精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年上学期东北师大附中 高二年级期中考试数学试卷 本试卷共3页，19小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得，设直线的倾斜角为， 故直线的斜率，解得. 2. 已知空间向量，，若与垂直，则（ ）. A. 15 B. 4 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，可得， 因此. 由与垂直，得， 因此， 解得. 3. 已知直线与，若，则实数a的值为（ ）. A. 或3 B. 1或 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，，由，得 ， 整理得，解得或. 当时，，，即，两直线重合，舍去； 当时，，，即，两直线平行. 综上，实数的值为. 4. 如图，空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，再由，可得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：A. 5. 已知直线：与圆：交于、两点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，再根据时取得最小值结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】直线，即， 令，解得， 所以直线过定点， 圆，即的圆心，半径， 因为， 所以点在圆内， 则圆心到直线的距离（时取等号）， 所以（时取等号）， 所以的最小值为，此时. 6. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机地取出2只．设事件“取出的鞋不成双”，“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件的关系，下列说法正确的是（ ） A. B. 与独立 C. 与对立 D. 与互斥 【答案】B 【解析】 【分析】通过列举法写出试验的样本空间， 再逐一判断选项即可. 【详解】从6只鞋中任取2只，共有15种等可能的结果，样本空间为 ， 则， ， ，故，故A，C，D错误； 而，所以， 又，， 因此有，故与独立，B正确． 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为一个随机试验中的两个事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互斥，则 C. 若，互斥，则 D. 若，独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查随机事件的包含关系、互斥事件、独立事件的概率运算，需结合事件关系的定义与概率基本公式逐一判断各选项的正误 【详解】选项A：若，即事件是的子集，此时交事件等价于事件，因此，该选项正确. 选项B：若互斥，即两事件不可能同时发生，故，根据概率加法公式，代入已知概率得，该选项正确. 选项C：若互斥，根据互斥事件的定义，两事件的交集为空集，因此，而非，该选项错误. 选项D：若独立，根据独立事件的概率性质，. 再代入并集概率公式，得，该选项正确. 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 的面积为 B. 若，则内切 C. 若外切，则 D. 当时，相交弦所在直线的方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】计算两圆圆心坐标及半径，逐项判断即可确定选项. 【详解】由题意得，，圆半径，，圆半径. A. 圆的面积为，选项A正确. B. 若，则，圆心距，故圆内切，选项B正确. C.由题意得，， ∵圆外切，∴，即，解得，选项C错误. D.当时，， 由得，圆与圆相交，两圆方程作差得，，选项D错误. 故选：AB. 11. 在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点，记二面角的大小为，则（ ） A. B. 当时，直线与平面所成的角为 C. 当时，直线与夹角的余弦值为 D. 当时，平面截该三棱台所得截面为等腰梯形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可证明A；建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角、线面角即可判断BC；利用空间向量法证明即可判断D. 【详解】A：如图，作的中点，连接， 在等腰梯形中，，为，的中点， ∴，在正中，为的中点，∴， ∵，，，平面， ∴平面，又平面，∴．故A正确； B：∵平面，在平面内作，以为坐标原点， 以，分别为轴正向，如图建立空间直角坐标系， ∵，，∴为二面角的平面角，即， ，，， ，，， 所以，， 若，则，得， 易知是平面的一个法向量， 则， 又直线与平面所成的角为锐角，所以其为，故B错误； C：由选项B知，若，则，， 所以，即直线与的夹角的余弦值为，故C正确； D：平面ABD截该三棱台所得截面为四边形ABED， ， ， 当时，，，又易知，， ∴四边形ABED为等腰梯形，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 甲、乙两名同学填报高考志愿，已知甲、乙只能在，，三所院校中各选择一所填报，假设两位同学选择各院校是等可能的，且两人的选择互不影响，则甲、乙两人中至少有一人选择院校的概率为_________． 【答案】 【解析】 【详解】甲乙各自都有共种选择，则总共有种情况， 设事件，则对立事件，不选则就两种选择， ，，则. 13. 在空间直角坐标系中，已知直线过点，直线的一个方向向量为，则点到直线的距离为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】由题意可得与同向的单位向量， 设，则， 点到直线的距离． 14. 已知圆与圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据，，结合对称，可得当三点共线时，目标式取得最大值. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径. 所以， ， 所以. 又点关于轴的对称点，则， 所以 又，当且仅当在与轴交点时，右边等号成立. 又在轴上，故上述不等式左端不能取等号， 关于轴的对称点为，, 所以， 所以的最大值是. 四、解答题：本大题共5小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知过点的直线与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得线段AB的中点坐标和斜率，可得AB的垂直平分线的方程，与直线联立，可得圆C的圆心，求得，可得圆的半径，进而得到圆的方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程． 【小问1详解】 线段AB的中点为，直线AB的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线为，即， 由解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆C的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，由，得，或， 即直线与圆C相交所得弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由于圆C到的距离为，所以，解得， 所以．即， 综上所述，直线l2的方程为或 16. 如图，在平行六面体中，，、，． （1）求的长； （2）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算可得，由向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果； （2）可知，由数量积的运算律结合向量的夹角公式求异面直线夹角． 【小问1详解】 由题意可得：， 因为， 可得 ， 所以，即的长为； 【小问2详解】 因为， 可得， 即， 且 ， 则， 所以与所成的角的余弦值为． 17. 某联欢晚会举行抽奖活动，抽奖箱中装有大小和质地完全相同的6个小球，其中有3个红球（标号为1，2，3），2个黄球（标号为4，5）和1个白球（标号为6），每位抽奖者从箱中有放回地依次随机摸出2个球（摸出一个球并放回后再摸第二个球）． （1）设事件=“摸出的2个球颜色相同”，事件=“摸出的2个球标号之和为偶数”．判断事件与事件是否相互独立，并说明理由． （2）主办方为抽奖活动制定了以下两种备选的兑奖方案： 方案1：若2个球的颜色相同，则中奖； 方案2：根据2个球的标号计算得分，得分规则为：若2个球的标号之和为偶数，则得分为两球标号之和的一半；否则，得分为2个球标号中较大的数．若得分，则中奖． 试比较上述两种兑奖方案的中奖概率，说明哪种方案的中奖概率更高． 【答案】（1）与不相互独立； 设第一次摸到的小球标号记为，第二次摸到的小球标号记为， 则样本空间，， 且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型， 因为， 所以，所以． 因为 ， 所以，所以． 因为， 所以，所以， 因为，所以与不相互独立． （2）两种方案的中奖概率相等，均为，不存在中奖概率更高的方案 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求出事件的概率，再根据与是否相等即可判断； （2）由（1）可知方案1中奖的概率，方案2：2个球的标号之和为偶数，且和， 2个球的标号之和为奇数，且标号中较大的数，再结合古典概型求概率，然后比较得出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知方案1中奖的概率为； 方案2：得分， 2个球的标号之和为偶数，且和， 此时符合题意的有，概率为； 2个球的标号之和为奇数，且标号中较大的数， 此时符合题意的有， ，概率为， 故方案2的概率为； 综上，两种方案的中奖概率相等，均为，不存在中奖概率更高的方案． 18. 如图，四棱锥中，平面平面，，．在梯形中，，，，． （1）证明：平面； （2）若为中点． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）过作平面，使得，记与棱，的交点分别为，，求． 【答案】（1）证明：，，，， ，即. 又平面平面，平面平面，平面， 平面. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明线线垂直，再利用面面垂直的性质定理证明线面垂直； （2）（i）利用空间向量法求面面角的余弦值； （ii）利用空间向量法结合线面平行求线段长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取的中点，则，， 四边形为正方形，， 由（1）知平面，两两垂直，以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 其中， ， 设平面的法向量为， 由得 令得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由得 令得平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， ， ，. 平面与平面夹角的余弦值为. （ii），平面，平面平面，， 为的中点，， 设，，则， 则，， 设平面的法向量为， 由得 令，则平面的一个法向量为， 由，可得， 解得，， . 19. 在平面直角坐标系中，过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为和，设直线，分别与轴交于，两点． （1）当时，求的面积； （2）证明：直线恒过定点； （3）设直线与的外接圆交于点（异于），证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2）方法一：由题意， 故，均在以为直径的圆上（记作圆），如图中虚线所示． 所以，线段为圆与圆的公共弦． 由，得圆圆心为，半径． 所以圆的方程为， 整理得. 将圆的方程与圆的方程作差， 可得直线的方程为. 将直线的方程化为， 令，解得． 所以直线恒过点． 方法二：设，则直线的斜率（不垂直轴时）， 由，直线的方程为， 整理得， 当垂直轴时，上述方程依然成立. 由在圆上，有，将代入上式得， ，即. 所以，直线的方程为． 同理，直线的方程为． 由于点为直线与的交点， 故有. 根据上述两式，，两点的坐标均满足二元一次方程， 所以，直线的方程即为． 将直线的方程化为， 令，解得． 所以直线恒过点． （3）因为切线，关于直线对称，所以． 在的外接圆中，由得，故在的垂直平分线上． 所以，为的垂直平分线与直线的交点． 设过的圆的切线斜率为，则切线方程为． 由圆心到切线的距离等于半径1，有，整理得， . 设直线，的斜率分别为，则为上述关于的二次方程的两根． 由韦达定理，． 在直线，的方程中分别令， 可得． 所以的垂直平分线方程为． 由，易得直线的方程为． 联立两条直线方程得，解得，即． 由点坐标，有，即． 所以，点在直线上． 【解析】 【分析】（1）设切线方程，根据点到切线距离等于半径得到关于的方程，解出切线方程并求出，的坐标，利用三角形面积公式即可求出答案； （2）方法一：写出以为直径的圆，再将其与圆方程作差，最后整理直线方程即可得到其所过定点；方法二：设，写出方程，再通过其所过交点即可得，两点的坐标均满足二元一次方程，最后化简即可； （3）由切线的性质可得平分，所以，得到在的中垂线上，求出中垂线方程，与直线联立，求出点坐标即可证明. 【小问1详解】 当时，点坐标为．显然当切线斜率不存在时不合题意， 故设过的圆的切线斜率为，则切线方程为． 由圆心到切线的距离等于半径1，有，解得或． 故两条切线的方程分别为． 不妨设的方程为的方程为， 则．的面积． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期东北师大附中 高二年级期中考试数学试卷 本试卷共3页，19小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若与垂直，则（ ）. A. 15 B. 4 C. 1 D. 3. 已知直线与，若，则实数a的值为（ ）. A. 或3 B. 1或 C. D. 4. 如图，空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：与圆：交于、两点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机地取出2只．设事件“取出的鞋不成双”，“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件的关系，下列说法正确的是（ ） A. B. 与独立 C. 与对立 D. 与互斥 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为一个随机试验中的两个事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互斥，则 C. 若，互斥，则 D. 若，独立，则 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 的面积为 B. 若，则内切 C. 若外切，则 D. 当时，相交弦所在直线的方程为 11. 在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点，记二面角的大小为，则（ ） A. B. 当时，直线与平面所成的角为 C. 当时，直线与夹角的余弦值为 D. 当时，平面截该三棱台所得截面为等腰梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 甲、乙两名同学填报高考志愿，已知甲、乙只能在，，三所院校中各选择一所填报，假设两位同学选择各院校是等可能的，且两人的选择互不影响，则甲、乙两人中至少有一人选择院校的概率为_________． 13. 在空间直角坐标系中，已知直线过点，直线的一个方向向量为，则点到直线的距离为_________． 14. 已知圆与圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知过点的直线与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线的方程． 16. 如图，在平行六面体中，，、，． （1）求的长； （2）求直线与所成角的余弦值． 17. 某联欢晚会举行抽奖活动，抽奖箱中装有大小和质地完全相同的6个小球，其中有3个红球（标号为1，2，3），2个黄球（标号为4，5）和1个白球（标号为6），每位抽奖者从箱中有放回地依次随机摸出2个球（摸出一个球并放回后再摸第二个球）． （1）设事件=“摸出的2个球颜色相同”，事件=“摸出的2个球标号之和为偶数”．判断事件与事件是否相互独立，并说明理由． （2）主办方为抽奖活动制定了以下两种备选的兑奖方案： 方案1：若2个球的颜色相同，则中奖； 方案2：根据2个球的标号计算得分，得分规则为：若2个球的标号之和为偶数，则得分为两球标号之和的一半；否则，得分为2个球标号中较大的数．若得分，则中奖． 试比较上述两种兑奖方案的中奖概率，说明哪种方案的中奖概率更高． 18. 如图，四棱锥中，平面平面，，．在梯形中，，，，． （1）证明：平面； （2）若为中点． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）过作平面，使得，记与棱，的交点分别为，，求． 19. 在平面直角坐标系中，过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为和，设直线，分别与轴交于，两点． （1）当时，求的面积； （2）证明：直线恒过定点； （3）设直线与的外接圆交于点（异于），证明：点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $