1.1 一元二次方程的概念课件-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章　一元二次方程 1.1　一元二次方程的概念 学习目标 1.理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方程.(重点) 2.会将一元二次方程化为一般形式，知道各项及其系数.(重点、难点) 3.能够从实际问题中抽象出一元二次方程，进一步感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.(重点) 情境引入 1.正方形桌面的面积是2 m2，设正方形桌面的边长为x m，可以列出方程为　　　　　　. 2.正方体的表面积是150 cm2，设正方体的棱长为a cm，列出满足题意的方程为　　　　　　. 3.某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，若设平均每年增长的百分率为x，则根据题意所列方程为　　　　　. 4.剪一块面积为150 cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5 cm，这块铁皮该怎么剪呢？设铁皮的宽为x cm，则铁皮的长为　 cm.根据题意，可得方程　　　　　　　. 5.矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度为19 m，花圃的面积为24 m2.设花圃垂直于墙的一边长是x m则花圃平行于墙的一边长是　　　　　m，可以列出方程为　　　　　　. 一、 一元二次方程的概念 知识梳理 等号两边都是整式，且只含有 未知数，未知数的最高次数是 的方程叫作 方程.一元二次方程的 通常也称为一元二次方程的 . 一个 2 一元二次 解 根 例1　判断下列方程是否为一元二次方程. (1)10x2=9；(2)2(x-1)=3x；(3)2x2-3x-1=0；(4)-=0. 解　(1)10x2=9，是一元二次方程. (2)2(x-1)=3x，不是一元二次方程. (3)2x2-3x-1=0，是一元二次方程. (4)-=0，不是整式方程，不是一元二次方程. 反思感悟 一元二次方程必须同时满足的条件：①原方程是整式方程；②化简后只含有一个未知数；③化简后未知数的最高次数是2. 跟踪训练1　判断下列方程哪些是一元二次方程. (1)x2+6=3x；(2)x-=0；(3)4x2-y=1；(4)-x2=0；(5)x(5x-1)=x(x+3)+4x2. 解　(1)x2+6=3x，是一元二次方程. (2)x-=0，不是一元二次方程. (3)4x2-y=1，不是一元二次方程. (4)-x2=0，是一元二次方程. (5)x(5x-1)=x(x+3)+4x2化简为4x=0，该方程为一元一次方程，不是一元二次方程. 故一元二次方程为(1)(4). 例2　若关于x的方程(2-a)+bx+c=0是一元二次方程，则a+3=　　　. 解析　∵(2-a)+bx+c=0是一元二次方程， ∴2-a≠0，a2-2=2， 解得a=-2. ∴a+3=1. 1 跟踪训练2　若关于x的方程(m-2)x|m|-3x-2=0是一元二次方程，求m的值. 解　∵方程(m-2)x|m|-3x-2=0是一元二次方程， ∴|m|=2且m-2≠0，解得m=-2. 二、 一元二次方程的一般形式 知识梳理 关于x的一元二次方程的一般形式是 (a，b，c为常数，a≠0).其中，ax2，bx，c分别叫作 、 和 ，a，b分别叫作 项系数、 项系数.例如，方程x(19-2x)=24可以化为一般形式 ，二次项系数、一次项系数、常数项分别为 . ax2+bx+c=0 二次项 一次项 常数项 二次 一次 -2x2+19x-24=0 -2，19，-24 例3　把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 (3x+1)2-2x=0         3x2-2x=x2+1         9x2+4x+1=0 2x2-2x-1=0 9 4 1 2 -2 -1 反思感悟 确定一元二次方程各项及其系数的“两点注意”： (1)一定要先把方程化为一元二次方程的一般形式； (2)确定各项及其系数时，不能忽略前面的符号. 跟踪训练3　将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项. (1)3x2=5x-1；(2)(x-3)2=x+3；(3)(2x-1)(x+5)=6x. 解　(1)整理，得3x2-5x+1=0， 故二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为1. (2)整理，得x2-7x+6=0， 故二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为6. (3)整理，得2x2+3x-5=0， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5. 三、 一元二次方程的简单应用 例4　(课本P5例题)如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m.设梯子顶端到地面的距离为x m，列出相应的方程. 解　梯子与墙面、地面围成一个直角三角形. 根据题意，得x2＋(x＋1)2＝52. 化简，得所求方程为x2＋x－12＝0. 跟踪训练4　用方程描述下列问题中的数量关系： (1)如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1 cm 的正方形孔.已知正方形面积是圆面积的.设圆的半径为x cm，可得方程　　　　； (2)某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14 400台提高到16 900台，设平均每年增长的百分率为x，可得方程　　 　　　　. πx2=9 14 400(1+x)2=16 900 例5　 (课本P6习题第3题)判断下列x的值是否为相应一元二次方程的根： (1)x1=2，x2=-2，方程x2-4=0； 解　方程x2-4=0， 当x1=2时，代入得22-4=4-4=0，成立； 当x2=-2时，代入得(-2)2-4=4-4=0，成立. 故x1=2，x2=-2均为方程x2-4=0的根. 例5　 (课本P6习题第3题)判断下列x的值是否为相应一元二次方程的根： (2)x=-1，方程x2+2x+1=0； 解　方程x2+2x+1=0， 当x=-1时，代入得(-1)2+2×(-1)+1=1-2+1=0，成立. 故x=-1是方程x2+2x+1=0的根. 例5　 (课本P6习题第3题)判断下列x的值是否为相应一元二次方程的根： (3)x1=2，x2=3，方程x2-3x+2=0. 解　方程x2-3x+2=0， 当x1=2时，代入得22-3×2+2=4-6+2=0，成立； 当x2=3时，代入得32-3×3+2=9-9+2=2≠0，不成立. 故x1=2是方程x2-3x+2=0的根，x2=3不是方程x2-3x+2=0的根. 跟踪训练5　已知一元二次方程ax2+bx+c=0，a，b，c满足4a+2b+c=0，4a-2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根为 A.x1=1，x2=2 B.x1=-1，x2=-2 C.x1=1，x2=-1 D.x1=2，x2=-2 解析　∵一元二次方程ax2+bx+c=0， a，b，c满足4a+2b+c=0，4a-2b+c=0， 即a×22+b×2+c=0，a×(-2)2+b×(-2)+c=0， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=-2. √ 课堂小结 1.下列方程是一元二次方程的是 A.x3+2x+1=0 B.x2=5 C.x2+5x-1=x2+2 D.3x-2=0 √ 随堂演练 随堂演练 解析　∵选项A中x3+2x+1=0的未知数最高次数为3， ∴A不是一元二次方程； ∵选项B中x2=5满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴B是一元二次方程； ∵选项C中整理方程x2+5x-1=x2+2得5x-3=0，未知数最高次数为1， ∴C不是一元二次方程； ∵选项D中3x-2=0的未知数最高次数为1， ∴D不是一元二次方程. 2.将一元二次方程x(x-3)=4化成一般形式正确的是 A.x2-3x-4=0 B.x2+3x+4=0 C.x2-3x+4=0 D.x2+3x-4=0 随堂演练 解析　∵x(x-3)=4， 整理，得x2-3x-4=0， ∴一般形式为x2-3x-4=0. √ 3.已知关于x的一元二次方程(m2-1)x2+x+m=0，则m的取值范围是 A.m≠0 B.m≠1 C.m≠1或m≠-1 D.m≠1且m≠-1 随堂演练 解析　由方程(m2-1)x2+x+m=0是一元二次方程， 得m2-1≠0， 解得m≠1且m≠-1. √ 随堂演练 4.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2 026，则一元二次方程a(x-1)2+bx+2=b必有一根为 A.2 025 B.2 026 C.2 027 D.2 028 √ 随堂演练 解析　∵a(x-1)2+bx+2=b， ∴a(x-1)2+bx-b+2=0， ∴a(x-1)2+b(x-1)+2=0， 令t=x-1，∴方程变为at2+bt+2=0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2 026， ∴at2+bt+2=0必有一根为t=2 026，将t=2 026代入t=x-1， ∴x-1=2 026，解得x=2 027. ∴一元二次方程a(x-1)2+bx+2=b必有一根为x=2 027. 5.一元二次方程2x2-x=3化为一般形式后的二次项系数为　　　，一次项系数为　　　　，常数项为　　　　. 随堂演练 解析　由方程2x2-x=3，移项得2x2-x-3=0， 因此二次项系数为2，一次项系数为-1，常数项为-3. 2 -1 -3 6.已知x=a是一元二次方程x2-2x-4=0的一个根，则代数式a2-2a+2 026的值为　　　　　. 随堂演练 解析　∵x=a是一元二次方程x2-2x-4=0的一个根， ∴a2-2a-4=0， ∴a2-2a=4， ∴a2-2a+2 026=4+2 026=2 030. 2 030 7.交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同.设该品牌头盔销售量的月增长率为x，列出相应的方程. 随堂演练 解　九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同， ∴300(1+x)2=507. 迁移拓展 1.一张面积是240 cm2的长方形彩纸，长比宽多8 cm，设它的宽为x cm，可得方程　　　　　　　. x(x+8)=240 迁移拓展 2.如果两个连续奇数的积是323，求这两个数，设其中一个奇数为x，请你列出方程　　　　 　　　. 解析　设其中一个奇数为x， 当这个奇数为较大的奇数时，根据题意可列方程为x(x-2)=323； 当这个奇数为较小的奇数时，根据题意可列方程为x(x+2)=323. x(x+2)=323或x(x-2)=323 迁移拓展 3.在方程①2x2-3=0；②=1；③y-y2+1=0；④ay+2y+1=0；⑤(x-1)(x-2)=x2-5；⑥x2-x=0中，一定是一元二次方程的是　　　　　.(填序号) ①③⑥ 迁移拓展 4.如果(a-1)x2+ax+a2-1=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是　　　　. 解析　根据题意得，a-1≠0， 解得a≠1. a≠1 迁移拓展 5.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为　　　. 解析　把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0得m+n=-1， 所以m2+2mn+n2=(m+n)2=(-1)2=1. 1 迁移拓展 6.已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根，求代数式(m2-m)的值. 解　∵m是方程x2-x-2=0的一个实数根， ∴m2-m-2=0，显然m≠0，两边同时除以m， 得m-1-=0， ∴m2-m=2，m-=1， ∴(m2-m)=2×(1+2 026)=4 054. 迁移拓展 7.根据下列问题设未知数，列一元二次方程，并将方程化为一般形式. (1)三个连续奇数的平方和是251，求这三个数； 解　设这三个连续奇数分别为2x-1，2x+1，2x+3， 根据题意得(2x-1)2+(2x+1)2+(2x+3)2=251， 将方程化为一般形式为x2+x-20=0. 迁移拓展 7.根据下列问题设未知数，列一元二次方程，并将方程化为一般形式. (2)一块长方形花坛，长20 m，宽8 m，在它的四周有等宽的鹅卵石路，形成一个大长方形，其面积是花坛面积的1.8倍，求路的宽度； 解　设路的宽度为x m， 根据题意得(20+2x)(8+2x)=20×8×1.8， 将方程化为一般形式为x2+14x-32=0. 迁移拓展 7.根据下列问题设未知数，列一元二次方程，并将方程化为一般形式. (3)用一根长30 cm的铁丝折成一个斜边长13 cm的直角三角形，求这个三角形的直角边长. 解　设这个直角三角形其中一条直角边长为x cm，另一条直角边的长为(30-13-x)cm. 根据题意得x2+(30-13-x)2=132， 将方程化为一般形式为x2-17x+60=0. 谢谢观看 THANKS $