专题05　三角函数与解三角形专题训练-2027届高三数学二轮复习

2027届高考数学二轮复习专题强化训练（全国通用）　｜　专题05　三角函数与解三角形 2027届高考数学二轮复习专题强化训练 专题05　三角函数与解三角形题型强化（解析版） 本卷共 19 题：单项选择题 8 题、多项选择题 3 题、填空题 3 题、解答题 5 题．建议用时 120 分钟． （题号后括号内为该题母题来源与年份；每题附答案、分步解析与点睛．） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·华师一附中5月检测·改编）已知角 的终边经过点 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】任意角三角函数定义 【答案】B 【解析】 由任意角三角函数定义，，故 ，。 于是 ，故选 B。 【点睛·易错提醒】终边上一点求三角函数值，先由 定半径，再按“正弦对 y、余弦对 x”取值。第四象限余弦为正、正弦为负，符号是本题第一易错点。 2．（2026·新课标Ⅱ卷T7·改编）已知 ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】同角关系与诱导公式 【答案】A 【解析】 由 为第二象限角，，故 。 由诱导公式 ，故选 A。 【点睛·易错提醒】先由象限定余弦符号，再用 。若漏掉象限条件直接取 ，会误选 B。 3．（2026·湖南九校联盟一模·改编）函数 的最小正周期与一条对称轴方程分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【难度】★★　【知识点】三角函数图象与性质 【答案】A 【解析】 。 令 ，得 ，取 得 ，故选 A。 【点睛·易错提醒】求对称轴须令整体角等于 ，求对称中心才令其等于 ；两者混用是高频错误。 4．（2026·新课标Ⅰ卷·同考点）将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 【难度】★★　【知识点】图象平移变换 【答案】B 【解析】 左移 即用 替换 ，得 ，故选 B。 【点睛·易错提醒】平移量作用于 本身，务必先提出 ；误把平移量直接加在相位上会得到 A。 5．（2025·压轴拔尖200题T2·改编）在 中，内角 的对边分别为 ，若 成等差数列，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【难度】★★★★　【知识点】等差数列、余弦定理与基本不等式 【答案】A 【解析】 由 得 ，代入余弦定理并整理： 。 由 ，得 ，故 。 等号当且仅当 ，此时 为等边三角形，故最小值为 ，选 A。 【点睛·易错提醒】等差条件写成 后平方代入余弦定理，可把分子凑成 ，再用 一步放出下界；比直接对 用基本不等式更不易在分式上出错。取等后须确认三角形存在。 6．（2025·合肥二模·改编）已知 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【难度】★★★　【知识点】同角关系与二倍角 【答案】A 【解析】 两边平方得 ，即 。 故 ，选 A。 【点睛·易错提醒】“平方产生 ”是同角关系的常用桥梁；注意 说明 θ 不在第一象限，可与条件互相校验。 7．（2025·压轴拔尖200题·同考点）在锐角 中，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【难度】★★★★　【知识点】正弦定理与锐角三角形范围 【答案】B 【解析】 由正弦定理与二倍角公式，。 锐角三角形要求三个内角均小于 ：； 得 ； 得 。故 。 于是 ，，选 B。 【点睛·易错提醒】“锐角三角形”必须三个角都小于 ，最容易漏掉 这一条，只由 会错得 而放大范围；两端均为开区间，取等即退化为直角三角形。 8．（2026·杭州一模·同考点）将函数 的图象向右平移 个单位后所得图象关于 轴对称，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【难度】★★★★　【知识点】图象变换与奇偶性 【答案】A 【解析】 平移后 。图象关于 轴对称即 为偶函数， 故 ，解得 。取 得 ，选 A。 验证： 时 为偶函数。 【点睛·易错提醒】偶函数要求相位为 ，求出通解后须结合 取整数 k；最后代回验证最稳妥。 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．（2026·湖南九校联盟一模·改编）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称 C．将 的图象向右平移 个单位后，所得图象关于 轴对称 D． 在 上的最大值与最小值之差为 3 【难度】★★★★　【知识点】图象变换、对称性与区间最值 【答案】ACD 【解析】 A：，正确。 B：，该点不是对称中心，错误。 C：右移 得 为偶函数，图象关于 轴对称，正确。 D： 时 ，最大值为 1，最小值为 ， 故 的最大值为 2、最小值为 ，差为 3，正确。 【点睛·易错提醒】C 须把平移作用于 本身后化简成 再判奇偶；D 的陷阱是右端点 处只取到 而非 ，区间没走到 ，最值差是 3 不是 4。 10．（2026·新课标Ⅰ卷T16·改编）在 中，，，，则（　　） A． B． 的面积为 C． D． 【难度】★★★　【知识点】正余弦定理与面积 【答案】ABC 【解析】 由余弦定理 ，故 ，A 正确。 ，B 正确。 ，故 ，即 ，C 正确。 于是 ，D 错误。 【点睛·易错提醒】解出 a 后把三边 与 回代检验，可一次确认全部选项；D 错在把 C 误判为直角。 11．（2025·合肥二模·改编）下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【难度】★★★★　【知识点】三角恒等变换 【答案】ABD 【解析】 A：，正确。 B：由二倍角余弦 ，正确。 C：，错误。 D：，正确。 【点睛·易错提醒】D 的关键是把 合成 ；C 的 实为 ，与 混淆所致。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．（2025·中档提升300题·同考点）已知 ，则 =________． 【难度】★★★★　【知识点】两角和差、辅助角与诱导公式 【答案】 【解析】 展开并配方：。 由 得 。 又 ，故 。 【点睛·易错提醒】把 合成 是辅助角公式的正向使用；待求角与已知角恰差 ，用诱导公式一步到位，不必解出 ，也不必讨论象限。 13．（2026·南京七校联合体10月调研·同考点）在 中，，，则 面积的最大值为________． 【难度】★★★★　【知识点】余弦定理与基本不等式 【答案】√3 【解析】 由余弦定理 ，即 。 由 得 ，故 ，等号当且仅当 时成立。 ，故最大值为 。 【点睛·易错提醒】定值对角与对边问题，用余弦定理把 与 关联，再借基本不等式求 上界；等号条件须回代检验三角形存在。 14．（2026·九师联盟10月联考·同考点）已知函数 ，若方程 在 上恰有两个不同的实根，则 的取值范围是________． 【难度】★★★★　【知识点】图象与方程根的个数 【答案】 【解析】 令 ，则 ，方程化为 。 在 上 由 增至 1，在 上由 1 减至 。 故当 ，即 时，两段各有一个根，共两个不同实根。 【点睛·易错提醒】数形结合时务必检查右端点 处 ，因此 应取等号；而顶点 只有一根，须开区间。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·清华附中10月月考·同考点）（13 分）已知函数 。 （1）求 的最小正周期与单调递增区间； （2）求 在 上的值域。 【难度】★★★　【知识点】恒等变换与图象性质 【答案】见解析 【解析】 【化简】。 （1）。由 得 ，故单调递增区间为 。 （2）当 时 ，， 故 ，即值域为 。 【点睛·易错提醒】降幂 与辅助角公式是化简定式；求区间值域须先把整体角的取值范围完整写出，不能直接套用 。 16．（2026·哈三中10月阶段检测·同考点）（15 分）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 。 （1）求 ； （2）若 ，且 的面积为 ，求 。 【难度】★★★　【知识点】正余弦定理与面积 【答案】见解析 【解析】 （1）由正弦定理 。 又 ，代入得 ，即 。 因 ，故 ，。 （2），故 。 由余弦定理 ，得 ，故 。 ，而 ，故 。 【点睛·易错提醒】边角混合式优先用正弦定理统一成角； 是约去 的合法依据，不可漏写。第（2）问用 与 求 ，避免解方程组。 17．（2026·山东九五协作体10月评估·同考点）（15 分）在 中，，， 为 的中点。 （1）求中线 的取值范围； （2）若 ，求 的面积。 【难度】★★★★　【知识点】解三角形与向量综合 【答案】见解析 【解析】 （1）设 为原点，记 、 对应向量为 、，则 ，，。 由 为中点，，故 。 又 ，即 ，代入得 。 由 得 ，即 ，故 ，即 。 （2） 时 ，。 【点睛·易错提醒】中线长用向量 转化，比直接用中线公式更不易记错； 但可取不到 0（三角形退化），故左端点为开区间。 18．（2025·压轴拔尖200题T23·改编）（17 分）已知函数 的图象过点 ，且相邻两条对称轴之间的距离为 。 （1）求 的解析式，并写出 的对称轴方程； （2）当 时，方程 有解，求实数 的取值范围； （3）若方程 在 上恰有 4 个不同的实根，从小到大记为 ，求 的值。 【难度】★★★★★　【知识点】由条件求解析式、方程根与对称性求和 【答案】见解析 【解析】 （1）相邻对称轴间距为 ，故 ，。 由 得 ，结合 得 ，故 。 令 ，得对称轴方程 。 （2）令 ，则 ； 在 取最大值 1，在右端点 取最小值 0。 故 ，方程有解等价于 。 （3） 时 ， 依次在四段上增、减、增、减， 端点值分别为 、1、、1、。水平线 与图象恰有 4 个交点当且仅当 ，即 。 设 ，由正弦图象的对称性，四个根对应的整体角依次为 、、、，其和恒为 （ 恰好抵消，与 无关）。 又 ，故 。 【点睛·易错提醒】第（3）问不要逐个解根，改把四根换成“整体角”：四段上的解由对称性两两配对， 自动抵消，和为 ；再借 回代。右端点 恰好也是根，故 要取到，而 只有两根须舍去。 19．（2025·压轴拔尖200题T30·改编）（17 分）对于实数 与定义在实数集上的函数 ，若关于 的方程 有实数解，则称该解为 的一个“ 和谐点”；若存在实数对 使该等式对任意实数 恒成立，则称 为“和谐函数”，有序数对 称为 的“和谐数对”。 （1）判断 是否为“和谐函数”；若是，写出它的全部“和谐数对”； （2）若 是 的“和谐数对”，求 的最小值； （3）设 ，若存在 同时是 的“ 和谐点”与“ 和谐点”，求 的最小值。 【难度】★★★★★　【知识点】新定义、和差化积与二次函数最值 【答案】见解析 【解析】 （1） 对任意 恒成立， 故 是“和谐函数”，全部“和谐数对”为 。 （2）由和差化积 。 要使它恒等于 ，须 ，即 。 故 ，即 或 ；结合 得 的最小值为 1。 （3）记 。由 及和差化积得 ， 故和谐点对应的参数 。 时 ，； 时 ，。 由 得 ，即 。 ，其对称轴 ， 故在 上单调递增，当 （即 ）时取得最小值 8。 【点睛·易错提醒】新定义题先做第（1）问看清结构：一次函数的 恒等于 ，故 被定死而 任意。第（3）问不必解 ，先把 统一写成 ，再用 化成二次函数； 决定 ，对称轴在区间左侧，最小值只能在左端点取到。 教师备课参考　专题05　三角函数与解三角形 一、本专题高频易错点清单 1．求对称轴令整体角等于 π/2+kπ，求对称中心令其等于 kπ；两者混用是最常见失分点（第3、9、18题）。 2．平移量作用于 x 本身，须先提出 ω；第9题 C 选项须化简成 −2cos 2x 后才能判奇偶（第4、8、9题）。 3．“锐角三角形”必须三个角都小于 π/2，漏掉 C=π−3A<π/2 会放大取值范围（第7题）。 4．等差或定值条件先代入余弦定理凑出 a²+c² 与 ac 的关系，再用基本不等式；取等后须检验三角形存在（第5、13题）。 5．区间上方程根的个数须分段讨论并检查端点与顶点；第18题右端点 17π/6 恰好也是根，m=1 要取到（第14、18题）。 6．新定义题先把定义等式对具体函数算一遍，再化成熟悉的恒成立或二次函数最值问题（第19题）。 二、讲评建议 1．先花 5 分钟统一“降幂＋辅助角”化简定式，再讲第12、15题，可显著降低运算错误；第12题重点练“配角”而非解角。 2．解三角形板块按“边角统一 → 定理选择 → 面积/范围”三步板书，第5、7、10、13、16、17题可连讲。 3．第14、18题宜用图象分段数根当堂演示；第18题第（3）问重点讲“整体角配对求和”，不要逐个解根。 4．第19题按“读定义 → 第（1）问验证结构 → 第（3）问换元成二次函数”三步推进，先让学生自己写出 f(x+λ)+f(x−λ) 的通式。 三、可拓展方向（不另附题目） 1．把解三角形与平面向量、基本不等式进一步综合，训练中线/角平分线长与周长、面积的取值范围。 2．引入含参的 f(x)=Asin(ωx+φ)，讨论零点个数与参数范围，对接第18题第（3）问。 3．新定义题可扩展到“可消点”“可平衡函数”等变式，训练从定义出发把陌生条件代数化的能力。 4．与三角函数模型（筒车、摩天轮）实际问题衔接，对接新高考应用题。 四、题源说明 题号 母题来源（2024–2026） 处理方式 1 华师一附中2024–2025学年高三下学期5月适应性检测 原题改编·数据替换 2 2026年新课标Ⅱ卷·T7 原题改编·条件改换 3 湖南省九校联盟2025–2026学年高三第一次联考（一模） 原题改编·设问变换 4 2026年新课标Ⅰ卷 同考点命制 5 2025《高中数学分层练习（压轴题）·三角函数与解三角形》第2题 原题改编·数据与设问替换 6 合肥市2024–2025学年高三第二次教学质量检测 原题改编·设问变换 7 2025《高中数学分层练习（压轴题）·三角函数与解三角形》第3题（考点） 同考点命制·范围化改编 8 2026年杭州市高三一模数学 同考点命制 9 湖南省九校联盟2025–2026学年高三第一次联考（一模） 原题改编·选项升级重组 10 2026年新课标Ⅰ卷·T16 原题改编·多结论化 11 合肥市2024–2025学年高三第二次教学质量检测 原题改编·选项重组 12 2025《高中数学分层练习（中档题）·三角函数与解三角形》 同考点命制·配角构造 13 南京七校联合体2026年10月联合调研 同考点命制 14 九师联盟2026年10月联考 同考点命制 15 清华附中2026年10月月考 同考点命制 16 哈三中2026年10月阶段检测 同考点命制 17 山东九五高中协作体2026年10月学习质量评估 同考点命制 18 2025《高中数学分层练习（压轴题）·三角函数与解三角形》第23题 原题改编·相位、区间与设问全换 19 2025《高中数学分层练习（压轴题）·三角函数与解三角形》第30题 原题改编·定义重命名与设问替换 说明：本卷母题来源分三类——① 2024–2026 年高考真题与各地公开联考试卷；② 公开出版的高中数学题集（作为引用作品，按“年份＋书名＋章节或题号”标明出处）；③ 依据上述真题、试卷与题集的高频考点自主命制。 标注“原题改编”者，均在母题的数据、条件、设问或新定义上作了实质性改编，与母题并非同题；援引公开出版题集者，书名与所引章节（题号）均据原书实际标注，可据以核验，未作虚构。原卷版题号后括号内亦标明母题来源与年份。 标注“同考点命制”者，未对应任一具体原题；凡可核验原卷或原书题号者均已标注，其余不虚构题号。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学二轮复习专题强化训练（全国通用）　｜　专题05　三角函数与解三角形 2027届高考数学二轮复习专题强化训练 专题05　三角函数与解三角形题型强化（原卷版） 本卷共 19 题：单项选择题 8 题、多项选择题 3 题、填空题 3 题、解答题 5 题．建议用时 120 分钟． （题号后括号内为该题母题来源与年份；答案与解析见解析版．） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2025·华师一附中5月检测·改编）已知角 的终边经过点 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·新课标Ⅱ卷T7·改编）已知 ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·湖南九校联盟一模·改编）函数 的最小正周期与一条对称轴方程分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·新课标Ⅰ卷·同考点）将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·压轴拔尖200题T2·改编）在 中，内角 的对边分别为 ，若 成等差数列，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·合肥二模·改编）已知 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·压轴拔尖200题·同考点）在锐角 中，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·杭州一模·同考点）将函数 的图象向右平移 个单位后所得图象关于 轴对称，则 的值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．（2026·湖南九校联盟一模·改编）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称 C．将 的图象向右平移 个单位后，所得图象关于 轴对称 D． 在 上的最大值与最小值之差为 3 10．（2026·新课标Ⅰ卷T16·改编）在 中，，，，则（　　） A． B． 的面积为 C． D． 11．（2025·合肥二模·改编）下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．（2025·中档提升300题·同考点）已知 ，则 =________． 13．（2026·南京七校联合体10月调研·同考点）在 中，，，则 面积的最大值为________． 14．（2026·九师联盟10月联考·同考点）已知函数 ，若方程 在 上恰有两个不同的实根，则 的取值范围是________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·清华附中10月月考·同考点）（13 分）已知函数 。 （1）求 的最小正周期与单调递增区间； （2）求 在 上的值域。 16．（2026·哈三中10月阶段检测·同考点）（15 分）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 。 （1）求 ； （2）若 ，且 的面积为 ，求 。 17．（2026·山东九五协作体10月评估·同考点）（15 分）在 中，，， 为 的中点。 （1）求中线 的取值范围； （2）若 ，求 的面积。 18．（2025·压轴拔尖200题T23·改编）（17 分）已知函数 的图象过点 ，且相邻两条对称轴之间的距离为 。 （1）求 的解析式，并写出 的对称轴方程； （2）当 时，方程 有解，求实数 的取值范围； （3）若方程 在 上恰有 4 个不同的实根，从小到大记为 ，求 的值。 19．（2025·压轴拔尖200题T30·改编）（17 分）对于实数 与定义在实数集上的函数 ，若关于 的方程 有实数解，则称该解为 的一个“ 和谐点”；若存在实数对 使该等式对任意实数 恒成立，则称 为“和谐函数”，有序数对 称为 的“和谐数对”。 （1）判断 是否为“和谐函数”；若是，写出它的全部“和谐数对”； （2）若 是 的“和谐数对”，求 的最小值； （3）设 ，若存在 同时是 的“ 和谐点”与“ 和谐点”，求 的最小值。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $