精品解析：陕西西安市曲江第二中学2026-2027学年第一学期期中质量检测高二年级数学试题

西安市曲江第二中学2026-2027学年度第一学期 期中质量检测高二年级（数学）试题 （全卷满分150分，时间120分钟） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若经过，两点的直线的一个方向向量为，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，解得． 2. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 3. 下列命题错误的是（ ） A. 若向量，则 B. 若向量，则 C. 若向量，则在上的投影向量是 D. 若向量，则与共线的单位向量是 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理、模的计算公式、投影向量、单位向量的定义逐项判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以，A正确； 对于B：因为，所以，B正确； 对于C：因为，所以， ，所以在上的投影向量是，C正确； 对于D：因为，所以， 所以与共线的单位向量是，D错误. 4. 已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线长，半径以及圆心到点的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距离的最小值即可. 【详解】圆，其圆心为，半径，则到直线的距离； 设切线长为，则，若最小，则取得最小值，显然最小值为， 故的最小值为，即切线长的最小值为. 故选：A. 5. 在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可. 【详解】连接，如图， 因为是的中点，所以 . 故选：B 6. 如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解. 【详解】解：， ， ， ， 所以， 故选：B 7. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 8. 已知直线，圆，以下说法不正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，明确直线是过定点的直线，根据直线与圆的位置关系，可判断A的真假；根据的长度判断B的真假；求过点的圆的切线，根据切线的斜率判断C的真假；当时，根据点到直线的距离判断D的真假. 【详解】如图： 直线即，所以直线过定点. 圆的圆心为，半径为：1. 对A：如图所示，直线与圆不一定有公共点，故A选项内容正确； 对B：当直线变化时，圆心到直线的最大距离为， \且，故B选项内容正确； 对C：若直线与圆相交，则：，故C选项内容错误； 对D：当时，直线：，此时，圆心到直线的距离为：， 又圆的半径为，所以圆上到直线的距离等于的点有三个， 故D选项内容正确. 故选：C 二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 已知直线的方向向量分别为， 平面α的法向量， 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】BC 【解析】 【分析】由数量积的坐标表示逐项判断即可. 【详解】由，可得：， 故故A错，B对. 由可得：， 所以，故C对，D错， 故选：BC 10. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 设，，，则为空间的一个基底 B. 已知向量，，则为钝角 C. 已知向量，，则在上的投影向量的模长为1 D. 若对空间中任意一点P，都有，则A，B，C，D四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用空间向量基本定理判断三个向量不共面即得；对于B，利用空间向量夹角公式计算即可判断；对于C，利用投影向量的公式计算即得；对于D，利用空间向量共面定理判断即得. 【详解】选项A：， 假设存在实数使得，代入坐标得， 显然方程无解，故三个向量不共面，因此可作为空间的一组基底，A正确。 选项B：，因此，可知不属于钝角，B错误； 选项C：，， 在上的投影向量为，其模长为，C正确； 选项D：根据空间四点共面的向量判定定理可知，若对空间任意一点， 存在实数满足，且，则四点共面， 本题中，满足，因此四点共面，D正确.  11. 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ） A. 为定值 B. 的周长的取值范围是 C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D. 【详解】设椭圆的左焦点为，则 所以为定值，A正确； 的周长为，因为为定值6， 所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误； 将与椭圆方程联立，可解得， 又因为，∴ 所以为直角三角形，C正确； 将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程. 【详解】联立，解得， 因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率为， 所以所求直线方程，即 故答案为： 13. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出过直线方程，由直线平行求出，再由平行线间距离公式得解. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 故答案为： 14. 已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为________________. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而可得离心率． 【详解】解：设，， 是线段的中点， ，两式相减可得， 整理得，即， ∵弦的斜率为 ，即 ． 故答案为：． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆的圆心在坐标原点，且过点． （1）求圆的方程； （2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． （3）已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出即为圆的半径，从而求出圆的方程； （2）求出直线的斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得； （3）求出圆心到直线的距离，从而求出点到直线的距离的最大值. 【小问1详解】 依题意圆的半径为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为直线的斜率，所以直线的斜率为， 直线的方程为，即； 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 所以到直线的距离的最大值为. 16. 如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EB//PA,AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点. （1）求证AFPC （2）BD//平面PEC （3）求二面角D-PC-E的大小 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）150°. 【解析】 【分析】（1）依题意，PA⊥平面ABCD．以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥PC． （2）取PC的中点M，连接EM．推导出BD∥EM，由此能证明BD∥平面PEC． （3）由AF⊥PD，AF⊥PC，得AF⊥平面PCD，求出平面PCD的一个法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣E的大小． 【详解】（1）依题意，平面ABCD，如图，以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系． 依题意，可得 A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4,0,0）， P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2） ∵，， ∴，∴.. （2）取PC的中点M，连接EM. ∵，， ∴，∴. ∵平面PEC，平面PEC， ∴BD//平面PEC. （3）因为AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC＝P， 所以AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量． 设平面PCE的法向量为， 因为，， 所以即 令y＝﹣1，得x＝﹣1，z＝﹣2，故． 所以， 所以二面角D﹣PC﹣E的大小为． 【点睛】本题考查用空间向量解决线线垂直、线面平行的证明及二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 17. 已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程； （2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值． 【小问1详解】 由离心率，则， 又上顶点，知，又，可知，， ∴椭圆E的方程为； 【小问2详解】 设直线l：，设，， 则，整理得：， ，即， ∴，， ∴， 即，解得：或（舍去） ∴ 18. 如图，在正三棱柱中，，分别为的中点. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，距离为 【解析】 【分析】（1）分别取中点O，，连接，进而以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可； （2）假设存在点G，设，进而根据得，再计算点到面的距离即可. 【小问1详解】 分别取中点O，，连接. 因为是正三棱柱， 所以平面，. 所以平面，平面，所以. 以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的法向量为， 所以，即 令，解得，所以. 设直线与平面所成角为，， 则， 所以. 即直线与平面所成角为. 【小问2详解】 假设存在点G，设. 所以，所以. 由知，若， 则. 解得.即G与C为同一个点. 因为，平面的法向量为， 所以点G到平面的距离. 19. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值. 【小问1详解】 由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市曲江第二中学2026-2027学年度第一学期 期中质量检测高二年级（数学）试题 （全卷满分150分，时间120分钟） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若经过，两点的直线的一个方向向量为，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 3. 下列命题错误的是（ ） A. 若向量，则 B. 若向量，则 C. 若向量，则在上的投影向量是 D. 若向量，则与共线的单位向量是 4. 已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，圆，以下说法不正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上有三个点到的距离为 二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 已知直线的方向向量分别为， 平面α的法向量， 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 或 10. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 设，，，则为空间的一个基底 B. 已知向量，，则为钝角 C. 已知向量，，则在上的投影向量的模长为1 D. 若对空间中任意一点P，都有，则A，B，C，D四点共面 11. 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ） A. 为定值 B. 的周长的取值范围是 C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程为______． 13. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 14. 已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为________________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知圆的圆心在坐标原点，且过点． （1）求圆的方程； （2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． （3）已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最大值． 16. 如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，EB//PA,AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点. （1）求证AFPC （2）BD//平面PEC （3）求二面角D-PC-E的大小 17. 已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 18. 如图，在正三棱柱中，，分别为的中点. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $