐标不相等）． （1）请用画树状图或列表的方法，列出所有可能； （2）图象过点P的正比例函数中，求y随自变量x的增大而增大的概率． 【题型 8】多步试验与策略 【例题8】（25-26九年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． （1）经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． （2）猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 【变式1】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽·二模）有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 【变式3】（24-25九年级下·广东茂名·阶段检测）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 四.中考链接 一、单选题 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州·中考真题）某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·中考真题）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北·中考真题）掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 二、填空题 5．（2026·贵州·中考真题）某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 “盖口向上”的频率 “盖口向下”的频率 则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向_________（填“上”或“下”）． 6．（2025·四川雅安·中考真题）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 7．（2026·山东淄博·中考真题）如图是书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，将一个小球在书房的地板上自由地滚动，小球随机地停在某块方砖上，则小球停在黑砖上的概率是______． 8．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为_________． 三、解答题 9．（2025·江苏连云港·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 10．（2024·江苏常州·中考真题）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； (2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $