1.3　一元二次方程的根与系数的关系课件-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章　一元二次方程 1.3　一元二次方程的根与系数的关系 2026-2027学年苏科版数学九年级上册 学习目标 1.理解一元二次方程的根与系数的关系，加深对一元二次方程求根公式的理解与运用. 2.会运用一元二次方程的根与系数的关系求两根之和与两根之积(韦达定理). 课堂引入 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 一、 运用一元二次方程的根与系数的关系求两根之和与两根之积 问题　比较一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)两个实数根的表达式： x1=-+，x2=--. 它们有何特征？你能发现根与系数之间有哪些联系？ 提示　x1+x2=+=-； x1·x2==-=. 知识梳理 一元二次方程的根与系数的关系： 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则 上述根与系数的关系也称为韦达定理. 注意点：①利用公式的前提条件为b2-4ac≥0；②“-”不要漏写. - 例1　不解方程，判断下列方程是否有实数根，求两根的和与两根的积： (1)x2+2x-5=0； 解　由a=1，b=2，c=-5， Δ=b2-4ac=22-4×1×(-5)=24>0， 可得原方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根分别是x1，x2， 则x1+x2=-=-2，x1·x2==-5. 例1　不解方程，判断下列方程是否有实数根，求两根的和与两根的积： (2)2x2+x=1. 解　把方程2x2+x=1化成一般形式， 得2x2+x-1=0. 由a=2，b=1，c=-1， Δ=b2-4ac=12-4×2×(-1)=9>0， 可得原方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根分别是x1，x2， 则x1+x2=-=-，x1·x2==-. 反思感悟 确定一元二次方程两根的和与积的方法： (1)方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)； (2)确定a，b，c的值； (3)根据根的判别式判断有无实数根； (4)根据x1+x2=-，x1·x2=，求两根的和与积. 跟踪训练1　不解方程，判断下列方程是否有实数根，求两根的和与两根的积： (1)x2-7x-3=0； 解　由a=1，b=-7，c=-3， Δ=b2-4ac=(-7)2-4×1×(-3)=61>0， 可得原方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根分别是x1，x2， 则x1+x2=-=-=7， x1·x2==-=-3. 跟踪训练1　不解方程，判断下列方程是否有实数根，求两根的和与两根的积： (2)3x(x-2)=5. 解　把方程3x(x-2)=5化成一般形式， 得3x2-6x-5=0， 由a=3，b=-6，c=-5，Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-5)=96>0， 可得原方程有两个不相等的实数根. 设方程的两根分别是x1，x2， 则x1+x2=-=-=2，x1·x2===-. 二、 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例2　(课本P21例2)已知关于x的一元二次方程x2＋x＋c＝0的一个根是，求另一个根和常数项c. 解　设方程的另一个根为x1. 由根与系数的关系， 得 解①，得x1＝. 把x1＝代入②，得×＝c. 所以c＝＝－1. 所以原方程的另一个根为，常数项为 －1. 跟踪训练2　已知m，n是关于x的一元二次方程x2+bx+2=0的两个不同的解，其中m=+1，请求出b和n的值. 解　由一元二次方程根与系数的关系， 得mn=2，m+n=-b， ∵m=+1， ∴n==-1， ∴b=-(m+n)=-=-2. 例3　写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是. 解　设此一元二次方程为x2+px+q=0， ∵两根分别为， ∴p=-(x1+x2)=-=-， q=x1x2=×=， ∴方程为x2-x+=0.(答案不唯一) 跟踪训练3　写出一个关于x的一元二次方程，使它分别满足如下的条件： (1)两个根分别为7和-2； (2)两个根分别为2+，2-； (3)两个根与x2-x=1的两个根相同，且一次项系数是. 解　(1)x2-(7-2)x+7×(-2)=0. 即x2-5x-14=0.(答案不唯一) (2)x2-(2++2-)x+(2+)(2-)=0. 即x2-4x+1=0.(答案不唯一) (3)由x2-x=1得x2-x-1=0， 两边都乘-，得-x2+x+=0. 课堂小结 一元二次方程的根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则x1+x2=-，x1·x2=. 1.已知x1，x2是方程x2-5x-6=0的两个实数根，则x1+x2等于 A.-5 B.-6 C.5 D.6 随堂演练 解析　a=1，b=-5， ∴x1+x2=-=-=5. √ 2.一元二次方程x2-4x+3=0的两根为x1，x2，则+的值为 A. B. C.4 D.3 随堂演练 解析　∵一元二次方程x2-4x+3=0的两根为x1，x2， ∴x1+x2=-=4，x1x2==3， ∴+==. √ 3.已知m，n是一元二次方程x2+1 011x-2 026=0的两个实数根，则代数式m2+1 012m+n的值等于 A.1 015 B.1 014 C.1 013 D.1 011 随堂演练 解析　根据题意，知m是一元二次方程x2+1 011x-2 026=0的实数根， ∴m2+1 011m-2 026=0，∴m2+1 011m=2 026， ∵m，n是该一元二次方程的两个实数根， ∴m+n=-1 011， ∴m2+1 012m+n=(m2+1 011m)+(m+n)=2 026+(-1 011)=1 015. √ 4.若关于x的一元二次方程x2+3x-5=0的两个根分别为m，n，则mn的值为　　　. 随堂演练 解析　∵m，n分别为一元二次方程x2+3x-5=0的两个实数根， ∴mn==-5. -5 5.已知：关于x的方程x2-3x+a=0有一个根是2，则a=　　　，另一个根是　　　　. 随堂演练 解析　设方程x2-3x+a=0的另一个根为t， 可得 解得t=1，a=2. 所以a=2，另一个根是1. 2 1 6.若长方形的长和宽分别是关于x的方程2x2-8x+3=0的两个根，则长方形的周长是　　　. 随堂演练 解析　设长方形的长为a，宽为b， ∵长方形的长和宽分别是关于x的方程2x2-8x+3=0的两个根， ∴a+b=-=4. ∴长方形的周长为2(a+b)=2×4=8. 8 7.已知方程x2-kx-6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-2，求k的值及方程的另一个根. 随堂演练 解　设方程的另一个根为m， 则 解得 即k的值为1，另一个根为3. 迁移拓展 1.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1，x2两个实数根. (1)若x1=1，则x2=　　　　　　；m=　　　　　　　； 解　∵x1+x2=6，x1x2=2m-1，x1=1， ∴x2=5，1×5=2m-1， 解得m=3. 迁移拓展 1.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1，x2两个实数根. (2)是否存在实数m，满足m(x1-2)(x2-2)=-9，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 解　存在，理由如下： ∵x1+x2=6，x1x2=2m-1，m(x1-2)(x2-2)=-9， ∴m[x1x2-2(x1+x2)+4]=-9，即m[(2m-1)-12+4]=-9，整理得2m2-9m+9=0， ∵Δ=(-9)2-4×2×9=81-72=9>0， ∴m==，解得m1=3，m2=. 迁移拓展 2.阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2=-，x1x2=. 例如：已知方程2x2+3x-5=0的两根分别是x1，x2， 则x1+x2=-=-，x1x2==-. 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： 迁移拓展 (1)已知方程3x2-7x=11x的两根分别是x1，x2，求x1+x2和x1x2的值； 解　把方程化为一般形式为3x2-18x=0， ∵方程的两根分别是x1，x2， ∴x1+x2=-=6，x1x2==0. 迁移拓展 (2)已知方程x2+5x-3=0的两根分别是x1，x2，且x1<x2，求x1-x2的值； 解　∵方程x2+5x-3=0的两根分别是x1，x2， ∴x1+x2=-=-5，x1x2==-3， ∴(x1+x2)2=25， ∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=25-4×(-3)=37， 又∵x1<x2， ∴x1-x2<0， ∴x1-x2=-. 迁移拓展 (3)已知α，β是方程x2-3x-1=0的两个根，则α2-5α-2β+7=　　　　. 解　∵α，β是方程x2-3x-1=0的两个根， ∴α+β=3，αβ=-1，α2-3α=1， ∴α2-5α-2β+7=α2-3α-2α-2β+7=α2-3α-2(α+β)+7=1-2×3+7=2. 迁移拓展 3.阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=. 材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值. 解：∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n=1，mn=-1， 则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 迁移拓展 (1)材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=　　　　，x1x2=　　　　； 解　∵一元二次方程2x2-3x-1=0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2=-=，x1x2=-. 迁移拓展 (2)类比应用：已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两个实数根分别为m，n，求+的值； 解　∵一元二次方程2x2-3x-1=0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n=，mn=-， ∴+== ==-. 迁移拓展 (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0，且s≠t.求：①4s2-5s+t的值； 解　∵实数s，t分别满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0， ∴s，t可以看作方程2x2-3x-1=0的两个实数根，2s2=3s+1， ∴s+t=，st=-， 4s2-5s+t=2×2s2-5s+t =2(3s+1)-5s+t=6s+2-5s+t =s+t+2=+2=. 迁移拓展 (3)思维拓展：已知实数s，t分别满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0，且s≠t.求：②-的值. 解　∵(t-s)2=(t+s)2-4st=-4×=. ∴t-s=±， 当t-s=-===-，当t-s=--===， 综上分析可知，-或-. 谢谢观看 $