第3章 一元一次方程（举一反三单元测试·拔尖卷）数学新教材沪教版五四制六年级上册

第3章 一元一次方程·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）下列式子的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·重庆·期末）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是86；当输入时，输出结果是122；如果输入的值是正整数，输出结果是158，那么满足条件的的值最多有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26六年级下·山东威海·期中）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26六年级下·山东烟台·期末）《九章算术》中记录了一道经典的数学问题：今有匠工四十四人，日可作斗身十二，或斗耳二十．凡斗，一身配二耳．欲令日作身、耳适相配，问各遣几人？题目大意：有工匠44人，每人每日可做斗身12个或斗耳20个．1斗身配2斗耳，问各安排多少人，使刚好配套？设人做斗身，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26六年级下·山东威海·期中）对于任意非零有理数a，b定义运算如下： ．若，则x的值是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 10．（25-26六年级下·黑龙江大庆·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当 时，；③． 其中正确的结论是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·上海静安·阶段检测）如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是________． 12．（25-26七年级下·山东菏泽·开学考试）若是关于x的一元一次方程，则方程的解为__________； 13．（25-26七年级上·福建福州·期末）当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 14．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如果关于的方程与的解相同，那么的值是_________． 15．（25-26七年级下·广东广州·期中）如果a、b为定值，若关于x的方程：有无数个解，则______． 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程解为_____． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）解方程： (1) (2)． 18．（8分）（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 19．（10分）（25-26七年级下·重庆·期中）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表： 户月用水量 收费标准（元） 不超过 3 超过但不超过的部分 4 超过的部分 6 (1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费______元；若小明家4月份缴纳水费100元，则用水量为______． (2)小红家6月份和7月份的用水量共，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费177元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为多少？ 20．（10分）（24-25七年级下·河北唐山·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆． 如：☆． (1)求☆的值； (2)若☆☆，求的值； (3)若☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小． 21．（12分）（25-26六年级下·山东东营·期末）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 22．（12分）（25-26七年级上·全国·期末）如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是10，现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点之间的距离为___； (2)当时，P、B两点之间的距离为____； (3)在运动过程中，线段中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 23．（14分）（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次方程·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）下列式子的变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】考查等式与不等式的基本性质，根据性质逐一判断各选项变形即可得到错误选项. 【详解】解：选项A∵ ， 等式两边同时加，得 ，化简得 ，变形正确. 选项B根据不等式性质，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变， ∵ ， ∴ ，变形正确. 选项C∵ ，∴ ， 不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∴ ，变形正确. 选项D当时，，此时 ，不满足 ，变形错误. 2．（25-26七年级上·重庆·期末）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是86；当输入时，输出结果是122；如果输入的值是正整数，输出结果是158，那么满足条件的的值最多有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，解一元一次方程（二）——去括号等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据题意，逐次计算验证即可得出结果． 【详解】解：若经1次输出结果是158， 则， 解得：； 若经2次输出结果是158， 则， 解得：， 若经3次输出结果是158， 则， 解得：，不符合； 若经4次输出结果是158， 则， 解得：，不符合， 之后不可能再出现解为正整数， 故选：B． 3．（25-26六年级下·山东威海·期中）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数的值，再将参数的值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的没有乘以， ∴错误去分母得到的方程为：， 将代入错误方程，得， 解得， 将代入原方程，得， 两边同乘10正确去分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴方程正确的解为． 4．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将关于的方程整理可得，根据与无关求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论为何值，的解都相同， ∴， ∴，． 5．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解一元一次方程，再根据其解为正整数解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的解为正整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， 所以满足条件的所有整数a值的个数是4， 故选：D． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期末）《九章算术》中记录了一道经典的数学问题：今有匠工四十四人，日可作斗身十二，或斗耳二十．凡斗，一身配二耳．欲令日作身、耳适相配，问各遣几人？题目大意：有工匠44人，每人每日可做斗身12个或斗耳20个．1斗身配2斗耳，问各安排多少人，使刚好配套？设人做斗身，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设做斗身的人数为，用总人数表示出做斗耳的人数，再根据配套要求列方程即可． 【详解】解：∵设人做斗身，总工匠共人， ∴做斗耳的人数为人，可得每日斗身总产量为个，每日斗耳总产量为个， ∵个斗身配个斗耳，刚好配套时斗耳总数量是斗身总数量的倍， ∴列方程得：． 7．（25-26六年级下·山东威海·期中）对于任意非零有理数a，b定义运算如下： ．若，则x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的运算规则，分别化简等式左右两侧，再解一元一次方程即可得到的值． 【详解】定义运算 ，且满足 ， 分别化简等式左右两边： 左边：， 右边：， 可得方程 ， 解得． 8．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的化简和一元一次方程的解法，解题的关键是设出合理的未知数；先设定大长方形的宽为x，根据题目条件建立方程，解方程求得a和b的关系，进而求得答案即可； 【详解】解：设大长方形的宽为x， 由题意得：左下方阴影部分的面积为，右上方阴影部分的面积为， ∵左下方与右上方阴影部分面积的差为， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意得出，，然后建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∵在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026， ∴， ∴， 解得． 10．（25-26六年级下·黑龙江大庆·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当 时，；③． 其中正确的结论是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据题意用含的代数式表示出点、、、对应的数，再逐项判断线段长度关系及方程解的情况． 【详解】解：根据题意得，点表示的数为，点表示的数为， 点为的中点，点表示， 点表示的数为， 点为的中点， 点表示的数为； ①，即，两点之间的距离不会随着的变化而变化，故①正确； ②，， 当时，即， 或， 解得或，故②错误； ③，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·上海静安·阶段检测）如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程无解问题，掌握方程无解的条件是解题的关键． 根据方程无解，可得系数为零，常数不为零，据此求解即可． 【详解】解：当时，方程的左边，方程的右边， ∴关于x的方程无解． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·山东菏泽·开学考试）若是关于x的一元一次方程，则方程的解为__________； 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的次数为、未知数系数不为，求参数的值，再解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 系数满足：，即， ∴， 将代入原方程：， 化简得， 解得． 13．（25-26七年级上·福建福州·期末）当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 【答案】/ 【分析】首先解方程得到，然后根据题意得到，，求出a，b后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 根据题意得，， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如果关于的方程与的解相同，那么的值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解、绝对值，先解方程得到，再代入到方程，求出的值，即可得出答案． 【详解】解：解方程，得， 将代入方程，得， 整理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26七年级下·广东广州·期中）如果a、b为定值，若关于x的方程：有无数个解，则______． 【答案】 【分析】一元一次方程有无数个解时，需满足未知数系数且常数项，据此列出关于，的方程组，即可求出的值． 【详解】关于的方程有无数个解， ∴， 对第二个方程移项得：． 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程解为_____． 【答案】4048 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，通过整体代入思想，设，将新方程转化为关于的方程，再通过代换得到与已知方程相同的形式，利用已知解求解． 【详解】解：设，则新方程化为， 两边乘以，得：， 即 ， 设 ，则方程变为 ， 已知方程的解为， 因此， 于是，即， 由，得， 解得：． 故答案为：4048． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．（8分）（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 19．（10分）（25-26七年级下·重庆·期中）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表： 户月用水量 收费标准（元） 不超过 3 超过但不超过的部分 4 超过的部分 6 (1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费______元；若小明家4月份缴纳水费100元，则用水量为______． (2)小红家6月份和7月份的用水量共，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费177元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为多少？ 【答案】(1)68，30 (2)小红家6月份的用水量为 ，7月份的用水量为 【分析】（1）根据所给的收费标准列式求解即可；根据所给的收费标准设小明家4月份的用水量为， 列方程求解即可； （2）设小红家6月份的用水量为，则7月份用水量为，然后，分三种情况：，，和，分别建立方程求解讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意，得(元)； ∵(元)，， ∴设小明家4月份的用水量为， ∴，解得． ∴小明家4月份的用水量为； （2）解：设小红家6月份的用水量为，则7月份的用水量为， 根据题意，得，解得， ①当时，， 解得，符合题意； ②当时，，解得，不符合题意，舍去； ③当时，，此时，方程不成立，不符合题意，舍去． 综上，当时，，即小红家6月份的用水量为，7月份的用水量为． 20．（10分）（24-25七年级下·河北唐山·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆． 如：☆． (1)求☆的值； (2)若☆☆，求的值； (3)若☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出关于的方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后用作差法比较即可． 【详解】（1）解：☆． （2）解：☆ ☆ 解得． （3）解：由题意， ， ， ． 21．（12分）（25-26六年级下·山东东营·期末）材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 【答案】(1)该工厂有9吨黄桃制成罐头 (2)水果加工厂到市场的距离为47千米 【分析】（1）设该工厂有x吨黄桃制成罐头，构造方程即可求解； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，构造方程即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x吨黄桃制成罐头，则吨进行直接包装， 根据题意得： 解得： 答：该工厂有9吨黄桃制成罐头， （2）解：设加工厂到市场的距离为y千米， 根据题意得： 解得： 答：水果加工厂到市场的距离为47千米． 22．（12分）（25-26七年级上·全国·期末）如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是10，现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点之间的距离为___； (2)当时，P、B两点之间的距离为____； (3)在运动过程中，线段中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)8 (3)有，或 4或或 6或 3 【分析】（1）先根据数轴上点对应的数据计算减法可得两点之间的距离； （2）当时可得P对应的数，然后得出两点之间的距离； （3）先根据题意可得，利用线段相等和线段的和差关系分三种情况可得 t 的值，从而可得结果． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是，点B对应的数是10， ∴A、B 两点之间的距离为 ， （2）解：当时，点P 表示的数为， ∵点 B 表示的数为10， ∴P、B 两点之间的距离为； （3）解：在运动过程中，线段中存在两条线段相等． 由题意，， 分三种情况： ①当时， 如图，若B为的中点，则，即 ， 解得； 如图，若 P，Q 重合，则，即 ， 解得； ②当时， 如图，若P为的中点，则，即， 解得； 如图，若B，Q重合，则（不合题意）； ③当时， 如图，若Q为的中点，则，即， 解得； 如图，若B，P重合，则，即， 解得； 综上所述，或 4或或 6或 3. 23．（14分）（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，原方程变为，按照材料中介绍的方法求解即可； （2）令，则原方程变为，根据题意求得，据此求解即可； （3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：令，原方程变为， 解得，即， 解得； （2）解：令，则原方程变为， ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， 解得； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2026变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程的解为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $