精品解析：上海师范大学附属外国语中学2026-2027学年上学期高二数学期中诊断卷

上海师范大学附属外国语中学 2026学年第一学期高二数学期中学科诊断卷 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（1-6题每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 椭圆的右焦点坐标为________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以. 所以椭圆右焦点坐标为. 2. 双曲线的渐近线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果. 【详解】由双曲线可得其标准方程为； 所以渐近线方程为； 故答案为： 3. 若过两点、的直线的倾斜角为60°，则y＝______． 【答案】－9 【解析】 【分析】列出关于y的方程即可求得y的值. 【详解】过两点、的直线的倾斜角为60° 则有，解之得 故答案为：－9 4. 若方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【详解】方程表示椭圆，需满足，且． 由，得；由，得． 所以． 5. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先用直线平行解出，再利用平行线间的距离公式求解. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 故直线，直线， 这两条直线间的距离为：． 故答案为：. 6. 过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______. 【答案】8 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知，求得答案. 【详解】抛物线的焦点为，且斜率为1，则直线的方程为， 代入抛物线方程得，设 ， 根据抛物线的定义可知. 故答案为：8. 7. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为____________________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义将问题转化为点到准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为，过点作，垂足为， 由抛物线定义可知，所以， 当时取取得最小值，又点到准线的距离， 故的最小值为4. 故答案为： 8. 已知直线l与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的斜率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点差法列方程，整理求得直线的斜率. 【详解】依题意可知，直线的斜率存在. 设直线的斜率为， 则，两式相减得， 整理得. 因为线段的中点坐标为， 所以. 故答案为： 9. 当直线和曲线没有公共点，则实数b的取值范围为______________ 【答案】或 【解析】 【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系求解. 【详解】由的为如图所示的半圆， 当直线与半圆相切时， 解得或（舍）， 要使直线与曲线没有公共点， 则或， 故答案为: 或. 10. 已知双曲线：，过其左焦点的直线与其交于、两点，则满足弦长的直线有________条 【答案】 3 【解析】 【分析】先求解双曲线的基本参数，分直线斜率不存在和存在两类情况，联立方程结合弦长公式求解，结合过焦点的弦长范围判断符合条件的直线总数. 【详解】由双曲线方程，可得，，故，左焦点坐标为， 直线的斜率不存在时，的方程为，代入双曲线方程得，解得，此时弦长，不符合要求； 直线的斜率存在时，设的方程为，联立双曲线方程，整理得， 当，即时，直线与双曲线渐近线平行，仅存在一个交点，不符合两点相交的要求； 当时，设交点，由韦达定理得：， ， 结合弦长公式， 令，即，化简得， 当时，方程化为，解得，对应直线，与双曲线交于，弦长为4，符合要求； 当时，方程化为，解得即，对应两条直线，均与双曲线左支交于两点，弦长为4，符合要求； 综上，满足条件的直线共有3条. 11. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，可得出，分析得出，即可解得的取值范围. 【详解】设点，则，则或为锐角， 如下图所示： 设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点， 设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点， 由题意可知，，则，解得. 故答案为：. 12. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求得，由角平分线定理，结合离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】如图，由题意可知， 所以， 所以， 因为平分，所以， 解得，所以，所以离心率， 故答案为：. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. ：若直线与双曲线只有一个交点，：直线与双曲线相切，是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 【答案】B 【解析】 【详解】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行，故充分性不满足； 必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，故必要性满足； 所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件. 14. 方程可化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】移项平方化简可得答案. 【详解】由得， 两边平方得，且得， 两边再平方得， 可化简为. 故选：D. 15. 如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.则最小直径圆面的面积为（ ）平方米 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】建立如图平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为， 由题意，双曲线过点和， 所以. 得，. 所以最小直径圆面的面积为. 16. 已知曲线 ，则下列关于曲线的说法中错误的是（ ） A. 曲线关于坐标轴和原点对称 B. 曲线关于等轴双曲线的渐近线对称 C. 曲线上不存在两点横坐标之和大于 D. 曲线上不存在点在以原点为圆心，为半径的圆外 【答案】C 【解析】 【分析】利用曲线方程的代换法判断对称性，借助一元二次方程判别式求解变量取值范围，结合基本不等式研究曲线上点到原点距离；通过举反例判断命题真假，综合运用代数推理，逐项甄别四个选项，找出错误命题即可. 【详解】选项A：将 ， 方程：，不变，曲线关于轴对称， 将 ，同理，曲线关于轴对称， 将 ，同理，曲线关于原点对称，A 正确； 选项B：等轴双曲线渐近线：、， 将、互换，方程变为，与原方程相同，曲线关于对称； 同理可验证曲线关于对称，B正确； 选项C：设，，方程化为：，则， 所以关于的方程有实根，则， 所以，可得，此时， 取两点横坐标都取最大值为，所以， 存在两点横坐标之和大于，故C错误； 选项D：设曲线上点，到原点距离平方， 由基本不等式：， 所以，即，可得， 曲线上所有点到原点距离不超过，没有点在圆外，故D正确. 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 已知三边所在直线方程为：，：，：. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）求直线与直线的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出B点坐标，由点斜式写出直线方程，再化简成一般式即可； （2）由题意可得，，由两直线的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 解：由，可得， 即； 又因为， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为， 即； 【小问2详解】 解：因为，， 设直线与直线的夹角为， 则有， 所以. 18. 已知圆：， （1）直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）已知直线：，求证：恒过定点；并求直线被圆截得的最短弦长. 【答案】（1）和 （2）由，得， 由 ，得，所以直线过定点；最短弦长为 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为：（A、B不同时为0），根据直线过点且与圆相切结合点到直线的距离公式，求得直线的方程； （2）求得直线所过定点，分析知当直线与垂直时，弦长最短，并求得最短弦长. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 设直线的方程为：（A、B不同时为0）， 因为过点，所以，， 因为直线与圆相切，所以， 即，所以， 两边同时平方得，化简得， 解得或， 当时，，，直线的方程为，即； 当时，A、B都不为0，， 直线的方程为，即； 所以直线的方程为和. 【小问2详解】 由，得， 由 ，得，所以直线过定点； 当时，圆心到直线的距离最大， 因为半径为定值，所以此时弦长最短， 因为， 所以最短弦长为. 19. 已知双曲线：，实轴长为4，其中一条渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）设双曲线的两个焦点分别为、，是双曲线上在第一象限的点，若为钝角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）点在第一象限，再分与讨论. 【小问1详解】 由题意可得，且，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 如图， ，是双曲线上在第一象限的点，则，，， 所以，故是锐角， 已知为钝角三角形， 若，由，得，又，得，故， 又在第一象限，则； 若，则由，得， 整理得，又，则，故，则，又在第一象限，则. 综上，的取值范围为. 20. 已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. （1）求抛物线的方程； （2）当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； （3）若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【答案】（1）； （2） 设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据准线方程求出，即可求出抛物线的方程. （2）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算得证. （3）设，用表示，再借助二次函数的性质求出. 【小问1详解】 由抛物线的准线方程为，得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则，，， 令，函数图象的对称轴为直线， 当，即时，，则； 当，即时，，则， 所以. 21. 已知曲线上的动点到的距离是它到直线的距离的． （1）求曲线的方程； （2）曲线的右焦点为，设不过点的动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且．证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； （3）在（2）的条件下，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）结合（1）有曲线的方程为，则其右焦点为， 设直线， 由，得， 设，，所以，， 所以， 由，所以， 所以，所以， 即，所以， 因为，所以， 所以动直线恒过轴上的定点． （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据两点之间的距离公式及点到直线的距离公式即可求解； （2）设直线，，，与椭圆方程联立，由根与系数的关系结合题意可得，计算可求定点；； （3）结合（2）有，且，从而得，再根据，代入计算并利用换元法，及基本不等式即可求面积的最大值. 【小问1详解】 设，由动点到的距离是它到直线的距离的， 则，整理得，即， 所以曲线的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 结合（2）有，， 且，即， 又 ， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属外国语中学 2026学年第一学期高二数学期中学科诊断卷 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（1-6题每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 椭圆的右焦点坐标为________ 2. 双曲线的渐近线方程为_____. 3. 若过两点、的直线的倾斜角为60°，则y＝______． 4. 若方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是______ 5. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为_______． 6. 过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______. 7. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为____________________. 8. 已知直线l与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的斜率为__________. 9. 当直线和曲线没有公共点，则实数b的取值范围为______________ 10. 已知双曲线：，过其左焦点的直线与其交于、两点，则满足弦长的直线有________条 11. 已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________ 12. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. ：若直线与双曲线只有一个交点，：直线与双曲线相切，是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 14. 方程可化简为（ ） A. B. C. D. 15. 如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.则最小直径圆面的面积为（ ）平方米 A. B. C. D. 16. 已知曲线 ，则下列关于曲线的说法中错误的是（ ） A. 曲线关于坐标轴和原点对称 B. 曲线关于等轴双曲线的渐近线对称 C. 曲线上不存在两点横坐标之和大于 D. 曲线上不存在点在以原点为圆心，为半径的圆外 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 已知三边所在直线方程为：，：，：. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）求直线与直线的夹角. 18. 已知圆：， （1）直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）已知直线：，求证：恒过定点；并求直线被圆截得的最短弦长. 19. 已知双曲线：，实轴长为4，其中一条渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）设双曲线的两个焦点分别为、，是双曲线上在第一象限的点，若为钝角三角形，求的取值范围. 20. 已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. （1）求抛物线的方程； （2）当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； （3）若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 21. 已知曲线上的动点到的距离是它到直线的距离的． （1）求曲线的方程； （2）曲线的右焦点为，设不过点的动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且．证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； （3）在（2）的条件下，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $