专题03 对数运算8种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题03 对数运算 （题型突破·举一反三） 题型 01 对数的概念及辨析 题型 02 指数式与对数式的互化 题型 03 利用对数性质解对数方程 题型 04 利用对数运算性质化简求值 题型 05 用已知对数表示其他对数 题型 06 换底公式的应用 题型 07 对数的综合应用 题型 08 对数运算的实际应用 ▌题型01 对数的概念及辨析 1. 核心逻辑 对数函数标准形式：（且），满足：① 底数为大于0不等于1的常数；② 真数只能是自变量；③ 前面系数为 1，无额外加减常数。 对数有意义条件：底数，真数。 2. 解题步骤 ① 判断对数、对数函数，逐条核对三要素； ② 求式子有意义，列出不等式组：真数，底数且底数； ③ 解不等式组得到取值范围。 3. 易错提醒 • 零和负数没有对数； • 、都 不是标准对数函数； • 求解定义域容易漏掉“底数大于0且不等于1”。 【例1】（26-27高一·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【变式1-1】（2026高一·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的为______．（填序号） 【变式1-2】（2026高一·全国·课前预习）判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1-3】（26-27高一·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌题型02 指数式与对数式的互化 1. 核心逻辑 互化关系：（，）； 为底数，为指数（对数），为幂（真数）。 2. 解题步骤 ① 找准底数、指数、幂； ② 指数式转对数式：指数写对数结果，幂做真数； ③ 对数式转指数式：对数结果做指数，真数做幂。 3. 易错提醒 • 可以互化，负数的幂（）不能写成对数式； • 互化时底数保持不变。 【例2】（26-27高一·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【变式2-2】（2026高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-3】若（，且），则（   ） A． B． C． D． ▌题型03 利用对数性质解对数方程 1. 核心逻辑 利用定义把对数方程转化指数方程；解完一定要 回代检验真数大于0，排除增根。 2. 解题步骤 ① 将写成指数形式； ② 解指数方程； ③ 把解代入原方程，检验真数，舍去增根。 3. 易错提醒 不检验真数，保留使真数小于等于0的增根。 【例3】（2026高一·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【变式3-1】（2026高一·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-2】（2026高一·江苏·寒假作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3) 【变式3-3】（2026高一·北京·阶段检测）方程的解为_____. ▌题型04 利用对数运算性质化简求值 1. 核心逻辑 熟练使用对数加减、幂的对数、对数恒等式；注意：只有同底数才可以使用加减运算性质。 2. 解题步骤 ① 观察底数是否相同； ② 利用运算性质拆、合并对数； ③ 灵活使用化简； ④ 算出最终数值。 3. 易错提醒 • ，不能拆分加减的真数； • 不同底数不能直接相加减。 【例4】（2026高二·湖南·学业考试）（    ） A． B． C． D．2 【变式4-1】（2026高三·北京·一轮复习）_____________. 【变式4-2】（2026高一·上海·课堂例题）计算：． 【变式4-3】（2026高一·上海·专题练习）求值： ▌题型05 用已知对数表示其他对数 1. 核心逻辑 把目标对数的真数、底数拆成已知条件里面数字的乘、除、乘方；结合对数四则运算、换底公式转化。 2. 解题步骤 ① 分解目标对数的真数，写成已知数字的乘积、商、幂； ② 利用对数运算性质展开； ③ 代入已知的对数，整理结果。 3. 易错提醒 拆分真数出错；幂次系数写到对数外面时符号出错。 【例5】（26-27高一·全国·课堂例题）已知，，用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3) 【变式5-1】（2026高一·全国·课后作业）已知，，试用m，n表示． 【变式5-2】（2026高一·全国·课后作业）已知，，试用、表示的值． 【变式5-3】（2026高一·上海·寒假作业）（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. ▌题型06 换底公式的应用 1. 核心逻辑 ；两个重要推论： 倒数关系：； 幂次变形：。 多个对数连乘，经常用换底约分。 2. 解题步骤 ① 统一换成同一个中间底数； ② 使用推论处理底数、真数带幂次的对数； ③ 约分化简，计算结果。 3. 易错提醒 分子分母写反；推论分子分母颠倒。 【例6】（26-27高一·全国·课堂例题）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式6-1】（26-27高三·安徽合肥·阶段检测）已知，，则______． 【变式6-2】（26-27高三·山东青岛·阶段检测）已知，且，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【变式6-3】（26-27高二·贵州遵义·阶段检测）已知，则的值为________． ▌题型07 对数的综合应用 1. 核心逻辑 指数、对数混合计算题；综合对数四则运算、对数恒等式、换底公式，分步拆解计算。 2. 解题步骤 ① 分开处理指数部分与对数部分； ② 优先使用对数恒等式； ③ 对数部分合并、拆分； ④ 最后做加减乘除运算。 3. 易错提醒 指数、对数混合运算运算顺序混乱；漏括号导致符号错误。 【例7】（26-27高一·全国·课后作业）计算：. 【变式7-1】（2026高一·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 【变式7-2】（26-27高三·四川达州·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式7-3】（26-27高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2). ▌题型08 对数运算的实际应用 1. 核心逻辑 增长率、衰减、模型给出等式，把指数方程两边取对数，利用对数运算求解未知数。 2. 解题步骤 ① 根据题意，列出指数模型等式； ② 两边取对数； ③ 利用对数运算性质，解出变量； ④ 结合实际，取符合题意整数或者范围。 3. 易错提醒 • 实际问题忽略变量为正整数； • 对数不等式求解，忘记对数函数单调性。 【例8】（2026高三·吉林延边·开学考试）19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则的最大值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式8-1】（2026高一·贵州六盘水·阶段检测）某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（    ）（参考数据：） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式8-2】（2026高三·甘肃·阶段检测）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【变式8-3】（2026高三·北京房山·开学考试）生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（   ） A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 对数运算 ▌题型01 对数的概念及辨析 【例1】【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 【变式1-1】【答案】② 【分析】根据对数函数定义逐个判断. 【详解】①定义域为，不是对数函数． ②符合对数函数的结构形式，是对数函数． ③自变量在底数位置上，不是对数函数． ④对数式后又加上1，不是对数函数． 故答案为：② 【变式1-2】【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)不是 【分析】（1）由对数函数的定义判断可得； （2）由对数函数的定义判断可得； （3）由对数函数的定义判断可得； （4）由对数函数的定义判断可得； （5）由对数函数的定义判断可得； 【详解】（1）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （2）原式中的底数是，而不是常数，故不是对数函数． （3）原式中的底数是，且不等于1，符合对数函数的定义，是对数函数． （4）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （5）原式中的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数． 【变式1-3】【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. ▌题型02 指数式与对数式的互化 【例2】【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可. 【详解】因为，所以. 【变式2-1】【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. 【变式2-2】【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 【变式2-3】【答案】A 【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由对数的概念知，故，即. 故选：A. ▌题型03 利用对数性质解对数方程 【例3】【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 【变式3-1】【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 【变式3-2】【答案】(1)5 (2)1000 (3) 【分析】（1）（2）根据对数的定义运算求解； （3）根据对数的定义结合指数运算求解. 【详解】（1）因为，可得，所以. （2）因为，可得，所以. （3）由题意可得. 【变式3-3】【答案】1 【分析】将方程转化为，按照一元二次方程的解法求得，所以.即方程的解为. 【详解】，得，整理得. 即. 因为，所以，所以，所以. 所以方程的解为. 故答案为：. ▌题型04 利用对数运算性质化简求值 【例4】【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 【变式4-1】【答案】 【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值. 【详解】原式 故答案为： 【变式4-2】【答案】. 【分析】利用指数运算律和指对数恒等式，来计算即可. 【详解】 ． 【变式4-3】【答案】2 【分析】根据对数的运算性质计算. 【详解】 . ▌题型05 用已知对数表示其他对数 【例5】【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用对数的运算法则逐一计算即可. 【详解】（1） ； （2）； （3） . 【变式5-1】【答案】 【分析】应用对数运算及已知化简表示即可. 【详解】∵，， ∴ ． 【变式5-2】【答案】 【分析】方法一：将对数化为指数，根据指数运算结合对数概念分析运算；方法二：将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】方法一：由，得到．设，则． 因为，所以，即． 方法二：因为，则， 所以. 【变式5-3】【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据对数的运算法则及换底公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. ▌题型06 换底公式的应用 【例6】【答案】C 【详解】因为，所以，又， 所以. 【变式6-1】【答案】 【详解】由，得， 则， 即， 所以． 【变式6-2】【答案】A 【详解】由，得，而， 因此，即， 则，又，所以. 【变式6-3】【答案】 【详解】设，则， 由，得， 整理得，解得， 即，则， 所以. ▌题型07 对数的综合应用 【例7】【答案】 【详解】 . 【变式7-1】【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数运算法则，直接计算即可得解． （2）先根据指数运算法则化简所求式子，然后将已知条件代入，利用换底公式化简计算即可求解． 【详解】（1） ． （2）因为，， 所以 ． 【变式7-2】【答案】(1)100 (2)2 【分析】（1）将指数幂进行整理，根据指数幂的运算法则，即可求解； （2）根据对数的运算法则，和对数恒等式，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 【变式7-3】【答案】(1)111 (2) 【详解】（1） ； （2）. ▌题型08 对数运算的实际应用 【例8】【答案】C 【分析】结合题意，由对数的运算性质化简，再计算，然后由对数的单调性可得. 【详解】由可得， 又， ， 由对数函数的单调性可得，即，所以的最大值为4. 故选：C. 【变式8-1】【答案】B 【分析】依题意可得第年投入的研发经费为万元，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】依题意可得第年投入的研发经费为万元， 令，即， 所以 ， 所以，又，所以的最小值为，即第年投入的研发经费首次超过20万元. 故选：B 【变式8-2】【答案】B 【分析】直接代入数据求值即可. 【详解】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得. 故选：B. 【变式8-3】【答案】A 【分析】由题意可知，，求出，再代入，结合对数的运算性质，即可求出的值. 【详解】由题意可知，，解得， 若一只小狗的体重为克，则 ， 即， ， 比较选项，，， 所以最接近的脉搏率， 故选：A. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 对数运算 （题型突破·举一反三） 题型 01 对数的概念及辨析 题型 02 指数式与对数式的互化 题型 03 利用对数性质解对数方程 题型 04 利用对数运算性质化简求值 题型 05 用已知对数表示其他对数 题型 06 换底公式的应用 题型 07 对数的综合应用 题型 08 对数运算的实际应用 ▌题型01 对数的概念及辨析 1. 核心逻辑 对数函数标准形式：（且），满足：① 底数为大于0不等于1的常数；② 真数只能是自变量；③ 前面系数为 1，无额外加减常数。 对数有意义条件：底数，真数。 2. 解题步骤 ① 判断对数、对数函数，逐条核对三要素； ② 求式子有意义，列出不等式组：真数，底数且底数； ③ 解不等式组得到取值范围。 3. 易错提醒 • 零和负数没有对数； • 、都 不是标准对数函数； • 求解定义域容易漏掉“底数大于0且不等于1”。 【例1】（26-27高一·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 【变式1-1】（2026高一·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的为______．（填序号） 【答案】② 【分析】根据对数函数定义逐个判断. 【详解】①定义域为，不是对数函数． ②符合对数函数的结构形式，是对数函数． ③自变量在底数位置上，不是对数函数． ④对数式后又加上1，不是对数函数． 故答案为：② 【变式1-2】（2026高一·全国·课前预习）判断下列给出的函数是否是对数函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)不是 【分析】（1）由对数函数的定义判断可得； （2）由对数函数的定义判断可得； （3）由对数函数的定义判断可得； （4）由对数函数的定义判断可得； （5）由对数函数的定义判断可得； 【详解】（1）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （2）原式中的底数是，而不是常数，故不是对数函数． （3）原式中的底数是，且不等于1，符合对数函数的定义，是对数函数． （4）原式中的真数是，而不是，故不是对数函数． （5）原式中的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数． 【变式1-3】（26-27高一·全国·课前预习）使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. ▌题型02 指数式与对数式的互化 1. 核心逻辑 互化关系：（，）； 为底数，为指数（对数），为幂（真数）。 2. 解题步骤 ① 找准底数、指数、幂； ② 指数式转对数式：指数写对数结果，幂做真数； ③ 对数式转指数式：对数结果做指数，真数做幂。 3. 易错提醒 • 可以互化，负数的幂（）不能写成对数式； • 互化时底数保持不变。 【例2】（26-27高一·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可. 【详解】因为，所以. 【变式2-1】（26-27高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. 【变式2-2】（2026高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 【变式2-3】若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由对数的概念知，故，即. 故选：A. ▌题型03 利用对数性质解对数方程 1. 核心逻辑 利用定义把对数方程转化指数方程；解完一定要 回代检验真数大于0，排除增根。 2. 解题步骤 ① 将写成指数形式； ② 解指数方程； ③ 把解代入原方程，检验真数，舍去增根。 3. 易错提醒 不检验真数，保留使真数小于等于0的增根。 【例3】（2026高一·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 【变式3-1】（2026高一·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 【变式3-2】（2026高一·江苏·寒假作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)5 (2)1000 (3) 【分析】（1）（2）根据对数的定义运算求解； （3）根据对数的定义结合指数运算求解. 【详解】（1）因为，可得，所以. （2）因为，可得，所以. （3）由题意可得. 【变式3-3】（2026高一·北京·阶段检测）方程的解为_____. 【答案】1 【分析】将方程转化为，按照一元二次方程的解法求得，所以.即方程的解为. 【详解】，得，整理得. 即. 因为，所以，所以，所以. 所以方程的解为. 故答案为：. ▌题型04 利用对数运算性质化简求值 1. 核心逻辑 熟练使用对数加减、幂的对数、对数恒等式；注意：只有同底数才可以使用加减运算性质。 2. 解题步骤 ① 观察底数是否相同； ② 利用运算性质拆、合并对数； ③ 灵活使用化简； ④ 算出最终数值。 3. 易错提醒 • ，不能拆分加减的真数； • 不同底数不能直接相加减。 【例4】（2026高二·湖南·学业考试）（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 【变式4-1】（2026高三·北京·一轮复习）_____________. 【答案】 【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值. 【详解】原式 故答案为： 【变式4-2】（2026高一·上海·课堂例题）计算：． 【答案】. 【分析】利用指数运算律和指对数恒等式，来计算即可. 【详解】 ． 【变式4-3】（2026高一·上海·专题练习）求值： 【答案】2 【分析】根据对数的运算性质计算. 【详解】 . ▌题型05 用已知对数表示其他对数 1. 核心逻辑 把目标对数的真数、底数拆成已知条件里面数字的乘、除、乘方；结合对数四则运算、换底公式转化。 2. 解题步骤 ① 分解目标对数的真数，写成已知数字的乘积、商、幂； ② 利用对数运算性质展开； ③ 代入已知的对数，整理结果。 3. 易错提醒 拆分真数出错；幂次系数写到对数外面时符号出错。 【例5】（26-27高一·全国·课堂例题）已知，，用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用对数的运算法则逐一计算即可. 【详解】（1） ； （2）； （3） . 【变式5-1】（2026高一·全国·课后作业）已知，，试用m，n表示． 【答案】 【分析】应用对数运算及已知化简表示即可. 【详解】∵，， ∴ ． 【变式5-2】（2026高一·全国·课后作业）已知，，试用、表示的值． 【答案】 【分析】方法一：将对数化为指数，根据指数运算结合对数概念分析运算；方法二：将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】方法一：由，得到．设，则． 因为，所以，即． 方法二：因为，则， 所以. 【变式5-3】（2026高一·上海·寒假作业）（1）设，试用含有的代数式表示； （2）设，，试用、表示； （3）设，，试用、表示. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据对数的运算法则及换底公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以. ▌题型06 换底公式的应用 1. 核心逻辑 ；两个重要推论： 倒数关系：； 幂次变形：。 多个对数连乘，经常用换底约分。 2. 解题步骤 ① 统一换成同一个中间底数； ② 使用推论处理底数、真数带幂次的对数； ③ 约分化简，计算结果。 3. 易错提醒 分子分母写反；推论分子分母颠倒。 【例6】（26-27高一·全国·课堂例题）若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又， 所以. 【变式6-1】（26-27高三·安徽合肥·阶段检测）已知，，则______． 【答案】 【详解】由，得， 则， 即， 所以． 【变式6-2】（26-27高三·山东青岛·阶段检测）已知，且，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】A 【详解】由，得，而， 因此，即， 则，又，所以. 【变式6-3】（26-27高二·贵州遵义·阶段检测）已知，则的值为________． 【答案】 【详解】设，则， 由，得， 整理得，解得， 即，则， 所以. ▌题型07 对数的综合应用 1. 核心逻辑 指数、对数混合计算题；综合对数四则运算、对数恒等式、换底公式，分步拆解计算。 2. 解题步骤 ① 分开处理指数部分与对数部分； ② 优先使用对数恒等式； ③ 对数部分合并、拆分； ④ 最后做加减乘除运算。 3. 易错提醒 指数、对数混合运算运算顺序混乱；漏括号导致符号错误。 【例7】（26-27高一·全国·课后作业）计算：. 【答案】 【详解】 . 【变式7-1】（2026高一·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数运算法则，直接计算即可得解． （2）先根据指数运算法则化简所求式子，然后将已知条件代入，利用换底公式化简计算即可求解． 【详解】（1） ． （2）因为，， 所以 ． 【变式7-2】（26-27高三·四川达州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)100 (2)2 【分析】（1）将指数幂进行整理，根据指数幂的运算法则，即可求解； （2）根据对数的运算法则，和对数恒等式，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 【变式7-3】（26-27高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1)111 (2) 【详解】（1） ； （2）. ▌题型08 对数运算的实际应用 1. 核心逻辑 增长率、衰减、模型给出等式，把指数方程两边取对数，利用对数运算求解未知数。 2. 解题步骤 ① 根据题意，列出指数模型等式； ② 两边取对数； ③ 利用对数运算性质，解出变量； ④ 结合实际，取符合题意整数或者范围。 3. 易错提醒 • 实际问题忽略变量为正整数； • 对数不等式求解，忘记对数函数单调性。 【例8】（2026高三·吉林延边·开学考试）19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则的最大值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】结合题意，由对数的运算性质化简，再计算，然后由对数的单调性可得. 【详解】由可得， 又， ， 由对数函数的单调性可得，即，所以的最大值为4. 故选：C. 【变式8-1】（2026高一·贵州六盘水·阶段检测）某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（    ）（参考数据：） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】依题意可得第年投入的研发经费为万元，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】依题意可得第年投入的研发经费为万元， 令，即， 所以 ， 所以，又，所以的最小值为，即第年投入的研发经费首次超过20万元. 故选：B 【变式8-2】（2026高三·甘肃·阶段检测）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【答案】B 【分析】直接代入数据求值即可. 【详解】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得. 故选：B. 【变式8-3】（2026高三·北京房山·开学考试）生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（   ） A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟 【答案】A 【分析】由题意可知，，求出，再代入，结合对数的运算性质，即可求出的值. 【详解】由题意可知，，解得， 若一只小狗的体重为克，则 ， 即， ， 比较选项，，， 所以最接近的脉搏率， 故选：A. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $