专题 4.1 相交线 （高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

专题 4.1 相交线 教学目标 1.理解邻补角、对顶角概念，掌握对顶角性质，能进行简单角度计算与推理。 2.掌握垂线定义、基本事实，会画已知直线的垂线；理解垂线段、点到直线距离的含义。 3.能正确识别同位角、内错角、同旁内角，建立几何识图意识。 4.初步养成几何语言表达习惯，发展空间观念与简单推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）对顶角、邻补角概念以及对顶角相等的性质及计算 （2）垂线的概念、垂线基本事实，垂线段最短的应用 （3）同位角、内错角、同旁内角的识别 2.难点 （1）区分对顶角、邻补角，几何推理语言规范书写 （2）区分"垂线段"和"点到直线的距离"（长度与线段） （3）复杂图形中辨别截线、被截线，识别三类角 知识点01：对顶角与邻补角 1.邻补角（）：两条直线相交，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线；性质： 。 2.对顶角（）：有公共顶点，两边互为反向延长线；性质： ；对顶角成对出现，相等的角不一定是对顶角。 【即学即练】 1．如下图，直线相交于点O．    (1)请写出图中的邻补角及对顶角； (2)若，求和的度数． 知识点02：垂线的相关概念 1.垂线定义：两条直线相交所成角 ，则两直线互相垂直，交点叫垂足，记作。 2.垂线基本事实：同一平面内，过一点 与已知直线垂直。 3.垂线画法：一落、二移、三画，可用三角板或量角器完成。 【即学即练】 1．如图，点A、B、C在同一条直线上，，则与垂直吗？ 知识点03：垂线段与点到直线的距离 1.垂线段：直线外一点向直线作垂线，该点与垂足之间的线段。 2.垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段 。 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是数量，不是线段本身）。 【即学即练】 1．下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（     ） A． B． C． D． 知识点04：同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 1.同位角（）：在两条被截直线同一侧，同时在截线的 。 2.内错角（）：在两条被截直线之间，在截线 。 3.同旁内角（）：在两条被截直线之间，在截线的 。 4.识别关键：分清哪两条是被截直线，哪一条是截线。 题型01 识别对顶角与邻补角 紧扣定义，看公共顶点、边是否互为反向延长线；邻补角同时满足位置相邻＋和为。 【典例1】. （2026七年级上·全国·专题练习）下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·广西贺州·期末）下列各图中，和互为邻补角的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁大连·期中）在下列各图中，和是邻补角的是（     ） A． B． C． D． 题型02 利用对顶角、邻补角性质求角度 利用对顶角相等、邻补角互补建立等式，列算式求解角度。 【典例2】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点，若，则_______． 【变式1】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，直线，，两两相交，，，则的度数为_____． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线、交于点O，射线、分别在、的内部，已知，，分别求与的度数． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数 (2)若，求的度数 题型03 与垂线有关的角度综合计算 结合垂直得直角，搭配对顶角、邻补角性质，分步推导所求角。 【典例3】. （25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，则的度数为________． 【变式2】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，直线与直线相交于点O，，平分，．求 和的度数 【变式3】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点于点，则的度数为______． 题型04 垂线的作图 牢记"一落、二移、三画"，注意过直线上/直线外一点两种情形，标注直角符号。 【典例4】. （2026七年级上·全国·专题练习）已知：如图，直线、相交于． (1)作图：过点作直线（不要求写作法，点在上方） (2)若，求、、的度数． 【变式1】. （2026七年级上·全国·专题练习）解答： (1)如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足，连接线段； (2)线段_____的长就是点到直线的距离； (3)比较大小： _____（填“”“”或“”）． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线以及直线外一点P．按下述要求画图并填空： (1)过点P画，垂足为点C； (2)P、C两点间的距离是线段 的长度； (3)点P到直线的距离是线段 的长度； (4)点P到直线的距离为 （精确到）． 【变式3】. （26-27六年级上·上海·开学考试）如图，如果给A、B两个村庄各修一条小路与公路连接要使两条小路最短，应该怎样修？（在图中画出来） 题型05 垂线段最短的实际应用 最短路径问题，转化为找垂线段；生活测量、修路引水类题型直接用该性质解释。 【典例5】. （2026七年级上·全国·专题练习）直线上有，，三个点，直线外有一点，若，，，（单位：）表示点到直线的距离，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·湖南常德·期末）运动会上，甲、乙两名同学测王明浩同学的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则王明浩的立定跳远成绩应该为（     ）米． A．2.16 B．2.42 C．2.58 D．2.5 【变式2】. （25-26七年级下·河北张家口·期末）下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（     ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直 【变式3】. （25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）如图，要把池中的水引到处，且使所开渠道最短，可过点作于，然后沿所作的线段开渠，所开渠道即最短，试说明设计的依据是：______． 题型06 判断点到直线的距离 距离是垂线段的长度，不是线段；看清"点到哪条直线"。 【典例6】. （25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，，两点在直线上，，两点在直线上，，，，点到直线的距离是（     ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【变式1】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）点A为直线l外一点，点B在直线l上，且，若，则点A到直线l的距离______3．（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式2】. （21-22七年级下·云南昆明·阶段检测）如图，，，垂足为点，则下面的结论中，正确的有（     ） 与互相垂直；与互相垂直；点到的垂线段是线段；点到的垂线段是线段；线段是点到的距离；线段的长度是点到的距离． A．个 B．个 C．个 D．个 题型07 识别同位角、内错角、同旁内角 先找截线，再找两条被截直线；按位置特征判断三类角。 【典例7】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，_______与是直线与被直线所截得的同位角，_______与______是直线与被直线所截得的内错角，与是直线与被直线_______所截得的同旁内角． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）在如图所示的4个角的位置关系中，与是_______，与是_______，与是_______，与是________，与是________． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，在四条直线组成的图形中，试找出两对对顶角、两对同位角、两对内错角和两对同旁内角．（用适当的方法表示这些角） 【变式3】. （25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，给出以下结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型08 相交线角度综合计算（多直线相交） 多条直线相交，逐组找对顶角、邻补角，层层推导。 【典例8】. （25-26七年级上·四川广元·期末）如图，点在直线上，平分，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【变式1】. （25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，亮亮的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线，垂足为，根据反射我们得知：． (1)①的对顶角是__________； ②与__________（填“互余”或“互补”）； (2)若射线与水平线的夹角，求的度数． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，求的度数． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线、相交于点，在内部作射线． (1)的邻补角为_______； (2)已知，，求的度数． 一、单选题 1．下列各图中，和是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 2．图中哪条线段长度表示该同学的跳远成绩（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，交于点，平分，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，点在直线上，．若，则的度数为______． 5．如图，当剪子口增大时，增大，其根据是：______． 三、解答题 6．如图，∠ABD=90°，在下列各语句中填入适当的文字或数字： (1)点B在直线________上，点D在直线________外； (2)直线________与直线________相交于点A，点D是直线_______与直线_______的交点，也是直线_______与直线_______的交点，又是直线_______与直线_______的交点； (3)直线_______垂直于直线________，垂足为点_______； (4)过点D有且只有_______条直线与直线AC垂直． 7．如图，直线AB、CB分别与直线DE相交于点F、G，直线、分别与直线相交于点O、P，说出各图中的对顶角． (1) (2) 8．如图，点C在∠O的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点C作边的垂线，交线段的延长线于点D； (2)过点C作边的垂线段，垂足为点E； (3)比较线段，，的大小，并用“<”连接得_____，得此结论的依据是_____． 1．点是直线外一点，、、为直线上的三点，，，，则点到直线的距离可能是________． 2．如图，直线，垂足为O，直线经过点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，相交于点，射线在内部，平分．已知，． (1)求的度数； (2)请画出，并求出的度数． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 相交线 教学目标 1.理解邻补角、对顶角概念，掌握对顶角性质，能进行简单角度计算与推理。 2.掌握垂线定义、基本事实，会画已知直线的垂线；理解垂线段、点到直线距离的含义。 3.能正确识别同位角、内错角、同旁内角，建立几何识图意识。 4.初步养成几何语言表达习惯，发展空间观念与简单推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）对顶角、邻补角概念以及对顶角相等的性质及计算 （2）垂线的概念、垂线基本事实，垂线段最短的应用 （3）同位角、内错角、同旁内角的识别 2.难点 （1）区分对顶角、邻补角，几何推理语言规范书写 （2）区分"垂线段"和"点到直线的距离"（长度与线段） （3）复杂图形中辨别截线、被截线，识别三类角 知识点01：对顶角与邻补角 1.邻补角（）：两条直线相交，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线；性质：邻补角之和等于。 2.对顶角（）：有公共顶点，两边互为反向延长线；性质：对顶角相等；对顶角成对出现，相等的角不一定是对顶角。 【即学即练】 1．如下图，直线相交于点O．    (1)请写出图中的邻补角及对顶角； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)的邻补角是和，对顶角是； (2)， 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义以及补角的定义等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据邻补角及对顶角的定义求解即可； （2）根据邻补角的定义和对顶角的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：与互为对顶角， ． 与互为邻补角， ． 知识点02：垂线的相关概念 1.垂线定义：两条直线相交所成角有一个为直角，则两直线互相垂直，交点叫垂足，记作。 2.垂线基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3.垂线画法：一落、二移、三画，可用三角板或量角器完成。 【即学即练】 1．如图，点A、B、C在同一条直线上，，则与垂直吗？ 【答案】垂直 【分析】求出即可． 【详解】解：∵点、、在同一条直线上，， ∴， ∴． 知识点03：垂线段与点到直线的距离 1.垂线段：直线外一点向直线作垂线，该点与垂足之间的线段。 2.垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是数量，不是线段本身）。 【即学即练】 1．下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：线段的长度表示点到直线距离的是， 故选：C． 知识点04：同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 1.同位角（）：在两条被截直线同一侧，同时在截线的同侧。 2.内错角（）：在两条被截直线之间，在截线两侧。 3.同旁内角（）：在两条被截直线之间，在截线的同一旁。 4.识别关键：分清哪两条是被截直线，哪一条是截线。 题型01 识别对顶角与邻补角 紧扣定义，看公共顶点、边是否互为反向延长线；邻补角同时满足位置相邻＋和为。 【典例1】. （2026七年级上·全国·专题练习）下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、图形中的与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项符合题意； B、图形中的与两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意； C、图形中的与没有公共顶点，不是对顶角，故本选项不符合题意； D、图形中的与没有公共顶点，且两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意． 【变式1】. （25-26七年级下·广西贺州·期末）下列各图中，和互为邻补角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； B、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； C、和互为邻补角，故本选项符合题意； D、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁大连·期中）在下列各图中，和是邻补角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、和有公共顶点，但没有公共边，不是邻补角，不符合题意； B、和是对顶角，不是邻补角，不符合题意； C、和有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线，是邻补角，符合题意； D、和没有公共顶点，不是邻补角，不符合题意． 题型02 利用对顶角、邻补角性质求角度 利用对顶角相等、邻补角互补建立等式，列算式求解角度。 【典例2】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点，若，则_______． 【答案】 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∴． 【变式1】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，直线，，两两相交，，，则的度数为_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线、交于点O，射线、分别在、的内部，已知，，分别求与的度数． 【答案】， 【详解】解：， ， 与是对顶角， ， ，， ， ． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数 (2)若，求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余角的性质以及，可得，即可求解； （2）根据余角的性质可得，从而得到，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴，即， ∵与互为邻补角， ∴； （2）解：∵与互余， ∴，即， ∵与互为邻补角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线相交于点O， ∴． 题型03 与垂线有关的角度综合计算 结合垂直得直角，搭配对顶角、邻补角性质，分步推导所求角。 【典例3】. （25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂直定义得到，进而求得，然后利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，，点，，在同一条直线上，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据垂直定义得出 ，结合已知角求出，再利用平角定义求解． 【详解】解：， ， ， ， 点，，在同一条直线上， ， ． 【变式2】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，直线与直线相交于点O，，平分，．求 和的度数 【答案】 ； 【分析】根据垂直的定义，角的平分线，对顶角性质，角的计算，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式3】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点于点，则的度数为______． 【答案】 【分析】由垂直定义、互余和互补定义，数形结合表示出相关角度之间的关系即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 题型04 垂线的作图 牢记"一落、二移、三画"，注意过直线上/直线外一点两种情形，标注直角符号。 【典例4】. （2026七年级上·全国·专题练习）已知：如图，直线、相交于． (1)作图：过点作直线（不要求写作法，点在上方） (2)若，求、、的度数． 【答案】(1)如图； (2)，，． 【分析】（1）利用三角板过点作出直线的垂线即可； （2）由垂线的定义得，即得，得到，再利用对顶角的性质、角的和差关系及邻补角的定义解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式1】. （2026七年级上·全国·专题练习）解答： (1)如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足，连接线段； (2)线段_____的长就是点到直线的距离； (3)比较大小： _____（填“”“”或“”）． 【答案】(1)如图，线段即为所求； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】（1）略 （2）解：， 线段的长就是点到直线的距离； （3）解：根据“垂线段最短”的性质，． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线以及直线外一点P．按下述要求画图并填空： (1)过点P画，垂足为点C； (2)P、C两点间的距离是线段 的长度； (3)点P到直线的距离是线段 的长度； (4)点P到直线的距离为 （精确到）． 【答案】(1)解：如图所示： (2) (3) (4)（测量结果合理即可） 【分析】（1）将三角板的一条直角边与直线完全贴合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点，沿经过点的这条直角边画出直线，与直线交于点，在交点处标注直角符号，即得到满足的图形； （2）两点之间的距离是连接两点的线段的长度； （3）直线外一点到这条直线的距离，是该点到直线的垂线段的长度； （4）使用刻度尺测量垂线段的长度，按题目要求精确到． 【详解】（1）略； （2）解：P、C两点间的距离是线段的长度； （3）解：点P到直线的距离是线段的长度； （4）解：点P到直线的距离为． 【变式3】. （26-27六年级上·上海·开学考试）如图，如果给A、B两个村庄各修一条小路与公路连接要使两条小路最短，应该怎样修？（在图中画出来） 【答案】 【分析】因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要分别作出A、B两点到公路的垂线段即可． 【详解】略 题型05 垂线段最短的实际应用 最短路径问题，转化为找垂线段；生活测量、修路引水类题型直接用该性质解释。 【典例5】. （2026七年级上·全国·专题练习）直线上有，，三个点，直线外有一点，若，，，（单位：）表示点到直线的距离，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线段最短和点在直线外即可判断出的取值范围． 【详解】解： 表示点到直线的距离， 为点到直线的垂线段的长度， ，，， ，，， ， 点在直线外， ， ． 【变式1】. （25-26七年级下·湖南常德·期末）运动会上，甲、乙两名同学测王明浩同学的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则王明浩的立定跳远成绩应该为（     ）米． A．2.16 B．2.42 C．2.58 D．2.5 【答案】A 【详解】解：∵立定跳远成绩是落脚点到起跳线的垂线段长度， ∴米是王明浩的立定跳远成绩． 【变式2】. （25-26七年级下·河北张家口·期末）下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（     ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直 【答案】A 【分析】根据“垂线段最短”的具体内容逐条分析，确定正确答案． 【详解】选项用“垂线段最短”来解释，符合题意； 选项是用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 选项是用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 选项是用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意． 【变式3】. （25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）如图，要把池中的水引到处，且使所开渠道最短，可过点作于，然后沿所作的线段开渠，所开渠道即最短，试说明设计的依据是：______． 【答案】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：这样设计的依据是垂线段最短． 题型06 判断点到直线的距离 距离是垂线段的长度，不是线段；看清"点到哪条直线"。 【典例6】. （25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，，两点在直线上，，两点在直线上，，，，点到直线的距离是（     ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离定义找出点到直线的垂线段即可． 【详解】解：，，两点在直线上， ， 线段是点到直线的垂线段， 点到直线的距离是线段的长． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）点A为直线l外一点，点B在直线l上，且，若，则点A到直线l的距离______3．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】根据定义，直线外一点到已知直线的距离为该点到直线的垂线段的长度，据此即可得到结果. 【详解】解：根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 已知点是直线外一点，点在直线上，且， 因此点到直线的距离就是垂线段的长度，即点到直线的距离为 故点到直线的距离 【变式2】. （21-22七年级下·云南昆明·阶段检测）如图，，，垂足为点，则下面的结论中，正确的有（     ） 与互相垂直；与互相垂直；点到的垂线段是线段；点到的垂线段是线段；线段是点到的距离；线段的长度是点到的距离． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据垂直的定义、垂线段及点到直线的距离的概念进行判断即可． 【详解】解：∵，即， ∴与互相垂直，故①正确； ∵， ∴， ∴与不互相垂直，故②错误； 根据垂线段的概念知，点到的垂线段是线段，而非线段；点到的垂线段是线段；故③错误，④正确； 根据垂线段的长度是点到直线的距离知，点到的距离是线段的长度，而非线段；线段的长度是点到的距离，故⑤错误，⑥正确． 故正确的有①④⑥三个． 题型07 识别同位角、内错角、同旁内角 先找截线，再找两条被截直线；按位置特征判断三类角。 【典例7】. （2026七年级上·全国·专题练习）如图，_______与是直线与被直线所截得的同位角，_______与______是直线与被直线所截得的内错角，与是直线与被直线_______所截得的同旁内角． 【答案】 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义即可求出答案． 【详解】解：直线与被直线所截，与均在截线的同侧，且分别位于被截线、的同方，符合同位角的定义， 直线与被直线所截，与分别位于截线的两侧，且位于被截线、之间，符合内错角的定义， 与的公共边所在的直线是，它们位于截线的同旁，且位于被截线、之间，符合同旁内角的定义， 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）在如图所示的4个角的位置关系中，与是_______，与是_______，与是_______，与是________，与是________． 【答案】 对顶角 同位角 内错角 同旁内角 邻补角 【分析】根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义，并结合图形分析即可解题． 【详解】解：由图知，与是对顶角，与是同位角，与是内错角，与是同旁内角，与是邻补角． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，在四条直线组成的图形中，试找出两对对顶角、两对同位角、两对内错角和两对同旁内角．（用适当的方法表示这些角） 【答案】对顶角：和；和；答案不唯一 同位角：和，和；答案不唯一 内错角：和；和；答案不唯一 同旁内角：和；和；答案不唯一 【分析】先对图形标注，再根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：如图所示：对顶角：和；和； （和；和；和；和；和；和，答案不唯一） 同位角：和，和； (和；和；和；和，答案不唯一） 内错角：和；和； (和；和，答案不唯一)； 同旁内角：和；和； (和；和，答案不唯一)． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，给出以下结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图可知，与都在截线（水平线）上方，且在两被截线之间，是同旁内角，故①正确； 与都在截线（水平线）上方，且都在被截线右侧，是同位角，故②正确； 在截线上方，在截线下方，但在被截线外侧，与不是内错角，故③错误； 与没有公共截线，不是同位角，故④错误； 与互为邻补角，不是对顶角，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有2个. 题型08 相交线角度综合计算（多直线相交） 多条直线相交，逐组找对顶角、邻补角，层层推导。 【典例8】. （25-26七年级上·四川广元·期末）如图，点在直线上，平分，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义及平角定义即可求解； （2）先求得，再将代入即可求得，然后利用角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， ， 平分， ； （2）解： ，， ， ， ． 【变式1】. （25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，亮亮的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线，垂足为，根据反射我们得知：． (1)①的对顶角是__________； ②与__________（填“互余”或“互补”）； (2)若射线与水平线的夹角，求的度数． 【答案】(1)①；②互余 (2)的度数为 【分析】（1）①根据对顶角的定义判断即可；②根据图象进行判断即可； （2）先求出，可得，再根据垂直的定义可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 又． ． ， ． ， ， ． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义，由得出，再结合已知的，通过角的差运算算出，最后利用邻补角互补的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线、相交于点，在内部作射线． (1)的邻补角为_______； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 【分析】（1）根据邻补角的定义即可作答； （2）根据邻补角的性质得到，再结合得到，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的邻补角为； （2）解：， ． ， ． ， 的度数为． 一、单选题 1．下列各图中，和是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知选项C中的和是对顶角． 2．图中哪条线段长度表示该同学的跳远成绩（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，， 由垂线段最短，可知，的长度表示该同学的跳远成绩. 3．如图，直线，交于点，平分，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平角求出的度数，再结合角平分线求出，最后利用对顶角相等得出的度数． 【详解】解： ， ， 直线，交于点，， ， 平分， ， ． 二、填空题 4．如图，点在直线上，．若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， ． 5．如图，当剪子口增大时，增大，其根据是：______． 【答案】对顶角相等 【分析】与是对顶角，根据对顶角相等的性质可知两角始终相等，变化量也相同． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵对顶角相等， ∴当增大时，也增大， ∴其根据是对顶角相等． 三、解答题 6．如图，∠ABD=90°，在下列各语句中填入适当的文字或数字： (1)点B在直线________上，点D在直线________外； (2)直线________与直线________相交于点A，点D是直线_______与直线_______的交点，也是直线_______与直线_______的交点，又是直线_______与直线_______的交点； (3)直线_______垂直于直线________，垂足为点_______； (4)过点D有且只有_______条直线与直线AC垂直． 【答案】(1)， (2)，；，或，或， (3)，，B (4)一 【分析】（1）根据点与直线的位置关系解答即可； （2）根据相交线的定义解答； （3）根据垂线的定义解答； （4）根据垂线的性质进行解答． 【详解】（1）解：由图可知，点B在直线上，点D在直线外． （2）解：直线与直线相交于点A，点D是直线与直线的交点，也是直线与直线的交点，又是直线与直线的交点． （3）解：∵， ∴直线直线，垂足为点B． （4）解：∵， ∴过点D有且只有一条直线与直线垂直． 7．如图，直线AB、CB分别与直线DE相交于点F、G，直线、分别与直线相交于点O、P，说出各图中的对顶角． (1) (2) 【答案】(1)图中共有对对顶角，分别是与，与，与，与 (2)图中共有对对顶角，分别是与，与，与，与 【分析】（1）根据对顶角的定义，逐个交点找出所有符合定义的对顶角即可； （2）根据对顶角的定义，逐个交点找出所有符合定义的对顶角即可． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，点C在∠O的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点C作边的垂线，交线段的延长线于点D； (2)过点C作边的垂线段，垂足为点E； (3)比较线段，，的大小，并用“<”连接得_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3)，垂线段最短． 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短，分步比较线段大小，最后得出 ． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 得此结论的依据是垂线段最短． 1．点是直线外一点，、、为直线上的三点，，，，则点到直线的距离可能是________． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 已知，，，可得是三条线段中长度最短的线段，因此点到直线的距离满足． 2．如图，直线，垂足为O，直线经过点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义得出与互余，结合倍数关系求出的度数，再利用邻补角性质计算目标式的值． 【详解】 解：， ， ． ，， ， ． 直线经过点， ， ． 3．如图，直线，相交于点，射线在内部，平分．已知，． (1)求的度数； (2)请画出，并求出的度数． 【答案】(1) (2)图见解析，的度数为或 【分析】（1）根据邻补角互补求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此由平角的定义可得答案； （2）分两种情况：在的上方和在的下方，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）解：如图①，当在的上方时， ∵， ∴， ∴ 如图②，当在的下方时， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $