2.1.2两条直线平行和垂直的判定 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课题

2.1.2  两条直线平行和垂直的判定

课　型

新授课

课时数

1

授课时间

第___周第___课时

教学目标（学科核心素养）

1．理解两条直线平行与垂直的判定条件，能准确表述“斜率相等”与“斜率之积为−1”这两个充要条件成立的前提，会用符号语言加以表示，发展数学抽象素养。

2．能根据斜率判断两条直线平行或垂直，熟练运用两点坐标求斜率并判断两条直线的位置关系，强化数学运算素养。

3．能运用平行与垂直的判定条件解决三点共线、四边形形状、直角顶点定位等问题，体会用代数方法研究几何问题的坐标法思想，培养逻辑推理与直观想象素养。

教学重点

理解两条直线平行或垂直的判定条件，会用斜率判断两条直线的位置关系。

教学难点

把握判定条件成立的前提（两条直线的斜率都存在），并能运用代数方法解决几何问题。

教学方法

合作探究　　讲练结合

教学过程

一、复习检测（导入新课）

问题1：直线的倾斜角的定义是什么？倾斜角的取值范围是什么？

【答案】当直线与x轴相交时，取x轴为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是。

问题2：什么叫直线的斜率？已知直线上两点，如何计算斜率？

【答案】倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，即；若直线上两点与的横坐标不相等，则斜率公式为。

问题3：求经过A（2，3），B（−4，0）两点的直线的斜率；再求经过P（−3，1），Q（−1，2）两点的直线的斜率。

【答案】；。这两条直线的斜率恰好相等，它们之间的位置关系如何？这正是本节课要研究的问题。

学生活动：学生独立完成上述三个问题，两名学生上台板演问题3，其余同学同桌互查。

教师活动：点评板演，顺势设疑——当两条直线的斜率相等时，这两条直线是什么位置关系？两条直线的斜率满足什么关系时它们互相垂直？由此引出课题并板书标题。

设计意图：复习倾斜角与斜率的概念、斜率公式，为用斜率研究两直线的位置关系做好知识铺垫；问题3的两条直线直接作为后面例1的素材，使复习与新授自然衔接，不让学生感到突兀。

二、探究新知

（一）由斜率判断两条直线平行

问题：平面内两条直线的位置关系有哪几种？当直线与平行时，它们的斜率与满足什么关系？

学生活动：画图并独立思考，尝试用倾斜角与斜率的关系说明理由，小组内交流后派代表发言。

师生共同探究：如图1，若，则它们的倾斜角相等，即，由，，得；反之，当时，，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，因此。

于是，对于斜率分别为，的两条直线，，有：。

图1　两直线平行时倾斜角相等

追问：当两条直线的斜率都不存在时，两直线的位置关系如何？

学生：画出图象可知，此时两条直线都垂直于x轴，所以。

注意：结论的前提是两条直线的斜率都存在，使用时不可忽略；若没有特别说明，“两条直线”指两条不重合的直线。

拓展：用斜率证明A，B，C三点共线的步骤——第一步，求斜率：用三点中任意两点求斜率，如求与；第二步，比斜率：说明；第三步，看公共点：两条直线平行且有公共点B，故它们重合；第四步，下结论：A，B，C三点共线。

设计意图：让学生经历“几何直观—代数刻画”的探究过程，理解平行判定条件的充分性与必要性，发展逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算素养。

（二）由斜率判断两条直线垂直

问题：当时，它们的斜率与满足什么关系？

学生活动：分组讨论，先画出示意图（如图2），再尝试推导，教师巡视并参与小组讨论。

师生共同推导：设，的倾斜角分别为，，不妨设。当时，，所以，于是；反之，当时，同理可逆推得

，故。

图2　两直线垂直的情形

另一角度：上一课时研究过，斜率为的直线的一个方向向量是（1，k），两个方向向量与互相垂直，两种方法殊途同归。

追问：若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，两直线垂直吗？

学生：画图可知，此时一条直线平行于x轴，另一条垂直于x轴，两直线垂直。

注意：的前提是两条直线的斜率都存在且都不为0；当一条直线的斜率为0、另一条的斜率不存在时，两直线也垂直，但不满足，需单独讨论。

两直线的位置关系与斜率的关系汇总如下表：

设计意图：类比平行的探究过程研究垂直，渗透类比思想；从倾斜角与方向向量两个角度推导，沟通知识间的联系；通过追问补全特殊情形，培养学生严谨的思维习惯。

三、体验发现

1．由斜率判断两直线平行

例1　已知A（2，3），B（−4，0），P（−3，1），Q（−1，2），试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论。

解：直线AB的斜率；直线PQ的斜率。