专题07 立体几何与空间向量专题训练-2027届高三数学二轮复习

2027届高考数学二轮复习专题强化训练（全国通用）　｜　专题07　立体几何与空间向量 2027届高考数学二轮复习专题强化训练 专题07　立体几何与空间向量题型强化（解析版） 本卷共 19 题：单项选择题 8 题、多项选择题 3 题、填空题 3 题、解答题 5 题．建议用时 120 分钟． （题号后括号内为该题母题来源与年份；每题附答案、分步解析与点睛．） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·江浙皖10月联考·同考点）已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 ，则该四棱锥的体积为（　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】空间几何体的体积 【答案】B 【解析】 底面正方形对角线的一半为 ，故高 。 于是 ，故选 B。 【点睛·易错提醒】正四棱锥的高、侧棱与底面中心到顶点的距离构成直角三角形，底面中心到顶点的距离是对角线的一半 ，不是边长 2；混淆这两者会得到 而误选 D。 2．（2026·连云港期中·改编）已知 是两条异面直线， 是两个平面，，，，则下列结论一定正确的是（　） A． 与 都相交 B． 至少与 中的一条相交 C． 与 都不相交 D． 与 都平行 【难度】★★　【知识点】空间线面位置关系 【答案】B 【解析】 若 与 都不相交，因 共面于 ，必有 ；同理 。 于是 ，与 异面矛盾，故 至少与其中一条相交，选 B。 【点睛·易错提醒】论证只用到“同一平面内不相交即平行”和“平行的传递性”；A 过强（可能只与一条相交），C、D 与异面条件矛盾。可用教室墙面与地面的交线作直观模型。 3．（2026·清华附中10月月考·同考点）已知空间向量 ，，则 在 上的投影向量为（　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】空间向量的投影 【答案】A 【解析】 ，，故投影向量为 ，选 A。 【点睛·易错提醒】投影“向量”是 ，投影“数量”才是 ；D 把数量当成了向量分量，是最典型的错误。 4．（2026·新课标Ⅱ卷·同考点）在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，异面直线 A₁B 与 B₁C 所成的角为（　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】异面直线所成角 【答案】C 【解析】 设棱长为 1，则 ，。 故 ，，选 C。 【点睛·易错提醒】异面直线所成角取锐角或直角，余弦须取绝对值；也可平移 B₁C 到 A₁D 后，在等边三角形 A₁BD 中直接看出 60°。 5．（2026·广东领航联考·同考点）在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，，，则该三棱锥外接球的表面积为（　） A． B． C． D． 【难度】★★★　【知识点】外接球与补形 【答案】C 【解析】 以 为原点建立坐标系：，，，。 由三组等距条件解得球心 ，。 故外接球表面积 ，选 C。 【点睛·易错提醒】三条两两垂直的棱可补成长方体，外接球直径即长方体体对角线；本题 与底面边长不同，不能套用正方体结论误算成 。 6．（2026·河北沧州二模·同考点）在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，AB⊥AC，，则直线 A₁B 与平面 BCC₁B₁ 所成角的正弦值为（　） A． B． C． D． 【难度】★★★　【知识点】直线与平面所成角 【答案】B 【解析】 取 ，，，，则平面 的一个法向量 。 ，故 ，选 B。 【点睛·易错提醒】侧面 BCC₁B₁ 的法向量不是底面的法向量，需由两侧棱方向叉乘得到；线面角用 ，别误用余弦。 7．（2026·南京七校联合体10月调研·改编）棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，过棱 AB、BC、CC₁、C₁D₁、D₁A₁、A₁A 的中点的截面为正六边形，则该截面的面积为（　） A． B． C． D． 【难度】★★★★　【知识点】正方体截面 【答案】B 【解析】 建立坐标系可验证六个中点均满足 ，故共面；相邻两中点的距离为 ，即正六边形边长为 。 面积 ，选 B。 【点睛·易错提醒】先证共面再算边长；正六边形面积 = 6 个边长为 的正三角形之和。误把边长当成正方体棱长 2 会得到 D。 8．（2026·天域全国名校协作体联考·改编）连接棱长为 2 的正方体六个面的中心，得到一个正八面体．在该正八面体的 12 条棱中，与任意一条给定棱异面的棱共有（　）条 A． B． C． D． 【难度】★★★★　【知识点】正八面体与异面直线 【答案】C 【解析】 给定一条棱，与它共顶点的棱有 条，与它平行且不共顶点的棱有 1 条。 其余 条棱既不相交也不平行，即与它异面，故选 C。 【点睛·易错提醒】“异面”= 不相交且不平行；按“共顶点 6 条 + 平行 1 条”分类最不易漏。若改问对数，须再乘 12 并除以 2 得 24 对。 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．（2026·绍兴11月诊断·同考点）已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（　） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 【难度】★★★　【知识点】线面平行垂直的判定与反例 【答案】AC 【解析】 A：垂直于同一平面的两条直线互相平行，A 正确。 B：平行于同一平面的两条直线可以相交、平行或异面，B 错误。 C：一条直线同时垂直于两个不重合的平面，则这两个平面平行，C 正确。 D：两平面垂直时，一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直另一平面，D 错误。 【点睛·易错提醒】判断假命题只需一个反例：B 可在同一平面内取两条相交直线，D 可取与交线平行的直线；注意 C 的前提是 α、β 不重合。本题纯靠判定定理与反例，不必建系。 10．（2026·重庆渝中模拟预测·同考点）在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，点 P 在线段 CD 上（含端点）运动，则（　） A．存在 P 使 B．△ABP 面积最小值为 C．体积最大值为 D．AP+BP 的最小值为 【难度】★★★★　【知识点】正四面体中动点的最值与存在性 【答案】BCD 【解析】 设 O 为 CD 的中点，则 且 ，；记 ，。 由 知 恒成立，，故 ∠APB 恒为锐角，A 错误。 取 AB 中点 M，则 为 △ABP 的高，面积 ，最小值 ，B 正确。 P 到平面 ABC 的距离随 CP 线性增大，最大为四面体的高 ，故体积最大值 ，C 正确。 在 时取最小值 ，D 正确。 【点睛·易错提醒】先证 是本题的题眼：O 为 CD 中点时 AO、BO 都垂直 CD，四条结论就统一化为关于 的函数。C 别漏乘 ，也不要把高 与底面面积 混用。 11．（2026·广东实验中学10月月考·同考点）在空间直角坐标系中，已知 、、，O 为坐标原点．点 P 在线段 AB 上（含端点），点 Q 在线段 OC 上（含端点），则（　） A． 的最小值为 B．存在 P、Q 使 C． 的最大值为 D．存在 P、Q 使 平面 ABC 【难度】★★★★★　【知识点】双动点、空间向量坐标化与存在性 【答案】ABC 【解析】 设 ，，，，则 。 ，在 ， 时取最小值 2，故 的最小值为 ，A 正确。 ，，取 即为 0，故存在 P、Q 使两向量垂直，B 正确。 ，， 时最大值为 4，C 正确。 平面 ABC 为 ，法向量 ；若 平面 ABC，需 ，得 ， 不合 ，D 错误。 【点睛·易错提醒】双动点必须先把 的三个分量都写成 s、t 的一次式，再分别按二次函数、点积、共线条件处理。D 的陷阱是解出的 越界；“直线与平面垂直”要求方向向量与法向量共线，不是与平面内某条直线垂直。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．（2026·陕西咸阳二模·同考点）在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点 C 到平面 A₁BD 的距离为________． 【难度】★★★★　【知识点】点到平面的距离 【答案】 【解析】 取 ，则 ，，，。 平面 的方程为 ，法向量 。 故 ，。 【点睛·易错提醒】平面方程可由三个截距点直接写成 ；分子取绝对值，别漏掉 C 的 z 坐标为 0。 13．（2026·武汉硚口7月起点检测·同考点）在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点 P 在线段 CC₁ 上（含端点）运动，则三棱锥 P-A₁BD 体积的最小值为________． 【难度】★★★★　【知识点】动点与体积最值 【答案】 【解析】 设 ，，平面 为 。 到该平面的距离 ，且 。 故 ，在 （即 ）时取最小值 。 【点睛·易错提醒】体积随 t 线性增加，最小值在端点 C 取得；注意 而非 ，系数 1/3 与 2 都要保留，容易少乘因子 2 误得 。 14．（2026·江西九江一模·同考点）在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 为棱 BB₁ 的中点，则平面 A₁EC 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为________． 【难度】★★★★　【知识点】二面角的向量求法 【答案】 【解析】 取 ，，，则 ，。 叉乘得平面 的法向量 ，底面法向量为 。 故 。 【点睛·易错提醒】取锐二面角，余弦取绝对值；法向量可约去公因数，不要在叉乘后忘记化简再算模。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·河北沧州二模·同考点）（13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA⊥平面 ABCD，，E 为棱 PD 的中点． ( A B C D P ) （1）证明：PB∥平面 AEC； （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值． 【难度】★★★　【知识点】线面平行与线面角 【答案】见解析 【解析】 （1）连结 BD 交 AC 于 O，则 O 为 BD 的中点；又 E 为 PD 的中点，故 OE∥PB（中位线）。 因 OE 在平面 AEC 内、PB 不在平面 AEC 内，所以直线 PB∥平面 AEC。 （2）取 ，，，，。 ；由 ， 得平面 PCD 的法向量 。 故 。 【点睛·易错提醒】第（1）问用“中位线找平行线”而不必建系；第（2）问务必用法向量求线面角的正弦，且最后要说明 PB 不在平面内才能用平行判定。 16．（2026·重庆一模·同考点）（15 分）如图，在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，AB⊥AC，，，D 为棱 BC 的中点． ( A B C A₁ B₁ C₁ ) （1）证明：平面 A₁AD⊥平面 BCC₁B₁； （2）求二面角 A₁-BC-A 的余弦值． 【难度】★★★　【知识点】面面垂直与二面角 【答案】见解析 【解析】 （1）取 ，，，，。 平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，两者点积为 0，故两平面垂直。 （2）由 ，，且 AD⊥BC，A₁D⊥BC，故 为二面角的平面角。 ，即所求余弦值为 。 【点睛·易错提醒】第（2）问也可用法向量，但先证 AD、A₁D 都垂直 BC 再用定义更省事； 别误算成 。 17．（2026·甘肃金昌三模·同考点）（15 分）在边长为 2 的正方形 ABCD 中，沿对角线 AC 将 △ABC 折起，使点 B 到达点 P，且平面 PAC⊥平面 ACD． ( A C D P ) （1）证明：PD⊥AC； （2）求点 A 到平面 PCD 的距离． 【难度】★★★★　【知识点】翻折问题与建系 【答案】见解析 【解析】 折前 B 到 AC 的距离为 ，垂足为 AC 中点 ；折起后 且平面 PAC⊥平面 ACD，故 平面 ACD。 取 ，，，，可验证 与折叠前一致。 （1），，，故 PD⊥AC。 （2），，叉乘得平面 PCD 的法向量 ，平面方程为 。 故 。 【点睛·易错提醒】折叠只改变位置，不改变线段长度与垂直关系；关键是先把“面面垂直”转成 PH⊥底面，才能定出 P 的坐标。D 点坐标易写成 (2,0,0)，需按正方形顶点顺序核对。 18．（2026·连云港期中·改编）（17 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA⊥平面 ABCD，，点 E 在线段 PD 上，且 ，． ( A B C D P ) （1）证明：平面 PAC⊥平面 PBD； （2）求四棱锥 P-ABCD 外接球的表面积； （3）若直线 CE 与平面 PAC 所成角的正弦值为 ，求 的值． 【难度】★★★★★　【知识点】面面垂直、外接球与含参线面角 【答案】见解析 【解析】 取 ，，，，。 （1）正方形中 BD⊥AC，又 PA⊥底面得 PA⊥BD，故 BD⊥平面 PAC；而 BD 在平面 PBD 内，所以平面 PAC⊥平面 PBD。 （2）补成棱长为 2 的正方体，球心为体对角线中点 ，，故 。 （3），；平面 PAC 的法向量 。 ，，故 。 令其等于 ，平方整理得 ，解得 （ 舍去）。 回代验证： 时 ，，，成立。 【点睛·易错提醒】第（3）问含 λ 的模长要保留 ，平方前先约去 可大幅减少运算；解出后必须检验 并回代，避免增根。 19．（2026·新课标Ⅰ卷·同考点）（17 分）在四面体 O-ABC 中，、、 两两垂直，且 ．对实数对 ，若 ，则称 为点 M 的“型数对”，称 M 为“(p,q) 型点”．记 ，． （1）求使 的型数对应满足的关系，并判断此时 M 是否一定在平面 ABC 内； （2）求 的最小值及此时的型数对； （3）设 M 为“(p,q) 型点”且 ，若存在 使 且 ，求 t 的取值范围，并求 的最小值． 【难度】★★★★★　【知识点】新定义、空间向量坐标化与二次函数最值 【答案】见解析 【解析】 取 ，，，，则 。 （1），故 ，由 得 。 因三个系数之和 ，M 始终是 A、B、C 的仿射组合，故 M 一定在平面 ABC 内。 （2）。令 ，由 得 ， 等号当且仅当 ，故最小值为 ，此时型数对为 。 （3）由 与 得 ，代入得 。 条件化为 ，即 ，解得 ；结合 得 。 又 在该区间上单调递增，故最小值为 ，取于 。 【点睛·易错提醒】新定义题第（1）问先把定义等式坐标化，不要急于求最值；系数和为 1 是“M 在平面 ABC 内”的关键。第（3）问先把 φ 化成关于 t 的二次函数，再由不等式定出 t 的范围，最后注意 单调递增，最小值在左端点而非中点。 教师备课参考　专题07　立体几何与空间向量 一、本专题高频易错点清单 1．顶点命名须按正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的顺序，把 D 写成 (2,0,0) 会导致全部坐标连锁出错（第12、13、14题）。 2．正四面体棱长为 a 时，外接球半径 、高 、内切球半径 三个量不可混用（第5、18题）。 3．线面角用 ，二面角用法向量夹角并注意取锐角；两者公式不可互换（第6、14、15题）。 4．投影“向量”与投影“数量”相差一个单位向量，第3题 D 选项就是典型混淆。 5．翻折题只保长度与垂直关系，不保角度与面积；须先把“面面垂直”转成某条线垂直底面才能定出点坐标（第17题）。 6．含参问题解出参数后必须检验范围并回代，第18题 是平方产生的增根；第19题须先定 t 的范围再求最值。 7．三道多选按“定性反例 → 单动点对称化 → 双动点参数化”递进：第9题只需反例，第10题先证 AP=BP，第11题必须把 的三个分量都写成参数的一次式；一律建系硬算会淹没层次（第9–11题）。 8．外接球“补形”有前提：共顶点的三条棱互相垂直才可补成长方体，第5题补形前须先验证垂直；球心在对角线三分点处（如正棱锥）另用 系数体系。 9．第8题截面与第17题翻折要对照讲评“翻折不变量”：原图中的边长与垂直关系哪些保留、哪些失效，动笔前先用红笔标注，可避免一半以上坐标错误。 二、讲评建议 1．先花 5 分钟统一“建系 → 写点 → 求法向量 → 套公式”四步板书，再讲第6、11、12、14题，可显著降低运算失误。 2．外接球板块按“补成长方体 → 体对角线为直径”一条主线连讲第5、18题；截面与正八面体放在直观想象环节演示第7、8题。 3．第15、16题用几何法证平行垂直、坐标法求角，让学生体会“证明用几何、计算用向量”的分工；第17题当堂用纸片演示翻折。 4．第19题按“读定义 → 第（1）问坐标化 → 第（3）问化二次函数”三步推进，先让学生自己写出 M 的坐标与 φ(M) 的表达式。 5．三道多选按“定性反例 → 对称化最值 → 双动点参数化”三级梯度讲评（第9–11题）：先让学生说出每题该用什么工具再动笔；第11题的 t 越界是压轴处的典型失分点。 6．第2、4、8题先让学生“读图定体、数据入表”再动笔：外接球与截面题先补全图形再计算；第12题建系前先让学生口述每条棱的长度与坐标来源，杜绝凭空想象。 7．安排一次限时运算：取第14题（线面角）与第15题（距离）限时 12 分钟完成，重点检查法向量书写规范（分数坐标化整、能约分先约分），减少纯计算性失分。 8．讲评后布置“一题一变式”：第16题改求二面角、第18题改求外接球体积，检验学生是否真正掌握建系与含参讨论两条主线。 三、可拓展方向（不另附题目） 1．把正方体截面扩展到动截面面积的最值，对接第7题与第18题第（3）问。 2．把翻折问题与外接球、二面角进一步综合，训练“不变量 + 坐标重建”的通法（第17题）。 3．新定义题可扩展到“型数对”带权或四点仿射组合，训练从定义出发把陌生条件代数化（第19题）。 4．与空间距离、轨迹（球面、圆锥面）问题衔接，对接新高考中立体几何与解析几何的交叉题型。 5．把第10题正四面体动点问题改为棱长含参 a 的版本，训练含参最值与分类讨论。 6．把第11题双动点问题推广为“给定夹角范围反求参数范围”的存在性反求型，训练逆向思维。 7．引入“随机取点”的空间概率问题（在几何体内任取一点求概率），对接跨板块综合命题趋势。 8．与圆锥曲线交汇：把第19题“定义坐标化”的思想迁移到平面仿射变换问题，为强基与拔尖学生蓄力。 四、题源说明 题号 母题来源（2024–2026） 处理方式 1 2026年江浙皖高三10月联考 同考点命制 2 2026年江苏连云港高三期中调研·T9 原题改编·选项重组 3 2026年清华附中高三10月月考 同考点命制 4 2026年新课标Ⅱ卷 同考点命制 5 2026年广东领航联盟一轮复习检测 同考点命制 6 2026年河北沧州高三二模 同考点命制 7 2026年南京七校联合体高三10月调研·T7 原题改编·数据替换 8 2026年天域全国名校协作体联考·T6 原题改编·设问变换 9 2025年浙江绍兴11月诊断性考试 同考点命制 10 2026年重庆渝中高三模拟预测 同考点命制 11 2026年广东实验中学高三10月月考 同考点命制 12 2026年陕西咸阳高三二模 同考点命制 13 2026年湖北武汉硚口区高三起点检测 同考点命制 14 2026年江西九江高三一模 同考点命制 15 2026年河北沧州高三二模 同考点命制 16 2026年重庆高三一模 同考点命制 17 2026年甘肃金昌高三三模 同考点命制 18 2026年江苏连云港高三期中调研·T17 原题改编·参数化改编 19 2026年新课标Ⅰ卷 同考点命制 说明：本卷母题来源分两类——① 2024–2026 年高考真题与各地公开联考试卷；② 依据上述真题、试卷的高频考点自主命制。 标注“原题改编”者，均在母题的数据、条件、设问或新定义上作了实质性改编，与母题并非同题；所标注考试名称与年份均为可核验的真实出处，未作虚构。原卷版题号后括号内亦标明母题来源与年份。 标注“同考点命制”者，未对应任一具体原题；凡可核验原卷题号者均已标注，其余不虚构题号。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学二轮复习专题强化训练（全国通用）　｜　专题07　立体几何与空间向量 2027届高考数学二轮复习专题强化训练 专题07　立体几何与空间向量题型强化（原卷版） 本卷共 19 题：单项选择题 8 题、多项选择题 3 题、填空题 3 题、解答题 5 题．建议用时 120 分钟． （题号后括号内为该题母题来源与年份；答案与解析见解析版．） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·江浙皖10月联考·同考点）已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 ，则该四棱锥的体积为（　） A． B． C． D． 2．（2026·连云港期中·改编）已知 是两条异面直线， 是两个平面，，，，则下列结论一定正确的是（　） A． 与 都相交 B． 至少与 中的一条相交 C． 与 都不相交 D． 与 都平行 3．（2026·清华附中10月月考·同考点）已知空间向量 ，，则 在 上的投影向量为（　） A． B． C． D． 4．（2026·新课标Ⅱ卷·同考点）在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，异面直线 A₁B 与 B₁C 所成的角为（　） A． B． C． D． 5．（2026·广东领航联考·同考点）在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，，，则该三棱锥外接球的表面积为（　） A． B． C． D． 6．（2026·河北沧州二模·同考点）在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，AB⊥AC，，则直线 A₁B 与平面 BCC₁B₁ 所成角的正弦值为（　） A． B． C． D． 7．（2026·南京七校联合体10月调研·改编）棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，过棱 AB、BC、CC₁、C₁D₁、D₁A₁、A₁A 的中点的截面为正六边形，则该截面的面积为（　） A． B． C． D． 8．（2026·天域全国名校协作体联考·改编）连接棱长为 2 的正方体六个面的中心，得到一个正八面体．在该正八面体的 12 条棱中，与任意一条给定棱异面的棱共有（　）条 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．（2026·绍兴11月诊断·同考点）已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（　） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 10．（2026·重庆渝中模拟预测·同考点）在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，点 P 在线段 CD 上（含端点）运动，则（　） A．存在 P 使 B．△ABP 面积最小值为 C．体积最大值为 D．AP+BP 的最小值为 11．（2026·广东实验中学10月月考·同考点）在空间直角坐标系中，已知 、、，O 为坐标原点．点 P 在线段 AB 上（含端点），点 Q 在线段 OC 上（含端点），则（　） A． 的最小值为 B．存在 P、Q 使 C． 的最大值为 D．存在 P、Q 使 平面 ABC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．（2026·陕西咸阳二模·同考点）在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点 C 到平面 A₁BD 的距离为________． 13．（2026·武汉硚口7月起点检测·同考点）在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点 P 在线段 CC₁ 上（含端点）运动，则三棱锥 P-A₁BD 体积的最小值为________． 14．（2026·江西九江一模·同考点）在棱长为 2 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 为棱 BB₁ 的中点，则平面 A₁EC 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·河北沧州二模·同考点）（13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA⊥平面 ABCD，，E 为棱 PD 的中点． ( A B C D P ) （1）证明：PB∥平面 AEC； （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值． 16．（2026·重庆一模·同考点）（15 分）如图，在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，AB⊥AC，，，D 为棱 BC 的中点． ( A B C A₁ B₁ C₁ ) （1）证明：平面 A₁AD⊥平面 BCC₁B₁； （2）求二面角 A₁-BC-A 的余弦值． 17．（2026·甘肃金昌三模·同考点）（15 分）在边长为 2 的正方形 ABCD 中，沿对角线 AC 将 △ABC 折起，使点 B 到达点 P，且平面 PAC⊥平面 ACD． ( A C D P ) （1）证明：PD⊥AC； （2）求点 A 到平面 PCD 的距离． 18．（2026·连云港期中·改编）（17 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA⊥平面 ABCD，，点 E 在线段 PD 上，且 ，． ( A B C D P ) （1）证明：平面 PAC⊥平面 PBD； （2）求四棱锥 P-ABCD 外接球的表面积； （3）若直线 CE 与平面 PAC 所成角的正弦值为 ，求 的值． 19．（2026·新课标Ⅰ卷·同考点）（17 分）在四面体 O-ABC 中，、、 两两垂直，且 ．对实数对 ，若 ，则称 为点 M 的“型数对”，称 M 为“(p,q) 型点”．记 ，． （1）求使 的型数对应满足的关系，并判断此时 M 是否一定在平面 ABC 内； （2）求 的最小值及此时的型数对； （3）设 M 为“(p,q) 型点”且 ，若存在 使 且 ，求 t 的取值范围，并求 的最小值． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $