数列求和：先看通项再定拆法 学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列求和：先看通项，再定拆法 人教 A 版选择性必修第二册 · 数列 考查范围：公式法、分组求和、并项求和、错位相减、裂项相消，以及由 求 与反求参数的两种方向。 共 9 题　建议 75 分钟　独立完成 卷面说明：第 1 题先指出写法错在哪一步，再给正确结果；第 6 题要写出系数 的来源；第 9 题结果保留到元。全部题目要求写出过程，只写结果不给分。 班级：________　姓名：________　得分：________ 一、一份看着很顺的错解 1. 求数列 的前 项和。作业里有这样一份写法： 代 得 。请指出这份写法错在哪一步，并给出正确结果。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 二、先把通项拆开看 2. 已知数列 的前 项和 。 （1）求通项 ； （2）判断 是否为等差数列，若是，写出公差； （3）有同学说「 对 也成立」。这句话对不对？ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. 数列 ，求前 项和 ，并说明为什么可以拆成两组分别求和。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 三、正负交替的时候要成对 4. 数列 ，求 与 ，并说明为什么要分奇偶处理。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 四、错位相减关键在对齐 5. 数列 ，用错位相减法求 ，并写出两式相减时每一项的对齐位置。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 五、裂项之后只剩两头 6. 数列 ，求 ，并证明对任意正整数 都有 ；同时说明系数 是怎么来的。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 7. 数列 ，求 并证明 。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 六、把条件反过来用 8. 已知数列 的前 项和 ，若 是等比数列，求常数 的值与通项公式。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 七、账要按月算 9. 某人借款 元，月利率 ，按等额本息分 个月还清。求每月应还金额（精确到元），并解释还款总额为什么大于本金。 ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 完成后回头看一眼 交卷前用半分钟对一遍四件事：每道题的求和结果都代 回验一次，看首项对不对；第 2 题第（3）问有没有说清那个等式成立的范围；第 5 题两式相减后，中间那些项的系数是不是都化成了同一个数；第 9 题的递推是按哪个顺序写的，这一步写反，结果会差出几十元。 再提一句写法：求和题的过程分不能省。写出通项怎么拆、为什么要这样拆、相减之后中间项消成了什么，这三步各占一定分值。只把最后的公式抄上去，即使公式对了，遇到需要说明理由的设问也拿不到分。第 6、7 题都明确要求说明系数的来源和剩余项数，答题时把通项拆开的那一行单独写出来，比在脑子里想更稳妥。 七十五分钟可以这样分：第 1、2 题控制在十五分钟内，这两题考的是判断，想清楚再动笔比反复涂改快；第 3 到 5 题是主体，留三十分钟，其中第 5 题的错位相减要留足写对齐过程的时间；第 6、7 题二十分钟，裂项的关键是把通项拆开的那一行写对，拆对了后面就是消项；最后十分钟给第 8、9 题，第 8 题记得回代验首项，第 9 题把递推式写出来再展开。哪一题卡住超过八分钟，先做后面的，回来再补。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列求和：先看通项，再定拆法 人教 A 版选择性必修第二册 · 数列 求和之前先问三件事：通项是几类东西拼起来的？相邻两项相减会不会只剩两头？符号是不是在交替？ 这三问定的是方法，不是公式。通项是等差加等比，拆成两组分别算；通项是等差乘等比，错位相减；通项能写成相邻两项之差，裂项；符号在交替，两项一组成对看。方法选错，算得再细也是白算——下面第一题就是选错方法的样子。 一、一份看着很顺的错解 1. 求数列 的前 项和。作业里有这样一份写法： 代 得 。请指出这份写法错在哪一步，并给出正确结果。 解析 先把前三项老老实实加一遍：，，，。和 差得很远，说明不是算错数，是公式套错了。 错在这一步：把 当成了常数 。等比数列求和公式 里，提出来的必须是与 无关的常数。这里 随 变， 时是 ， 时是 ， 时是 ，它是等差因子，不能提到求和号外面。写错的那份式子，实际算的是 ，把每一项前面那个 全抹成了 。 正确做法是错位相减。记 两边同乘公比 ： 用第二式减第一式，同次幂对齐相减。 这些项的系数都是 ： 中间那个等比和是 ，整理得 取 回看一眼：，跟首项接上了。错位相减最容易在常数项上漏一笔， 这一验专抓它； 对不上，多半是减的时候漏减了那个常数。 要点 求和公式里的系数必须是常数。系数带 ，先错位相减，别急着套公式。 二、先把通项拆开看 2. 已知数列 的前 项和 。 （1）求通项 ； （2）判断 是否为等差数列，若是，写出公差； （3）有同学说「 对 也成立」。这句话对不对？ 解析 （1） 时只能用定义：。 时， 把后面展开：。相减得 （2）刚才只对 成立，还得回头验 ：，恰好等于 。所以首项能并进通项， 对一切正整数成立。，是公差为 的等差数列。 （3）这句话不对，但它错得很隐蔽。 的推导过程用了 ，而 要有意义，至少得 ，也就是 。 时 根本不存在，谈不上「也成立」。 本题之所以看起来成立，是因为算出来的 恰好等于通项在 处的值。换个和函数就不一定了：若 ，则 ，而 时 在 处给 ，两者不等，通项必须写成分段： 要点 由 求 ，第一步永远单独算 ，第二步用差分，第三步回头验首项能否合并。三步少一步就会写出错的分段。 3. 数列 ，求前 项和 ，并说明为什么可以拆成两组分别求和。 解析 通项是两项之和，一项是 （等差），一项是 （等比）。求和号对加法可以拆： 拆开的依据是「有限个数的和可以分组相加」，与项数多少无关。两组分别用现成公式： 所以 验 ：原式 ；公式给 。 验 ：；公式给 。 要点 能拆的前提是「加号连接」。如果通项是 这种乘积，就不能拆成两组分别求和，得走错位相减。 三、正负交替的时候要成对 4. 数列 ，求 与 ，并说明为什么要分奇偶处理。 解析 写出前几项：。 规律很明显：符号交替，绝对值每次加 。相邻两项相加： 一般地，，与 无关。这就是「成对看」的依据：每两项的和是定值 。 前 项正好 对： 多出一项。先算 ，于是 如果不配对，直接硬算 项，符号来回翻转，极容易在第几项上出错。配对的本质是把「交替」这个麻烦交给每一对去消化，剩下的只有对数。 分奇偶的必要性也在这里： 是偶数项，恰好整对； 是奇数项，多出一个落单的。所以求 与 的公式本来就不一样，不能用一个式子套。 要点 遇到 ，先写相邻两项之和，看它是不是常数。是常数就配对，再单独处理落单的那一项。 四、错位相减关键在对齐 5. 数列 ，用错位相减法求 ，并写出两式相减时每一项的对齐位置。 解析 展开写全，把每一项的「系数」和「幂」分两列摆好： 两边同乘公比 ，整体向右错一位： 对齐看：第一式的 与第二式的 是同次幂，可以相减；第一式的 与第二式的 相减。错位的目的是让同次幂对齐，不是为了把式子写长。相减后每个同次幂的系数差都是 ： 前面 项是等比，和是 ，所以 验 ：公式给 ，而 ，相符。 验 ：公式给 ，而 ，相符。 要点 错位相减最常见的错不是算错，是没对齐：乘完公比后直接逐项减，把 减到了 上。判断有没有对齐，看相减后中间那些项的系数是不是同一个常数——是，就对了。 五、裂项之后只剩两头 6. 数列 ，求 ，并证明对任意正整数 都有 ；同时说明系数 是怎么来的。 解析 分母是 与 的乘积，两者相差 。先试最朴素的想法：把 通分看看。 比 多了一个因子 ，所以补回来： 那个 就是「分母两项之差」的倒数。这不是背出来的，是通分后比出来的——分母相差几，前面就补几分之一。 写开求和，看中间怎么消： 与 抵消， 与 抵消，一路消下去。注意这里不是只留首尾两项：因为间隔是 ，正负项错开一位，最后会剩下开头两项和结尾两项： 再看要证的那一步。被减掉的 分子分母都是正数，所以这一项恒大于 ，于是 对每个正整数 都成立。等号要是真能取到，就得让那一项等于 ，也就是 ， 不是正整数，做不到。 还想多说一句的话，可以顺带看 怎么变：减去的这一项随 增大而减小，所以 随 增大而增大，逐步往 靠，但每一项都严格小于 。要判断「 有没有可能超过 」，这样看比直接代数变形更直观。 验 ：；公式给 ，相符。 要点 裂项时先通分算出「差几」，再补系数。间隔为 留首尾各一项，间隔为 留首尾各两项——这个差别直接决定答案对不对。 7. 数列 ，求 并证明 。 解析 分母两个因子是 与 ，它们的差是 分子正好是 ，不多不少。所以不用补系数，直接拆： 这一步可以当场验：右边通分后分子是 ，分母是 ，与 完全一致。 求和时逐项写开： 中间每一项都被后一项的减号吃掉，只剩 因为 ，所以 ，于是 而且 越大，减掉的那部分越小， 越接近 但永远不到 。 要点 裂项后剩一项还是两项，看首项有没有被消掉。本题首项 前面没有东西能减它，所以留下来；尾项 后面没有东西能减它，也留下来。证明不等式的关键就是看清这个尾项恒正。 六、把条件反过来用 8. 已知数列 的前 项和 ，若 是等比数列，求常数 的值与通项公式。 解析 先用差分求 时的通项： 这个式子对一切 成立，而且与 无关——因为 在相减时消掉了。 再看首项。定义给出 。 题目说 是等比数列，等比数列要求从第一项起就满足同一个规律，所以 必须等于通项在 处的值： 解得 。 回代看一眼： 给出 、、，后项比前项都是 ，首项也接得上，通项是 。 如果漏掉「验首项」这一步，直接写「，所以 任意」，就全错了。 取别的值， 的部分照样是等比，但第一项接不上，整个数列不是等比数列。 要点 反求参数的题， 的差分只给出「后半段」的规律，参数藏在首项里。必须让首项服从同一个规律，再回代验证。 七、账要按月算 9. 某人借款 元，月利率 ，按等额本息分 个月还清。求每月应还金额（精确到元），并解释还款总额为什么大于本金。 解析 设每月还 元。关键是每个月末先记利息，再还款，顺序不能反。 第 个月末，本金变成 ，还掉 ，还欠 第 个月末，对 再记一次利息，再还 ： 照这样滚下去，第 个月末恰好还清，即 ： 括号里是首项 、公比 的等比数列，共 项，和为 所以 不是有理数，这一步只能借计算器：，分母就是 。 每月约还 元。 还款总额是 元，比本金 元多 元。多出来的部分就是利息：钱借出去是要计息的，每月还掉的那 元里，一部分在还本金，一部分在付利息，而利息是按「当时还欠多少」算的，所以越往后利息越少、还本金的比例越大。 这道题的数列部分和前面第 5 题是同一个结构：括号里那串等比的和乘上 ，就是错位相减的产物。区别只在于这里不用求 的表达式，而是让 反解 。 要点 分期付款的建模顺序是「先计息、再还款」，写成递推就是 。把它展开就得到等比和，这一步和第 5 题的错位相减完全一致。 八、五把刀各自的适用范围 把这一份的九道题按方法归一下类，下次拿到题先对号： 通项的样子 用什么 关键动作 本份对应 等差＋等比（加号连接） 分组求和 拆成两组，分别套公式 第 3 题 等差×等比 错位相减 乘公比、对齐、同次幂相减 第 1、5、9 题 分母是两项乘积 裂项相消 先通分定系数，再看剩几项 第 6、7 题 含 并项求和 相邻两项相加看是否为常数 第 4 题 给出 求 差分 单独算，回头验能否合并 第 2、8 题 有两点容易忽略。一是第 2 题和第 8 题都涉及 ，但方向相反：第 2 题是已知 求通项，第 8 题是已知「是等比」反求 里的参数，后者必须回到首项去卡。二是第 9 题看着像应用题，其实就是第 5 题的错位相减换了个场景，把 写出来，剩下的都是代数。 判断方法只看通项，不看题目问什么。题目问「求前 项和」还是「求第 项」，方法都一样；题目给的是递推式还是通项式，才决定要不要先求通项。 还有两个容易混的地方，值得单独拎出来说。 第一个是并项和分组。两者都出现「加号」，但并项是把相邻两项先加成一个常数，再数一共有多少对；分组是把通项拆成两类，各自用自己的公式。判断办法：把 写出来看有没有 ——有，先试并项；没有，才考虑分组。第 4 题如果把 硬拆成「 减去 」两组，就变成了两个都求不出来的和，越算越乱。 第二个是错位相减和裂项。两者都是「写两式再相减」，但错位相减是同一个和乘公比后与自己相减，裂项是把一项拆成两项之差后再求和。前者的产物是一个闭合公式，后者靠中间项成对抵消。看通项也能分：等差乘等比用错位，分式且分母是乘积用裂项。 方法选对之后，剩下的都是细心活。第 1 题那份错解之所以「看着很顺」，就是因为它在形式上完全符合等比求和的写法，只是前提不成立。这类错误在考场上不会自己暴露，唯一可靠的检查是代 和 各验一次——两个都对上，公式才可信。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $