重难点专题 特殊角的三角函数值及其运算（专项训练）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
重难点专题 特殊角的三角函数值及其运算
题型1 特殊三角形的三角函数
固定解题模型：特殊角要放回它出生的三角形里看——30°在含30°的直角三角形，45°在等腰直角三角形，60°在等边三角形的一半。
解题步骤：① 先认出特殊角，找出或补出它所在的直角三角形；② 设最短的直角边为1，按三边比把三条边都写出来；③ 直接读比值，不必再设未知数。
核心数据：30°所对的直角边是斜边的一半；45°直角三角形三边比为1∶1∶；30°直角三角形三边比为1∶∶2。
1．（2026·浙江温州·三模）如图，图1为《天工开物》记载舂谷工具“碓”的结构简图，图2为其平面示意图．操作时，碓杆绕支点C转动，使碓头点B抬高．已知于点A，与水平线l的夹角为．若分米，分米，，则此时点B到水平线l的距离为（ ）
A．6分米 B．分米 C．分米 D．分米
【答案】D
【分析】和 ，得到辅助线思路，通过延长 交直线 l 相交，构造出大直角三角形 ，利用的直角三角形的性质或勾股定理，结合已知边，算出斜边和另一条直角边的长度，利用线段的和差关系，得到补足的直角边长度 ，过点 B 作垂线 ，构造出小直角三角形 ，利用相似对应边成比例，即可求出目标线段 ．
【详解】如图所示，延长交于点，过点作于点，
∵，，
∴，
且，
∴在中，，
即，
解得，故，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图，为的直径，弦与弦相交于点E，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，由题意易得是等边三角形，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
3．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知正方形的对角线相交于O点，平分交于点E，，交于点G，交于点H．
(1)求的值．
(2)求证：．
(3)求证：．
【答案】(1)；
(2)证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
(3)证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
过点B作交的延长线于点M，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
又，
∴，
∴．
【分析】（1）根据正方形的性质得到 ，根据三角函数的定义得到；
（2）根据正方形的性质得到，求得，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据相似三角形的判定定理得到结论；
（3）根据正方形的性质得到，求得，得到，等量代换得到，根据全等三角形的性质得到；过点B作交的延长线于点M，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据正方形的性质得到，进而结合三角形的中位线性质可得到结论．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴ ，
∴；
（2）略；
（3）略．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，角平分线的定义和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．（2026·吉林白山·二模）如图，在中，，，于点，，过点作，交于点，，交于点．动点从点出发以的速度向终点运动，过点作，交于点，交于点．设点的运动时间为，与四边形重叠部分的面积为．
(1) ______， ______；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得，根据三角函数可求出，，证明四边形是矩形，得到，即可求解；
（2）当点与点重合时，，由，，得到，求出，即可求解；
（3）过点作于点，过点作于点，则可得，，由图知题目分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解： ，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
故答案为：，；
（2）解：由（1）知，，
当点与点重合时，，
，，
，，
，
；
（3）解：过点作于点，过点作于点，如图1，
，，，
，，
，，
，，，
当时，如图1，
则，
，
，
，
，
；
当时，如图2，
则，
，
，
；
当时，如图3，
，
，
，
，
，
，
；
综上，．
5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一副三角板和中，，，，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点（如图），现将绕点按顺时针方向旋转（如图），边与相交于点，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是________．
【答案】
【分析】先在等腰直角三角形中算出，旋转角度是，，用大扇形半径 12 减小扇形半径的扇形面积，求出线段扫过的面积为．
【详解】解：在中，，，，
．
在中，，，．
由题意，绕点顺时针旋转，
线段扫过的面积等于圆心角为、半径为的扇形面积减去圆心角为、半径为的扇形面积．
线段扫过的面积是．
题型2 特殊角三角函数值的混合运算
固定解题模型：先代值、再算乘方与乘除、最后加减，每一步都化成数，不在式子里留三角函数符号。
解题步骤：① 把每个特殊角的函数值代入，绝对值与根号先算掉；② 按先乘方、再乘除、后加减的顺序推进；③ 合并同类项与同类根式，结果化成最简形式。
核心数据：，，；；，，tan45°＝1，tan60°＝。
1．（26-27九年级上·贵州铜仁·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．（26-27九年级上·山东烟台·期中）计算：__________________．
【答案】1
【分析】代入特殊角的三角函数值，进行计算，利用分式基本性质约分化简．
【详解】解：∵，，，，
∴ ．
3．（26-27九年级上·吉林长春·期中）计算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
4．（26-27九年级上·山东烟台·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
5．（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
6．（2026·浙江温州·三模）某小组对两角和的正切公式的证明产生浓厚兴趣．
【背景阐述】
已知：如图所示，在矩形中，点在边上，连接，过点作交边于点（点不与，重合），连结．记，（其中，均为锐角，且）．
求证：
证明：不妨设，
则在矩形中，．
故，即．
因为，所以．
因为，所以．
故，从而．
而在中，．
……
【特例探试】
(1)利用“两角和的正切公式”求的近似值．（参考数据：）
【推理验证】
(2)根据上述推导，补充完整证明过程，求证：．
【答案】(1)
(2)补充证明：∴，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，，，
，，
，
．
【分析】（1）根据和求解即可；
（2）根据题中思路，利用相似的性质表示出，从而表示出，，根据平行性质得出，再根据即可证明；
【详解】（1）解： ．
（2）略
7．（26-27九年级上·山东泰安·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
题型3 特殊角与三角形形状
固定解题模型：由函数值反查角，先把它化成一个三角函数等于一个数，再对照特殊值定角；求形状就先算三个角，再看最大角。
解题步骤：① 把已知等式整理成 sinA 或 cosA 或 tanA 等于某个数的形式；② 对照特殊值表定出角，注意锐角限定在 0° 到 90° 之间；③ 求得三个角后看最大角，等于 90° 是直角三角形，大于 90° 是钝角三角形，都小于 90° 是锐角三角形。
核心数据：sinA＝时 A＝30°，cosA＝时 A＝60°，tanA＝1时 A＝45°；锐角三角形要求最大角小于 90°。
1．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知锐角满足，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解．
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴．
2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）若，，，则由小到大的顺序为______．
【答案】
【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则锐角________．
【答案】/30度
【详解】∵为锐角，且，
∴．
题型4 三角函数值的大小与范围
固定解题模型：锐角范围内正弦与正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小；比大小要么化成同名函数，要么化成同角。
解题步骤：① 看清要比较的是同名还是异名；② 同名比角，角大的正弦正切大、余弦反而小，异名先用互余关系转成同名；③ 求取值范围时把边界角代进去算出端点值，再按单调性决定取不取等号。
核心数据：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0；A＝45°时 sinA＝cosA，A＜45°时 sinA＜cosA，A＞45°时 sinA＞cosA。
1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡
C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律．
锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．
【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡．
A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意；
B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意；
C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意；
D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意；
故选： C．
2．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（ ）
A．小于 B．大于 C．小于 D．大于
【答案】B
【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小．
【详解】解：∵，
∴锐角时，的值大于．
故选：B．
3．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键．
利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可．
【详解】解： ，
又在锐角范围内，余弦函数递减，且，
，
即．
，且正切函数在锐角范围内递增，，
，
又∵（余弦函数递减，），
，
综上，．
故选：D．
4．（25-26九年级上·全国·周测）如图①、图②，锐角的正弦和余弦都随着锐角的度数的确定而确定，也随着其变化而变化．
(1)试探索随着锐角度数的增大，正弦值和余弦值的变化规律，并说明理由．
(2)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，直接比较下列正弦值和余弦值的大小：．
【答案】(1)
随着锐角度数的增大，正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小，理由如下：
如题图①，假设，则．
即．
如题图②，，．
即．
(2)
【分析】理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法．
（1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小；
（2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，且正弦值随着锐角度数的增大而增大，
∴，
即．
题型5 同角与互余关系求值
固定解题模型：只给一个函数值，用平方关系与商数关系把另外两个推出来；两角互余时，一个的正弦等于另一个的余弦。
解题步骤：① 画一个直角三角形，把已知的比值标在对应边上，设参数表示三边；② 用勾股定理把第三边用同一个参数表示；③ 直接读出所求函数值，或把 sin²A＋cos²A＝1 整体代换求值。
核心数据：sin²A＋cos²A＝1；；A＋B＝90°时 sinA＝cosB，tanA·tanB＝1。
1．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为_____
【答案】
【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键．
由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
2．（2026·浙江·二模）在菱形中，点在上，且，如图1，过点的直线，交对角线于点，与关于直线对称，点的对应点在的延长线上，分别交对角线、边于点、．
(1)当时，求的度数．
(2)如图2，当点与对应点重合时，求与菱形的面积之比．
(3)已知，与的长度随的变化而变化，求的最大值．
【答案】(1)120°
(2)
(3)
【分析】（1）根据菱形性质，三角形内角和计算即可．
（2）根据菱形性质，三角形相似求解各边，分别计算出三角形面积即可．
（3）利用三角形相似和三角函数表示出，再进行求解即可．
【详解】（1）解：菱形，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，
∴四边形和四边形也关于直线对称，如图，
∴,，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：当点与对应点重合时，与关于直线对称
∴为垂直平分线，
∴，和为直角三角形，
∴，
∴，，
∵，设，
∴，
∴，，
在中，，，根据勾股定理得，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
在,,，根据勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
连接菱形对角线交于点，如图，
∴，，，
在中，，，根据勾股定理得，
∴，
∴，
∴菱形面积，
∴面积，
∴与菱形的面积之比．
（3）解：设，
∵，，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中，过点作交于点，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
设， ，
∴，整理得 ，
，整理得关于的一元二次方程，
∵要有最大值，方程要有实数根，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∵，即，
∴，
∴，
∴不符合题意舍去，
∴，
∴最大值为．
3．（2026·浙江台州·三模）如图1，在中，，分别是边，上的点，且，过，，三点的交于点．
(1)连结，求证：．
(2)如图2，，为的直径，设，，
①请用的代数式表示．
②若将线段关于直线对称，点的对应点，连结，若时，求的值．
【答案】(1)证明：∵，，
∴，
．
(2)①； ②
【分析】（1）圆周角定理、等角对等边．
（2）利用圆周角定理、三角函数、垂径定理计算．
利用圆周角定理、三角函数、对称性质计算．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连结，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,，
∴，
在,，
∴，
在中，，
∵，
，
，
∴，
∴．
连结,如图，
由对称可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵和是边长，
∴，
∴（不符合题意，舍去），
∴．
题型6 三角函数综合
固定解题模型：综合题先找直角，找不到就作高、连半径或建直角坐标系，把条件翻译成直角三角形里的边角关系。
解题步骤：① 标图，把已知的角、线段与相等关系一条条写清楚；② 选一个含已知量的直角三角形，用三角函数把未知线段表示出来；③ 再用勾股、相似或面积关系收尾，折叠与旋转中注意等量代换。
核心数据：折叠前后对应边、对应角相等；同弧所对的圆周角相等；含30°的直角三角形三边比为1∶∶2。
1．（2026·湖北武汉·三模）如图1，在矩形中，点为的中点，连接，点为上一点，连交于点．交于点，若．
(1)求证：；
(2)若，求的值：（用含的式子表示）
(3)如图2，连接，在（2）的条件下，直接写出的值．（用含的式子表示）
【答案】(1)证明：在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
则
．
(2)
(3)
【分析】（1）由可推出，然后推出互余，继而推出；
（2）结合（1）的结论证，得，根据，点为的中点，化简即可；
（3）设，则，，,以为原点，为轴，为轴，求出和所在直线解析式，然后求出坐标，计算即可．
【详解】（1）略
（2）由第一小问可得，
，
，
，
又是的中点，
，
，
，
，
（3）设，则，，,
以为原点，为轴，为轴，
则，,，如图：
设所在直线的解析式为，且经过，，
则，解得，
所在直线的解析式为，
设所在直线解析式为，且经过，，
则，
解得，
所在直线解析式为，
当时，，，即，
．
2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成．
和角公式的探索：如图①，是锐角三角形．
(1)若，，，求的面积；
(2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：；
(3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________．
【答案】(1)
(2)
证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设，
．
两边同时除以得，
，
，，
．
(3)16
【分析】（1）根据三角形面积公式，然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算；
（2）根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义，，再等量代换推导出两角和正弦公式；
（3）根据与，求出，再利用勾股定理求出高，最后用三角形面积公式算出面积．
【详解】（1）解：
．
（2）证明：略
（3）解：过点作，垂足为．
，
．
设，．
在中，
，，．
，．
．
3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，，连接，将沿折叠，得到，与相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，当为的中点，时，求的值；
(3)如图3，当时，求与的面积比．
【答案】(1)证明：四边形是平行四边形，
，，
由折叠的性质，得，，
，，
又，
．
(2)
(3)
【分析】（1）利用平行四边形性质以及折叠性质，找全等三角形对应边、角相等，用证明全等；
（2）由中点以及全等得，构造等腰直角三角形，求比值；
（3）设，则，结合平行四边形边长关系以及全等，用三角形面积公式分别表示面积求比．
【详解】（1）略
（2）解：如图1，连接，
由（1）知，
，，
为的中点，
，
，互相平分，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质，得，
四边形是平行四边形，，
，，，
又，
，
在中，
，
，
,
．
（3）解：如图2，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
，
设，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在中，
，，
，
，，
在中，根据勾股定理，得：
，
由(1)知，，，
又，
，
，
，
，
即，
，
，
，
与四边形的面积比为．
4．（2026九年级·内蒙古·专题练习）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．
(1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②求的面积；
(2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．
【答案】(1)①，理由如下：
由翻折得，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
又 ，
，
；
②；
(2)
【分析】（1）①由翻折得，，结合平行四边形的性质可证明，推出；②由①得，则，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，，根据三角函数可求出，利用勾股定理求出，即可求解；
（2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，由翻折的性质得，结合，推出，根据等腰三角形的性质可得，利用勾股定理求出，根据等面积法，进而根据勾股定理求出，证明得到，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）①略
②由①得，
，
如图，过点作于点，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，
由翻折的性质得，
，
，
，
，
，
， 即，
，
，
平行四边形中，，，
，
又 ，
，
，
，
，，
，
，
，即，
．
5．（2026·江苏徐州·三模）一副三角板分别记作和，其中，．作于点于点N，如图1．
(1)求证：；
(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的绕C按顺时针方向旋转后，延长交直线于点P，
①当时，如图3，求证：四边形为正方形；
②当时，写出线段的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(2)解：①证明：∵点C与点E重合记为C，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，即，
而，
∴，
∴四边形是正方形；
②，
证明：当时，如图，连接，
由①知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质证明；
（2）①根据正方形的判定定理证明；
②连接，证明，得到，结合解题即可．
【详解】（1）略
（2）略
6．（2026·江苏泰州·二模）已知，在边长为6的正方形中，点E为边上一动点（不与D、C重合），连接，将沿直线折叠，点D的对应点为F，射线交直线于点G．
(1)如图，当点G在边上时，若．
①求的度数；
②求的面积；
(2)如图，过点A作交直线于点H，点M为的中点，，相交于点P．
①试说明点P为的中点；
②如图，点N为的中点，能否为等腰三角形？如果能，求此时的值；如果不能，请说明理由；
【答案】(1)①；②
(2)① ，，
，
，
在和中，，
，
∴，且，
为等腰直角三角形，
∴，
由折叠可设，
∴，，
∴，
∴．
又为中点，
∴垂直平分．
如图，连接，
∴，
∴，
∴平分，且，
∴，
∴为的中点．
②能，或
【分析】（1）①利用正方形邻边相等和直角，结合证，得 ，再由折叠得 ，且 ，从而求出．
②由①得 ，在 中，，结合 及勾股定理求出 ，再计算面积即可．
（2）①通过证明 得 及角的关系，推出，结合为 中点得垂直平分，再由及角平分线，利用等腰三角形“三线合一”得为中点．
②方法一：通过设表示各线段，利用平行得角相等，分、、三种情况，结合正切相等列方程求解，得或．
方法二：通过设表示相关线段，利用勾股定理、中位线定理、三角形相似及中分三种情况列方程，解得或．
方法三：当，由为中点及为中点，证得四边形为正方形，进而推出，当时，通过全等、勾股定理及方程求解，得或．
【详解】（1）①在正方形中，
，
在和中，，
∴，
∴ ，
由折叠可知，，
∴ ，
∴ ．
②在边长为6的正方形中，，
由①得,
，即
，
∴．
（2）①略
②方法一：
设 ，由①得为等腰直角三角形，
点N为的中点，点M为的中点，
，，
为等腰直角三角形，
则 ．
由①知 ，，
∴ ，
∴ ．
在中，．
当 时，，
则，又 ，
由①知 ，
∴ ，
．
当 时，，
，
，
∴
当 时，，
，
，
（舍）
综上所述， 或 ．
方法二：
设，在中，，
在等腰直角中，，
分别为 中点，
，
，
由①得，，
,
,且，
当 ，即 时，
解得．
在 中，．
当 ，即 时，
此时为等腰直角三角形，
，即，
解得 ．
当 ，即 时，
此时为等腰直角三角形，
，即
解得 （舍去）．
综上所述， 或 ．
方法三：
由① 为的中点，且 分别为的中点，
∴ 四边形 为平行四边形，且 ，，即 ，
∴四边形 为正方形，
∴
当 时，，
∴
∴ ，
∴ 为 中点，
∴
∴ 四边形 为正方形，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，且,,
∴ ，
∴ ，
∴ ．
当 时，延长 、 交于点 ，
，
∴ ，
设，即，
，得 ．
由题易得 ，．
,
则，
∴ ，
整理得 ，
配方得 ，
∴ （舍负），解得 （舍负），
∴ ．
当 时，取 中点 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ．
又 ， 为 中点，
∴ （与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾），
∴ 不存在．
综上所述， 或 ．
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重难点专题 特殊角的三角函数值及其运算
题型1 特殊三角形的三角函数
固定解题模型：特殊角要放回它出生的三角形里看——30°在含30°的直角三角形，45°在等腰直角三角形，60°在等边三角形的一半。
解题步骤：① 先认出特殊角，找出或补出它所在的直角三角形；② 设最短的直角边为1，按三边比把三条边都写出来；③ 直接读比值，不必再设未知数。
核心数据：30°所对的直角边是斜边的一半；45°直角三角形三边比为1∶1∶；30°直角三角形三边比为1∶∶2。
1．（2026·浙江温州·三模）如图，图1为《天工开物》记载舂谷工具“碓”的结构简图，图2为其平面示意图．操作时，碓杆绕支点C转动，使碓头点B抬高．已知于点A，与水平线l的夹角为．若分米，分米，，则此时点B到水平线l的距离为（ ）
A．6分米 B．分米 C．分米 D．分米
2．（2026·浙江·模拟预测）如图，为的直径，弦与弦相交于点E，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知正方形的对角线相交于O点，平分交于点E，，交于点G，交于点H．
(1)求的值．
(2)求证：．
(3)求证：．
4．（2026·吉林白山·二模）如图，在中，，，于点，，过点作，交于点，，交于点．动点从点出发以的速度向终点运动，过点作，交于点，交于点．设点的运动时间为，与四边形重叠部分的面积为．
(1) ______， ______；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围．
5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一副三角板和中，，，，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点（如图），现将绕点按顺时针方向旋转（如图），边与相交于点，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是________．
题型2 特殊角三角函数值的混合运算
固定解题模型：先代值、再算乘方与乘除、最后加减，每一步都化成数，不在式子里留三角函数符号。
解题步骤：① 把每个特殊角的函数值代入，绝对值与根号先算掉；② 按先乘方、再乘除、后加减的顺序推进；③ 合并同类项与同类根式，结果化成最简形式。
核心数据：，，；；，，tan45°＝1，tan60°＝。
1．（26-27九年级上·贵州铜仁·期中）计算：
(1)
(2)
2．（26-27九年级上·山东烟台·期中）计算：__________________．
3．（26-27九年级上·吉林长春·期中）计算．
(1)；
(2)．
4．（26-27九年级上·山东烟台·期中）计算：
(1)
(2)
5．（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）计算
(1)
(2)
6．（2026·浙江温州·三模）某小组对两角和的正切公式的证明产生浓厚兴趣．
【背景阐述】
已知：如图所示，在矩形中，点在边上，连接，过点作交边于点（点不与，重合），连结．记，（其中，均为锐角，且）．
求证：
证明：不妨设，
则在矩形中，．
故，即．
因为，所以．
因为，所以．
故，从而．
而在中，．
……
【特例探试】
(1)利用“两角和的正切公式”求的近似值．（参考数据：）
【推理验证】
(2)根据上述推导，补充完整证明过程，求证：．
7．（26-27九年级上·山东泰安·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
题型3 特殊角与三角形形状
固定解题模型：由函数值反查角，先把它化成一个三角函数等于一个数，再对照特殊值定角；求形状就先算三个角，再看最大角。
解题步骤：① 把已知等式整理成 sinA 或 cosA 或 tanA 等于某个数的形式；② 对照特殊值表定出角，注意锐角限定在 0° 到 90° 之间；③ 求得三个角后看最大角，等于 90° 是直角三角形，大于 90° 是钝角三角形，都小于 90° 是锐角三角形。
核心数据：sinA＝时 A＝30°，cosA＝时 A＝60°，tanA＝1时 A＝45°；锐角三角形要求最大角小于 90°。
1．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知锐角满足，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）若，，，则由小到大的顺序为______．
3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则锐角________．
题型4 三角函数值的大小与范围
固定解题模型：锐角范围内正弦与正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小；比大小要么化成同名函数，要么化成同角。
解题步骤：① 看清要比较的是同名还是异名；② 同名比角，角大的正弦正切大、余弦反而小，异名先用互余关系转成同名；③ 求取值范围时把边界角代进去算出端点值，再按单调性决定取不取等号。
核心数据：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0；A＝45°时 sinA＝cosA，A＜45°时 sinA＜cosA，A＞45°时 sinA＞cosA。
1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡
C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关
2．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（ ）
A．小于 B．大于 C．小于 D．大于
3．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）比较，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26九年级上·全国·周测）如图①、图②，锐角的正弦和余弦都随着锐角的度数的确定而确定，也随着其变化而变化．
(1)试探索随着锐角度数的增大，正弦值和余弦值的变化规律，并说明理由．
(2)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，直接比较下列正弦值和余弦值的大小：．
题型5 同角与互余关系求值
固定解题模型：只给一个函数值，用平方关系与商数关系把另外两个推出来；两角互余时，一个的正弦等于另一个的余弦。
解题步骤：① 画一个直角三角形，把已知的比值标在对应边上，设参数表示三边；② 用勾股定理把第三边用同一个参数表示；③ 直接读出所求函数值，或把 sin²A＋cos²A＝1 整体代换求值。
核心数据：sin²A＋cos²A＝1；；A＋B＝90°时 sinA＝cosB，tanA·tanB＝1。
1．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为_____
2．（2026·浙江·二模）在菱形中，点在上，且，如图1，过点的直线，交对角线于点，与关于直线对称，点的对应点在的延长线上，分别交对角线、边于点、．
(1)当时，求的度数．
(2)如图2，当点与对应点重合时，求与菱形的面积之比．
(3)已知，与的长度随的变化而变化，求的最大值．
3．（2026·浙江台州·三模）如图1，在中，，分别是边，上的点，且，过，，三点的交于点．
(1)连结，求证：．
(2)如图2，，为的直径，设，，
①请用的代数式表示．
②若将线段关于直线对称，点的对应点，连结，若时，求的值．
题型6 三角函数综合
固定解题模型：综合题先找直角，找不到就作高、连半径或建直角坐标系，把条件翻译成直角三角形里的边角关系。
解题步骤：① 标图，把已知的角、线段与相等关系一条条写清楚；② 选一个含已知量的直角三角形，用三角函数把未知线段表示出来；③ 再用勾股、相似或面积关系收尾，折叠与旋转中注意等量代换。
核心数据：折叠前后对应边、对应角相等；同弧所对的圆周角相等；含30°的直角三角形三边比为1∶∶2。
1．（2026·湖北武汉·三模）如图1，在矩形中，点为的中点，连接，点为上一点，连交于点．交于点，若．
(1)求证：；
(2)若，求的值：（用含的式子表示）
(3)如图2，连接，在（2）的条件下，直接写出的值．（用含的式子表示）
2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成．
和角公式的探索：如图①，是锐角三角形．
(1)若，，，求的面积；
(2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：；
(3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________．
3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，，连接，将沿折叠，得到，与相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，当为的中点，时，求的值；
(3)如图3，当时，求与的面积比．
4．（2026九年级·内蒙古·专题练习）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．
(1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②求的面积；
(2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．
5．（2026·江苏徐州·三模）一副三角板分别记作和，其中，．作于点于点N，如图1．
(1)求证：；
(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的绕C按顺时针方向旋转后，延长交直线于点P，
①当时，如图3，求证：四边形为正方形；
②当时，写出线段的数量关系，并证明．
6．（2026·江苏泰州·二模）已知，在边长为6的正方形中，点E为边上一动点（不与D、C重合），连接，将沿直线折叠，点D的对应点为F，射线交直线于点G．
(1)如图，当点G在边上时，若．
①求的度数；
②求的面积；
(2)如图，过点A作交直线于点H，点M为的中点，，相交于点P．
①试说明点P为的中点；
②如图，点N为的中点，能否为等腰三角形？如果能，求此时的值；如果不能，请说明理由；
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