4.2.2 第一课时 等差数列的前n项和公式-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书Word（人教版）

第一课时　等差数列的前n项和公式 课标要求 情境导入 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程（逻辑推理、数学运算）. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个（数学运算）. 3.了解等差数列前n项和公式与二次函数的关系（逻辑推理）. 　　我们知道，梯形的面积公式为S＝（a＋b）h，那么你知道怎么推导这个公式吗？这里有一个很“有趣”的方法，如下面的示意图： 　　将梯形“倒置”，恰好拼接为一个平行四边形，平行四边形的面积为（a＋b）h，可得到梯形的面积为S＝（a＋b）h. 知识点一　等差数列的前n项和公式 问题　（1）据说200多年前，高斯的算术老师提出了一个问题：1＋2＋3＋4＋…＋100＝？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5 050.你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？ 提示：对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为（a1＋a100）＋（a2＋a99）＋…＋（a50＋a51）＝101×50＝5 050，可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51，这就是上一节学过的性质的应用，它使不同数的求和问题转化为相同数（即101）的求和，从而简化了运算. （2）将上述方法推广到一般，你能求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n吗？ 提示：Sn＝1＋2＋3＋…＋n，Sn＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋1，两式相加，得2Sn＝（1＋n）＋（1＋n）＋…＋（1＋n）＝n（1＋n），∴Sn＝. （3）应用（2）的方法，你能求等差数列{an}中Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an的和吗？ 提示：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，　① Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，　② ①＋②，得2Sn＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（an＋a1）＝＝n（a1＋an）. ∴Sn＝. 等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝　　 Sn＝　na1＋d　 （链接教材P21例6）已知数列{an}为等差数列. （1）若a1＝3，a30＝97，求S30； 解：根据等差数列前n项和公式可得，S30＝＝＝1 500. （2）若a1＝80，d＝－2，求S60； 解：根据等差数列前n项和公式可得，S60＝60×80＋×（－2）＝60×（80－59）＝1 260. （3）若a25＝12，求S49. 解：因为{an}为等差数列，所以a1＋a49＝2a25， 故S49＝＝49a25＝49×12＝588. 规律方法 　　当已知首项、末项和项数时，用公式Sn＝较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式Sn＝na1＋d较为简便.在运用公式Sn＝时，注意结合等差数列的性质. 训练1　已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　27　. 解析：因为a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27. 知识点二　利用等差数列前n项和公式求基本量 已知数列{an}是等差数列. （1）若a6＝10，S5＝5，求a1和Sn； 解：解得 所以Sn＝na1＋d＝－5n＋×3＝n2－n. （2）若a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12； 解：因为Sn＝n×＋×（－）＝－15，整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5（舍去）， 所以a12＝＋（12－1）×（－）＝－4. （3）a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 解：Sn＝＝＝－5， 解得n＝15， 又a15＝＋（15－1）d＝－， 所以d＝－， 所以n＝15，d＝－. 规律方法 等差数列前n项和有关的基本计算方法与技巧 （1）公式法（基本量法）：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量Sn，n，a1，an，d，这五个量可以“知三求二”，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题； （2）性质法：等差数列前n项和Sn＝与等差数列性质“若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性. 提醒：解题时要注意整体代换的思想. 训练2　（1）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　C　） A.1 B.2 C.4 D.8 解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a5＝24，S6＝48，∴解得∴{an}的公差为4. （2）若a1＋a2＋a3＋a4＝40，＋＋＋an＝80，Sn＝210，则n＝　14　. 解析：因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，＋＋＋an＝80，所以4（a1＋an）＝120，即a1＋an＝30.又因为Sn＝＝210，所以n＝＝14. 知识点三　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 问题　等差数列前n项和Sn＝na1＋d是关于n的二次函数吗？它可以写成什么形式？ 提示：当d＝0时，Sn不是关于n的二次函数；当d≠0时，Sn是关于n的二次函数.Sn＝n2＋（a1－）n. 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 【破题思维】 题目信息 信息转化 已知Sn＝2n2－3n 联想an＝Sn－Sn－1（n≥2） 判断数列{an}是否为等差数列 联想an＋1－an为常数 解：当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2（n－1）2＋3（n－1）＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式， 故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4（n＋1）－5－4n＋5＝4，为常数， 所以数列{an}是等差数列. 变式　〔一题多解〕已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求{an}的公差. 解：法一　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（－n2＋n）－[－（n－1）2＋（n－1）]＝－2n＋2，经检验，n＝1时，a1＝0也适合上式.故an＝－2n＋2（n∈N*），∴公差为－2. 法二　由二次项系数为－1，则公差为2×（－1）＝－2. 规律方法 由Sn求通项公式an的特点 　　若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列. 训练3　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 解：当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2＋n－1）－[（n－1）2＋（n－1）－1]＝2n. 又a1＝1不满足an＝2n， ∴数列{an}的通项公式是an＝ ∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2， ∴{an}不是等差数列. 1.已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项的和是（　　） A.112 B.51 C.28 D.18 解析：C　设等差数列{an}的公差为d，由题意，得解得则S7＝7a1＋d＝28.故选C. 2.已知等差数列－，0，，…，则其前10项的和为（　　） A.25 B.30 C.35 D.40 解析：C　设该等差数列为{an}，其前n项和为Sn，由题意，a1＝－，d＝，所以a10＝a1＋（10－1）d＝8，所以S10＝×10＝×10＝35.故选C. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝45，a5＝7，则该数列的公差为（　　） A.－5　　　 B.5 C.－3　　　 D.3 解析：A　由题意得，a5＝7，S10＝＝45，即＝45，解得a6＝2，所以公差d＝a6－a5＝－5.故选A. 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－1，S3＝3. （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn. 解：（1）设数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝－1＋（n－1）×2＝2n－3. （2）由（1）得，Sn＝（a1＋an）＝（－1＋2n－3）＝n2－2n. （时间：60分钟　满分：105分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝2，S5＝15，则a1＝（　　） A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 解析：A　由题意得S5＝5a1＋×2＝15，则a1＝－1.故选A. 2.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则λ＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：A　∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1. 3.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n＝（　　） A.10 B.15 C.20 D.30 解析：C　因为Sn＝na1＋n（n－1）d＝10n＋n（n－1）×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29（舍）. 4.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 解析：B　由S13＝＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋（n－1）×2＝2n－14，由2n－14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n＝8. 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn且公差d≠0，若S7＝3a4，则（　　） A.S3＝S4 B.S3＝S5 C.S4＝S5 D.S4＝S6 解析：A　由题意可知，S7＝＝7a4＝3a4，所以a4＝0，所以S3＝S3＋0＝S3＋a4＝S4.故选A. 6.公差为不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝3（a2＋a5＋ak），则k＝（　　） A.8 B.10 C.11 D.12 解析：A　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d（d≠0）.因为S9＝3（a2＋a5＋ak），所以9a1＋d＝3[a1＋d＋a1＋4d＋a1＋（k－1）d]＝9a1＋3（k＋4）d，整理得到36d＝3（k＋4）d，解得k＝8. 7.〔多选〕已知{an}是等差数列，其公差为d，前n项和为Sn，a10＝10，S10＝70，则下列结论正确的是（　　） A.a1＝4 B.d＝ C.数列{an}是递减数列 D.数列{Sn}是等差数列 解析：AB　由题意知，解得故A、B正确；因为d＞0，所以数列{an}是递增数列，故C错误；Sn－＝an＝4＋（n－1）×＝n＋（n≥2），不是常数，故数列{Sn}不是等差数列，故D错误.故选A、B. 8.设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y＝3x－2的图象上，则数列{an}的通项公式an＝　6n－5　. 解析：依题意得＝3n－2，即Sn＝3n2－2n，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3（n－1）2－2（n－1）]＝6n－5.经检验，当n＝1时，a1＝1满足上式，故an＝6n－5. 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＋S6＝27，则a2＋a4＝　6　. 解析：设等差数列{an}的公差为d.因为S3＋S6＝3a1＋3d＋6a1＋15d＝9a1＋18d＝27，所以a1＋2d＝3，所以a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2a1＋4d＝2（a1＋2d）＝2×3＝6. 10.（13分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝a5＋a6＝25. （1）求{an}的通项公式； （2）求等差数列{an}的前n项和Sn. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由S5＝a5＋a6＝25，得5a1＋d＝a1＋4d＋a1＋5d＝25，所以a1＝－1，d＝3.所以{an}的通项公式为an＝3n－4. （2）由（1）知an＝3n－4，得{an}的前n项和为Sn＝＝＝，则Sn＝n2－n. 11.〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是（　　） 解析：ABC　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn（a，b为常数，n∈N*），则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A、B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意. 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k＝　7　. 解析：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋（a1－）n可看作是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝＝.又∵S6＝Sk，∴＝，解得k＝7. 13.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝　n2　. 解析：依题意知，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2，进行累加求和得an＝1＋2（n－1）＝2n－1，故数列{an}的前n项和Sn＝2（1＋2＋3＋…＋n）－n＝2×－n＝n2. 14.（15分）已知数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2＋r. （1）当r＝0时，求证：数列{an}是等差数列； （2）若数列{an}是等差数列，求r满足的条件. 解：（1）证明：当r＝0时，Sn＝25n－2n2. 当n＝1时，a1＝S1＝25－2＝23； 当n≥2时，Sn－1＝25（n－1）－2（n－1）2， 所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2－25（n－1）＋2（n－1）2＝27－4n， 此时a1＝23符合上式，所以an＝27－4n， 所以当n≥2时，an－an－1＝（27－4n）－27＋4（n－1）＝－4，可得数列{an}是公差为－4的等差数列. （2）Sn＝25n－2n2＋r，当n＝1时，a1＝S1＝25－2＋r＝23＋r； 当n≥2时，Sn－1＝25（n－1）－2（n－1）2＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝25n－2n2＋r－25（n－1）＋2（n－1）2－r＝27－4n， 所以an－an－1＝（27－4n）－27＋4（n－1）＝－4， 可得当n≥2时，数列{an}是公差为－4的等差数列， 若数列{an}是等差数列，则a1＝27－4＝23＝23＋r，所以r＝0. 15.（15分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝9. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝a2n－1＋a2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（1）因为{an}为等差数列，设其公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×2＝2n－1. （2）由（1）知an＝2n－1，所以a2n－1＝2（2n－1）－1＝4n－3，a2n＝2×2n－1＝4n－1， 所以bn＝a2n－1＋a2n＝8n－4. 当n＝1时，b1＝4； 当n≥2时，bn－bn－1＝8n－4－8（n－1）＋4＝8， 所以{bn}是首项为4，公差为8的等差数列， 所以Tn＝＝4n2， 所以{bn}的前n项和Tn＝4n2. 学科网（北京）股份有限公司 $