3.8 三元一次方程组（讲义） 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

第三章 一次方程（组） 08讲 三元一次方程组 目录 【知识点1. 三元一次方程（组）及其解 1】 【知识点2. 解三元一次方程组的步骤 2】 【题型1. 三元一次方程组 3】 【题型2. 三元一次方程组的解 3】 【题型3. 解三元一次方程组 4】 【题型4. 三元一次方程组字母求参问题 5】 【题型5. 三元一次方程组的应用 6】 【课后作业 8】 知识清单 1、三元一次方程 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程。 2、三元一次方程组 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组。 3、三元一次方程组的解 对于未知数为x，y，z的三元一次方程组，若x，y，z分别用数c1，c2，c3代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c1，c2，c3）叫作这个方程组的一个解，习惯上记作 。 巩固基础 1．三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 知识清单 4、解三元一次方程组的步骤 解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解。消元的方法仍是代入消元法或加减消元法。 巩固基础 1．解方程组： 2．解方程组： 直击考点 题型1. 三元一次方程组 【例1】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型2. 三元一次方程组的解 【例1】三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 【变式3】已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 题型3. 解三元一次方程组 【例1】解方程组：． 【变式1】解方程组：． 【变式2】解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【变式3】已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【变式4】在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 题型4. 三元一次方程组字母求参问题 【例1】若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式1】关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如果方程组的解使成立，求的值． 【变式3】在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学将c的值看成了1，从而求得解为，试求a，b，c的值和原方程组的解． 题型5. 三元一次方程组的应用 【例1】电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【例2】足球联赛中，每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队在10场比赛中得到18分．且胜的场数等于平和负的场数之和，若设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为，则可列方程组为_____． 【例3】对于有理数定义新运算：其中均为常数，已知，，求的值． 【变式1】用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知在等式中，当时，；当时，；当时，．求时，________． 【变式3】阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）问题：某班在购买啦啦操比赛的物资时，准备购买红色、黄色，蓝色三种颜色的啦啦球，其颜色不同则价格不同，第一次买了15个红色啦啦球、7个黄色啦啦球、11个蓝色啦啦球共用1084元，第二次买了2个红色啦啦球、4个黄色啦啦球、3个蓝色啦啦球共用304元，试问第三次买了红、黄、蓝啦啦球各一个共需多少元？（假定三次购买红、黄、蓝啦啦球单价不变） 解：设购买红、黄、蓝啦啦球的单价分别为x、y、z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 我们可以把看成一个整体，设，上述方程组又可化为：， 消去n，则可求得m的值，即 ； 阅读后，细心的你，一定体会到了其中的数学思想，试解决下列问题： （2）某同学买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元；如果买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元，试问只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本，共需多少钱？ （3）若关于m，n的方程组的解与有相同的解，求a、b的值． 【变式4】【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 课后作业 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知三元一次方程组，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 4．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 5．（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知方程组，则 ______． 7．（25-26六年级下·上海青浦·期末）解方程组： (1) (2) 8．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． (1)用这种方法解方程组 (2)方程组的解为__________． 10．（25-26六年级下·上海·期末）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 11．（25-26七年级下·福建泉州·期中）先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ 12．（25-26七年级下·福建福州·期中）母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 13．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次方程（组） 08讲 三元一次方程组 目录 【知识点1. 三元一次方程（组）及其解 1】 【知识点2. 解三元一次方程组的步骤 3】 【题型1. 三元一次方程组 4】 【题型2. 三元一次方程组的解 6】 【题型3. 解三元一次方程组 8】 【题型4. 三元一次方程组字母求参问题 13】 【题型5. 三元一次方程组的应用 15】 【课后作业 20】 知识清单 1、三元一次方程 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程。 2、三元一次方程组 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组。 3、三元一次方程组的解 对于未知数为x，y，z的三元一次方程组，若x，y，z分别用数c1，c2，c3代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c1，c2，c3）叫作这个方程组的一个解，习惯上记作 。 巩固基础 1．三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代入消元法，逐步消元求解三元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②，得 解得， 将①和代入③，得 解得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 2．方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键． 根据加减消元法求解即可． 【详解】解：， 由，得， 解得：． 把代入，得， 解得：． 把，代入，得， 解得：． 故原方程组的解为． 故选：A． 3．已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的简便求解，核心是运用整体思想，无需单独求解、、的具体值，通过将三个方程左右两边分别相加，可快速得到的值． 【详解】解：已知三元一次方程组， 将三个方程左右两边分别相加，得：， 即， 两边同时除以2，得：； 故选：C． 知识清单 4、解三元一次方程组的步骤 解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解。消元的方法仍是代入消元法或加减消元法。 巩固基础 1．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．消去y得：，再得，分别代入①和③求解即可． 【详解】解：得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 2．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 利用代入消元法解答即可． 【详解】解：由①，得，③ 由②，得，④ 将③代入④，得． 解方程组得所以， 所以原方程组的解为 直击考点 题型1. 三元一次方程组 【例1】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【变式2】下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 题型2. 三元一次方程组的解 【例1】三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用加减消元法，将三元一次方程组逐步降元，先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再逐步求解即可得到结果． 【详解】解：， ∵得， 得，解得， 将代入①得，解得， 将代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式1】方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解． 【详解】解： 由得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故选：C 【变式2】方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用 “加减消元法” 即可求解． 【详解】解：根据题意可知三元一次方程组为： 将可得， 将和联立可得： 由于，所以原方程组无解． 故选：． 【变式3】已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 【答案】D 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴； 故选D． 题型3. 解三元一次方程组 【例1】解方程组：． 【答案】 【分析】将③代入①消去z，可得，再结合②根据加减消元法求出，然后将x的值代入方程求出另外两个未知数的值即可． 【详解】解：， 把③代入①，得， 整理得：， ，得，解得：， 把代入③，得， 把代入④，得， ∴原方程组的解为． 【变式1】解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得：， ， ， ③-②得：， ， ， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴． 【变式2】解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加减消元法求解； （2）先将原方程组两个方程化简，再利用加减消元法求解； （3）先将原方程组两个方程化简，再利用加减消元法求解； （4）先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再依次求解． 【详解】（1）解： 得：， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （2）解： 整理得 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （3）解： 整理得 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （4）解： 得：， 得：， 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为． 【变式3】已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【答案】这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 由①②，得④， 由③④，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 把代入③，得， 解得． 综上所述，原方程组的解是． 答：这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15． 【变式4】在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）三个式子相加即可求解； （2）根据方程组的结构可得，再加减消元即可； （3）利用整体法结合加减消元即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为 ∴， 解得； （3）解：由题可得， 得：， 解得， 把代入，得， 解得， ，． 题型4. 三元一次方程组字母求参问题 【例1】若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 【变式1】关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：把 代入得，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】如果方程组的解使成立，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，正确计算是解题的关键． 求出方程组的解得到的值，代入已知等式计算即可求出的值． 【详解】解：解方程组 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为： ，解得． 【变式3】在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学将c的值看成了1，从而求得解为，试求a，b，c的值和原方程组的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组． 根据题意得到，求出a，b，c的值，代入原方程组求解即可． 【详解】解：∵甲同学因看错了b的符号，从而求得解为， ∴， ∵乙同学将c的值看成了1，从而求得解为， ∴， 即， 解得：， ∴原方程组为， 得， 将代入②得：， 解得： ∴． 题型5. 三元一次方程组的应用 【例1】电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出三元一次方程组是解题的关键． 设三种票分别买了张．则根据题意列出关于的三元一次方程组，然后解的值即可． 【详解】解：分别设三种票买了张． 则根据题意，得， 由②得③ 将③代入①，得：． 故选：A． 【例2】足球联赛中，每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队在10场比赛中得到18分．且胜的场数等于平和负的场数之和，若设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为，则可列方程组为_____． 【答案】 【详解】解：设该队胜的场数为，平的场数为，负的场数为， 根据题意得． 【例3】对于有理数定义新运算：其中均为常数，已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据新定义运算列出两个等式，通过等式变形凑出所求对应的表达式即可求出结果，不需要分别求解每个常数的值． 【详解】解：∵新运算定义为，已知，， ∴可得方程组， 用，得， 将，得， 整理得， ∵， ∴． 【变式1】用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义，将矩阵转化为三元一次方程组，通过消元法解出x和y关于z的表达式，代入并令其系数为0，得到t与m的关系． 【详解】解：由题意得：， 得，， ∴， 将③代入①得，， ∴ ， ∵为定值， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】已知在等式中，当时，；当时，；当时，．求时，________． 【答案】22 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， 当时， ． 【变式3】阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）问题：某班在购买啦啦操比赛的物资时，准备购买红色、黄色，蓝色三种颜色的啦啦球，其颜色不同则价格不同，第一次买了15个红色啦啦球、7个黄色啦啦球、11个蓝色啦啦球共用1084元，第二次买了2个红色啦啦球、4个黄色啦啦球、3个蓝色啦啦球共用304元，试问第三次买了红、黄、蓝啦啦球各一个共需多少元？（假定三次购买红、黄、蓝啦啦球单价不变） 解：设购买红、黄、蓝啦啦球的单价分别为x、y、z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 我们可以把看成一个整体，设，上述方程组又可化为：， 消去n，则可求得m的值，即 ； 阅读后，细心的你，一定体会到了其中的数学思想，试解决下列问题： （2）某同学买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元；如果买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元，试问只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本，共需多少钱？ （3）若关于m，n的方程组的解与有相同的解，求a、b的值． 【答案】（1）100；（2）元；（3）， 【分析】（1）由关于m，n的方程组，利用可求出，进而可得出，此问得解； （2）设购买1支黑笔需要x元，购买1支红笔需要y元，购买1个笔记本需要z元，根据“买11支黑笔、3支红笔、7个笔记本，共用去元：买8支黑笔、2支红笔、5个笔记本，则共用去元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，将其拆解换元后可得出关于m，n的二元一次方程组，利用可求出m的值，及的值，此题得解． （3）先求出，把代入②求出，把代入③求出，把，代入②求出，把，，代入①求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴得：， 解得：，即， 答：第三次购买红、黄、蓝啦啦球各一个共需100元； （2）设购买1支黑笔需要x元，购买1支红笔需要y元，购买1个笔记本需要z元，依题意得： ， 上述方程组可变形为：， 设，，上述方程组又可化为：， 得：， 即， 答：只买一支黑笔、一支红笔、一个笔记本共需元． （3）关于m，n的方程组的解与有相同的解， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 把，，代入①得：， 解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，利用换元法将原三元一次方程组转化为二元一次方程组是解题的关键． 【变式4】【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 【答案】(1)；5 (2)购买这批防疫物资共需6700元 (3) 【分析】（1）直接把两个方程相加或相减，即可求出答案； （2）根据题意，列出方程组，然后利用整体思想代入计算，即可得到答案； （3）根据题意，利用新定义进行计算，然后利用整体的思想即可求出的值． 【详解】（1）解：， 由得：； 由，得， ∴． （2）解：设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 依题意，得： ， 由可得， ∴． 答：购买这批防疫物资共需6700元． （3）解：依题意，得： ， 由可得：， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题． 课后作业 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知三元一次方程组，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】从整体考虑，将三式相加得到，再两边同除以2即可． 【详解】解：， 得， 两边同除以2，得． 2．（25-26七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 3．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求解给定的三元一次方程组，得到的值，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 得 ， ， 得， 得 得， 把代入得， 整理得， 解得． 4．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】根据新定义可得方程组，利用加减消元法得到，，据此计算的值即可． 【详解】解： ，且，，所求为， ∴， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用加减消元法，将三元一次方程组逐步降元，先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再逐步求解即可得到结果． 【详解】解：， ∵得， 得，解得， 将代入①得，解得， 将代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 6．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知方程组，则 ______． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出，，即可解答； 【详解】解：， 得③， 得，化简得， 把代入①式，得，解得， ∴， 即． 7．（25-26六年级下·上海青浦·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得， ， 将代入①得， ， 方程组的解为； （2）解： 得， 得， 得， 得， 方程组的解为． 8．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用加减消元法解方程组，即可作答． （2）先把三元一次方程组化为二元一次方程组，再运用加减消元法解方程组，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴由得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴由得， 整理得， ∴ 由得， 解得， 把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得 ∴方程组的解为． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． (1)用这种方法解方程组 (2)方程组的解为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将①整体代入②，得，再把代入①，即可求解； （2）将①整体代入②，得，把代入得，再把代入①得：，即可求解． 【详解】（1）解：， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：， 将①整体代入②，得， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 10．（25-26六年级下·上海·期末）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【答案】 这个三角形的三边，，的长分别是12，9，15. 【分析】利用加减消元法即可求出方程组的解，得到三角形三边的长度． 【详解】解： ①②③，得， 整理得， ④②，得， ④③，得， ④①，得， 因此原方程组的解为， 故这个三角形的三边，，的长分别是12，9，15． 11．（25-26七年级下·福建泉州·期中）先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)购买支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需110元 【分析】本题考查加减消元法及实际应用，能够理解整体思想是解题的关键． （1）根据题目中的步骤运用整体思想，即可求解； （2）利用加减消元法将消掉即可得证； （3）根据实际信息列式求解即可． 【详解】（1）解： 得，， 则， 得，； （2）解： 得，， 则， 的值始终不变； （3）解：设购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本需元，由题意得： 得，， ， 答：购买支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需110元． 12．（25-26七年级下·福建福州·期中）母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 【答案】(1) 康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元. (2) 满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支. 【分析】（1）设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支，根据购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元，列出方程组进行求解即可； （2）根据购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），购买康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，购买鲜花的总费用为118.8元，列出三元一次方程组，得到，求解即可． 【详解】（1）解：设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支， 根据题意得， 解得， 答：康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元； （2）解：根据题意得， 消去c，并整理得，即， ∴， ∵为正整数，且， ∴或， 当时，， 当时，， 答：满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支． 13．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 【答案】(1) (2)购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元 【分析】（1）计算即可； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元，根据“购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元”得，求出，可知的值． 【详解】（1）解：， ，得， ∴． （2）解：设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元． 根据题意，得 ∴，得． ∴（元）． 答：购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $