3.5 认识二元一次方程（讲义） 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

第三章 一次方程（组） 05讲 认识二元一次方程 目录 【知识点1. 二元一次方程及其解 1】 【知识点2. 二元一次方程组及其解 3】 【题型1. 二元一次方程 4】 【题型2. 二元一次方程的解 5】 【题型3. 由二元一次方程的定义求参数 6】 【题型4. 已知二元一次方程的解求参数 7】 【题型5. 二元一次方程组 8】 【题型6. 二元一次方程组的解 10】 【课后作业 12】 知识清单 1、二元一次方程 像x+y=35,4x+2y=94这两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程。 2、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 巩固基础 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按整式方程、未知数个数、含未知数项的次数的顺序逐一筛选． 【详解】解：选项中， 的分母含未知数，不是整式方程，故不符合要求； 选项、中，与均只含1个未知数，且中含未知数的项的最高次数为2，故不符合要求； 选项中，是整式方程，含2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程定义． 2．若方程是关于x、y的二元一次方程，则a的值是（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， ∴， 解得． 3．下列四组数：①，②，③，④是方程的解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义，将各组未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可． 【详解】解：分别将四组的值代入验证： ①，是方程的解； ②，不是方程的解； ③，是方程的解； ④，是方程的解； 综上，共有3组是方程的解． 4．已知是方程的一个解，那么m的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】把方程的解代入原方程，得到关于字母的一元一次方程，求解得到的值，选出对应选项． 【详解】解：是方程的解， ， 解得 知识清单 3、二元一次方程组 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 4、二元一次方程组的解 一般地，对于未知数x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c1，c2）叫作这个方程组的一个解。 习惯上记作 ，求方程组的解的过程叫作解方程组。 巩固基础 1．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足三个条件：一共含两个未知数，二所有方程都是整式方程，三未知数的最高次数为1，逐一判断选项即可． 【详解】解： A 该方程组共含有，两个未知数，两个方程都是整式方程，未知数最高次数为1，符合二元一次方程组的定义，故A正确． B 该方程组含有，，三个未知数，属于三元一次方程组，不符合定义，故B错误． C 第二个方程不是整式方程，不符合定义，故C错误． D 方程中未知数的次数为2，不符合一次的要求，故D错误． 2．下列哪组数是方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解； 将各选项中的x和y值代入方程，验证是否满足等式． 【详解】解：A、将代入；则；故选项不符合题意； B、将代入；则；故选项不符合题意； C、将代入；则；故选项符合题意； D、将代入；则；故选项不符合题意； 故选：C 直击考点 题型1. 二元一次方程 【例1】下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断方程是否为整式方程，再依次根据未知数个数、含未知数项的次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A. 是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，属于二元一次方程； B. 不是整式方程，不属于二元一次方程； C. 含有3个未知数，不属于二元一次方程； D. 中含未知数的项的次数为2，不属于二元一次方程． 【变式1】若方程□是二元一次方程，则“□”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是二元一次方程，此项符合题意； B、中的次数为2，不是二元一次方程，此项不符合题意； C、是一元一次方程，此项不符合题意； D、是一元一次方程，此项不符合题意． 【变式2】下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程需满足三个条件：1方程是整式方程；2方程中只含有2个未知数；3含未知数的项的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项．中，项的次数是，不满足条件，故不符合题意； B选项．中，项的次数是，不满足条件，故不符合题意； C选项．不是整式方程，不满足条件，故不符合题意； D选项．满足所有条件，是二元一次方程，故符合题意． 题型2. 二元一次方程的解 【例1】下列各组数对中，是二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将选项中，的值代入原方程，若代入后左右两边相等，则该组数对是方程的解． 【详解】解：A、将代入得，左边，右边，，故不是方程的解； B、将代入得，左边，右边，，故不是方程的解； C、将代入得，左边，右边，左边右边，故是方程的解； D、将代入得，左边，右边，，故不是方程的解． 【变式1】下列是二元一次方程的一组解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项的，值代入原方程，验证等式是否成立即可得到结果． 【详解】解：A、将代入方程左边得，等式不成立，A不符合要求； B、将代入方程左边得，等式不成立，B不符合要求； C、将代入方程左边得方程右边，等式成立，C符合要求； D、将代入方程左边得，等式不成立，D不符合要求． 【变式2】写出二元一次方程的一组整数解：_________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先将原方程变形，再给取任意整数值，计算得到对应的整数值即可得到方程的一组整数解. 【详解】解：， ， 当时，， ∴是方程的一组整数解. （答案不唯一） 题型3. 由二元一次方程的定义求参数 【例1】方程是二元一次方程，则的值不可能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义判断的取值范围，即可得到答案． 【详解】∵ 二元一次方程中必须含有两个未知数，原方程是二元一次方程 ， ∴ 的系数 ， 因此的值不可能是， 故选B． 【变式1】若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由二元一次方程的定义可知，且，解出m和n的值，进而可求出． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴且， ∴，， ∴． 【变式2】若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是______． 【答案】1 【分析】根据二元一次方程的定义，可得，，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，，解得：． 【变式3】方程是关于x，y的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，可得未知项的次数都为，进而得到关于和的等式，求解得到和的值后，代入计算即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ，， 解得，， ． 题型4. 已知二元一次方程的解求参数 【例1】若是二元一次方程的一个解，则（     ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】∵是二元一次方程的一个解， ∴把，代入方程得：， 整理得， 解得． 【变式1】若是关于x、y的方程的解，则式子（     ） A．10 B．8 C．11 D．5 【答案】B 【分析】本题利用方程解的定义，将已知解代入原方程得到关于的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得 ， 又∵， ∴把代入得：原式． 【变式2】若方程的一个解是，则_____． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把，代入方程，得 解得． 【变式3】如果是方程的解，则________． 【答案】 【分析】将代入方程，解得，整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ． 题型5. 二元一次方程组 【例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程组中两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组是二元一次方程组，符合题意； C、方程组中方程中含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组中方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 【变式1】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、该方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故错误； B、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； C、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； D、该方程组共含有两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组定义，故正确； 【变式2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组即可． 【详解】解：二元一次方程组需满足：①有两个未知数；②每个方程都是整式方程且未知数的次数为. A、方程组含两个未知数和，且方程和均为一次方程，符合题意． B、方程中，为二次项，不符合一次方程条件，不符合题意； C．该方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程中，为分式，不符合一次方程条件，不符合题意； 故选：A． 题型6. 二元一次方程组的解 【例1】以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将给定的解代入各选项的方程组，能使两个方程左右两边都相等的方程组即为所求． 【详解】解：把依次代入各选项的方程组验证： A选项∵代入得，∴A不符合题意； B选项∵代入得，∴B不符合题意； C选项∵代入得，左右两边相等，代入得，左右两边相等，两个方程都成立，∴C符合题意； D选项∵代入得，∴D不符合题意． 【变式1】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【变式2】已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 课后作业 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程，根据二元一次方程的定义逐一验证选项即可． 【详解】解：对于选项A：“”项的次数为，不符合二元一次方程的定义，故A错误； 对于选项B：“”项的次数为，不符合二元一次方程的定义，故B错误； 对于选项C：符合二元一次方程的定义，故C正确； 对于选项D：是分式，不符合二元一次方程的定义，故D错误． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 即， 解得． 3．（25-26六年级下·上海青浦·期末）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项方程组共含三个未知数，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意． 4．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入各选项验证， 代入A选项的两个方程： ，与方程右边相等，成立； ，与方程右边相等，成立，符合题意； 代入B选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入C选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入D选项的，得，方程不成立，不符合题意． 5．（25-26七年级下·海南·期末）若是方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知方程的解代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 6．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列式子中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是等式，不属于方程，故A错误； B、中项的次数为，不是二元一次方程，故B错误； C、中是常数，方程只含有1个未知数，是一元一次方程，不是二元一次方程，故C错误； D、满足“含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1的整式方程”，是二元一次方程，故D正确． 7．（25-26七年级下·吉林白山·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：把代入得：， ∴． 8．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）下表是当x取不同值时对应整式（a，b为常数）的值，则表中m的值为（     ） x 0 1 3 3 2 1 m A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据表格给出的x与对应整式的值，用代入法先求出常数和，再计算时整式的值，即可得到． 【详解】解：当时，，代入得， 当时，，代入得，解得 ， 当时，，代入， 得． 9．（25-26七年级下·山东日照·期末）已知方程是关于，的二元一次方程，的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴未知数的次数满足，且的系数， ∴，且， ∴． 10．（25-26七年级下·河南信阳·期中）已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是利用整体思想代入求解，将已知的方程的解代入原方程，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入二元一次方程中， ∴， ∴； ∴． 11．（25-26七年级下·山东临沂·期中）若 是关于的二元一次方程，则_____ 【答案】/ 【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于的一元一次方程，求解得到的值，再计算即可． 【详解】 是关于，的二元一次方程， 根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数均为， 可得 ，解得 ∴． 12．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是方程的解，则的值为______． 【答案】 2026 【分析】将已知的方程解代入原方程，得到与的关系式，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：由题意知，， 即， ∴ ． 13．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知是二元一次方程的解，则的值为___________ 【答案】7 【分析】把代入二元一次方程可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， 解得：． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次方程（组） 05讲 认识二元一次方程 目录 【知识点1. 二元一次方程及其解 1】 【知识点2. 二元一次方程组及其解 2】 【题型1. 二元一次方程 2】 【题型2. 二元一次方程的解 3】 【题型3. 由二元一次方程的定义求参数 3】 【题型4. 已知二元一次方程的解求参数 3】 【题型5. 二元一次方程组 4】 【题型6. 二元一次方程组的解 4】 【课后作业 5】 知识清单 1、二元一次方程 像x+y=35,4x+2y=94这两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程。 2、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 巩固基础 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程是关于x、y的二元一次方程，则a的值是（） A．3 B．2 C．1 D．0 3．下列四组数：①，②，③，④是方程的解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知是方程的一个解，那么m的值为（     ） A． B．2 C． D．3 知识清单 3、二元一次方程组 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 4、二元一次方程组的解 一般地，对于未知数x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c1，c2）叫作这个方程组的一个解。 习惯上记作 ，求方程组的解的过程叫作解方程组。 巩固基础 1．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列哪组数是方程的解（　　） A． B． C． D． 直击考点 题型1. 二元一次方程 【例1】下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】若方程□是二元一次方程，则“□”可以是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型2. 二元一次方程的解 【例1】下列各组数对中，是二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列是二元一次方程的一组解的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】写出二元一次方程的一组整数解：_________________． 题型3. 由二元一次方程的定义求参数 【例1】方程是二元一次方程，则的值不可能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1】若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是______． 【变式3】方程是关于x，y的二元一次方程，则的值为______． 题型4. 已知二元一次方程的解求参数 【例1】若是二元一次方程的一个解，则（     ） A．6 B．4 C．2 D．1 【变式1】若是关于x、y的方程的解，则式子（     ） A．10 B．8 C．11 D．5 【变式2】若方程的一个解是，则_____． 【变式3】如果是方程的解，则________． 题型5. 二元一次方程组 【例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型6. 二元一次方程组的解 【例1】以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 【变式1】若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 课后作业 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26六年级下·上海青浦·期末）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·海南·期末）若是方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列式子中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·吉林白山·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．0 B．2 C．6 D．8 8．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）下表是当x取不同值时对应整式（a，b为常数）的值，则表中m的值为（     ） x 0 1 3 3 2 1 m A．0 B． C． D． 9．（25-26七年级下·山东日照·期末）已知方程是关于，的二元一次方程，的值为__________． 10．（25-26七年级下·河南信阳·期中）已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 11．（25-26七年级下·山东临沂·期中）若 是关于的二元一次方程，则_____ 12．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是方程的解，则的值为______． 13．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知是二元一次方程的解，则的值为___________ 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $