5.1认识二元一次方程组（素养培优卷）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

2026—2027学年　北师大版　八年级数学上册

5.1 认识二元一次方程组（素养培优卷）

题型目录

题型1　二元一次方程（组）的概念辨析

1．探究：二元一次方程 2x+5y=40 的正整数解有多少组？请写出全部的解，并说明你的探究过程．

 

 

 

2．定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为，即．

(1)若，求的值；

(2)若，求的值．

 

 

 

3．定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：

，其中，为常数)．

例如，当，时，．

(1)当，时，__________；

(2)若，求和的值；

(3)如果组成数对的两个数，满足二元一次方程时，总有，则__________，__________．

 

 

4．对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如．

（1）求的值；

（2）若，，求的值．

5．阅读下列材料：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程；把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．据此判断：下列方程组 ① x+y=1，x−y=3；② x+y=1，y+z=2；③ x+1/y=2，x−y=0；④ x²+y=1，x−y=1 中，是二元一次方程组的有（　　）

A．①②　 B．①③　 C．①　 D．①②③

 

 

 

6．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数，若的十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数为“三峡数”．当三位自然数为“三峡数”时，交换的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数，规定．例如：当时，因为，所以583是“三峡数”；此时，则．

(1)判断341和153是否是“三峡数”？并说明理由；

(2)求的值；

(3)若三位自然数(即的百位数字是，十位数字是，个位数字是，，，，是整数，)为“三峡数”，且时，求满足条件的所有三位自然数．

 

 

 

题型2　根据定义求参数

7．探究：若关于 x、y 的方程 (k²−4)x²+(k+2)x+y=3 是二元一次方程，求 k 的值，并说明理由．

8．无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则      ．

9．如表格所示，在方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（    ）

		0
		5

A．　 B．　 C．　 D．

10．已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如表所示，则p的值是（   ）

x	m
y	n
t	8	p

A．13　 B．15　 C．16　 D．18

11．如果方程组有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（     ）

A．a=1，c=1　 B．a≠b　 C．a=b=1，c≠1　 D．a=1，c≠1

 

 

 

12．已知关于的方程组是二元一次方程组．

(1)求的值．

(2)下列哪些是该二元一次方程组的解．

； ； ．

 

 

 

题型3　方程组的解的概念与检验

13．阅读下列材料，解决问题．

《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？

(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，

① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；

② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；

(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；

(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．

14．在二元一次方程中，如果与y互为相反数，那么此方程的解是           ．