浙江湖州市第五中学2026-2027学年九年级上学期数学期中考卷

2026-2027学年浙江省湖州五中 九年级（上）期中数学试卷 考生须知： 1．试卷分为试题卷和答题卷，答题卷共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．所有答案写在答题卷上，做在试题卷上不得分，请勿在答题区域外答题． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列成语或词组所描述的事件，不可能事件的是（　　） A. 十拿九稳 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 守株待兔 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件在给定条件下能否发生进行判断． 【详解】水中的月亮是月亮的倒影，无法从水中捞出月亮，属于不可能事件．故选C． 2. 已知的半径为5．若，则点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】比较点到圆心的距离与半径的大小． 【详解】因为，所以点在内．故选A． 3. 把二次函数先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移前后抛物线的开口方向和形状相同，顶点随图象一起移动． 【详解】原抛物线的顶点为，向右平移3个单位、向上平移2个单位后，顶点为．二次项系数仍为3，所以所得解析式为．故选D． 4. 如图，已知是的圆心角，，则圆周角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半． 【详解】因为和所对的弧相同，所以．故选B． 5. 对于函数，下列结论错误的是（　　） A. 图象顶点是 B. 图象开口向上 C. 图象关于直线对称 D. 函数最大值为4 【答案】B 【解析】 【分析】由顶点式判断开口方向、顶点、对称轴和最值． 【详解】二次项系数为，所以图象开口向下，B项错误． 顶点为，对称轴为直线，函数最大值为4．故选B． 6. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%左右，则口袋中红色球可能有（　　） A. 4个 B. 6个 C. 10个 D. 30个 【答案】C 【解析】 【分析】用大量重复试验中趋于稳定的频率估计概率． 【详解】摸到红球的概率约为25%，所以红球个数约为．故选C． 7. 在圆内接四边形中，的度数之比可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆内接四边形的两组对角分别互补，所以两组对角的份数和相等． 【详解】、的份数之和应等于、的份数之和． 四个选项中，只有B满足．故选B． 8. 如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔，的张角应满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】沿的方向找出弧上的点，用同弧所对的圆周角和三角形外角比较张角． 【详解】按图，船在所在直线靠弓形的一侧航行．当船在弧上时，张角等于． 当船在弓形外时，设线段与弧交于点（异于）．在中，是外角，所以． 当船在弓形内时，沿延长至弧上的点．在中，是外角，所以．因此应满足．故选D． 9. 已知二次函数（）的图象如图所示．有下列4个结论： ① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】从开口方向、对称轴、与两坐标轴的交点以及处的图象位置逐项判断． 【详解】① 抛物线开口向下，．对称轴为，即，所以．图象与轴交于正半轴，所以，故，①正确． ② 当时，图象在轴下方，所以，②错误． ③ 由得，③正确． ④ 图象与轴有两个不同交点，所以，④正确． 正确的结论有①③④，共3个．故选C． 10. 如图，是的直径，点，在上，，，， 则的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把弦绕旋转到与相邻的位置，再作垂线构造等腰直角三角形． 【详解】过作的垂线，交下半圆于．将绕逆时针旋转，落在，落在，所以． 按图，在劣弧上，而，所以． 过作，垂足在延长线上．因为，所以是等腰直角三角形． 由得，从而．在中，由勾股定理得． 在等腰直角三角形中，，所以的半径为．故选C． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】用二次函数的顶点式确定顶点坐标． 【详解】因为，所以顶点坐标为． 12. 将，，，分别写在四张同样的卡片上，从中随机抽取1张， 卡片上的数为无理数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】从4张卡片中随机抽取1张，每张被抽到的可能性相同． 【详解】四个数中，和是无理数，和3.14是有理数．所以所求概率为． 13. 一个扇形的圆心角为，面积是，则这个扇形的半径为________． 【答案】6 【解析】 【分析】将圆心角和面积代入扇形面积公式． 【详解】设扇形的半径为．由，得．因为，所以． 14. “藻井垂珠实，素壁绘金图”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．如图，是一幅“藻井”的图案，其外轮廓为正方形内接正八边形，已知正方形边长为2米，则正八边形的边长为________米． 　 【答案】 【解析】 【分析】正方形的四个角各截去一个等腰直角三角形，利用正八边形的边都相等列方程． 【详解】正八边形每个内角为，所以每个角上截去的直角三角形的两个锐角均为．四个三角形的斜边都是正八边形的边，因而它们的直角边也等长． 设所截三角形的直角边长为米，则其斜边长为米，而．由得．所以米． 15. 已知二次函数（），当时，的最小值为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以最大时，函数值最小． 【详解】当时，离对称轴最远，此时．因此的最小值为．由得． 16. 已知以为直径的圆，为的中点，为上任意一点，交于点． 连接，若，的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆周角得到为等腰直角三角形，再通过旋转确定动点的运动轨迹． 【详解】因为是半圆的中点，所以，从而．在中，，，所以． 如图，将图形绕点顺时针旋转，点落到，点落到．设圆心落到点，则为边长4的正方形，点在以为圆心、4为半径的四分之一圆弧上． 在直角三角形中，．由三角形三边关系，．射线位于内部，故其与弧的交点可以取到，此时在线段上，等号成立．所以的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （8分）已知二次函数的图象经过点和点． （1）求二次函数的解析式． （2）求二次函数图象与轴、轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）与轴的交点为、，与轴的交点为 【解析】 【分析】先用待定系数法求函数解析式，再分别令和求与坐标轴的交点． 【小问1详解】 解：把和代入，得，． 整理得，．两式相减得，再得，所以． 【小问2详解】 解：令，得，所以或． 令，得．所以图象与轴交于、，与轴交于． 18. （8分）在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据．将所得数据分为四组（：，：，：，：），并绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为________． （2）若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数． （3）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40，，条形统计图见详解 （2）280人 （3） 【解析】 【分析】利用组人数及占比求样本容量，用样本比例估计总体，并列举任选两人的等可能结果． 【小问1详解】 解：由组有22人、占55%，得抽样人数为（人）． 组有（人），补全条形统计图如下． 组对应扇形的圆心角为． 【小问2详解】 解：每日平均睡眠时长大于等于9小时的是、两组． 估计该校符合条件的九年级学生有（人）． 【小问3详解】 解：两名男生记为男甲、男乙，两名女生记为女甲、女乙．任选两人共有6种等可能结果： 男甲和男乙、男甲和女甲、男甲和女乙、男乙和女甲、男乙和女乙、女甲和女乙． 其中一男一女有4种，所以所求概率为． 19. （8分）如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是，． （1）作出绕点逆时针旋转以后的图形． （2）求出点在旋转过程中所经过的路径的长度． （3）点在轴上，当的值最小时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）见详解，， （2） （3） 【解析】 【分析】在网格上作旋转，用弧长公式求运动路径的长度，用轴对称将两段距离之和转化为一条直线段的长度． 【小问1详解】 解：分别将、逆时针转过，得、．连接、、，如图所示． 【小问2详解】 解：由勾股定理，．点走过以为圆心、为半径、圆心角为的弧，弧长为． 【小问3详解】 解：的坐标为．把关于轴对称到，则．当为线段与轴的交点时，最小． 直线经过和，求得其解析式为，令即得的坐标． 20. （8分）如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点，若 cm， cm． （1）求的长． （2）若大圆半径为10 cm，求小圆的半径． 【答案】（1）5 cm （2） cm 【解析】 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理分别平分两弦，再用勾股定理求半径． 【小问1详解】 解：作，垂足为．由垂径定理得 cm， cm． 所以 cm． 【小问2详解】 解：在直角三角形中， cm． 在直角三角形中， cm，所以小圆的半径为 cm． 21. （8分）商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元．经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，每组手办每降价1元销售，每天销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示：① 每一组手办的利润是________． 　　　　　　　　　　② 每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当每组手办降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）① 元　② 组 （2）5元或15元 （3）降价10元，最大利润为3600元 【解析】 【分析】用每组利润乘以日销量得到每天的利润，再用配方法求指定利润对应的降价和利润最大值． 【小问1详解】 解：① 每组手办的利润为（元）． ② 每天可销售的手办组数为组． 【小问2详解】 解：设每天的利润为元，则． 由，得，解得或． 因此每组手办降价5元或15元时，每天的利润为3500元． 【小问3详解】 解：因为，所以，且当时取等号．此时售价90元，符合题意．因此每组手办降价10元时，每天的利润最大，为3600元． 22. （10分）2026年10月11日我国运动员郑钦文在中国网球公开赛上夺得女单冠军，实现了在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中，为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系，运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． 　　 （1）求抛物线的解析式． （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由． （3）运动员在第二次击球时仍然在点处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为（）．网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求的最大值． 【答案】（1） （2）越过球网，并落在对方区域内 （3） 【解析】 【分析】根据顶点和击球点确定第一条抛物线，再用球网处的高度和落地点判断．第二次击球先由指定位置的高度求的上界，再检验上界是否可取． 【小问1详解】 解：设抛物线为．把代入得，解得． 所以． 【小问2详解】 解：球网在处，当时，，所以球能越过球网． 令，得，解得或．网球从向右飞行，落地点的横坐标为9． 因为米，且，所以网球落在对方区域内． 【小问3详解】 解：把代入第二条抛物线，得，即． 当时，．由，得． 检验时，．在处，，网球能越过球网． 令，得，向右飞行时的落点横坐标是． 由于，所以，落点在对方区域内． 因此的最大值为． 23. （10分）问题背景：如图1，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系． 小杨同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处，点、分别落在点、处（如图2），，．因为在四边形中，，所以，所以，点、、在同一条直线上．易证是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 　　　 简单应用：利用已学知识和小杨得出的结论，解决以下问题． （1）如图1，，，若，，求的长． （2）如图3，已知是的直径，点、在上，．求证：． 拓展延伸： （3）如图4，，，是四边形的外接圆，若，，求的长． 【答案】（1） （2）见证明 （3） 【解析】 【分析】前两问先确认直角和等腰条件，再用题中结论．第（3）问中、在同侧，可绕旋转，把与、的差联系起来． 【小问1详解】 解：在中，． 由题中结论，得． 【小问2详解】 证明：因为是的直径，所以．又因为，所以． 图3中、在两侧，符合题中四边形的条件，由题中结论得． 【小问3详解】 解：将绕点逆时针旋转．由且，知点落在点． 设点落在点，则． 是由旋转所得，所以．又，故、、共线．图4中从指向的方向斜向右上，逆时针旋转后斜向左上，所以与在的同侧． 由且得．由旋转知且，所以．因此． 24. （12分）已知二次函数的图象过点． （1）求二次函数的表达式． （2）若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （3）若点和都在二次函数的图象上，且．对于某一个实数，若的最小值为1，则的最大值为多少？ 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】先代入已知点确定．第（2）问用条件消去一个未知量后配方．第（3）问利用抛物线的对称性表示同一高度上的横坐标，比较可能的横坐标之差． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得． 所以． 【小问2详解】 解：由得． 所以，即 ． 当、时取到最小值． 【小问3详解】 解：由、知．设，，则． 因为，，且，所以．当时，最小；当时，最大． 由且，得．所以的最大值为2． 第1页/共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙江省湖州五中 九年级（上）期中数学试卷 考生须知： 1．试卷分为试题卷和答题卷，答题卷共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．所有答案写在答题卷上，做在试题卷上不得分，请勿在答题区域外答题． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列成语或词组所描述的事件，不可能事件的是（　　） A. 十拿九稳 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 守株待兔 2. 已知的半径为5．若，则点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 3. 把二次函数先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得二次函数的解析式是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知是的圆心角，，则圆周角的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 对于函数，下列结论错误的是（　　） A. 图象顶点是 B. 图象开口向上 C. 图象关于直线对称 D. 函数最大值为4 6. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%左右，则口袋中红色球可能有（　　） A. 4个 B. 6个 C. 10个 D. 30个 　　　 7. 在圆内接四边形中，的度数之比可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔，的张角应满足的条件是（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（）的图象如图所示．有下列4个结论： ① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，是的直径，点，在上，，，， 则的半径为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 二次函数的顶点坐标为________． 12. 将，，，分别写在四张同样的卡片上，从中随机抽取1张， 卡片上的数为无理数的概率是________． 13. 一个扇形的圆心角为，面积是，则这个扇形的半径为________． 14. “藻井垂珠实，素壁绘金图”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．如图，是一幅“藻井”的图案，其外轮廓为正方形内接正八边形，已知正方形边长为2米，则正八边形的边长为________米． 　　 15. 已知二次函数（），当时，的最小值为，则的值为________． 16. 已知以为直径的圆，为的中点，为上任意一点，交于点． 连接，若，的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （8分）已知二次函数的图象经过点和点． （1）求二次函数的解析式． （2）求二次函数图象与轴、轴的交点坐标． 18. （8分）在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据．将所得数据分为四组（：，：，：，：），并绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为________． （2）若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数． （3）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 19. （8分）如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是，． （1）作出绕点逆时针旋转以后的图形． （2）求出点在旋转过程中所经过的路径的长度． （3）点在轴上，当的值最小时，直接写出点的坐标． 20. （8分）如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点，若 cm， cm． （1）求的长． （2）若大圆半径为10 cm，求小圆的半径． 21. （8分）商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元．经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，每组手办每降价1元销售，每天销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示：① 每一组手办的利润是________． 　　　　　　　　　　② 每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当每组手办降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 22. （10分）2026年10月11日我国运动员郑钦文在中国网球公开赛上夺得女单冠军，实现了在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中，为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系，运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． 　　 （1）求抛物线的解析式． （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由． （3）运动员在第二次击球时仍然在点处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为（）．网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求的最大值． 23. （10分）问题背景：如图1，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系． 小杨同学探究此问题的思路是：将绕点逆时针旋转到处，点、分别落在点、处（如图2），，．因为在四边形中，，所以，所以，点、、在同一条直线上．易证是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 　　　 简单应用：利用已学知识和小杨得出的结论，解决以下问题． （1）如图1，，，若，，求的长． （2）如图3，已知是的直径，点、在上，．求证：． 拓展延伸： （3）如图4，，，是四边形的外接圆，若，，求的长． 24. （12分）已知二次函数的图象过点． （1）求二次函数的表达式． （2）若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （3）若点和都在二次函数的图象上，且．对于某一个实数，若的最小值为1，则的最大值为多少？ 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 $