精品解析：广东深圳市龙岗区龙岭初级中学2026-2027学年第一学期期中综合素质评价试题九年级数学

龙岭初中2026-2027学年第一学期期中综合素质评价试题 九年级数学 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 语文课上，老师准备了四张背面完全相同的知识卡片，正面分别写有《西游记》《红楼梦》《三国演义》《朝花夕拾》，将卡片背面朝上充分洗匀，小宇从中随机抽取一张，则抽到的卡片属于我国四大名著的概率是（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，，若，则的长度是( ) A. B. C. 3 D. 12 5. 如图，矩形的对角线相交于点，分别过点作的平行线相交于点．若，则点到的距离是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 下列关于特殊平行四边形的说法中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 四个角都相等的四边形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形 7. 如图，龙岭学校生物兴趣小组用总长18米的篱笆，一面借助墙面（墙长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为方便出入，在边上预留两处宽均为1米的出入口（这两处不用篱笆）．若花圃面积恰好为32平方米，设的长为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学家赵爽研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，若大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值为（ ） A. 5 B. 11 C. 5或11 D. 12 二．填空题（5小题，每小题3分，共15分） 9. 若是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 10. 已知：，则_____． 11. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点为的黄金分割点，若，则的长为_________．（黄金分割比：，结果保留根号） 12. 龙岭学校天空农场社团开展蔬菜育苗实践活动，社团成员对一批菜苗进行抽样试验，统计成功发芽菜苗的数量，得到下表： 抽取菜苗数（株） 50 100 200 500 800 1000 发芽频数 47 95 190 473 761 949 发芽频率． 0.94 0.95 0.95 0.946 0.951 0.949 根据频率的稳定性估计，任取一株菜苗，它能够顺利发芽的概率约为_________．（结果精确到0.01） 13. 如图，菱形中，，点在边上，点在的延长线上，且．是菱形对角线的中点；是线段的中点，则_________． 三、解答题（7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 一个不透明的抽奖盒中有2张红色卡片，1张蓝色卡片，1张黄色卡片，这些卡片除颜色外完全相同． （1）从中随机抽取一张卡片，求抽到红色卡片的概率． （2）先随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或列表法，求两次抽到的卡片颜色不同的概率． 16. 在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． （3）在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 17. 如图，在菱形中，对角线交于点过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 广东凉茶是岭南特色饮食文化代表，甜润款凉茶包和苦甘款凉茶包组成“反差凉茶”，广受年轻人喜爱．某商店购入这款凉茶组合套装，经统计，该套装2026年1月份的销售量为100套，2026年3月份的销售量为169套． 素材2 该店以每套40元的进价购入这套凉茶组合套装，以每套50元的价格出售．从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加10套． 问题解决： （1）求该套装1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）当该套装每套降价多少元时，月销售利润为1512元？ 19. 综合与实践 【问题背景】如图是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度为，数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动． 【问题解决】请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解． （1）方案：如图，第一小组小龙同学站在点处，脚跟、帽沿、灯帽边缘三点共线．已知帽沿距离地面高度为，，景观灯的边缘平行于地面，求景观灯半径的长． （2）方案：如图，某一时刻，在太阳光线的照射下，第二小组测得身高为的小明的影长为，此时景观灯在地面上的影长为，求景观灯的半径的长；（提示：） （3）方案：如图，第三小组在地面的点处放置一块平面镜，目高为（即）的小亮在点处从平面镜中观测到景观灯边缘点，当他走到点处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点，并测量得到如下三个数据：． 已知，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观灯半径的表达式．（结果可含字母） 我选择数据：_________， 求解过程如下： 20. 定义（阅读与理解） 在四边形中，如果其中一条对角线平分一个内角，且存在一组邻边相等、另外一组邻边不相等，那么这样的四边形叫做“邻等角分四边形”． 示例：如图1：平分，且，（或如图：平分，且，），则四边形是“邻等角分四边形”． （1）任务概念辨析 下图分别是用、、的三角形和、、的三角形组合摆放得到如下．四个四边形，其中属于“邻等角分四边形”的有_________．（填序号） （2）任务动手操作 尺规作图：请在图中作出一个“邻等角分四边形”．（保留作图痕迹，不写作法，作出一种即可） （3）任务探究计算 如图，在“邻等角分四边形”中，平分，，,则_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岭初中2026-2027学年第一学期期中综合素质评价试题 九年级数学 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：方程含有2个未知数，不是一元二次方程． 选项B：方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程． 选项C：将展开得，整理得，未知数最高次数为1，不是一元二次方程． 选项D：方程是只含1个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，是一元二次方程． 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图是： ． 3. 语文课上，老师准备了四张背面完全相同的知识卡片，正面分别写有《西游记》《红楼梦》《三国演义》《朝花夕拾》，将卡片背面朝上充分洗匀，小宇从中随机抽取一张，则抽到的卡片属于我国四大名著的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵从4张卡片中随机抽取1张，共有4种等可能的结果， 又∵其中《西游记》《红楼梦》《三国演义》属于我国四大名著，即符合条件的结果有3种， ∴抽到的卡片属于我国四大名著的概率为． 4. 如图，，若，则的长度是( ) A. B. C. 3 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 故选：C． 5. 如图，矩形的对角线相交于点，分别过点作的平行线相交于点．若，则点到的距离是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点F，可证明四边形是菱形，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点F， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线相交于点， ∴，， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点到的距离． 6. 下列关于特殊平行四边形的说法中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 四个角都相等的四边形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，表述正确． B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，表述错误． C．四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，表述错误． D．对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形无法判定为矩形，表述错误． 7. 如图，龙岭学校生物兴趣小组用总长18米的篱笆，一面借助墙面（墙长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为方便出入，在边上预留两处宽均为1米的出入口（这两处不用篱笆）．若花圃面积恰好为32平方米，设的长为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据篱笆总长及的长表示出的长，利用长方形面积公式列方程即可． 【详解】解：设的长为米， ∵垂直于墙的篱笆有3段，且边有两个宽为1米的出入口， ∴的长为（米）， ∴列方程为． 8. 我国古代数学家赵爽研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，若大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值为（ ） A. 5 B. 11 C. 5或11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意类比，确定小正方形边长为，矩形面积为，利用面积关系列方程求解.． 【详解】解：由方程得， 类比题干图形，四个矩形的长宽分别为和，面积为， 中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为， ， ， ， 大正方形的面积为，且大正方形面积等于四个矩形面积加上中间小正方形面积， ， 解得， ． 二．填空题（5小题，每小题3分，共15分） 9. 若是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知、为给定一元二次方程的两根，利用根与系数的关系直接计算两根之积即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系，对于一元二次方程，两根之积为. ∴ 该方程中二次项系数，常数项. ∴ ． 10. 已知：，则_____． 【答案】## 【解析】 【详解】解：， 设， ． 11. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点为的黄金分割点，若，则的长为_________．（黄金分割比：，结果保留根号） 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，当时，是较长线段，其长度等于全线段乘以黄金分割比，代入的长度计算即可． 【详解】解： ∵点为的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴． 12. 龙岭学校天空农场社团开展蔬菜育苗实践活动，社团成员对一批菜苗进行抽样试验，统计成功发芽菜苗的数量，得到下表： 抽取菜苗数（株） 50 100 200 500 800 1000 发芽频数 47 95 190 473 761 949 发芽频率． 0.94 0.95 0.95 0.946 0.951 0.949 根据频率的稳定性估计，任取一株菜苗，它能够顺利发芽的概率约为_________．（结果精确到0.01） 【答案】 0.95 【解析】 【分析】随着抽取菜苗的样本量增大，发芽频率逐渐趋于稳定，根据频率稳定性的规律，用稳定的频率值估计发芽概率，按要求精确到0.01即可 【详解】解：∵随着抽取菜苗的数量从50株逐步增加到1000株，对应的发芽频率依次为0.94、0.95、0.95、0.946、0.951、0.949， ∴发芽频率逐渐稳定在0.95附近， ∵当试验重复次数足够大时，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，可通过稳定的频率值估计事件发生的概率， ∴任取一株菜苗能够顺利发芽的概率约为0.95． 13. 如图，菱形中，，点在边上，点在的延长线上，且．是菱形对角线的中点；是线段的中点，则_________． 【答案】． 【解析】 【分析】由菱形对角线互相平分得到也是的中点，再取的中点，两次用三角形中位线定理把与集中到同一个等腰三角形中，最后作底边上的高，借助角的直角三角形与勾股定理求出比值． 【详解】解：连接、，取的中点，连接、，过作的垂线，垂足为(如图)． 设，其中． ∵四边形是菱形，是对角线的中点． ∴对角线、互相平分，也是的中点． ∵在中，是的中点，是的中点． ∴． ∵在中，是的中点，是的中点． ∴． ∵． ∴是等腰三角形． ∵菱形中． ∴． ∵在的延长线上，在上． ∴与的两边分别平行，． ∴． ∵． ∴是的中点，． 在中，，由角所对的直角边等于斜边的一半，得． 由勾股定理得． ∴． ∴． 【点睛】考查菱形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质与勾股定理；关键是取的中点，用两条中位线把两个已知中点与线段集中到中，再作底边上的高，把顶角化为含角的直角三角形． 三、解答题（7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）对方程配方后开方求解 ． （2）移项后提取公因式因式分解求解． 【小问1详解】 解： ， 移项，得  ， 配方，得  ， 开方，得  ， ∴ ，． 【小问2详解】 解：，  移项，得 ， 因式分解，得  ， 即 或  ， ∴，． 15. 一个不透明的抽奖盒中有2张红色卡片，1张蓝色卡片，1张黄色卡片，这些卡片除颜色外完全相同． （1）从中随机抽取一张卡片，求抽到红色卡片的概率． （2）先随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或列表法，求两次抽到的卡片颜色不同的概率． 【答案】（1） （2）画树状图如下： 【解析】 【分析】（1）利用红色卡片数量除以总的卡片数量即可求解； （2）利用树状图法即可求解． 【小问1详解】 解：抽到红色卡片的概率 【小问2详解】 解：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中符合题意要求的有10种， ∴抽到两张卡片颜色不同的概率是． 16. 在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． （3）在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】（1）如图：点P的位置即为所求； ． （2）如图：即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图∶ 点P的位置即为所求；． 图略 【小问2详解】 解：如图：即为所求． 图略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴． 17. 如图，在菱形中，对角线交于点过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】第问先证一组对边平行且相等得到平行四边形，再加一个直角证矩形； 第问关键识别，利用斜边中线求出对角线，再借助菱形面积的两种算法建立等式求高． 【小问1详解】 证明见答案 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 广东凉茶是岭南特色饮食文化代表，甜润款凉茶包和苦甘款凉茶包组成“反差凉茶”，广受年轻人喜爱．某商店购入这款凉茶组合套装，经统计，该套装2026年1月份的销售量为100套，2026年3月份的销售量为169套． 素材2 该店以每套40元的进价购入这套凉茶组合套装，以每套50元的价格出售．从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加10套． 问题解决： （1）求该套装1月份到3月份销售量的月平均增长率； （2）当该套装每套降价多少元时，月销售利润为1512元？ 【答案】（1）该套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为． （2）当该套装降价元时，月销售利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据增长率问题的等量关系列一元二次方程求解． （2）根据总利润与单套利润、销售量的等量关系列一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设该套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为． ∵1月份销售量为套，月平均增长率为， ∴3月份销售量为套． ∵3月份销售量为套， ∴． 解得，(不符合题意，舍去)． 答：该套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该套装降价元时，月销售利润为元． ∵每套进价为元，原售价为元， ∴降价后单套利润为元． ∵3月份销售量为套，每套每降价元，月销售量增加套， ∴降价后月销售量为套． ∵月销售总利润为元， ∴． 整理得． 解得，(不符合题意，舍去)． 答：当该套装降价元时，月销售利润为元． 19. 综合与实践 【问题背景】如图是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度为，数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动． 【问题解决】请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解． （1）方案：如图，第一小组小龙同学站在点处，脚跟、帽沿、灯帽边缘三点共线．已知帽沿距离地面高度为，，景观灯的边缘平行于地面，求景观灯半径的长． （2）方案：如图，某一时刻，在太阳光线的照射下，第二小组测得身高为的小明的影长为，此时景观灯在地面上的影长为，求景观灯的半径的长；（提示：） （3）方案：如图，第三小组在地面的点处放置一块平面镜，目高为（即）的小亮在点处从平面镜中观测到景观灯边缘点，当他走到点处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点，并测量得到如下三个数据：． 已知，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观灯半径的表达式．（结果可含字母） 我选择数据：_________， 求解过程如下： 【答案】方案一：景观灯半径长为； 方案二：景观灯半径长为； 方案三：选择数据为：， 景观灯半径． 【解析】 【分析】方案为视线三点共线构造相似； 方案是平行投影，先用同一时刻物高影长比求出灯顶端总高，再结合直角母子相似与勾股定理求半径； 方案利用平面镜反射等角构造两组直角三角形相似，分别求出两个水平距离，距离之差为半球直径，再取一半得到半径．整题以半球景观灯为统一背景，抓住为半径、为直径这一几何关系． 【详解】方案 解：由题意，，，帽沿离地高，所以到的竖直距离为． ， ． 代入： 得，． 答：景观灯半径长为． 方案 解：同一时刻太阳光，物高与影长成正比例． ，， ． 代入，，： 得． ，，，． 先由勾股定理求： 由： 得． ， 答：景观灯半径长为． 方案 解：如图所示：过作于，过作于． ，，． 由反射角等于入射角：，， ，． 其中： 解得： ． 为半径，为直径，， ． 答：景观灯半径． 20. 定义（阅读与理解） 在四边形中，如果其中一条对角线平分一个内角，且存在一组邻边相等、另外一组邻边不相等，那么这样的四边形叫做“邻等角分四边形”． 示例：如图1：平分，且，（或如图：平分，且，），则四边形是“邻等角分四边形”． （1）任务概念辨析 下图分别是用、、的三角形和、、的三角形组合摆放得到如下．四个四边形，其中属于“邻等角分四边形”的有_________．（填序号） （2）任务动手操作 尺规作图：请在图中作出一个“邻等角分四边形”．（保留作图痕迹，不写作法，作出一种即可） （3）任务探究计算 如图，在“邻等角分四边形”中，平分，，,则_________． 【答案】（1） （2）如图所示： （3）的长为或或 【解析】 【分析】第问严格对照定义的两条条件逐项筛选； 第问依托角平分线加等线段构造四边形； 第问结合“邻等角分四边形”定义分类讨论：对角线平分，四边形需要满足存在一组邻边相等、另一组邻边不相等，共种情况： 当时，利用等边对等角证内错角相等，得到，作双高构造矩形与直角三角形求解； 当时，由角平分线性质作双垂线，通过HL全等得到线段关系，列方程求解； 当时，利用等腰三角形性质与三线合一，结合含直角三角形计算，最后核验满足定义． 【小问1详解】 解：对照定义两个核心条件：有一条对角线平分一个内角；有一组邻边相等，另一组邻边不相等． ：没有对角线平分内角，不符合； ：对角线平分内角，一组邻边相等，另一组邻边不等，符合定义； ：不存在一组邻边相等，不符合； ：两组邻边都不相等，不符合． 【小问2详解】 解：图见答案； 作图思路：①以为顶点、为一边，在的另一侧作； ②以为圆心、长为半径画弧，交射线于点，并使； ③连接． 则四边形中平分，，，即为所求 【小问3详解】 解：平分，， ． 四边形是邻等角分四边形， ∴存在一组邻边相等，且另一组邻边不相等，需分三种情况讨论． 情况一： ， （等边对等角）． ， ， （内错角相等，两直线平行）． 如图所示：过点作于，过点作于． 在中，，， ，． ，，， 四边形是矩形， ，． ，即点与点重合， ． 在中，，， ． 情况二： 如图所示：过点作的延长线于，作于． 平分， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． 在与中，，， ， ． 同理，， ． 设，则，． 由得，解得， ． 在中，， ． 情况三： （等边对等角） 平分 如图所示：过点作于 等腰三线合一：， 在中， 检验与是否相等： 过作于 在中： 在中，由勾股定理： （一组邻边相等），，，显然； 同时平分，完全符合邻等角分四边形定义． 综上所述：的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $