高频考点01 集合、常用逻辑用语、复数（培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学二轮复习重难·热点专练

高频考点01 集合、常用逻辑用语、复数 内容概览 高频考情透视（考情解码・洞悉命题趋势） 高频考点梳理（考点筑基・构建知识体系） 聚焦题型解密（题型精讲·变式拔高训练） 题型一 集合的交并补运算与由集合关系求参数（） 题型二 集合的新定义问题（） 题型三 充分必要条件的判断（） 题型四 命题的否定与真假判断（） 题型五 由逻辑关系求参数范围（） 题型六 复数的概念与四则运算（） 题型七 复数的几何意义（） 题型八 复数的综合性质（） 实战特训提分（限时实训・仿真冲刺提分） 集合、常用逻辑用语、复数是全国卷的基础板块。—年份新课标卷中，这三块共出现次，均为小题，未进入解答题。复数每卷必考，卷无一遗漏；集合卷中卷出现，Ⅱ卷未设；常用逻辑用语卷中仅卷涉及。这一比例与教材篇幅并不相称，复习时的投入应按考频分配，而非按章节分量分配。 基础知识必备：集合：交并补运算要能在数轴与韦恩图之间双向转化；含参集合须讨论空集；分式、对数、二次不等式的解集应能直接写出。逻辑：充分必要条件按定义双向验证；全称与存在量词的否定只改量词，不改范围。复数：除法应分母实数化；虚部是实数，不是虚数单位。 高考预测：集合仍将以第-题出现，以基础题为主；新定义题型（特征数、性质判断、集合的模、子集编码）在各地模拟中已成规模，是这一部分唯一的加难方向。逻辑用语仍将依附于数列、函数、解三角形命题，不会单独设题。复数的几何意义（轨迹、最值、区域面积）考查比重上升，全国①卷已将复数置于多选。 题型一 集合的交并补运算与由集合关系求参数 【典例01】（26-27高三上·福建宁德·期中）已知集合，集合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式求得集合，列举法写出集合，然后求得. 【详解】解不等式，即，所以， 即，， 所以. 【典例02】（2026·云南昆明·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于可等同于且，解为，集合， 在同一坐标系里画与的图象，可知交点为，如图，集合，故. 集合题的核心是化简。先解不等式、取整或代入特殊值，把每个集合写成最简形式，再在数轴上求交并补。含参数的集合必须分两类讨论：为空集与不为空集。端点含参的区间型集合，当时即为空集，而空集包含于任何集合。漏掉这一支，往往只剩一个选项能对上，却说不清其余选项为何不对。 【变式01】（26-27高一上·上海闵行·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，再对进行转化，可得，观察集合，对其是否为空集进行分类讨论即可求解． 【详解】对于，因式分解可得，解得， 故． 因为，所以． 若，则，解得； 若，则需满足，解得， 综上，可得实数a的取值范围是． 【变式02】（26-27高一上·上海·课前预习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合是否为空集分类讨论，结合列出不等式，求得的范围，再逐一判断即可． 【详解】因为，所以. ①当时，则，解得，此时，符合题意； ②当时，或，要使成立， 须满足①或②， 由①解得，由②可得， 综上，实数的取值范围为或， 结合选项，仅C项的范围符合要求. 题型二 集合的新定义问题 【典例01】（26-27高一上·北京海淀·期中）已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有5个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，，则的最大值与最小值的和为（     ） A．39 B．57 C．87 D．96 【答案】D 【分析】每组数字尽量聚拢，让每组“最小数+最大数”整体变小，构造集合算出最小值,大小端点搭配，把大数、小数拆开分配到不同集合，让每组特征数尽可能大，构造集合算出最大值. 【详解】，分成3个集合， 每个集合5个元素，且， 集合的最大值最小值， 集合的最小值要尽量小，同时每组内部得最大值不要拉得太大，同一组数字尽量挨在一起， 最小的三个数分别作为三个集合的最小值，然后把剩下数字分段， 的最小值为，后面放，最大值为， 则，， 的最小值为，后面放，最大值为， 则，， 的最小值为，后面放，最大值为， 则，， 则的最小值为， 让大数字分别作为三组各自的最大值，把顶尖大数拆开分给个集合， 每组最小值尽可能不要太大， 的最小值为，搭配最大值，中间填， 则，， 的最小值为，搭配最大值，中间填， 则，， 的最小值为，搭配最大值，中间填， 则，， 的最大值为， 的最大值与最小值的和为. 【典例02】（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）设全集，用的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.若，集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为___________. 【答案】4 【分析】由，集合表示的字符串为101001，得出，进而求出集合，从而得到答案． 【详解】若，集合表示的字符串为101001，即， 集合可能是，所以满足条件的集合的个数为4. 新定义题的主要障碍在审题。先用题给定义在最小的集合上验证一遍，确认运算规则，再代入题目所问的对象。求最值时，先构造出能取到最值的集合，再说明不能更大或更小。只构造不说明，过程不完整。 【变式01】（26-27高一上·北京东城·期中）设全集，对于，定义上的函数． 定义运算：集合的模，． 已知，，现有下列说法： ①若，则； ②若，都有，则； ③若，都有，则； ④若，都有，则． 则正确说法的序号为______． 【答案】 ②③④ 【分析】对任意，特征函数，集合的模，即为集合的元素个数， 对各个说法逐一分析. 【详解】①：根据集合容斥原理，对任意，有， 若，则，因此， 当时，， 举反例：取，，，满足， 但，故①错误； ②：若存在，则，此时， 而，不满足， 因此要使对任意，成立，必须不存在属于的元素， 即，故②正确； ③：若对任意，，则对任意，， 这意味着：等价于，等价于，等价于， 等价于，因此，故③正确； ④：若对任意，，任取， 则，代入不等式得， 由于的取值只能为0或1，因此，即， 这说明集合中的所有元素都属于集合，即，故④正确； 综上，正确说法的序号为②③④. 【变式02】（26-27高一上·上海长宁·阶段检测）对于给定的非空集合，定义集合 ， ，若，则称集合满足性质，则下列命题成立的是（    ） ①集合满足性质； ②集合满足性质； ③若集合满足性质且，，则； ④若集合，且，则． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】①计算得： ， ， ，满足性质， ①正确. ②计算得： ， ， ，不满足性质， ②错误. ③由互异性得且，结合，得. ，，计算得： ， 由逐一验证： ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，，而中均小于，均大于， 无公共元素，满足性质，因此满足性质的的取值为， 由于时不满足性质，所以命题③不成立. ④由，所有两元素差的绝对值都必须是中的元素， 求： ，该值属于.又，不可能等于， 故只能，解得. 求： 代入，，，则属于. 假设，即，此时，但不在中， 即会多出元素，与矛盾，因此不能等于，因此只能，解得. 验证：，，符合条件，此时， ④正确. 题型三 充分必要条件的判断 【典例01】（山西省太原市2026-2027学年高三上学期11月期中阶段学业诊断数学试题）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当且时，成立， 当，取，则“且”不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件. 【典例02】（26-27高一上·四川资阳·期中）若，是正数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】先判断充分性： ∵ ，∴ , 又平方数非负，故 , 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得 ，故充分性成立. 再判断必要性： 若, 当时，，不满足，故必要性不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件. 判充分性：假设条件成立，检验结论是否必成立；能推出之后，还要确认不存在反例。判必要性：由结论反推条件。以函数、数列或三角形为背景的，先转化为取值范围问题，再比较两个范围的包含关系。两个方向都成立，才是充要条件。 【变式01】（26-27高二上·广西百色·阶段检测）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则， 所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件. 【变式02】（26-27高三上·江苏淮安·阶段检测）在中，“”是“”成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【答案】D 【分析】用充分必要条件的知识点解答. 【详解】在中，当时，，若，则，所以充分性成立； 在中，当时，，所以，所以必要性成立， 所以“”是“”成立的充分必要条件. 题型四 命题的否定与真假判断 【典例01】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）已知命题：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由存在命题的否定法则可得答案. 【详解】命题：，的否定为：，. 【典例02】（26-27高一上·河北邯郸·期中）已知命题：，；命题 ：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和 都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】对于命题：，，当时，不成立，故p为假命题，为真命题； 对于命题：，，当时，即有成立，q为真命题，为假命题， 故选项ACD错误，B正确. 否定一个命题只改两处：量词互换（与），结论取反（与，与）。条件的取值范围（如、）保持不变，这是最常见的错误来源。判断真假：全称命题举出一个反例即可否定，存在命题举出一个实例即可肯定。 【变式01】（26-27高一上·四川资阳·期中）已知命题：，则命题的否定为（     ） A． B．， C． D． 【答案】C 【详解】全称量词命题：的否定形式为. 【变式02】（26-27高一上·云南文山·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定是“，”. 题型五 由逻辑关系求参数范围 【典例01】（26-27高一上·天津静海·阶段检测）已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将充分不必要条件转化为对应集合的真包含关系，即可求得参数范围． 【详解】若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以． 【典例02】（26-27高一上·北京丰台·期中）对于任意，都有，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解. 【详解】因为，对于任意，都有，故分两种情况讨论： 当时，，不等式恒成立，满足条件； 当时，该式为二次不等式，要使得在上恒成立，需满足，即，解得， 综上，，即实数的取值范围是. 命题为假，等价于其否定为真。先完成这一步转化，再按恒成立或能成立求解。二次项系数含参数时，须先讨论它是否为零。为零时命题不再是二次的，条件仍可能成立；直接按二次处理，会丢掉这一支。 【变式01】（26-27高一上·天津和平·期中）已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为对应方程无实根的问题，分一次方程、二次方程两类情况求解参数范围即可. 【详解】因为“”为假命题， 所以关于的方程无实数解， 当时，该等式恒不成立，即方程无实数解，满足题设条件; 当时，可得 ，解得. 综上，实数a的取值范围为，故A正确. 【变式02】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题：“，”为假命题，它的否定：一定是真命题. 二次函数开口向上，对称轴为. 在区间上，当时取得最大值. 要让对所有恒成立，只需大于在该区间的最大值， 即，对应区间为. 题型六 复数的概念与四则运算 【典例01】（26-27高三上·新疆和田·阶段检测）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于， 则． 【典例02】（25-26高三下·陕西渭南·阶段检测）设复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 则复数的虚部为. 除法只需一步：分子分母同乘分母的共轭，分母化为实数，虚部随之得出。虚部是，不是。求模不必先解出。能用或拆开的，先拆，比解出再求模更省时，也更少出错。 【变式01】（2026·云南昆明·模拟预测）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法和除法及共轭复数计算即可. 【详解】， 所以的共轭复数是. 【变式02】（26-27高三上·广东湛江·期中）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 即．故，解得，， 所以． 题型七 复数的几何意义 【典例01】（2025·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】设复数，代入已知条件进行化简，求出x、y的关系即可判断． 【详解】设复数，则， 代入，两边平方得：， ， 两边除以：， 以配方：， 这是圆的标准方程，圆心为，半径为． ∴复数z对应的点的轨迹是圆． 故选：B． 【典例02】（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．射线 【答案】D 【分析】利用表示复数对应的点到点和到点的距离之差等于，得到的轨迹是一条射线． 【详解】复数满足条件， 设，为虚数单位， 则， 它表示复数Z对应的点到点和到点的距离之差等于， 故点的轨迹是一条射线. 表示点到点的距离。明确这一点，复数问题即转为解析几何问题。是圆；是的垂直平分线；与都须先比较与：相等时退化为线段或射线，小于时无解，大于时才是椭圆或双曲线。 【变式01】（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）复平面内，满足的复数对应的点的集合为几何图形，满足的复数对应的点的集合为几何图形，则与的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义得出几何图形、，再依据圆心距和半径判断两圆的位置关系即可. 【详解】由复数的几何意义可知，几何图形表示以为圆心，为半径的圆， 几何图形表示以为圆心，为半径的圆， 因，则与的位置关系是相交. 故选：C 【变式02】（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知复数满足，则在复平面内的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据复数的几何意义即可得解. 【详解】设，由， 得在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则表示点到原点的距离， 又圆心到原点的距离为， 所以圆上的点到原点的距离的最小值为. 题型八 复数的综合性质 【典例01】（多选）（2026·湖北·模拟预测）设i为虚数单位，，为复数，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】根据虚数的概念及性质、复数的概念、复数的四则运算、复数模的计算公式进行相关分析. 【详解】，则，则A选项正确； 不全为实数的复数无法比较大小，则B选项错误； 若，，满足，但，则C选项错误； 设，， ， ， ，， ， ，所以，则D选项正确. 【典例02】（多选）（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知复数，下列说法中正确的有（     ） A． B． C．若，则有 D．若，为虚数单位，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】由复数的运算性质判断ABC选项，在复平面上结合复数的几何意义判断. 【详解】设，， ， ， ， 恒成立，A正确； 由复数三角不等式知，仅当、对应的向量方向相同（或有）时等号成立， 对任意复数不恒成立，B错误； ， ， ， ，C正确； 如图所示； 在复平面内，表示点到点的距离为，即点的轨迹是以为圆心、半径为1的圆． 则指该圆上的点到点的距离，圆心到点的距离为， 的最大值为，D正确． 涉及模的多选，多考三角不等式：，取等条件需要能写出来。另有两点常被设为选项：复数不能比较大小，但模可以；推不出，取、即成反例。 【变式01】（多选）（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】本题考查复数的基本概念与运算性质，选项A、B直接利用复数模的运算性质即可判断；选项C可利用绝对值不等式（三角不等式）放缩或通过复平面的几何意义求解；选项D通过举反例证伪. 【详解】对于选项A：设，则,， ，两者相等，所以A正确； 对于选项B：若，则，两边取模得，所以B正确； 对于选项C：根据复数模的三角不等式， 可得，即，所以C正确； 对于选项D：取，，满足 ，但，所以D错误. 【变式02】（多选）（26-27高三上·山东·期中）已知复数满足，则下列结论正确的是（     ） A．的共轭复数 B． C．是实系数方程的一个根，则 D．若，则复数在复平面内对应的点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【分析】根据求出及其共轭复数；进行复数的运算；是实系数方程的一个根，则的共轭复数也是该方程的根，利用韦达定理求出的值；设，若，则复数在复平面内对应的点的集合所构成的图形为圆环，其中大圆半径为，小圆半径为. 【详解】，故的共轭复数，A错误； ，B正确； 是实系数方程的一个根，则的共轭复数也是该方程的根， 故，即，故C错误； 设，则，若，则复数在复平面内对应的点的集合所构成的图形为圆环，其中大圆半径为，小圆半径为， 故该圆环面积为，D正确. （限时训练：15分钟） 1．（26-27高三上·湖南衡阳·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，而，所以. 2．（26-27高一上·湖北武汉·期中）“杰卡德相似度”可以用来衡量两个集合的重叠程度，常用于去重、相似用户挖掘、大规模集合检索．设和为有限集，定义“杰卡德相似度”为：（1）当、不全为时，；（2）当时，．其中表示集合中的元素个数，若，，则______； 若，，为有限集，满足，，，（其中，），则的最小值为______． 【答案】 【分析】空1：根据“杰卡德相似度”的定义，求出集合，的元素个数即可求得；空2：利用并集、交集的性质求出的最大值、的最小值，进而求出的最小值. 【详解】因为，，所以，， 所以； 由，得，由，得， 因此（时取等号）， ，（时取等号） 则，所以的最小值为. 3．（26-27高一上·江西宜春·阶段检测）“”是“函数在上具有单调性”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】的图象开口向上，对称轴为． 若函数在区间上具有单调性，则，解得， 因为是的真子集， 故“”是“函数在上具有单调性”的充分不必要条件. 4．（26-27高一上·广东湛江·阶段检测）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题， 则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即， 则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：能推出，但不能推出， 所以是其充分不必要条件， 选项C：不能推出，且不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：，范围一样，为充要条件. 5．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知复数，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先利用复数除法运算化简，然后利用求模公式计算即可. 【详解】由，则. 6．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知复数满足，则在复平面内的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据复数的几何意义即可得解. 【详解】设，由， 得在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则表示点到原点的距离， 又圆心到原点的距离为， 所以圆上的点到原点的距离的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点01 集合、常用逻辑用语、复数 内容概览 高频考情透视（考情解码・洞悉命题趋势） 高频考点梳理（考点筑基・构建知识体系） 聚焦题型解密（题型精讲·变式拔高训练） 题型一 集合的交并补运算与由集合关系求参数（） 题型二 集合的新定义问题（） 题型三 充分必要条件的判断（） 题型四 命题的否定与真假判断（） 题型五 由逻辑关系求参数范围（） 题型六 复数的概念与四则运算（） 题型七 复数的几何意义（） 题型八 复数的综合性质（） 实战特训提分（限时实训・仿真冲刺提分） 集合、常用逻辑用语、复数是全国卷的基础板块。—年份新课标卷中，这三块共出现次，均为小题，未进入解答题。复数每卷必考，卷无一遗漏；集合卷中卷出现，Ⅱ卷未设；常用逻辑用语卷中仅卷涉及。这一比例与教材篇幅并不相称，复习时的投入应按考频分配，而非按章节分量分配。 基础知识必备：集合：交并补运算要能在数轴与韦恩图之间双向转化；含参集合须讨论空集；分式、对数、二次不等式的解集应能直接写出。逻辑：充分必要条件按定义双向验证；全称与存在量词的否定只改量词，不改范围。复数：除法应分母实数化；虚部是实数，不是虚数单位。 高考预测：集合仍将以第-题出现，以基础题为主；新定义题型（特征数、性质判断、集合的模、子集编码）在各地模拟中已成规模，是这一部分唯一的加难方向。逻辑用语仍将依附于数列、函数、解三角形命题，不会单独设题。复数的几何意义（轨迹、最值、区域面积）考查比重上升，全国①卷已将复数置于多选。 题型一 集合的交并补运算与由集合关系求参数 【典例01】（26-27高三上·福建宁德·期中）已知集合，集合，则等于（     ） A． B． C． D． 【典例02】（2026·云南昆明·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 集合题的核心是化简。先解不等式、取整或代入特殊值，把每个集合写成最简形式，再在数轴上求交并补。含参数的集合必须分两类讨论：为空集与不为空集。端点含参的区间型集合，当时即为空集，而空集包含于任何集合。漏掉这一支，往往只剩一个选项能对上，却说不清其余选项为何不对。 【变式01】（26-27高一上·上海闵行·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式02】（26-27高一上·上海·课前预习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 题型二 集合的新定义问题 【典例01】（26-27高一上·北京海淀·期中）已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有5个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，，则的最大值与最小值的和为（     ） A．39 B．57 C．87 D．96 【典例02】（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）设全集，用的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.若，集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为___________. 新定义题的主要障碍在审题。先用题给定义在最小的集合上验证一遍，确认运算规则，再代入题目所问的对象。求最值时，先构造出能取到最值的集合，再说明不能更大或更小。只构造不说明，过程不完整。 【变式01】（26-27高一上·北京东城·期中）设全集，对于，定义上的函数． 定义运算：集合的模，． 已知，，现有下列说法： ①若，则； ②若，都有，则； ③若，都有，则； ④若，都有，则． 则正确说法的序号为______． 【变式02】（26-27高一上·上海长宁·阶段检测）对于给定的非空集合，定义集合 ， ，若，则称集合满足性质，则下列命题成立的是（    ） ①集合满足性质； ②集合满足性质； ③若集合满足性质且，，则； ④若集合，且，则． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 题型三 充分必要条件的判断 【典例01】（山西省太原市2026-2027学年高三上学期11月期中阶段学业诊断数学试题）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例02】（26-27高一上·四川资阳·期中）若，是正数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 判充分性：假设条件成立，检验结论是否必成立；能推出之后，还要确认不存在反例。判必要性：由结论反推条件。以函数、数列或三角形为背景的，先转化为取值范围问题，再比较两个范围的包含关系。两个方向都成立，才是充要条件。 【变式01】（26-27高二上·广西百色·阶段检测）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式02】（26-27高三上·江苏淮安·阶段检测）在中，“”是“”成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 题型四 命题的否定与真假判断 【典例01】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）已知命题：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例02】（26-27高一上·河北邯郸·期中）已知命题：，；命题 ：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和 都是真命题 D．和都是真命题 否定一个命题只改两处：量词互换（与），结论取反（与，与）。条件的取值范围（如、）保持不变，这是最常见的错误来源。判断真假：全称命题举出一个反例即可否定，存在命题举出一个实例即可肯定。 【变式01】（26-27高一上·四川资阳·期中）已知命题：，则命题的否定为（     ） A． B．， C． D． 【变式02】（26-27高一上·云南文山·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五 由逻辑关系求参数范围 【典例01】（26-27高一上·天津静海·阶段检测）已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例02】（26-27高一上·北京丰台·期中）对于任意，都有，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 命题为假，等价于其否定为真。先完成这一步转化，再按恒成立或能成立求解。二次项系数含参数时，须先讨论它是否为零。为零时命题不再是二次的，条件仍可能成立；直接按二次处理，会丢掉这一支。 【变式01】（26-27高一上·天津和平·期中）已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 题型六 复数的概念与四则运算 【典例01】（26-27高三上·新疆和田·阶段检测）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【典例02】（25-26高三下·陕西渭南·阶段检测）设复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 除法只需一步：分子分母同乘分母的共轭，分母化为实数，虚部随之得出。虚部是，不是。求模不必先解出。能用或拆开的，先拆，比解出再求模更省时，也更少出错。 【变式01】（2026·云南昆明·模拟预测）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（26-27高三上·广东湛江·期中）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 题型七 复数的几何意义 【典例01】（2025·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【典例02】（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．射线 表示点到点的距离。明确这一点，复数问题即转为解析几何问题。是圆；是的垂直平分线；与都须先比较与：相等时退化为线段或射线，小于时无解，大于时才是椭圆或双曲线。 【变式01】（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）复平面内，满足的复数对应的点的集合为几何图形，满足的复数对应的点的集合为几何图形，则与的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式02】（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知复数满足，则在复平面内的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型八 复数的综合性质 【典例01】（多选）（2026·湖北·模拟预测）设i为虚数单位，，为复数，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【典例02】（多选）（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知复数，下列说法中正确的有（     ） A． B． C．若，则有 D．若，为虚数单位，则的最大值为 涉及模的多选，多考三角不等式：，取等条件需要能写出来。另有两点常被设为选项：复数不能比较大小，但模可以；推不出，取、即成反例。 【变式01】（多选）（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式02】（多选）（26-27高三上·山东·期中）已知复数满足，则下列结论正确的是（     ） A．的共轭复数 B． C．是实系数方程的一个根，则 D．若，则复数在复平面内对应的点的集合所构成的图形的面积为 （限时训练：15分钟） 1．（26-27高三上·湖南衡阳·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·湖北武汉·期中）“杰卡德相似度”可以用来衡量两个集合的重叠程度，常用于去重、相似用户挖掘、大规模集合检索．设和为有限集，定义“杰卡德相似度”为：（1）当、不全为时，；（2）当时，．其中表示集合中的元素个数，若，，则______； 若，，为有限集，满足，，，（其中，），则的最小值为______． 3．（26-27高一上·江西宜春·阶段检测）“”是“函数在上具有单调性”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高一上·广东湛江·阶段检测）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知复数，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 6．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）已知复数满足，则在复平面内的最小值为（     ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $