上海市进才中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

上海市进才中学2026学年第一学期期中考试 (时间120分钟，满分150分) 高二数学试卷 (2026年11月) 命题救师 董凤风 审题教师 杨雪 一、填空题（本大题共有12题，满分54分， 第16题每题4分，第7-12题每题5分) 1.若点A∈平面ia、Ae平而B,且a∩B=l,则AL (用符填空) 2.已知向量a,b为单位向量，且a与i的夹角为150°，则a6 3,已知球的表面积为36π，则该球的体积为 4.已知等差数列{a,}的前n项和为S.,若a,+a=12,则S。= D 5.如图，长方体ABCD-AB,CD的棱长AM=3cm,AB=4cm, 则点A到棱BC的距离是 cm. 6. 将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，其表面积赠加 7.给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面 类型的 多面体？（找出可能的结果，并将序号填在横线上） ①四面体： ②四棱锥： ③四棱柱： ④五棱锥： ⑤五棱柱： ⑥六棱维： ⑦七面体 8.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AB=14,现将点A,B放置在平面a的同侧， 且与a的距离分别为10和6，则点C的到平面a的最小距离 为 9.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40 公里，B是母线SA上一点，且AB=10公里为了发展旅游业，要 建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路这条铁路从A出 发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 试卷第1页（共4页） 10如图，已知三棱柱ABC-A4BC的体积为3，P,2,R分别为 侧棱AA,BB,CC上的点且AP+CR=AM,则V。-4Cw=· 1山.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，P在正四棱锥 的表面上运动，并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为 hx>08四=c+1,若函数y=倒-8()的图象经过四个象 x+24,x≤0 12.已知函数f(x) 限，则实数k的取值范围是一· 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13.下列几何体中，多面体是() B. 14.下列命题中的真命题是( A.底面边长相等的直四棱柱是正四棱柱 B.有两个等高的几何体，若它们在等高处的截面面积不恒相等，则它们的体积不相等 C.各条侧棱都相等的棱维是正棱锥 D.圆台平行于底而的截面是圆面 15.若yx和y=3围成的封闭平面图形绕y轴旋转一周，则所得体积与绕x轴旋转一周所 得体积之比是( A.1:4 B.4:1 C.0+2:(4+22j D.(4+2W2):1+√2) 16.学习立体几何能够锻炼直观想象的数学核心素养，小唐在研究正方体的时候发现过空间 中的一点P,存在m条过点P的直线1，满足I与正方体的每条棱所成角的大小都相等：小 宋在研究正方体的时候发现过空间中的一点P,存在n个过点P的平面a,满足a与正方体 的每个面所成锐二面角的大小都相等：则下列判断正确的是( A.m=2,n=4 B.m=2,n=8 C.m=4,n=4 D.m=4,n=8 试卷第2页（共4页） 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答需有必要的计算或论证过程） 17.(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分) 已知函数/()=V5Bsi血-2os2x, (1)求函数y=f(x)的最小正周期和严格增区间： Ey已知△8C的内角4.&C的时边分别为a6,且/仔引-5b=x-a.求 角B的大小. 18.(本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分) 如图，已知点P在圆柱O0的底面圆0上，AB为圆0的直径，OA=2, 0 乙40P=120,三棱维4-4P8的体积为5。 (1)求圆柱O0,的表面积： (①)求异面直线AB与AP所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） B 19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率 等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度 用弧度制、例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为了 故其各个顶点的曲率 均为2红-3x号=x.蜘图，在直三棱柱8C-48G中，点人的曲率为 3 ,M为CC的中点， 且AB=AC (1)判斯△ABC的形状，并说明理由： (2)若AA=2AB=4,求点B到平面ABM的距离. B 鲨1（注4页） 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 如图，在矩形ABCD中，AB=√5，AD=I,点E是线段AB上的动点，将aADE沿DE翻 折至△ADE, D C E B(E) (1)证明：DE⊥AM: (2)若平面ADE⊥平面BCDE,求A”在平面BCDE内的射影的轨迹的长度： (3)当点E与B重合时，记二面角-DE-C的大小为B, 若0e6引 求直线BC与平 面ADE所成角的正弦值的取值范围. 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 定义：如果函数y=f(x)和y=g(x)的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数 y=∫(x)和y=g(x)具有C关系. (1)判斯函数/（因）=log,(8x)和8()=1og:x是布具有C关系： (2)若函数f(x)=ax-1和g(x)=-x-1不具有C关系，求实数a的取值范围： (3)若函数f(x)=xe和g(x)=msinx(m<0)在区间(0，π)上具有C关系，求实数m的取值 范围 *(共4页)