1.2　一元二次方程的解法第6课时课件2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章　1.2　一元二次方程的解法 第6课时　一元二次方程根的判别式 2026-2027学年苏科版数学九年级上册 学习目标 1.理解一元二次方程根的判别式的意义，会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.(重点) 2.能利用根的判别式求相应字母的值或取值范围.(难点) 课堂引入 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac的大小来判定： (1)当b2-4ac>0时，方程有　　　的实数根，是　　　； (2)当b2-4ac=0时，方程有　　　的实数根，是　　　； (3)当b2-4ac<0时，方程　　　　实数根. 2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则　　　　. 一、 用根的判别式判断一元二次方程的根的情况 问题　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，可以变形为= .因为4a2>0，所以这个方程是否有解取决于哪个条件？ 提示　取决于b2-4ac. 知识梳理 式子 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的 .通常用希腊字母“Δ”表示.即 . 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况： 当 时，有 的实数根； 当 时，有 的实数根； 当 时， 实数根. b2-4ac 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 两个不相等 两个相等 没有 例1　(课本P17例7)不解方程，判别下列方程根的情况. (1)2x2+3x-4=0；(2)16y2+9=24y；(3)5(x2+1)-7x=0. 解　(1)由a=2，b=3，c=-4，Δ=32-4×2×(-4)=41>0， 可得原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可变形为16y2-24y+9=0. 由a=16，b=-24，c=9，Δ=(-24)2-4×16×9=0， 可得原方程有两个相等的实数根. (3)原方程可变形为5x2-7x+5=0. 由a=5，b=-7，c=5，Δ=(-7)2-4×5×5=-51<0， 可得原方程没有实数根. 反思感悟 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的步骤与方法： 步骤 方法 一化 化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0) 二定 确定系数a，b，c的值(注意符号) 三算 求出b2-4ac的值 四判 判断根的情况 跟踪训练1　(课本P18练习第1题)不解方程，判别下列方程根的情况： (1)x2+3x-1=0；(2)x2-6x+5=0；(3)2y2-3y+4=0；(4)x2+5=2x. 解　(1)由a=1，b=3，c=-1，Δ=32-4×1×(-1)=13>0， 可得原方程有两个不相等的实数根. (2)由a=1，b=-6，c=5，Δ=(-6)2-4×1×5=16>0， 可得原方程有两个不相等的实数根. (3)由a=2，b=-3，c=4，Δ=(-3)2-4×2×4=-23<0， 可得原方程没有实数根. (4)原方程可变形为x2-2x+5=0， 由a=1，b=-2，c=5，Δ=(-2)2-4×1×5=0， 可得原方程有两个相等的实数根. 例2　判别关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的实数根的情况. 解　由a=1，b=k，c=k-1，Δ=k2-4×1×(k-1)=k2-4k+4=(k-2)2≥0， 可得关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0总有两个实数根. 跟踪训练2　已知关于x的方程x2+(k+1)x+k-2=0.求证：不论k取何实数，此方程都有两个不相等的实数根. 证明　由a=1，b=k+1，c=k-2， 得Δ=(k+1)2-4(k-2)=k2-2k+9=(k-1)2+8， ∵(k-1)2≥0， ∴(k-1)2+8>0，即Δ>0， ∴不论k取何实数，方程必有两个不相等的实数根. 二、 利用根的判别式求相应字母的值或取值范围 例3　当k取什么值时，关于x的方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根？并求出此时方程的根. 解　∵关于x的方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根， ∴Δ=[-(k+2)]2-4×4×(k-1)=k2-12k+20=0， 解得k1=2，k2=10. ∴当k=2或10时，关于x的方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根. 当k=2时，原方程为4x2-4x+1=0， 即(2x-1)2=0，解得x1=x2=； 当k=10时，原方程为4x2-12x+9=0， 即(2x-3)2=0，解得x1=x2=. 跟踪训练3　已知关于x的方程(1-k)x2-2x-1=0有实数根，求k的取值范围. 解　当方程为一元二次方程时，1-k≠0，即k≠1， ∵方程有实数根， ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×(1-k)×(-1)≥0， 化简得4+4(1-k)≥0，解得k≤2， 即此时k≤2且k≠1； 当方程是一元一次方程时， 1-k=0，即k=1，方程为-2x-1=0， 解得x=-，方程有实数根，符合题意， 综上，k的取值范围是k≤2. 课堂小结 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况： 当Δ>0时，有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，有两个相等的实数根； 当Δ<0时，没有实数根. 随堂演练 1.关于x的一元二次方程x2+5x-2=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 解析　对于一元二次方程x2+5x-2=0，a=1，b=5，c=-2. ∴Δ=b2-4ac=52-4×1×(-2)=25+8=33>0， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根. √ 随堂演练 2.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析　∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根， ∴Δ=(-2)2-4×1×m=4-4m=0， 解得m=1. √ 随堂演练 3.已知方程x2-2x-3=0，下列说法正确的是 ①该方程没有实数根；②x=-1是该方程的一个根；③该方程的两个实数根的积为-3 A.只有① B.只有② C.只有③ D.②③ √ 随堂演练 解析　原方程为x2-2x-3=0，其中a=1，b=-2，c=-3. 判断①：∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16>0， ∴方程有两个不相等的实数根，①说法错误； 判断②：将x=-1代入方程左边，得(-1)2-2×(-1)-3=0=方程右边， ∴x=-1是该方程的一个根，②说法正确； 判断③：将原方程因式分解得(x-3)(x+1)=0， 解得x1=3，x2=-1，两根的积为3×(-1)=-3， ∴③说法正确. 综上，②③正确. 随堂演练 4.一元二次方程2x2-3x+1=0根的判别式的值为　　　. 解析　∵2x2-3x+1=0中a=2，b=-3，c=1， ∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1. 1 随堂演练 5.已知关于x的方程x2+mx-1=0，判断该方程的根的情况是　 　 　　. 解析　∵x2+mx-1=0， ∴Δ=m2-4×1×(-1)=m2+4>0， ∴该方程有两个不相等的实数根. 有两个不相等的实数根 随堂演练 6.若关于x的方程(x-1)2=k没有实数根，则k的取值范围为　　　. 解析　(x-1)2=k， x2-2x+1-k=0， ∵关于x的方程(x-1)2=k没有实数根， ∴Δ=(-2)2-4(1-k)<0， 解得k<0. k<0 随堂演练 7.不解方程，判别下列关于x的一元二次方程根的情况： (1)5x2-4x+2=0. 解　∵a=5，b=-4，c=2， Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×2=-24<0. ∴原方程没有实数根. 随堂演练 7.不解方程，判别下列关于x的一元二次方程根的情况： (2)6x+5=7x2. 解　原方程可化为7x2-6x-5=0. ∵a=7，b=-6，c=-5， Δ=b2-4ac=(-6)2-4×7×(-5)=176>0. ∴原方程有两个不相等的实数根. 随堂演练 7.不解方程，判别下列关于x的一元二次方程根的情况： (3)4x2+4x+10=1-8x. 解　原方程可化为4x2+12x+9=0. ∵a=4，b=12，c=9， Δ=b2-4ac=122-4×4×9=0. ∴原方程有两个相等的实数根. 迁移拓展 1.已知：关于x的一元二次方程x2-(2m+2)x+m2-3=0. (1)若此方程有实根，求m的取值范围； (2)在(1)的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根. 解　(1)∵一元二次方程x2-(2m+2)x+m2-3=0有实根， ∴Δ=(2m+2)2-4(m2-3)=8m+16≥0， 解得m≥-2. (2)m满足条件的最小整数值为m=-2， 此时方程为x2+2x+1=0， 解得x1=x2=-1. 迁移拓展 2.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-(k-1)x+=0有两个相等的实数根，求k的值. 解　∵关于x的一元二次方程(k-1)x2-(k-1)x+=0有两个相等的实数根， ∴ 解得k=2， ∴k的值为2. 迁移拓展 3.阅读下列材料，完成相应任务： 我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于x的一元二次方程x2+px+q=0，还可以利用下面的方法求解. 将方程整理，得x(x+p)=-q， 第1步 变形，得=-q， 第2步 ∴-=-q， 第3步 ∴=-q， 迁移拓展 即=， 第4步 当p2-4q≥0时， x+=±， 第5步 ∴x1=， x2=， 第6步 当p2-4q<0时，该方程无实数解. 第7步 迁移拓展 学习任务： (1)上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是　　　　；第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是　　　　； 解　上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是平方差公式； 第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是转化. 迁移拓展 (2)请用材料中提供的方法，解下列方程：2x2+6x-3=0. 解　2x2+6x-3=0， 整理，得x(x+3)=， 变形，得=， ∴-=， ∴=， ∴x+=±，解得x1=，x2=. 谢谢观看 THANKS $