第六章 概率的进一步认识（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

第六章 概率的进一步认识 复习讲义 教学目标 （1）会用列表法、树状图法不重不漏列举两步试验所有等可能结果，计算理论概率；能区分放回与不放回试验。 （2）理解频率的稳定性，掌握用大量重复试验的稳定频率估计概率；分清频率与概率的联系和区别。 （3）能根据概率判断游戏是否公平；会识别两类求概率方法各自适用场景。 （4）根据试验特点灵活选择列表法或树状图法，有序列举所有等可能结果。 （5）能读取频率统计表，分析频率变化趋势，用频率估计概率；会设计简单模拟试验估计复杂事件概率。 （6）建立模型思想，能利用概率知识解决摸球、游戏公平性、总体数量估算等实际问题。 （7）经历试验、列举、数据分析、推断的过程，发展数据分析观念；理解随机现象的特点，体会随机性与统计规律性，养成严谨思考的习惯。 教学重难点 1. 重点 （1）用列表法、树状图法求两步等可能试验的概率，判断游戏公平性；区分两种求概率的方法： 列举法（表格、树状图）：适合有限个、等可能结果，求理论概率。 （2）理解频率的稳定性，能用频率估计概率；频率估计法：适合结果不等可能、结果无限、难以列举的随机事件。 2. 难点 （1）列举结果做到不重不漏，准确区分放回试验和不放回试验。 （2）正确选择合适的概率求解方法，不滥用列表、树状图（前提是每个结果等可能）。 （3）理解：频率是试验得到的波动值，概率是事件本身固定的常数；只有试验次数足够大时，频率才可以作为概率的近似估计值，少量试验的频率不能等同于概率。 （4）区分 “大概率事件” 和 “必然事件”，理解概率只是可能性大小，不能预测单次试验结果。 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图：当一次试验要涉及2个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图，也称树形图。 树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 2.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 4．判断游戏的公平性 （1）判断游戏公平性的方法：游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。 （2）把不公平的游戏变为公平的方法改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。 知识点02 用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值。 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。 注意：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的。 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率。 注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 题型01 用树状图或表格求概率 【典例1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________．(2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1)（2）略 (3)向西参观的概率较大 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果，∴向北走的概率为； (2)补全树状图如图所示： （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ，∴向西参观的概率较大． 【变式1】（2026·安徽蚌埠·三模）为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用列表法，如下表所示： 第一名 第二名 甲 乙 丙 甲 —— （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） —— （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） —— 由上表可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种，∴． 【变式2】（2026·江苏宿迁·中考真题）某校八年级组织以“厚植家国情怀”为主题的研学活动，策划了四个场馆：A宿迁市博物馆，B沭阳县博物馆，C中国杨树博物馆，D洪泽湖湿地博物馆．每名学生只能任意选择一个场馆参观，小丽和小明是该校八年级学生． (1)小丽选择场馆A的概率为 ；(2)请用画树状图或列表的方法，求小丽和小明选择不同场馆的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：共有4个场馆，小丽任选一个，每个场馆被选中的可能性相等，选择场馆A的结果有1种，小丽选择场馆A的概率为； （2）列表如下： 小丽    小明 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中小丽和小明选择不同场馆的结果有12种， 所以小丽和小明选择不同场馆的概率为． 【变式3】（2026·江苏盐城·模拟预测）完成以下问题 (1)下表是历史上一些著名数学家做掷硬币试验的数据： 试验者 抛硬币次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德•摩根 布丰 费勒 皮尔逊 由这些数据，你可以估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_____； (2)两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得分，掷出反面乙得分，先得到分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了分，乙得了分，那么这个蛋糕该如何分配呢？请你用概率的树状图模拟游戏继续，请帮助甲乙两人提出合理的分配方案． 【答案】(1) (2)列树状图如下： 甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的 【详解】（1）解：∵根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在左右， ∴估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为． （2）解：∵此时甲得了分，乙得了分， ∴最多再掷三次游戏就结束，列树状图略 由树状图可知，三次游戏结束时，共有种等可能结果，其中连续三次是反面的情况有种， ∴乙获胜的概率为，甲获胜的概率为，∴甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的． 【变式4】（25-26九年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球．(1)经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． (2)猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)当为奇数时，；当为偶数时， 【详解】（1）解：画树状图得： ， 经过3次传球后，球在乙手中的概率是；故答案为：； （2）解：经过2次传球后，画树状图为： 经过2次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 由（1）可得经过3次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 经过4次传球后，画树状图为： 经过4次传球后，球在甲手中的概率是；球在乙手中的概率是；球在丙手中的概率是； 根据上面的规律发现，由于从甲开始传球，奇数次时乙丙的可能性一样，且比甲多；偶数次时，乙丙的可能性一样，且比甲少；∴当为奇数时，；当为偶数时，． 题型02 几何图形求概率 【典例1】（2026·广东肇庆·一模）如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，连接，随机在内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，∵，，∴，，∴， ∵，∴，且相似比为，∴，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，即， ∴P（针扎到阴影区域内）． 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）方胜纹是我国汉族传统寓意纹样（如图①），是由两个菱形压角相叠组成的图案或纹样，其中一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，示意图如图②所示．在图②中任取一点，则该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是______． 【答案】 【详解】解：由菱形的对称性可知阴影部分面积为一个菱形面积的， ∴在图②中任取一点，该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是，故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于，于， 点为正方形的中心，，， ，，， 在和中，， ， . 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·校考期中）在一次趣味运动会中，某数学项目小组利用黄金分割比设计了一个掷飞镖的游戏．如图，在 “靶”中，点M，N分别是线段的两个黄金分割点，我们把的内部称为“黄金区域”（图中阴影部分）．游戏规定：投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在“靶”内，现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 _____． 【答案】 【详解】解：∵点，分别是线段的两个黄金分割点，∴，， ∴，∴， ∴小明获胜的概率，故答案为：． 【变式4】（2026·四川成都·三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，连接和．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为____________．    【答案】 【详解】解：设交于点M，交于点N，设，，由勾股定理得，    ∵四边形是正方形，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴，即， ∴，则， ∵，∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 则针尖落在阴影区域的概率为，故答案为： 题型03 游戏的公平性 【典例1】（2026·云南保山·二模）为活跃班级文化，某班开展“趣味抽奖”活动，将学生分为甲、乙两队，并设置2个不透明的抽奖箱．第1个抽奖箱内放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外其余都相同）；第2个抽奖箱内放了分别标有数字1，2的两个小球（除标号外其余都相同）． 抽奖规则如下：老师先从第1个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为x，再从第2个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为y．若，则甲队中奖，否则乙队中奖． (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个抽奖规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪个队更容易中奖？ 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 1 2                              由列表可知，共有6种等可能的结果，分别为，，，，，， 即所有可能出现的结果总数为6； (2)解：这个抽奖规则公平，理由如下： 由（1）可知共有6种等可能的结果，其中的结果有3种，的结果有3种， （甲队中奖）（乙队中奖），∴这个抽奖规则公平． 【变式1】．（2026·江苏无锡·中考真题）一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 【详解】（1）解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个，由题意可知，甲摸到红球的概率为． (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平，列表如下：            甲                     乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种． ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或），∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【变式2】（2026·山东青岛·中考真题）小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 【答案】解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2． 列表如下： 白1 白2 红1 白3 （白1，白3） （白2，白3） （红1，白3） 红2 （白1，红2） （白2，红2） （红1，红2） 可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种． ∴小明获胜的概率为．小颖获胜的概率为．∵两人获胜的概率相等，∴这个游戏公平． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜．(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【详解】（1）解：树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种，即：，， ∴甲获胜(记作事件）的概率； (2)解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的列表可知，两球上的数字之和为的结果数有种 ∴乙获胜(记作事件）的概率 ∵ ，∴甲获胜的概率小于乙获胜的概率，∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 题型04 概率的实际应用- 概率与函数、方程、不等式综合问题 【典例1】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在一个不透明的盒子里装有四个分别标有数字，，1，4的小球，它们除所标数字不同外，其余均完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为b． (1)用列表法或画树状图法表示出的所有可能出现的结果； (2)求小强、小华各取一次小球所确定的点落在二次函数的图象上的概率． 【答案】(1)解：列表如下： 1 4 1 4 （2）解：落在二次函数的图象上的点有：，，， ∴小强、小华各取一次小球所确定的点落在二次函数的图象上的概率为：． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为_______． 【答案】 【详解】有实数根，，∴，， 又，对称轴为：， 时，随增大而减小，，综上，可取0，2，∴，故答案为：． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是一个被平均分成三个扇形的转盘，让转盘自由转动2次，指针指向的数分别记为，，则关于，的方程组，有正整数解的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，转盘自由转动2次，共有9种可能的结果，分别为，，，，，，，，， ，得，则， 当时，，无论a取1，2，3，x均不是正整数，不合题意； 当时，，无论a取1，2，3，x均不是正整数，不合题意； 当时，，a取1或 3时，x均不是正整数，不合题意，取2时，， 将代入得，解得，符合题意； 综上可知，只有，，即为时方程组有正整数解，故有正整数解的概率为． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）文晖实验学校隐秀数学节活动中，答题卡片上写有，，3这三个数，从中任选两个数分别作为点P的横坐标与纵坐标（横坐标与纵坐标不相等）． (1)请用画树状图或列表的方法，列出所有可能； (2)图象过点P的正比例函数中，求y随自变量x的增大而增大的概率． 【答案】(1)用列表法列出所有等可能的结果如下： 共有6种等可能的结果． （2）解：∵ 正比例函数中，随的增大而增大， ∴ ， ∵ 点在的图象上， ∴ ，即， ∴ ，即与同号， 由（1）得共有6种等可能的结果，其中横、纵坐标同号的结果有2种，∴ 所求概率为． 题型05 概率与跨学科融合问题 【典例1】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊溶液是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊溶液遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液呈酸性，食用碱溶液呈碱性，蒸馏水呈中性，两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体． (1)小明将石蕊溶液滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______________；(2)小莉从自己的个烧杯中随机取个，滴入石蕊溶液，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：小明和小莉两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体中，将石蕊溶液滴入食用碱溶液呈现蓝色，小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是； （2）解：将装有蒸馏水，白醋溶液，食用碱溶液，柠檬水溶液的个烧杯分别记为列表如下： A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由表知，共有种等可能的结果，将石蕊溶液滴入溶液中，食用碱溶液呈现蓝色，白醋溶液、柠檬水溶液呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有种结果，一杯变红、一杯变蓝的概率为 【变式1】（25-26九年级下·广东·专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是，故选：B． 【变式2】（26-27九年级上·浙江·单元复习）每年的6月14日为世界献血者日．某中学有4名教师自愿献血，其中2人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人，选到的两人均为O型血的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设2名O型血教师分别为，，2名A型血教师分别为，，列表如下：             共有12种等可能的结果，其中两人均为O型血的有2种结果，∴选到的两人均为O型血的概率为． 【变式3】（2026·重庆渝北·一模）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为______．    【答案】 【详解】解：根据题意，列表如下： 由表格可得，共有种等结果，其中能让两灯泡同时发光的结果有种， ∴能让两灯泡同时发光的概率为，故答案为：． 题型06 概率在保险中的应用 【典例1】（2025·西藏阿里·一模）某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 【变式1】（25-26九年级下·浙江·专题练习）某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　；(2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)10(2)(3)元 【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 【变式2】（25-26九年级下·广东·专题练习）某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【答案】(1)(2)不低于元 【详解】（1）解：估计长途客车一次行驶的失事概率． （2）解：设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次， 由题意可得：，解得：， 答：保险公司应该向每位乘客收取不低于元的保险费． 【变式3】（25-26九年级·重庆·校考期中）人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题：（1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？（保留三个有效数字）；（2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 【答案】（1）0.0122、0.206；（2）2438.18万 【详解】（1）P(50岁去世)=0.0122,P（活到80岁）=0.206 . （2）951÷78009×20000×10≈2438.18万 题型07 利用概率计算随机事件发生的平均次数 【典例1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！(1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 【答案】(1)(2)； 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共有种等可能的情况，其中出现正正正，共种情况，获得元奖金的概率； （2）解：获得元奖金的概率为，如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 恰好有两次正面朝上的结果有：正正反、正反正、反正正，共种情况，获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 设摊者获利（元）．故答案为：；． 【变式1】（25-26九年级下·广东·期中）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支；获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支；获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支；总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 【变式2】（25-26九年级三·湖北·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 (1)表格中m的值为_____，n的值为_____． (2)任抽一件该产品是合格品的频率稳定在_____，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为_____． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】(1)475，0.95(2)0.95，0.05(3)估计要在他奖金中扣除42元材料损失费 【详解】（1）解：； （2）解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， ∴估计该产品合格的概率为0.95，∴估计该产品不合格的概率为． （3）解：（元）答：估计要在他奖金中扣除42元材料损失费． 【变式3】（25-26九年级上·江西南昌·期末）3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【答案】(1)丙说的对(2)900 【详解】（1）解：丙说的对，理由如下：设3张扑克牌为A、B、C，A为黑桃，画树状图得： 则所有可能出现的结果有：，，，，，共6种． 甲得到奖励的结果有2种，P（甲中签）；乙得到奖励的结果有2种，P（乙中签）； 丙得到奖励的结果有2种，P（丙中签）．因此先抽的人与后抽的人得到奖励的概率相同； （2）解：根据题意得（次），答：估算甲抽到黑桃大约900次． 题型08 概率的其它应用 【典例1】（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率；(2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 【答案】(1)(2)选择方案一更为实惠 【详解】（1）解：列表得所有抽取两张的等可能结果如下： 第一次 第二次    乘积 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之积（即获得8折优惠）的结果有8种． 所以获得8折优惠的概率为． （2）解：若顾客选择方案一，购物金额为300元，实际付款为： （元） 若顾客选择方案二，由（1）可知： ，对应9折，实际付款元 ，对应8折，实际付款元 ，对应7折，实际付款元 方案二的平均实际付款为： （元） 因为，所以顾客选择方案一更为实惠． 【变式1】（2025·江苏连云港·模拟预测）小明周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有、、、、五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开，则可获得一只价值元小兔玩具，并且每玩一次需付费元． (1)请用表格或树状图求小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； (2)假设有人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 【答案】(1)(2)估计游戏设计者可赚元 【详解】（1）解：画树状图为 共有10种等可能的结果数，其中符合“①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开”的结果数为4， 所以小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； （2）解：（元），所以估计游戏设计者可赚1000元． 【变式2】（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率；(2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【详解】（1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率，∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． (2)同意小明的说法，理由如下：由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵，∴选择2方式不如1方式划算，∴同意小明的说法． 题型09 根据频率估计概率 【典例1】（25-26九年级上·山西·期中）历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所示： 实验者 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.5181 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（ ） A．随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小 B．随着抛掷次数的增加，频率等于0.5 C．每多抛一次，频率会更加接近0.5 D．无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等 【答案】A 【详解】解：由上表可知，抛掷硬币试验中，正面向上的频率在0.5附近摆动，且随着n的增加，摆动幅度越来越小，可知正面向上的概率为0.5，只有A选项正确；故选A． 【变式1】（26-27九年级上·江苏常州·开学考试）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 【答案】0.618 【详解】解：由图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在0.618附近， 故“钉尖向上”的概率是0.618. 【变式2】（25-26九年级上·广东·校考期末）如图，小明发现操场上有一个不规则的封闭图形，他在封闭图形内画出了一个圆，向封闭图形内掷石子，投掷结果记录如表所示，根据表中数据，随机投掷一个石子，落在圆内的概率为______．（结果保留2位小数） 掷石子的总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 … 石子落在圆内的次数 61 93 165 246 759 996 1503 … 石子落在圆内的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501 … 【答案】 【详解】解：由表格的数据可知，随着试验次数的增加，石子落在圆内的频率逐步稳定在附近， ∴石子落在圆内的概率约为． 【变式3】（25-26九年级上·山东·课后作业）对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果见下表： 随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率 (1)请完成上表．(2)根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？ (3)如果重新抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1) 随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率 0.7 0.8 0.86 0.81 0.82 0.828 0.825 (2)0.83 (3)如果重新抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会相近，但一般不会完全一样，因为随机事件的频率具有不确定性，但频率会稳定在概率附近． 【详解】（1）解：略 （2）解：由表格中的数据可知，随着抽取的乒乓球数量的增加，优等品率稳定在附近， ∴在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是． （3）解：略． 题型10根据频率估计试验对象的个数 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【答案】B 【详解】解：各次试验“针与直线相交”的频率，依次为： ，，， ，，随着抛掷次数增加，频率稳定在附近， 即投掷次时，频数约为，该数值最接近． 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 【答案】25 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐步稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为，∴估计盒子里白球有个． 【变式2】（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右，∴摸到黑球的概率为， 设盒子中红球的个数为，则盒子中总球数为，依题意，得：，解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意，∴盒子中红球的个数约为． 【变式3】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）奋进小组的同学们展开摸球试验，在一个不透明的口袋中，放入个红球和若干个白球，这些小球除颜色外其余均相同．搅匀后，随机摸出一个球记录下颜色后放回，再搅匀，重复以上操作．奋进小组的同学将白球出现的频率绘制成如下统计图，则袋中白球的个数为______． 【答案】 【详解】解：设白球个数为个，则总球数为个， 根据题意，大量重复试验后，白球出现的频率稳定在，则摸出白球的概率为， 得方程：，解得：，经检验，是原方程的解， ∴袋中白球个数为个．故答案为：． 题型11 根据频率估计几何图形面积 【典例1】（25-26九年级上·山西运城·期末）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右， ∴据此估计点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在， ∴该二维码中黑色区域的面积为，故答案为：． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 【答案】3.6 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为．故答案为：3.6． 【变式2】（25-26九年级上·北京海淀·期末）小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数 50 100 200 500 … 石子落在图形内的次数 15 43 80 201 … 石子落在阴影部分的次数 35 57 120 299 … 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为______；由此估计图形的面积为______平方米． 【答案】 0.4 【详解】解：（1）因为石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右， 因此估计石子落在图形内的概率为0.4；故答案为：0.4； （2）∵圆的半径为1米，∴它的面积为， ∵石子落在图形内的概率为，∴估计图形的面积为平方米，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖南·校考期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【答案】 【详解】解：由图②得，小球落在不规则图案内的概率约为，由题意得矩形的面积为， 设不规则图案的面积为，则，∴，∴不规则图案的面积大约为． 【变式4】（25-26九年级下·福建·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【答案】（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）． 【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在，∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近，故选：C； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为，根据题意得：，解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米； （4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆， 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， ∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则，． 题型12 用频率估计概率的综合应用 【典例1】（2026·福建泉州·二模）依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（） 完好柑橘的质量n（） 柑橘完好的频率 调查：①柑橘在生产地的采购价为元/；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价（元/）与采购的总质量（）之间的关系满足． (1)可以估计柑橘完好的概率约为 （精确到）；(2)在（1）的条件下，用元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得销售）；(3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/？ 【答案】(1)(2)元(3)要获得元的利润，应采购的柑橘，售价应定为元/ 【详解】（1）解：随着采购量增大，柑橘完好的频率逐渐稳定在附近，柑橘完好的概率； （2）解：依题意得元采购的柑橘的总质量（），∴，即售价， 又实际销售柑橘质量为（），∴可获得的利润是元 （3）根据题意得 将代入上式得： 即解得，把代入； ∵在范围内；∴符合题意 ∴要获得元的利润，应采购的柑橘，售价应定为元/． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小科做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数 30 52 69 123 200 b 750 摸到白球频率 a 0.260 0.230 0.246 0.250 0.251 0.250 (1)填空：_________，_________；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_________（精确到0.01）． (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_________． A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B．桌子上有写着1、2、3、4的4张卡牌，随机抽一张，抽到卡牌上的数字是4． C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)，，(2)B(3)需要往盒子里再放入50个白球 【详解】（1）解：由频率公式可得， ， 观察表格，当摸球次数足够大时，摸到白球的频率稳定在， 因此摸到白球的概率估计值为； （2）解：分别计算各选项事件的概率： A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地结果为正面朝上的概率是，不符合； B. 从4张不同卡牌中随机抽一张，抽到数字4的概率是，符合； C. 在“石头、剪刀、布”游戏中，小明随机出剪刀的概率是，不符合； 因此符合结果的试验是B； （3）解：盒子中原有100个球，根据概率估计值可得原有白球数量为（个）， 设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意列方程得：， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， 答：需要往盒子里再放入50个白球． 【变式2】（26-27九年级上·成都·课后作业）下面是一个机器人做次“抛掷硬币”游戏时记录下的“出现正面”的频数和频率表，以及根据“出现正面”的频率所画的一张条形统计图． 抛掷次数 5 出现正面的频数 1 出现正面的频率 (1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次后，得到1次正面，“出现正面”的频率是．也就是说，机器人抛掷完5次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完次后，得到_______次正面，“出现正面”的频率是_______．也就是说，机器人抛掷完次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (3)如果你和你的朋友一起合作也抛掷完次，你们记录下的频数和频率表会与这张记录表一模一样吗？为什么？ (4)观察条形统计图，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率是否比先前稳定？ 【答案】(1)4；(2)；；； (3)见解析． (4)当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 【详解】（1）解：根据题意得：（次），， ∴抛掷完5次后，“出现正面”的次数为1次，“出现反面”的次数为4次， “出现反面”的频率为． （2）解：观察频数和频率表即可得机器人抛掷完次后的正面次数为次，“出现正面”的频率是， ∴机器人抛掷完次后，“出现反面”的次数为：（次）， “出现反面”的频率为：， ∴机器人抛掷完次后，“出现反面”的次数为（次），“出现反面”的频率为． (3)可能会一模一样，也可能不会一模一样，因为“抛掷硬币”游戏中，出现正面还是反面是随机事件，所以每次抛掷出现的结果可能一样，也可能不一样，所以记录下的频数和频率表可能会一模一样，也可能不会一模一样． （4）答：观察“出现正面”的频率条形统计图发现，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率基本稳定在左右， ∴当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 【变式3】（26-27九年级上·广东·期中）某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？(2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？(3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？(4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 【答案】(1)成功了次，成功率是，不是他所在小组成功率最高的人 (2)两位同学的成功率一样；再做次试验，成功率不一定出现类似的情况 (3)一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数；第一组的成功率最高 (4）见解析 【详解】（1）解：由表格数据可得：学号为的同学在次试验中，成功了次，∴成功率是， ∵根据该组中号的同学在次试验中，成功了次，， ∴学号为的同学在次试验中不是他所在小组同学中成功率最高的人； （2）解：∵学号为和的两位同学在次试验中，成功的次数相同，都是次，∴成功率是一样的， ∵试验的结果是随机的，不确定的，∴如果他们两人再做次试验，成功率不一定出现类似的情况； （3）解：∵一组同学的成功率为：成功的总次数试验的总次数， ∴一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数， ∴第一组的成功率为：， 第二组的成功率为：， 第三组的成功率为：， 第四组的成功率为：， ∵，∴第一组的成功率最高； （4）完成各抛掷次数对应的频数与频率数据统计表如下： 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 根据统计表画成的折线图如图所示， 根据折线图会看到：随着抛掷次数的增加，出现两个正面的频率逐渐稳定在附近 1．（2026·河南洛阳·一模）某校围绕“两弹元勋”邓稼先、“中国航天之父”钱学森和“中国核潜艇之父”黄旭华三位科学家的事迹开展研学活动，小刚和小明分别从这三位科学家中随机选取一位科学家进行研究，则两人选取的科学家不相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将3位科学家“两弹元勋”邓稼先、“中国航天之父”钱学森和“中国核潜艇之父”黄旭华分别记为，，，列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人选取的科学家不相同的情况有种， 两人选取的科学家不相同的概率是为． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是5 B．从一个装有3个红球和6个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，3，6，9的转盘，指针指向奇数 D．从一副52张（不含大小王）的扑克牌中，随机抽取一张，抽到梅花 【答案】B 【详解】解：由折线统计图可知，试验结果的频率在0.33附近波动， 该试验的概率约为0.33， A选项中，掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是的概率为， B选项中，从一个装有个红球和个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球的概率为， C选项中，转动一个分为等份且分别标有，，，的转盘，指针指向奇数的概率为， D选项中，从一副$52$张（不含大小王）的扑克牌中，随机抽取一张，抽到梅花的概率为， 符合这一结果的试验最有可能是B． 3．如图，在的方格中间是的正方形，在这个图形内任取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设小正方形的边长为1， 阴影部分面积为： ∴点P恰好在阴影部分的概率为:，故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏常州·期末）在如图的正方形区域内任意取一点P，则点P落在阴影部分的概率是_______． 【答案】 【详解】解：设一个小正方形的边长为，其中一个小正方形的阴影面积为 结合图形，其他三个小正方形的阴影面积都是 那么点P落在阴影部分的概率是故答案为： 5．（2026·重庆·模拟预测）将分别标有数字4，5，6的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌上．随机抽取一张作为十位上的数字，放回后洗匀再抽取一张作为个位上的数字，最后得到的两位数恰好是3的整数倍的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率，结合3的倍数的特征找出符合条件的结果，再根据概率公式计算概率. 【详解】解：根据题意列表如下： 4 5 6 4 4，4 4，5 4，6 5 5，4 5，5 5，6 6 6，4 6，5 6，6 由表可知，共有9种等可能的结果，其中得到的两位数是3的整数倍的结果共3种；根据概率公式，所求概率为. 6．（25-26八年级下·江苏常州·期中）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴点落入黑色部分的概率为，∴黑色部分的总面积． 7.（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 【答案】 【详解】解：任意闭合4个开关中的2个，所有等可能的闭合情况为：、、、、、，共种．由电路图可知，左侧A、B为并联，右侧C、D为并联，两部分串联；要让灯泡发光，需要一个开关在左侧、一个开关在右侧闭合，才能形成通路． 满足条件的情况为：、、、，共种．所以灯泡发光的概率为． 8．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）爱知·名古屋亚运会落下帷幕，中国体育代表团斩获金银铜，总计枚奖牌，创造亚运会境外参赛金牌数历史最佳战绩！一众年轻健儿奋勇拼搏，不断突破自我，交出一份亮眼答卷．九年级开展“亚运逐梦，青春自强”主题班会．老师准备四张运动员获奖图片（除正面图案外完全相同），分别记为A，B，C，D．                      A．团体项目：女子乒乓球团体            B．团体项目：男子米自由泳接力 （孙颖莎、王曼昱、陈熠、蒯曼、范姝涵）        （徐海博、费立纬、潘展乐、张展硕）                                   C．个人项目：女子米跳台（陈芋汐）        D．个人项目：男子米栏（陈圆将） 现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小明先从中随机抽取一张，不放回，小刚再从剩余图片中随机抽取一张，然后两人根据抽到的图片介绍对应的亚运比赛项目．用画树状图或列表的方法，求小明和小刚介绍的都是团体项目的概率． 【答案】 【详解】解：所有可能的结果列表如下： 小刚小明 共有种结果，每种结果出现的可能性相同，两人介绍的都是团体项目的结果有两种：、， ∴两人介绍的都是团体项目的概率是． 9．（25-26九年级下·广西·期中）某班有40名学生，每10人一组，每人做10次抛瓶盖的试验，得到下面的试验结果： 第一组学生的学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 盖口向上的次数 6 8 6 6 4 8 7 5 9 7 第二组学生的学号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 盖口向上的次数 7 6 8 6 7 10 7 7 6 5 第三组学生的学号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 盖口向上的次数 7 8 8 4 8 6 9 5 7 4 第四组学生的学号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 盖口向上的次数 9 6 6 8 5 8 6 6 8 7 (1)学号为1的学生在10次试验中，盖口向上的次数是多少？盖口向上的频率是多少？ (2)请在这40名学生中找两名学生，他们抛出的瓶盖盖口向上的频率相同．如果让这两名学生再分别做10次试验，他们抛出的瓶盖盖口向上的频率还一定相同吗？ (3)累计全班学生的试验结果，完成下面的统计表． 试验总次数n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 盖口向上的次数m 盖口向上的频率 (4)根据上表，画出盖口向上的频率的折线统计图．由此，你发现盖口向上的频率的变化有什么规律？ 【详解】（1）解：学号为1的学生在10次试验中，盖口向上的次数是6，则盖口向上的频率是：． （2）解：示例：学号2和学号6（任意两名盖口向上次数相同的学生均可），再做10次试验后，频率不一定相同．因为随机事件的频率具有不确定性． (3) 试验总次数n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 盖口向上的次数m 26 50 79 110 135 162 190 216 243 270 盖口向上的频率 0.65 0.625 0.658 0.688 0.675 0.675 0.679 0.675 0.675 0.675 (4)折线统计图如下： 规律：随着试验总次数增加，盖口向上的频率逐渐稳定在一个常数附近． 10.（2026·云南曲靖·一模）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2026年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 任务解决 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】乙胜的概率为． 【详解】解：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为． 1.某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是，故选：D． 2．（2026·福建漳州·校考一模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值．为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，可以用图中正方形区域表示，∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示，∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到：， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴，解得，故选：D． 3．如图，点D、E、F是三边的中点，点M、N、P是三边的中点，将与涂成阴影，假设内任意一点被取到的机会均等，那么在内随机取一个点，这个点恰好落在阴影部分的概率为______． 【答案】 【详解】解：∵D、E分别是、的中点，∴是的中位线， ∴，且，∴， ∴，∴，同理可得，，是的中位线， ∴，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵点M、P是，的中点，∴同理可得，，∴，∴， ∴在内随机取一个点，这个点恰好落在阴影部分的概率为． 4．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负，∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为，∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 5．（2026·安徽·二模）算法是搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法，其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性，假设一个小型的互联网由，，，四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留），则 （1）该用户第2次停留在网页上的概率为_______；（2）该用户第4次停留在网页上的概率为_______． 【答案】 / / 【详解】解：（1）由图可知，该用户第2次停留的网页有2种等可能的结果，即网页和， 所以该用户第2次停留在网页上的概率为． （2）由题意，画出树状图如下： 由图可知，该用户第4次停留的网页共有10种等可能的结果，其中，该用户第4次停留在网页上有1种， 所以该用户第4次停留在网页上的概率为． 6．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图①是一块边长为的正方形地砖，其中间有一个不规则图案，随机向正方形区域扔石子，石子落在不规则图案内的频率如图②所示，则不规则图案的面积大约为____． 【答案】640 【详解】解：设正方形的面积为，不规则图形面积为， 观察图②可知，石子落在不规则图案内的频率稳定在， 又,． 7.（25-26九年级上·云南保山·期末）在云南保山，怒江水奔腾不息，而跨越其上的座座古桥，却静静诉说着岁月的故事．它们不仅是连接两岸的交通纽带，更是承载着历史与智慧的文化遗产． 周末，某中学美术社团计划到怒江上的双虹桥或惠通桥中的一座桥进行写生活动，社团决定通过游戏确定去哪座桥进行写生活动． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），一名女生从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为m；在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），一名男生从口袋中任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为n，然后计算这两个数的和，即，若为奇数，则去双虹桥写生；否则，去惠通桥写生． (1)用树状图或列表法中的一种方法，求表示所有可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪座桥更有可能被选中？ 【答案】(1) 解：按游戏规则计算两个数的和，列表如下： n m 1 2 3 4 1 2 由表可知，所有可能出现的结果总数是8． (2)解：我认为这个游戏公平， 理由：从表中可以看出共有8种等可能的结果，其中和为奇数与和为偶数的可能结果各有4种， ∴P（和为奇数）=P（和为偶数），∴这个游戏公平． 8．（26-27九年级下·广东·单元复习）一个不透明袋中装有2个红球、1个黑球、1个白球，每个球除颜色外完全相同． (1)从袋中随机摸出一个球，摸出______球的可能性最大，摸出______球和______球的可能性相同； (2)从袋中随机摸出一个球，摸出黑球的概率是______； (3)①若从袋中摸出一个球后，放回，则第二次再摸出一个球，有______种等可能的情况； ②若从袋中摸出一个球后，不放回，则第二次再摸出一个球，有______种等可能的情况； ③从袋中同时摸出两个球，等同于第一次摸球后______（填“放回”或“不放回”），再摸出一个球； (4)若往袋中再加入x个红球并摇匀，从袋中摸出一个球记录颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，求x的值； (5)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色相同的概率； (6)从袋中随机摸出一个球，不放回，再从袋中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色相同的概率； (7)安安和桃桃两人玩摸球游戏，两人同时从袋中各摸出一个球，若摸出的两个球都是红球，则安安获胜；若摸出的两个球是一黑一白，则桃桃获胜．问：这个游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1)红，黑，白；(2)；(3)①4，②3，③不放回；(4)4；(5)；(6)； (7)这个游戏规则公平，理由如下： 将两个红球分别记作红1，红2，根据题意列表如下： 红1 红2 黑 白 红1 （红2，红1） （黑，红1） （白，红1） 红2 （红1，红2） （黑，红2） （白，红2） 黑 （红1，黑） （红2，黑） （白，黑） 白 （红1，白） （红2，白） （黑，白） 共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，摸出的两个球是一黑一白的结果有2种，∴摸出的两个球都是红球的概率为，摸出的两个球是一黑一白的概率为， 即摸出的两个球都是红球的概率等于摸出的两个球是一黑一白的概率， ∴这个游戏规则公平． 【详解】（1）解：∵，∴红球的数量最多，黑球的数量和白球的数量一样多， 所以摸出红球的可能性最大，摸出黑球和白球的可能性相同； （2）解：从袋中随机摸出一个球，摸出黑球的概率是． （3）解：①若从袋中摸出一个球后，放回，有4个球，则第二次再摸出一个球，有4种等可能的情况； ②若从袋中摸出一个球后，不放回，还剩3个球，则第二次再摸出一个球，有3种等可能的情况； ③从袋中同时摸出两个球，等同于第一次摸球后不放回，再摸出一个球； （4）解：∵摸到红球的频率稳定在左右， ∴，解得：，经检验，是方程的解且符合题意，所以； （5）解：将两个红球分别记作红1，红2，列表如下： 红1 红2 黑 白 红1 （红1，红1） （红2，红1） （黑，红1） （白，红1） 红2 （红1，红2） （红2，红2） （黑，红2） （白，红2） 黑 （红1，黑） （红2，黑） （黑，黑） （白，黑） 白 （红1，白） （红2，白） （黑，白） （白，白） 共有16种等可能的结果，其中两个球颜色相同的结果有6种，∴摸出的两个球颜色相同的概率为； （6）解：将两个红球分别记作红1，红2，列表如下： 红1 红2 黑 白 红1 （红2，红1） （黑，红1） （白，红1） 红2 （红1，红2） （黑，红2） （白，红2） 黑 （红1，黑） （红2，黑） （白，黑） 白 （红1，白） （红2，白） （黑，白） 共有12种等可能的结果，其中两个球颜色相同的结果有2种， ∴摸出的两个球颜色相同的概率为； （7）略 9．（25-26九年级上·河南新乡·期中）小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题；(1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率；(2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元；(3)你会给小明什么合理化的建议？ 【答案】(1)(2)25，125，75(3)谨慎参加类似游戏 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反正、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况，∴； （2），故约有25人中奖．奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）；故答案为：25，125，75； （3）中奖概率太低，谨慎参加类似游戏． 10.（25-26九年级上·云南保山·期末）在云南保山，怒江水奔腾不息，而跨越其上的座座古桥，却静静诉说着岁月的故事．它们不仅是连接两岸的交通纽带，更是承载着历史与智慧的文化遗产． 周末，某中学美术社团计划到怒江上的双虹桥或惠通桥中的一座桥进行写生活动，社团决定通过游戏确定去哪座桥进行写生活动． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），一名女生从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为m；在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），一名男生从口袋中任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为n，然后计算这两个数的和，即，若为奇数，则去双虹桥写生；否则，去惠通桥写生． (1)用树状图或列表法中的一种方法，求表示所有可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪座桥更有可能被选中？ 【答案】(1)解：按游戏规则计算两个数的和，列表如下： n m 1 2 3 4 1 2 由表可知，所有可能出现的结果总数是8． (2)解：我认为这个游戏公平， 理由：从表中可以看出共有8种等可能的结果，其中和为奇数与和为偶数的可能结果各有4种， ∴P（和为奇数）=P（和为偶数），∴这个游戏公平． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 概率的进一步认识 复习讲义 教学目标 （1）会用列表法、树状图法不重不漏列举两步试验所有等可能结果，计算理论概率；能区分放回与不放回试验。 （2）理解频率的稳定性，掌握用大量重复试验的稳定频率估计概率；分清频率与概率的联系和区别。 （3）能根据概率判断游戏是否公平；会识别两类求概率方法各自适用场景。 （4）根据试验特点灵活选择列表法或树状图法，有序列举所有等可能结果。 （5）能读取频率统计表，分析频率变化趋势，用频率估计概率；会设计简单模拟试验估计复杂事件概率。 （6）建立模型思想，能利用概率知识解决摸球、游戏公平性、总体数量估算等实际问题。 （7）经历试验、列举、数据分析、推断的过程，发展数据分析观念；理解随机现象的特点，体会随机性与统计规律性，养成严谨思考的习惯。 教学重难点 1. 重点 （1）用列表法、树状图法求两步等可能试验的概率，判断游戏公平性；区分两种求概率的方法： 列举法（表格、树状图）：适合有限个、等可能结果，求理论概率。 （2）理解频率的稳定性，能用频率估计概率；频率估计法：适合结果不等可能、结果无限、难以列举的随机事件。 2. 难点 （1）列举结果做到不重不漏，准确区分放回试验和不放回试验。 （2）正确选择合适的概率求解方法，不滥用列表、树状图（前提是每个结果等可能）。 （3）理解：频率是试验得到的波动值，概率是事件本身固定的常数；只有试验次数足够大时，频率才可以作为概率的近似估计值，少量试验的频率不能等同于概率。 （4）区分 “大概率事件” 和 “必然事件”，理解概率只是可能性大小，不能预测单次试验结果。 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图：当一次试验要涉及2个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图，也称树形图。 树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 2.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 4．判断游戏的公平性 （1）判断游戏公平性的方法：游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。 （2）把不公平的游戏变为公平的方法改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。 知识点02 用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值。 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。 注意：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的。 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率。 注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确。 题型01 用树状图或表格求概率 【典例1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________．(2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【变式1】（2026·安徽蚌埠·三模）为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏宿迁·中考真题）某校八年级组织以“厚植家国情怀”为主题的研学活动，策划了四个场馆：A宿迁市博物馆，B沭阳县博物馆，C中国杨树博物馆，D洪泽湖湿地博物馆．每名学生只能任意选择一个场馆参观，小丽和小明是该校八年级学生． (1)小丽选择场馆A的概率为 ；(2)请用画树状图或列表的方法，求小丽和小明选择不同场馆的概率． 【变式3】（2026·江苏盐城·模拟预测）完成以下问题 (1)下表是历史上一些著名数学家做掷硬币试验的数据： 试验者 抛硬币次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德•摩根 布丰 费勒 皮尔逊 由这些数据，你可以估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_____； (2)两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得分，掷出反面乙得分，先得到分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了分，乙得了分，那么这个蛋糕该如何分配呢？请你用概率的树状图模拟游戏继续，请帮助甲乙两人提出合理的分配方案． 【变式4】（25-26九年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球．(1)经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． (2)猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果）． 题型02 几何图形求概率 【典例1】（2026·广东肇庆·一模）如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，连接，随机在内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）方胜纹是我国汉族传统寓意纹样（如图①），是由两个菱形压角相叠组成的图案或纹样，其中一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应，示意图如图②所示．在图②中任取一点，则该点恰好在叠加小菱形（阴影部分）内的概率是______． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·校考期中）在一次趣味运动会中，某数学项目小组利用黄金分割比设计了一个掷飞镖的游戏．如图，在 “靶”中，点M，N分别是线段的两个黄金分割点，我们把的内部称为“黄金区域”（图中阴影部分）．游戏规定：投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在“靶”内，现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 _____． 【变式4】（2026·四川成都·三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，连接和．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为____________．    题型03 游戏的公平性 【典例1】（2026·云南保山·二模）为活跃班级文化，某班开展“趣味抽奖”活动，将学生分为甲、乙两队，并设置2个不透明的抽奖箱．第1个抽奖箱内放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外其余都相同）；第2个抽奖箱内放了分别标有数字1，2的两个小球（除标号外其余都相同）． 抽奖规则如下：老师先从第1个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为x，再从第2个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为y．若，则甲队中奖，否则乙队中奖． (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个抽奖规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪个队更容易中奖？                              【变式1】．（2026·江苏无锡·中考真题）一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球．(1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 【变式2】（2026·山东青岛·中考真题）小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜．(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 题型04 概率的实际应用- 概率与函数、方程、不等式综合问题 【典例1】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在一个不透明的盒子里装有四个分别标有数字，，1，4的小球，它们除所标数字不同外，其余均完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为b． (1)用列表法或画树状图法表示出的所有可能出现的结果； (2)求小强、小华各取一次小球所确定的点落在二次函数的图象上的概率． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为_______． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是一个被平均分成三个扇形的转盘，让转盘自由转动2次，指针指向的数分别记为，，则关于，的方程组，有正整数解的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）文晖实验学校隐秀数学节活动中，答题卡片上写有，，3这三个数，从中任选两个数分别作为点P的横坐标与纵坐标（横坐标与纵坐标不相等）． (1)请用画树状图或列表的方法，列出所有可能； (2)图象过点P的正比例函数中，求y随自变量x的增大而增大的概率． 题型05 概率与跨学科融合问题 【典例1】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊溶液是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊溶液遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液呈酸性，食用碱溶液呈碱性，蒸馏水呈中性，两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体． (1)小明将石蕊溶液滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______________；(2)小莉从自己的个烧杯中随机取个，滴入石蕊溶液，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【变式1】（25-26九年级下·广东·专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·浙江·单元复习）每年的6月14日为世界献血者日．某中学有4名教师自愿献血，其中2人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人，选到的两人均为O型血的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·重庆渝北·一模）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为______．    题型06 概率在保险中的应用 【典例1】（2025·西藏阿里·一模）某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【变式1】（25-26九年级下·浙江·专题练习）某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　；(2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【变式2】（25-26九年级下·广东·专题练习）某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率；(2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【变式3】（25-26九年级·重庆·校考期中）人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下： 年龄 活到该年龄的人数 在该年龄的死亡人数 40 80500 892 50 78009 951 60 69891 1200 70 45502 2119 80 16078 2001 … … … 根据上表解下列各题：（1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？（保留三个有效数字）；（2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？ 题型07 利用概率计算随机事件发生的平均次数 【典例1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！(1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 【变式1】（25-26九年级下·广东·期中）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【变式2】（25-26九年级三·湖北·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 (1)表格中m的值为_____，n的值为_____． (2)任抽一件该产品是合格品的频率稳定在_____，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为_____． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【变式3】（25-26九年级上·江西南昌·期末）3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由；(2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 题型08 概率的其它应用 【典例1】（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率；(2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 【变式1】（2025·江苏连云港·模拟预测）小明周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有、、、、五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开，则可获得一只价值元小兔玩具，并且每玩一次需付费元． (1)请用表格或树状图求小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； (2)假设有人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 【变式2】（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率；(2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 题型09 根据频率估计概率 【典例1】（25-26九年级上·山西·期中）历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所示： 实验者 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.5181 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（ ） A．随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小 B．随着抛掷次数的增加，频率等于0.5 C．每多抛一次，频率会更加接近0.5 D．无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等 【变式1】（26-27九年级上·江苏常州·开学考试）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 【变式2】（25-26九年级上·广东·校考期末）如图，小明发现操场上有一个不规则的封闭图形，他在封闭图形内画出了一个圆，向封闭图形内掷石子，投掷结果记录如表所示，根据表中数据，随机投掷一个石子，落在圆内的概率为______．（结果保留2位小数） 掷石子的总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 … 石子落在圆内的次数 61 93 165 246 759 996 1503 … 石子落在圆内的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501 … 【变式3】（25-26九年级上·山东·课后作业）对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果见下表： 随机抽取的乒乓球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率 (1)请完成上表．(2)根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？ (3)如果重新抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 题型10根据频率估计试验对象的个数 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【变式1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 【变式2】（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【变式3】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）奋进小组的同学们展开摸球试验，在一个不透明的口袋中，放入个红球和若干个白球，这些小球除颜色外其余均相同．搅匀后，随机摸出一个球记录下颜色后放回，再搅匀，重复以上操作．奋进小组的同学将白球出现的频率绘制成如下统计图，则袋中白球的个数为______． 题型11 根据频率估计几何图形面积 【典例1】（25-26九年级上·山西运城·期末）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为______cm2． 【变式2】（25-26九年级上·北京海淀·期末）小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数 50 100 200 500 … 石子落在图形内的次数 15 43 80 201 … 石子落在阴影部分的次数 35 57 120 299 … 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为______；由此估计图形的面积为______平方米． 【变式3】（25-26九年级上·湖南·校考期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【变式4】（25-26九年级下·福建·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 题型12 用频率估计概率的综合应用 【典例1】（2026·福建泉州·二模）依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（） 完好柑橘的质量n（） 柑橘完好的频率 调查：①柑橘在生产地的采购价为元/；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价（元/）与采购的总质量（）之间的关系满足． (1)可以估计柑橘完好的概率约为 （精确到）；(2)在（1）的条件下，用元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得销售）；(3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/？ 【变式1】（25-26八年级下·辽宁·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小科做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数 30 52 69 123 200 b 750 摸到白球频率 a 0.260 0.230 0.246 0.250 0.251 0.250 (1)填空：_________，_________；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_________（精确到0.01）． (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_________． A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”． B．桌子上有写着1、2、3、4的4张卡牌，随机抽一张，抽到卡牌上的数字是4． C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【变式2】（26-27九年级上·成都·课后作业）下面是一个机器人做次“抛掷硬币”游戏时记录下的“出现正面”的频数和频率表，以及根据“出现正面”的频率所画的一张条形统计图． 抛掷次数 5 出现正面的频数 1 出现正面的频率 (1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次后，得到1次正面，“出现正面”的频率是．也就是说，机器人抛掷完5次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完次后，得到_______次正面，“出现正面”的频率是_______．也就是说，机器人抛掷完次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (3)如果你和你的朋友一起合作也抛掷完次，你们记录下的频数和频率表会与这张记录表一模一样吗？为什么？ (4)观察条形统计图，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率是否比先前稳定？ 【变式3】（26-27九年级上·广东·期中）某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？(2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？(3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？(4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 1．（2026·河南洛阳·一模）某校围绕“两弹元勋”邓稼先、“中国航天之父”钱学森和“中国核潜艇之父”黄旭华三位科学家的事迹开展研学活动，小刚和小明分别从这三位科学家中随机选取一位科学家进行研究，则两人选取的科学家不相同的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是5 B．从一个装有3个红球和6个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，3，6，9的转盘，指针指向奇数 D．从一副52张（不含大小王）的扑克牌中，随机抽取一张，抽到梅花 3．如图，在的方格中间是的正方形，在这个图形内任取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏常州·期末）在如图的正方形区域内任意取一点P，则点P落在阴影部分的概率是_______． 5．（2026·重庆·模拟预测）将分别标有数字4，5，6的三张卡片洗匀后，背面向上放在桌上．随机抽取一张作为十位上的数字，放回后洗匀再抽取一张作为个位上的数字，最后得到的两位数恰好是3的整数倍的概率是________． 6．（25-26八年级下·江苏常州·期中）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 7.（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 8．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）爱知·名古屋亚运会落下帷幕，中国体育代表团斩获金银铜，总计枚奖牌，创造亚运会境外参赛金牌数历史最佳战绩！一众年轻健儿奋勇拼搏，不断突破自我，交出一份亮眼答卷．九年级开展“亚运逐梦，青春自强”主题班会．老师准备四张运动员获奖图片（除正面图案外完全相同），分别记为A，B，C，D．                      A．团体项目：女子乒乓球团体            B．团体项目：男子米自由泳接力 （孙颖莎、王曼昱、陈熠、蒯曼、范姝涵）        （徐海博、费立纬、潘展乐、张展硕）                                   C．个人项目：女子米跳台（陈芋汐）        D．个人项目：男子米栏（陈圆将） 现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小明先从中随机抽取一张，不放回，小刚再从剩余图片中随机抽取一张，然后两人根据抽到的图片介绍对应的亚运比赛项目．用画树状图或列表的方法，求小明和小刚介绍的都是团体项目的概率． 9．（25-26九年级下·广西·期中）某班有40名学生，每10人一组，每人做10次抛瓶盖的试验，得到下面的试验结果： 第一组学生的学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 盖口向上的次数 6 8 6 6 4 8 7 5 9 7 第二组学生的学号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 盖口向上的次数 7 6 8 6 7 10 7 7 6 5 第三组学生的学号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 盖口向上的次数 7 8 8 4 8 6 9 5 7 4 第四组学生的学号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 盖口向上的次数 9 6 6 8 5 8 6 6 8 7 (1)学号为1的学生在10次试验中，盖口向上的次数是多少？盖口向上的频率是多少？ (2)请在这40名学生中找两名学生，他们抛出的瓶盖盖口向上的频率相同．如果让这两名学生再分别做10次试验，他们抛出的瓶盖盖口向上的频率还一定相同吗？ (3)累计全班学生的试验结果，完成下面的统计表． 试验总次数n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 盖口向上的次数m 盖口向上的频率 (4)根据上表，画出盖口向上的频率的折线统计图．由此，你发现盖口向上的频率的变化有什么规律？ 10.（2026·云南曲靖·一模）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2026年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 任务解决 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 1.某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建漳州·校考一模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值．为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 3．如图，点D、E、F是三边的中点，点M、N、P是三边的中点，将与涂成阴影，假设内任意一点被取到的机会均等，那么在内随机取一个点，这个点恰好落在阴影部分的概率为______． 4．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 5．（2026·安徽·二模）算法是搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法，其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性，假设一个小型的互联网由，，，四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留），则 （1）该用户第2次停留在网页上的概率为_______；（2）该用户第4次停留在网页上的概率为_______． 6．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图①是一块边长为的正方形地砖，其中间有一个不规则图案，随机向正方形区域扔石子，石子落在不规则图案内的频率如图②所示，则不规则图案的面积大约为____． 7.（25-26九年级上·云南保山·期末）在云南保山，怒江水奔腾不息，而跨越其上的座座古桥，却静静诉说着岁月的故事．它们不仅是连接两岸的交通纽带，更是承载着历史与智慧的文化遗产． 周末，某中学美术社团计划到怒江上的双虹桥或惠通桥中的一座桥进行写生活动，社团决定通过游戏确定去哪座桥进行写生活动． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），一名女生从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为m；在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），一名男生从口袋中任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为n，然后计算这两个数的和，即，若为奇数，则去双虹桥写生；否则，去惠通桥写生． (1)用树状图或列表法中的一种方法，求表示所有可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪座桥更有可能被选中？ 8．（26-27九年级下·广东·单元复习）一个不透明袋中装有2个红球、1个黑球、1个白球，每个球除颜色外完全相同． (1)从袋中随机摸出一个球，摸出______球的可能性最大，摸出______球和______球的可能性相同； (2)从袋中随机摸出一个球，摸出黑球的概率是______； (3)①若从袋中摸出一个球后，放回，则第二次再摸出一个球，有______种等可能的情况； ②若从袋中摸出一个球后，不放回，则第二次再摸出一个球，有______种等可能的情况； ③从袋中同时摸出两个球，等同于第一次摸球后______（填“放回”或“不放回”），再摸出一个球； (4)若往袋中再加入x个红球并摇匀，从袋中摸出一个球记录颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在左右，求x的值； (5)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从袋中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色相同的概率； (6)从袋中随机摸出一个球，不放回，再从袋中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色相同的概率； (7)安安和桃桃两人玩摸球游戏，两人同时从袋中各摸出一个球，若摸出的两个球都是红球，则安安获胜；若摸出的两个球是一黑一白，则桃桃获胜．问：这个游戏规则公平吗？请说明理由． 9．（25-26九年级上·河南新乡·期中）小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题；(1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率；(2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元；(3)你会给小明什么合理化的建议？ 10.（25-26九年级上·云南保山·期末）在云南保山，怒江水奔腾不息，而跨越其上的座座古桥，却静静诉说着岁月的故事．它们不仅是连接两岸的交通纽带，更是承载着历史与智慧的文化遗产． 周末，某中学美术社团计划到怒江上的双虹桥或惠通桥中的一座桥进行写生活动，社团决定通过游戏确定去哪座桥进行写生活动． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），一名女生从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为m；在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），一名男生从口袋中任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为n，然后计算这两个数的和，即，若为奇数，则去双虹桥写生；否则，去惠通桥写生． (1)用树状图或列表法中的一种方法，求表示所有可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪座桥更有可能被选中？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $