辽宁鞍山市第一中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度上学期期中考试29届高一年级数学科答案 一、单选题 1.A2.A3.C4.D5.B6.A7.B8.D 二、多选题 9.AC 10.BD 11.ACD 三、填空题 12.2:13.【-1,0]和[1，+∞)：14.子 四、解答题 15.(13分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x2-3x+2. (1)求f(x)在x>0时的解析式： (2)解不等式：f(2x-3)>f(x+2). 【详解】(1)当x≤0时，f(x)=x2-3x+2, ∴当x>0时，-x<0,f(-x)=(-x)2-3(-x)+2=x2+3x+2 又f(x)是定义在R上的偶函数，·fx)=f(-x)=x2+3x+2, 故当x>0时，f(x)=X2+3x十2..6分 (2)易知f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增 则不等式f(2x-3)>f(x+2)即为f(I2x-3)>f(x+2), 可得|2x-31>|x+2,解得x<或x>5 即所求不等式的解集为(-∞，)U(5,+∞) 13分 16.(15分)已知集合A={xa-1≤x≤3-2a},B={x-2<x<4}. (I)若A∩B=A,求实数a的取值范围： (2)设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【详解】(1)由A∩B=A,可得A∈B,因为A={x|a-1≤x≤3-2a},B={x|-2<x<4}, ①当A=0时，a-1>3-2a,解得a>手，符合题意， (a-1≤3-2a ②当A≠0时， 则a-1>-2，解得-<a≤ (3-2a<4 综上，a>-,故实数a的取值范围为(-，+∞)， .8分 (2)由题意可得，x∈B是x∈A的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又A={x|a-1≤x≤3-2a},B={x|-2<x<4}, (a-1≤-2 则3-2a之4，解得a≤-1，故实数a的取值范围是(-00，-1.15分 (a-1≤3-2a 试卷第1页（共4页） 17.(15分)已知函数f)=的定义域为x∈[-1，，且f(1)=-1,f0)=0. (1)求函数f(x)的解析式： (2)判断并证明f(x)在[-1,1]上的单调性： (3)解不等式f(2t)>f(1-t): 【详解】(1)由f0)=0,得=0，解得b=0. 由(1)=-1，得+=-1，解得a=-2 所以0y)=径.x∈[-1山 4分 (2)f(x)在[-1,1]上单调递减.证明如下： 任取x1,x2∈[-1,1]，且x1<x2: 侧0）-0)=-清=产边-型 (1+)(1+) (1+x)(1+x) 因为-1≤X1<x2≤1， 所以x2-x1>0,lk1x2<1,即1-x1x2>0,又(1+x)(1+x)>0, 所以fx1)-fk2)>0,即fx1)>f(x2) 故f(x)在[-1,1]上单调递减… …5分 (3)由f(x)在[-1,1]上单调递减，且f(20)>f1-t), -1≤2t≤1 (-sts到 得-1≤1-t≤1，即0≤t≤2， 取交集得0≤t< 2t<1-t t<j 所以原不等式的解集为0，) 6分 18.(17分)已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+a. (1)若a>0且函数f(x)在区间(0,2)上有两个零点，求实数a的取值范围： (2)解关于x的不等式f(x)<a+2-3x: (3)若对任意的x1≥1，总存在x2≥1，使得f(x1)≥3x2-4成立，求实数a的取值范围. 【详解】(1)a>0时， △=(a+1)2-4a2>0 0<--a+n<2 由题意得： 2a ,解得：<a<1, f(0)=a>0 f(2)=4a-2(a+1)+a>0 所以实数a的取值范围为{al<a<1: 5分 (2)由f(x)<a+2-3x得ax2-(a+1)x+a<a+2-3x,整理得ax2-(a-2)x-2<0, 当a=0时，不等式化为2x-2<0,解得x<1,即此时不等式的解集为(-∞，1)： 试卷第2页（共4页） 当a≠0时，令ax2-(a-2)x-2=0,因式分解得(ax+2)(x-)=0,解得方程的根为x1=1和2=- 若a>0,则-<1，所以不等式ax2-(a-2)x-2<0的解集为(-总，)： 若-2<a<0,则->1，所以不等式ax2-(a-2)x-2<0的解集为(-o,1)U(-后，+∞)： 若a=-2,则-2=1，所以不等式ax2-(a-2)x-2<0的解集为(-0,1)U(1,+o): 若a<-2,则-<1，所以不等式ax2-(a-2)x-2<0的解集为(-o,-)U(1,+∞)： 综上所述，当a=0时，不等式的解集为(-∞，1)： 当a>0时，不等式的解集为(-后1)月 当-2<a<0时，不等式的解集为(-∞，1)U(-,+∞)： 当a=-2时，不等式的解集为(-∞，1)U(1,+∞)： 当a<-2时，不等式的解集为(-0，-)U(1,十∞).11分 (3)设g(x)=3x-4,由题意，对任意的x1≥1，总存在x2≥1，使得f(x1)≥g(x2)成立， 因为g(x)=3x-4在[1，+∞)单调递增，所以g(x)≥g(1)=3×1-4=-1, 即g(x)=3x-4在[1，+∞)上的值域为[-1，+o), 要存在x2≥1使得f(x1)≥g(x2)成立，等价于f(x1)≥-1对任意的x1≥1恒成立， 即ax2-(a+1)x+a≥-1在[1，+o)上恒成立 整理得a≥xe[1,+o 令h)=设t=x-1,因为xe[,+om,所以teD,+o, 所以h(e)=+1-c+t1=2+t*7 t t 当t=0时，h(0)=0, 当t>0时，h()=2++=+1 t 1 又由均值不等式可得t+之2，~=2，当且仅当t=即t=1取得等号，此时x=2, 所以h0=点≤=子又t>0,所以0<h(0≤} 1 1 综上所述，)=，+)上的值域为引 又a之在[1，+o)上恒成立，所以a之号所以实数a的取值范国是，+∞17分 19.(17分)己知函数G(x)的定义域为A,若恰好存在k个实数x1,x2,…,xk∈A,使得G(-x)+G(x)=0(其 中i=1,2,…,k,k∈N*),则称函数G(x)为k级函数” 试卷第3页（共4页） (1)判断函数G(x)=e*+x-1是否为“k级函数”？若是，求出x的值：若不是，请说明理由； (2)设1ER,记G(x)=g(2x)+g(x)+9,其中g(x)=(2+V3)x.若函数G(x)是4级函数”，且满足条件 的x:分别为m1,m2,m3,m4 ①求的取值范围；②证明：|m1l+|m2l+|m3l+|m4l<4. 【详解】(1)由函数G(x)是k级函数，得存在x满足G(x)+G(-x)=0,即2x+x-1+2x-x-1=0, 即2x+2x=2,而2x+2-x≥2√2x·2x=2,当且仅当x=0时取等， 所以只有X=0满足题意，即G(x)是1级函数..4分 (2)①依题意，G(x)=g(2x)+1g(x)+9=g(x)+1g(x)+9,由函数G(x)是4级函数， 得方程G(x)+G(-x)=0台g2(x)+g2(-x)+[g(x)+g(-x)]+18=0有四个不同的实数解， 令函数h(x)=g(x)+g(-x),由h(-x)=g(-x)+g(x)=h(x),得h(x)为偶函数， 且g2()+g2(-x)=h2()-2,函数h()=(2+V③)x+2+1 1 当x>0时，函数u=(2+V3)x>1在(0，+o)上递增，函数y=u+在(1，+∞)上递增， 因此函数h(x)在(0，+o)上递增，值域为(2，+o), 方程G(x)+G(-x)=0台h2(x)+h(x)+16=0,令t=h(x), 因此关于t的一元二次方程t2+1t+16=0在(2，+∞)上有两个不等的实数解， (4=2-64>0 则4+21+16>0，解得-10<1<-8，所以2的取值范围是(-10，-8).… …10分 ->2 ②由①不妨设m1<m2<0<m3<m4,设p(x)=h2(x)+h(x)+16, 面p(-)=2(-)+M(-刘+16=2侧+（到+16=到.即函数p(为偶函数，则三-m 而h2(m3)+h(m3)+16=h2(m4)+h(m4)+16=0,由①得h(m3)·h(m4)=16, h(1)=9(4)+g(-1)=2+3+25=4,(2)=9(2)+9(-2)=2+V32+21 (2+V32=14, 则p(1)=h2(1)+1h(1)+16=41+32<0,p(2)=h2(2)+h(2)+16=14+212>0, 因此0<m3<1<m4<2,|m1l+lm2+lmgl+lm4=2(m3+m4), 要证m1+|m2l+m3|+m4<4,即证m3+m4<2,即证m3<2-m4, 而两数a()在0，+o)上遗增，即证h(m)<h2-m,.即证总<h2-m, 即证h(m,)h2-m)>16,即i证[2+V3)m+2+J[亿+V③2-m 1 2+V32-m4]>16, 2+++器+>16， (2+V3)2 由基本不等式得2+③2m4 +(2+32 (2+3)2 2wm>2,因此(2+V32+ 1 (2+V3)2 +2+v③2m4 +2+V③2 (2+v3)2 2+v2m>14+2=16, 所以原不等式成立 .17分 试卷第4页（共4页） 2026-2027学年度上学期期中考试29届高一年级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，则 （    ） A． B． C． D． 2．已知命题，则的否定是 （    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为 （    ） A． B． C． D．{或} 4．函数的零点所在区间为 （    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为 （     ） A． B． C． D． 6．已知，为正实数，且，则的最小值为 （     ） A． B． C． D． 7．设是定义在R上的函数，且满足都有，6，则= （    ） A．10 B．2 C． D． 8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对按正确答案比例给分． 9．下列命题正确的是 （     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 10．下列说法正确的是 （     ） A．与表示同一函数 B．的定义域为 C．已知函数的定义域为，则的定义域为 D．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 11．已知a，b，c为正实数，且，则 （    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．4的最小值为10 D．的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．计算 13．函数=的单调递增区间为 14．对任意，不等式恒成立，则的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15．（13分）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：． 16．（15分）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数的定义域为，且，． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式． 18．（17分）已知． (1)在区间(0,2)上有两个零点，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知函数的定义域为，若恰好存在个实数，使得（其中），则称函数为“级函数”. (1)判断函数是否为“级函数”？若是，求出的值：若不是，请说明理由； (2)设，记，其中.若函数是“4级函数”，且满足条件的分别为. ①求的取值范围； ②证明：. 试卷第1页（共3页） 高二年级数学科试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $