3.3 指数函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

指数函数　概念·图象·性质 精品讲义·教师解析版 北师大版（2019）·必修第一册·第三章　指数运算与指数函数　｜　课型：新授＋一轮巩固　｜　建议课时：2 课时 内容导航：学习目标｜核心概念与定义｜典型例题与解析｜易错点与解题方法归纳｜分层练习 第一部分　学习目标 指数函数是高中阶段第一个「底数为常数、指数为自变量」的基本初等函数，也是刻画增长率与衰减率的通用模型。本讲按「概念—图象—性质—应用」四步推进，先立定义，再读图象，后练运算与建模。 ▶ 一、课标要求 1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的图象与性质（定义域、值域、定点、单调性）。 2．能借助图象理解指数函数的单调性与底数的关系，会比较幂值大小、解简单指数不等式。 3．能用指数函数刻画增长率、衰减率等实际问题的变化规律，体会函数模型的作用。 ▶ 二、学习目标（可检测） 1．说出指数函数的三条结构特征，判断给定函数是否为指数函数。 2．画出 与 两类图象，写出定义域、值域、定点与单调性。 3．用单调性比较两个幂值的大小；按底数与 1 的大小关系分类，解指数不等式。 4．用换元把指数型复合函数化为二次函数求值域，并说明换元后 的取值范围从何而来。 ▶ 三、考查落点 落点 常见设问 难度 概念辨析 判断 、、 是否为指数函数 易 图象与定点 求 恒过的定点，判断图象所在象限 易 比较大小 同底、同指、异底异指三类幂值的排序 中 解不等式 的求解与含参分类 中 复合函数 求 的单调区间与值域 中难 实际应用 增长率、半衰期模型，解后取整 中 ▶ 四、备考提示 本讲的失分不在难题，而在三处基本功：一是把「指数函数」与「指数型函数」混为一谈；二是 时比较大小忘记反向；三是换元后不写 ，值域取到了取不到的那一段。三处都在第一轮就该固化，后两轮只做复用。 第二部分　核心概念与定义 先补指数的运算，再立指数函数的定义。次序不能颠倒：定义里的 对一切实数 有意义，靠的正是指数幂已经扩充到实数集。 ▶ 一、指数幂的扩充 （1）正整数指数幂：（）。 （2）零指数幂与负整数指数幂：（），（，）。 （3）分数指数幂：（，，）。 （4）无理指数幂：（， 为无理数）由有理指数幂逼近定义，运算法则保持不变。 三条运算法则（，，）：；；。 注意：　底数为正，是分数指数幂与无理指数幂有意义的前提。 的正分数指数幂为 ， 的零指数幂与负指数幂无意义；（ 为奇数），（ 为偶数），偶次根开方不可直接约去指数。 ▶ 二、指数函数的概念 定义：　形如 （ 且 ）的函数叫作指数函数，其中 是自变量，定义域为 ，值域为 。 三条结构特征（缺一不可）：　其一，系数为 ；其二，指数是 本身，不含 的其它运算；其三，底数是大于 且不等于 的常数。三条中任一条不满足，都只是「指数型函数」，不是指数函数。 为什么限制 且 ：　 时， 对 这类值无意义； 时， 对 无意义； 时， 是常函数，没有单调性可言。三条限制，都是为了让 在全实数集上有定义且单调。 ▶ 三、图象与性质 性质 定义域 值域 定点 过点 过点 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 函数值 时 ； 时 时 ； 时 渐近线 轴（） 轴（） 图象位置 在 轴上方， 越大， 轴右侧图象越高 在 轴上方， 越小， 轴右侧图象越低 ▶ 四、必记结论 1． 与 的图象关于 轴对称。 2．底数与图象位置：在 轴右侧，图象自下而上对应的底数由小到大；在 轴左侧恰好相反。 3． 的图象由 向右平移 个单位、向上平移 个单位得到，恒过定点 。 4．复合函数 的单调性「同增异减」： 时与 同增同减； 时与 增减相反。 5．比较大小的三条路：同底用单调性；同指用图象（或作商）；异底异指插入中间量 。 ▶ 五、方法归纳 方法 何时用 关键一步 图象法 判断定点、象限、底数大小 先定渐近线，再看与 轴的交点 单调性法 比较大小、解不等式 先写底数与 的大小关系 中间量法 异底异指的幂值比大小 插入 （或 ），分成两组 换元法 指数型复合函数求值域 令 ，写出 的确切范围 分类讨论 底数含参、单调性不定 以 与 为分类标准 第三部分　典型例题与解析 五个考点，各配一道典例与两道变式。每道的【分析】回答「怎么想到」，【详解】回答「怎么写」，【点睛】回答「哪一步最容易错」。 ▶ 考点01　指数幂的运算与化简 【方法技巧】　先把小数、带分数化成底数相同的幂，根式一律写成分数指数幂，再按「同底相乘除、幂的乘方」合并；偶次根号开方先取绝对值，不先约指数。 【典例1-1】计算 。 【答案】 【分析】四项分别化成 、常数、、 的幂，逐项求值再合并；第四项是偶次根式，先取绝对值。 ，故 ； ； ； （偶次根开方取绝对值，不是 ）。 故原式 。 【点睛】负指数先取倒数、再开方；偶次根号下是偶次方，开出来必为非负数。两处任意一处出错，结果都会差一个符号或差一倍。 【变式1-1】化简 （，）。 【答案】 【分析】根式写成分数指数幂，同底相除化减指数。 原式 。 【点睛】同底相除是指数相减，减负指数等于加；这一步在含分母的化简里最常算错。 【变式1-2】已知 ，求 、、 的值。 【答案】；； 【分析】三个待求式都是「和」，把已知式平方、立方即可，注意每次平方都产生一个常数项。 ，故 ； ，故 ； ，即 ，故 。 【点睛】平方一次多出常数 ，立方一次多出 倍的原式；套公式前先把「多出来的项」写清楚，比硬算更稳。 ▶ 考点02　指数函数的图象与定点 【方法技巧】　定点只看「指数为零」的那一点：令指数为 求出 ，此时幂值为 ，纵坐标即为 加平移量。平移按「左加右减、上加下减」，先定渐近线，再定图象所在象限。 【典例2-1】函数 （，）的图象恒过定点 。（1）求点 的坐标；（2）若点 在直线 （，）上，求 的最小值。 【答案】（1）；（2）最小值为 【分析】（1）令 ，幂值恒为 ，与 取何值无关；（2）把 代入得 ，用「 的代换」把待求式配成积的形式，再用基本不等式。 （1）令 ，得 ，此时 ，故图象恒过定点 。 （2）由 在直线上得 。于是 由基本不等式 ，得 。 等号当且仅当 时成立，结合 解得 ，故最小值为 。 【点睛】「 的代换」的前提是已知式等于 ；把待求式乘以这个 ，才能凑出积为定值的两项。 【变式2-1】函数 的单调递减区间是＿＿＿＿，值域是＿＿＿＿。 【答案】； 【分析】先化内层 的分段形式，再看外层 的单调性。 在 上递减，在 上递增；外层 在 上递增。 由「同增异减」， 在 上递减，在 上递增； 又 ，故 ，值域为 。 【点睛】含绝对值的指数型函数，先分段、再合成，两步都写出来，就不会把区间方向弄反。 【变式2-2】若函数 在 上的最大值与最小值之差为 ，求 的值。 【答案】 或 【分析】底数未定，单调性未定，须按 与 分两种情形。 当 时， 递增，最大值 、最小值 ，由 得 ； 当 时， 递减，最大值 、最小值 ，由 得 。 故 或 。 【点睛】底数含参，第一句先写分类标准，再动笔；只答一支，是最常见的漏解。 ▶ 考点03　比较大小与解指数不等式 【方法技巧】　多数幂值排序，先按「大于 / 小于 」分成两组，组内再看底数与指数；同底用单调性，同指看图象，异底异指插入中间量 。解 ，先化同底，再按 同向、 反向去底。 【典例3-1】（1）用「」把 、、、、 连接起来；（2）解关于 的不等式 （，）。 【答案】（1）；（2） 时 ， 时 【分析】（1）先分组：， 的两个负指数幂略大于 ， 的两个幂远大于 ；（2）底数含参，按 与 的大小分类。 （1）， 递增，故 ，且两者都大于 ； ， 递减，而 ，故 ，且两者都大于 ； 。故 。 （2）当 时， 递增，原不等式等价于 ，解得 ； 当 时， 递减，原不等式等价于 ，解得 。 【点睛】负指数不是「小于 」的信号：。判断大小先落在 的哪一侧，再比同一侧的两个数。 【变式3-1】解不等式 。 【答案】 【分析】先把右边的底数化成 ，再用 的单调性去底。 ，原不等式化为 ； 在 上递增，故 ，即 ； 方程 的两根为 ，故解集为 。 【点睛】化同底时， 这一步要写出来；直接去底会漏掉负号。 【变式3-2】设 ，解关于 的不等式 。 【答案】 【分析】底数已限定在 内，递减，去底时不等号反向。 由 ， 递减，故原不等式等价于 ； 整理得 ，即 ，解得 ，解集为 。 【点睛】题目给出 时，「反向」是先写下来的第一句，不是最后再补的判断。 ▶ 考点04　指数型复合函数的单调性与值域 【方法技巧】　三步走：令 ，先按 的范围写出 的取值范围；再把原函数写成 的二次式并配方；最后在 的可行区间上求值域，按 与 的增减关系回推单调区间。 【典例4-1】求 在 上的值域与单调区间。 【答案】值域为 ；单调递减区间为 ，单调递增区间为 【分析】令 ，则 ，原函数化为 的二次函数，先定 的范围再配方。 令 。因 在 上递减，当 时 。 ，对称轴 落在区间内，故最小值为 。 又 （即 ）时 ，（即 ）时 ，故最大值为 ，值域为 。 当 时，： 随 增大而增大，而 随 增大而减小，故 随 增大而减小，递减区间为 ； 当 时，： 随 增大而减小， 随 增大而减小，故 随 增大而增大，递增区间为 。 【点睛】值域必须在 的区间上求，不能回到 ；单调区间要在 上回答，不能答成 的区间。两个「不能」是本考点的全部失分。 【变式4-1】求函数 在 上的值域。 【答案】 【分析】令 ，注意 ，原函数化为 的二次函数。 令 ，当 时 ，且 。 当 （即 ）时取最小值 ；当 （即 ）时取最大值 。 故值域为 。 【点睛】 要写成 而不是 ——指数加 是乘 ，这一步错，整题皆错。 【变式4-2】求函数 （，）的单调区间。 【答案】 时，递减区间为 ，递增区间为 ； 时相反 【分析】内层 的单调性确定，外层按底数分类，再合成。 内层 在 上递减，在 上递增。 当 时，外层递增，由「同增异减」， 在 上递减，在 上递增； 当 时，外层递减，结论相反： 在 上递增，在 上递减。 【点睛】内外层分别写、再合成，是本考点的标准写法；只写「同增异减」四个字，阅卷时无法给分。 ▶ 考点05　指数函数的实际应用 【方法技巧】　先定模型：连续增长用 ，连续衰减用 ，半衰期用 。把「翻一番」「低于一半」翻译成指数不等式，解出后按题意取整；取整方向由「至少」向上、「至多」向下决定。 【典例5-1】某药物在血液中的质量浓度按 （ 的单位：小时）衰减。服药后至少经过多少小时，浓度低于初始浓度的 ？（参考数据：） 【答案】 小时 【分析】把「低于 」写成指数不等式，两边取以 为底的对数，再用参考数据定界。 由 得 ，即 。 两边取以 为底的对数，得 ，故 。 检验： 时 ，浓度仍高于初始的 ； 时 ，且 ，满足要求。故至少 小时。 【点睛】「至少」要取不小于解的最小整数，且必须回代检验临界整数；只写 便答 小时，是应用题最常见的失分。 【变式5-1】某放射性物质每经过 年剩余量为上一年的 。至少经过多少年，剩余量不足原来的一半？（参考数据：，） 【答案】 年 【分析】模型为 ，「不足一半」即 ，两边取常用对数。 设经过 年，剩余量为原来的 ，由 得 。 因 ，两边同除以它时不等号反向：，故 。 检验：，，故至少 年。 【点睛】两边同除以一个负数，不等号必须反向；这一步与「 时去底反向」是同一个道理。 【变式5-2】某企业年产值增长率为 。至少经过多少年，年产值可以翻一番？（参考数据：，） 【答案】 年 【分析】模型为 ，「翻一番」即 ，直接用参考数据试算。 由 ，试算得 ，。 故至少经过 年，年产值可以翻一番。 【点睛】 与 只差 ，估算极易误判为 年；给出参考数据时，务必逐项比对，不靠感觉取整。 第四部分　易错点与解题方法归纳 七条易错点来自本讲五个考点的实际批改，按「错在哪一步」排列；五条方法按使用频次排列。考前只看这两张表，也能把分数守住。 ▶ 一、七条易错点 易错点 典型错法 正确做法 概念误判 把 、、、 都叫指数函数 逐条核对三特征：系数为 、指数为 、底数 且 幂运算越界 写成 ；对 用分数指数幂 偶次根开方取绝对值；分数指数幂要求底数为正 单调性用反 时比较大小忘记反向，仍按递增处理 先写「底数与 的大小」，再定单调性，最后比大小 去底不分类 直接写成 以 、 为分类标准，分别写结论 换元丢范围 令 后写 ，值域取到 之外 先由 的范围算出 的确切区间，再在该区间上求值域 复合单调错层 只写「同增异减」，未指明内层与外层各是什么 分别写出内层 与外层 的单调性，再合成 模型建错 把「增长 」写成乘 或乘 ；把「第 年」当成「经过 年」 增长用 、衰减用 ；期数从初始时刻起算，解后回代检验 ▶ 二、五种解题方法 方法 适用题型 步骤要点 图象法 定点、象限、底数大小比较 令指数为 定定点；先画渐近线，再看与 轴交点 单调性法 比较大小、解指数不等式 定底数与 的关系 → 去底 → 解代数不等式 中间量法 异底异指的幂值排序 插入 分成两组，组内再用单调性 换元法 指数型复合函数求值域、单调区间 令 → 写 的范围 → 配方求值域 → 回推 的区间 分类讨论法 底数含参、单调性不定 以 与 分类，两类各写完整结论 第五部分　分层练习 三层共 15 题：基础 8 题对条文，提升 6 题加一步转化，综合 1 题走完整流程。建议限时：基础 15 分钟，提升 25 分钟，综合 12 分钟。 ▶ 一、基础演练（8 题，15 分钟） 1．下列函数中，是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按三特征逐项核对： 系数为 ； 可化为 ，系数为 ； 指数不是 ； 三条全满足。 ，是「指数型函数」而非指数函数，故只有 符合定义。 【点睛】系数是否为 ，是判断指数函数的第一道关口。 2．函数 （，）的图象恒过定点＿＿＿＿。 【答案】 【分析】令指数为零，幂值恒为 。 令 得 ，此时 ，故定点为 。 【点睛】定点与底数无关，这是「恒过」二字的来源。 3．计算 。 【答案】 【分析】三项都化成 、 的幂后逐项求值。 ，，， 故原式 。 【点睛】负指数先取倒数，再开方。 4．比较大小：＿＿＿＿；＿＿＿＿（填「」或「」）。 【答案】； 【分析】同底比较，只看单调性：底大于 递增，底在 内递减。 ， 递增，，故 ； ， 递减，，故 。 【点睛】底数小于 时，指数大反而幂值小。 5．函数 的单调递增区间是＿＿＿＿。 【答案】 【分析】内层 在 上递减，外层递减，由「同增异减」合成。 在 上递减，在 上递增； 外层 递减，故 在 上递增。 【点睛】两层都递减，合成才是递增。 6．解不等式 。 【答案】 【分析】把 写成 ，再用递增性去底。 ，原不等式化为 ； 递增，故 ，解得 。 【点睛】化同底是解指数不等式的第一动作。 7．函数 在 上的值域是＿＿＿＿。 【答案】 【分析】底数大于 ，单调递增，端点即最值。 在 上递增，最小值为 ，最大值为 ，故值域为 。 【点睛】闭区间上的单调函数，值域就是两个端点值之间。 8．已知 ，则 ＿＿＿＿。 【答案】 【分析】把已知式平方，中间项为常数 。 ，故 。 【点睛】平方后别把中间的 丢掉。 ▶ 二、提升演练（6 题，25 分钟） 1．已知函数 （，）在 上的最大值比最小值大 ，求 。 【答案】 或 【分析】底数含参，按 与 分别确定最大值与最小值。 当 时， 递增，最大值为 、最小值为 ，由 得 （ 舍去）； 当 时， 递减，最大值为 、最小值为 ，由 得 ； 故 或 。 【点睛】两支都要检验是否落在各自的底数范围内。 2．求函数 在 上的值域。 【答案】 【分析】令 ，得 的范围后再配方。 令 ，当 时 ，； 当 （即 ）时取最小值 ；当 （即 ）时取最大值 ； 故值域为 。 【点睛】先写 的区间，再配方；顺序反了，值域必错。 3．设 ，解关于 的不等式 。 【答案】 【分析】外层递减，去底反向，再解一元二次不等式。 由 ， 递减，故 ，即 ； 解得 ，故解集为 。 【点睛】去底前先写「因 ，故反向」，这一句是得分点。 4．已知函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围。 【答案】 【分析】外层递减，要使复合函数递减，内层必须在 上递增；内层为二次函数，比较对称轴与区间端点。 外层 在 上递减，故 在 上递减等价于 在 上递增； 的对称轴为 ，在 上递增需 ； 故 的取值范围为 。 【点睛】复合单调问题，先定外层，再把条件翻译成内层的单调性。 5．若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围。 【答案】 【分析】换元后转化为「二次方程在 上有解」，用分离参数求值域。 令 ，原方程化为 ，即 ； 当 时， 的取值范围为 （ 时取到 ）； 故 。 【点睛】换元后必须写明 ；若漏掉， 会多出 的一段。 6．某放射性物质每经过 年剩余量为上一年的 。至少经过多少年，剩余量不足原来的一半？（，） 【答案】 年 【分析】模型 ，解不等式后取整并回代检验。 由 得 ； ，，故至少 年。 【点睛】「至少」向上取整，且要回代验证临界年份。 ▶ 三、综合应用（1 题，12 分钟） 1．已知函数 （）。（1）若 为奇函数，求 的值；（2）判断 在 上的单调性，并用定义证明。 【答案】（1）；（2） 在 上单调递增，证明见解析 【分析】（1）奇函数在 处有定义，必有 ，求出 后回代验证；（2）用定义：作差、通分，判断符号。 （1） 的定义域为 ，因其为奇函数，故 ，即 ，得 。 验证： 时 ，，确为奇函数。 （2） 在 上单调递增。证明：设 ，则 由 得 ，故分子为正；又分母为正，所以 ，即 。 故 在 上单调递增。 【点睛】奇函数求参后必须回代验证；用定义证单调性，作差、通分、判号三步一步不能省。 指数函数·精品讲义 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数函数　概念·图象·性质 精品讲义·学生版 北师大版（2019）·必修第一册·第三章　指数运算与指数函数　｜　课型：新授＋一轮巩固　｜　建议课时：2 课时 内容导航：学习目标｜核心概念与定义｜典型例题与解析｜易错点与解题方法归纳｜分层练习 第一部分　学习目标 指数函数是高中阶段第一个「底数为常数、指数为自变量」的基本初等函数，也是刻画增长率与衰减率的通用模型。本讲按「概念—图象—性质—应用」四步推进，先立定义，再读图象，后练运算与建模。 ▶ 一、课标要求 1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的图象与性质（定义域、值域、定点、单调性）。 2．能借助图象理解指数函数的单调性与底数的关系，会比较幂值大小、解简单指数不等式。 3．能用指数函数刻画增长率、衰减率等实际问题的变化规律，体会函数模型的作用。 ▶ 二、学习目标（可检测） 1．说出指数函数的三条结构特征，判断给定函数是否为指数函数。 2．画出 与 两类图象，写出定义域、值域、定点与单调性。 3．用单调性比较两个幂值的大小；按底数与 1 的大小关系分类，解指数不等式。 4．用换元把指数型复合函数化为二次函数求值域，并说明换元后 的取值范围从何而来。 ▶ 三、考查落点 落点 常见设问 难度 概念辨析 判断 、、 是否为指数函数 易 图象与定点 求 恒过的定点，判断图象所在象限 易 比较大小 同底、同指、异底异指三类幂值的排序 中 解不等式 的求解与含参分类 中 复合函数 求 的单调区间与值域 中难 实际应用 增长率、半衰期模型，解后取整 中 ▶ 四、备考提示 本讲的失分不在难题，而在三处基本功：一是把「指数函数」与「指数型函数」混为一谈；二是 时比较大小忘记反向；三是换元后不写 ，值域取到了取不到的那一段。三处都在第一轮就该固化，后两轮只做复用。 第二部分　核心概念与定义 先补指数的运算，再立指数函数的定义。次序不能颠倒：定义里的 对一切实数 有意义，靠的正是指数幂已经扩充到实数集。 ▶ 一、指数幂的扩充 （1）正整数指数幂：（）。 （2）零指数幂与负整数指数幂：（），（，）。 （3）分数指数幂：（，，）。 （4）无理指数幂：（， 为无理数）由有理指数幂逼近定义，运算法则保持不变。 三条运算法则（，，）：；；。 注意：　底数为正，是分数指数幂与无理指数幂有意义的前提。 的正分数指数幂为 ， 的零指数幂与负指数幂无意义；（ 为奇数），（ 为偶数），偶次根开方不可直接约去指数。 ▶ 二、指数函数的概念 定义：　形如 （ 且 ）的函数叫作指数函数，其中 是自变量，定义域为 ，值域为 。 三条结构特征（缺一不可）：　其一，系数为 ；其二，指数是 本身，不含 的其它运算；其三，底数是大于 且不等于 的常数。三条中任一条不满足，都只是「指数型函数」，不是指数函数。 为什么限制 且 ：　 时， 对 这类值无意义； 时， 对 无意义； 时， 是常函数，没有单调性可言。三条限制，都是为了让 在全实数集上有定义且单调。 ▶ 三、图象与性质 性质 定义域 值域 定点 过点 过点 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 函数值 时 ； 时 时 ； 时 渐近线 轴（） 轴（） 图象位置 在 轴上方， 越大， 轴右侧图象越高 在 轴上方， 越小， 轴右侧图象越低 ▶ 四、必记结论 1． 与 的图象关于 轴对称。 2．底数与图象位置：在 轴右侧，图象自下而上对应的底数由小到大；在 轴左侧恰好相反。 3． 的图象由 向右平移 个单位、向上平移 个单位得到，恒过定点 。 4．复合函数 的单调性「同增异减」： 时与 同增同减； 时与 增减相反。 5．比较大小的三条路：同底用单调性；同指用图象（或作商）；异底异指插入中间量 。 ▶ 五、方法归纳 方法 何时用 关键一步 图象法 判断定点、象限、底数大小 先定渐近线，再看与 轴的交点 单调性法 比较大小、解不等式 先写底数与 的大小关系 中间量法 异底异指的幂值比大小 插入 （或 ），分成两组 换元法 指数型复合函数求值域 令 ，写出 的确切范围 分类讨论 底数含参、单调性不定 以 与 为分类标准 第三部分　典型例题与解析 五个考点，各配一道典例与两道变式。先按【方法技巧】独立完成，再对照教师解析版核对思路；作答区不够可另附纸。 ▶ 考点01　指数幂的运算与化简 【方法技巧】　先把小数、带分数化成底数相同的幂，根式一律写成分数指数幂，再按「同底相乘除、幂的乘方」合并；偶次根号开方先取绝对值，不先约指数。 【典例1-1】计算 。 【变式1-1】化简 （，）。 【变式1-2】已知 ，求 、、 的值。 ▶ 考点02　指数函数的图象与定点 【方法技巧】　定点只看「指数为零」的那一点：令指数为 求出 ，此时幂值为 ，纵坐标即为 加平移量。平移按「左加右减、上加下减」，先定渐近线，再定图象所在象限。 【典例2-1】函数 （，）的图象恒过定点 。（1）求点 的坐标；（2）若点 在直线 （，）上，求 的最小值。 【变式2-1】函数 的单调递减区间是＿＿＿＿，值域是＿＿＿＿。 【变式2-2】若函数 在 上的最大值与最小值之差为 ，求 的值。 ▶ 考点03　比较大小与解指数不等式 【方法技巧】　多数幂值排序，先按「大于 / 小于 」分成两组，组内再看底数与指数；同底用单调性，同指看图象，异底异指插入中间量 。解 ，先化同底，再按 同向、 反向去底。 【典例3-1】（1）用「」把 、、、、 连接起来；（2）解关于 的不等式 （，）。 【变式3-1】解不等式 。 【变式3-2】设 ，解关于 的不等式 。 ▶ 考点04　指数型复合函数的单调性与值域 【方法技巧】　三步走：令 ，先按 的范围写出 的取值范围；再把原函数写成 的二次式并配方；最后在 的可行区间上求值域，按 与 的增减关系回推单调区间。 【典例4-1】求 在 上的值域与单调区间。 【变式4-1】求函数 在 上的值域。 【变式4-2】求函数 （，）的单调区间。 ▶ 考点05　指数函数的实际应用 【方法技巧】　先定模型：连续增长用 ，连续衰减用 ，半衰期用 。把「翻一番」「低于一半」翻译成指数不等式，解出后按题意取整；取整方向由「至少」向上、「至多」向下决定。 【典例5-1】某药物在血液中的质量浓度按 （ 的单位：小时）衰减。服药后至少经过多少小时，浓度低于初始浓度的 ？（参考数据：） 【变式5-1】某放射性物质每经过 年剩余量为上一年的 。至少经过多少年，剩余量不足原来的一半？（参考数据：，） 【变式5-2】某企业年产值增长率为 。至少经过多少年，年产值可以翻一番？（参考数据：，） 第四部分　易错点与解题方法归纳 七条易错点来自本讲五个考点的实际批改，按「错在哪一步」排列；五条方法按使用频次排列。考前只看这两张表，也能把分数守住。 ▶ 一、七条易错点 易错点 典型错法 正确做法 概念误判 把 、、、 都叫指数函数 逐条核对三特征：系数为 、指数为 、底数 且 幂运算越界 写成 ；对 用分数指数幂 偶次根开方取绝对值；分数指数幂要求底数为正 单调性用反 时比较大小忘记反向，仍按递增处理 先写「底数与 的大小」，再定单调性，最后比大小 去底不分类 直接写成 以 、 为分类标准，分别写结论 换元丢范围 令 后写 ，值域取到 之外 先由 的范围算出 的确切区间，再在该区间上求值域 复合单调错层 只写「同增异减」，未指明内层与外层各是什么 分别写出内层 与外层 的单调性，再合成 模型建错 把「增长 」写成乘 或乘 ；把「第 年」当成「经过 年」 增长用 、衰减用 ；期数从初始时刻起算，解后回代检验 ▶ 二、五种解题方法 方法 适用题型 步骤要点 图象法 定点、象限、底数大小比较 令指数为 定定点；先画渐近线，再看与 轴交点 单调性法 比较大小、解指数不等式 定底数与 的关系 → 去底 → 解代数不等式 中间量法 异底异指的幂值排序 插入 分成两组，组内再用单调性 换元法 指数型复合函数求值域、单调区间 令 → 写 的范围 → 配方求值域 → 回推 的区间 分类讨论法 底数含参、单调性不定 以 与 分类，两类各写完整结论 第五部分　分层练习 三层共 15 题：基础 8 题对条文，提升 6 题加一步转化，综合 1 题走完整流程。建议限时：基础 15 分钟，提升 25 分钟，综合 12 分钟。 ▶ 一、基础演练（8 题，15 分钟） 1．下列函数中，是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数 （，）的图象恒过定点＿＿＿＿。 3．计算 。 4．比较大小：＿＿＿＿；＿＿＿＿（填「」或「」）。 5．函数 的单调递增区间是＿＿＿＿。 6．解不等式 。 7．函数 在 上的值域是＿＿＿＿。 8．已知 ，则 ＿＿＿＿。 ▶ 二、提升演练（6 题，25 分钟） 1．已知函数 （，）在 上的最大值比最小值大 ，求 。 2．求函数 在 上的值域。 3．设 ，解关于 的不等式 。 4．已知函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围。 5．若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围。 6．某放射性物质每经过 年剩余量为上一年的 。至少经过多少年，剩余量不足原来的一半？（，） ▶ 三、综合应用（1 题，12 分钟） 1．已知函数 （）。（1）若 为奇函数，求 的值；（2）判断 在 上的单调性，并用定义证明。 指数函数·精品讲义 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $