专题12 对数与对数函数考点精练【16大考点】-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

专题12 对数与对数函数高频考点精练 16大考点汇总 考点一　对数的概念 考点二　对数的运算性质的应用 考点三　换底公式化简计算 考点四　对数函数的概念 考点五　对数型函数的定义域 考点六　与对数有关的函数的值域与最值问题 考点七　对数型函数的图象过定点问题 考点八　对数型函数的图象的判断及其求参 考点九　对数型函数的图象及应用 考点十　对数型函数的单调性问题 考点十一　比较对数值的大小 考点十二　由对数函数的单调性解不等式 考点十三　根据对数型函数的单调性求参数 考点十四　利用对数函数的性质综合解题 考点十五　对数函数的实际应用 考点十六　反函数的应用 题型突破 考点一　对数的概念 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，得______. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 3．（25-26高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 考点二　对数的运算性质的应用 5．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 6．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 7．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）（1）解关于的不等式． （2）已知，，试用，表示． 8．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）计算： (1)； (2). 考点三　换底公式化简计算 9．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 10．（26-27高三上·四川达州·阶段检测）计算： (1) (2) 11．（26-27高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 12．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 考点四　对数函数的概念 13．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 14．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，则______，＝______． 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是否为对数函数？ (1)且； (2)； (3)； (4)且； (5). 16．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 考点五　对数型函数的定义域 17．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）函数的定义域为________. 18．（26-27高三上·北京石景山·阶段检测）函数的定义域为______. 19．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）函数的定义域为________． 20．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点六　与对数有关的函数的值域与最值问题 21．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 22．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 23．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）（多选）函数的值可以是（   ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 24．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 考点七　对数型函数的图象过定点问题 25．（2026·江苏苏州·模拟预测）函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则为最小值为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·广西柳州·期末）函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）函数且过定点___________. 考点八　对数型函数的图象的判断及其求参 29．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．  B．  C．   D．   30．（25-26高一下·湖南·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 31．（25-26高一上·北京平谷·期末）已知函数，若，则x的范围是___________． 32．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 考点九　对数型函数的图象及应用 33．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是__________． 34．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 35．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知函数，则______；若实数满足，则______． 考点十　对数型函数的单调性问题 37．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）下列函数中在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 38．（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为_________ 39．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为___________. 40．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）求函数的单调区间． （2）求函数的单调区间． 考点十一　比较对数值的大小 41．（26-27高一上·全国·课堂例题）设，，，则（     ） A． B． C． D． 42．（26-27高三上·云南保山·阶段检测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 43．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 44．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点十二　由对数函数的单调性解不等式 45．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）已知函数． (1)证明：． (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 46．（25-26高一上·山东威海·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； 47．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 48．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知（且）． (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 考点十三　根据对数型函数的单调性求参数 49．（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 50．（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 51．（26-27高三上·四川达州·阶段检测）（多选）下列选项中说法正确的是（      ） A．若幂函数在区间上单调递减，则 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 52．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）已知函数是R上单调函数，则的取值范围是______ 考点十四　利用对数函数的性质综合解题 53．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对恒成立，求实数的取值范围． 54．（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，在时最大值为 2，最小值为 1. (1)求实数的值； (2)设，若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 55．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 56．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知， 函数 (1)当时， 解不等式； (2)设， 若对任意函数f(x)在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． (3)若关于的方程 的解集中恰有一个元素，且还满足不等式 求的值． 考点十五　对数函数的实际应用 57．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 58．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求证：函数在内单调递增； (2)记为函数的反函数．若关于x的方程在上有解，求m的取值范围． 59．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，又，则__________ 60．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)当时，，求函数的反函数． 考点十六　反函数的应用 61．（26-27高三上·天津南开·开学考试）已知函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是_________ 62．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 63．（26-27高一上·全国·课堂例题）设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值． 64．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 对数与对数函数高频考点精练 16大考点汇总 考点一　对数的概念 考点二　对数的运算性质的应用 考点三　换底公式化简计算 考点四　对数函数的概念 考点五　对数型函数的定义域 考点六　与对数有关的函数的值域与最值问题 考点七　对数型函数的图象过定点问题 考点八　对数型函数的图象的判断及其求参 考点九　对数型函数的图象及应用 考点十　对数型函数的单调性问题 考点十一　比较对数值的大小 考点十二　由对数函数的单调性解不等式 考点十三　根据对数型函数的单调性求参数 考点十四　利用对数函数的性质综合解题 考点十五　对数函数的实际应用 考点十六　反函数的应用 题型突破 考点一　对数的概念 1．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，得______. 【答案】/ 【详解】由，得，. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 3．（25-26高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】要使有意义，则解得或． 考点二　对数的运算性质的应用 5．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）12 【详解】（1）因为，， 所以； 即. （2）由分别转化为对数式， 即， 即， 结合换底公式可得： . 6．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 【答案】10 【详解】 7．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）（1）解关于的不等式． （2）已知，，试用，表示． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时解集为或；当时，解集为或；当时，解集为.（2）. 【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法对分类讨论即可； （2）利用换底公式及对数运算求解即可. 【详解】（1），即， 当时，方程为，解得； 当时，，即，解得， 当时，， ，解得或， 当时，， ，解得或， 当时，，解得； 综上，不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为. （2），可得， . 8．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）. 考点三　换底公式化简计算 9．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）计算： (1) (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 10．（26-27高三上·四川达州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)100 (2)2 【分析】（1）将指数幂进行整理，根据指数幂的运算法则，即可求解； （2）根据对数的运算法则，和对数恒等式，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 11．（26-27高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1)111 (2) 【详解】（1） ； （2）. 12．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 考点四　对数函数的概念 13．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)是 【分析】根据对数函数的定义判断. 【详解】（1）真数为，不是对数函数． （2）对数式后加3，∴不是对数函数． （3）真数为，且系数不为1，不是对数函数． （4）底数是8，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 14．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，则______，＝______． 【答案】 / 【详解】； . 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是否为对数函数？ (1)且； (2)； (3)； (4)且； (5). 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【详解】（1）真数不是自变量x，∴不是对数函数； （2）对数式后减1，∴不是对数函数； （3）前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数； （4）中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． （5）符合对数函数的定义，为对数函数． 16．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 【答案】1 【分析】根据函数为对数函数及所过的点列方程求参数，进而求对应函数值. 【详解】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 考点五　对数型函数的定义域 17．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）函数的定义域为________. 【答案】 【详解】函数需满足，解得， 所以函数的定义域为. 18．（26-27高三上·北京石景山·阶段检测）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据根式的定义结合对数单调性计算求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 函数的定义域为 19．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）函数的定义域为________． 【答案】 【详解】由题意得不等式组：， 解得：或， 所以函数的定义域为. 20．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得在上恒成立，进而可得出答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 所以，解得， 所以整数的最小值为. 故选：B. 考点六　与对数有关的函数的值域与最值问题 21．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【答案】D 【详解】当时，. 当时， . 所以函数的值域为. 22．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 23．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）（多选）函数的值可以是（   ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】ABC 【详解】首先对数真数需满足，解得定义域为. 令真数，对称轴为，代入得最大值，因此真数范围为. 函数的底数，在上单调递减：当时，取最小值； 当时，，故函数值域为. 选项A：，符合要求； 选项B：，符合要求； 选项C：，符合要求； 选项D：，不符合要求. 24．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 【答案】最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 考点七　对数型函数的图象过定点问题 25．（2026·江苏苏州·模拟预测）函数（，）的图象经过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以该函数的图象经过定点. 26．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则为最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数所过的定点，从而可求得，的关系，再由基本不等式中“1”的整体代换结合基本不等式即可得解 【详解】因为函数（且），所以当，即，， 所以函数（且）的图象恒过定点， 所以直线为，即，所以， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立. 故选：C. 27．（25-26高一上·广西柳州·期末）函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对数型函数过定点，只要令真数部分值为1，解出的值，再将的值代入解析式求得的值. 【详解】令，解得，再将代入解析式得. 所以过定点，即. 故选：D 28．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）函数且过定点___________. 【答案】 【分析】令，求出的值，再代入函数解析式，可得出定点坐标. 【详解】对于函数且， 令，可得， 此时， 故函数且过定点. 故答案为：. 考点八　对数型函数的图象的判断及其求参 29．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 30．（25-26高一下·湖南·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 31．（25-26高一上·北京平谷·期末）已知函数，若，则x的范围是___________． 【答案】 【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式. 【详解】作出函数和函数的图像，如图所示， 两个函数的图像相交于点和，当且仅当时，的图像在的图像的上方，即不等式的解集为. 故答案为： 32．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数、指数函数、对数函数性质确定函数图象对应的函数式，确定的范围后，再确定，，的范围，从而得它们的大小关系． 【详解】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象， 因此，，， ，，，即， 故选：C． 考点九　对数型函数的图象及应用 33．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为直线与函数图象的三个交点，结合函数图象分析求解. 【详解】设， 由图象可知，当时， 直线与函数图象的三个交点 的横坐标分别为， 二次函数的图象关于直线对称，则， 由于，即，得， 解得． 因此的取值范围是． 故答案为: . 34．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 【答案】7 【详解】（1）当时，有，有. ①当时，由，有，解得； ②当时，由，有，解得或. （2）当时，有，有或. ①当时，由或，有或，解得（舍去）或（舍去）. ②当时，由或，有或，解得或或或. 由上知或3或或9或或或，故满足条件的实数的值有7个. 35．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由对数函数性质可知， 所以当时，，所以，选项A正确； 当时，，所以，选项B正确； 当时，，所以，选项C错误； 当时，，所以，选项D正确. 36．（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知函数，则______；若实数满足，则______． 【答案】 【分析】第一空：根据函数解析式代入计算即可；第二空：画出函数的图象，根据图象结合条件分析即可得出结论. 【详解】因为，所以， 所以； 函数的图象如图所示： 由图象可知，则， 且，又， 所以，即， 所以，解得， 所以， 故答案为：；. 考点十　对数型函数的单调性问题 37．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）下列函数中在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性即可判断. 【详解】由幂函数的单调性可知，，在上单调递减，故AB不正确； 由对数函数的单调性知在上单调递减，故C不正确； 由指数函数的单调性知，在上单调递增，故D正确. 38．（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为_________ 【答案】 【分析】根据给定函数，利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数单调性求解. 【详解】函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求递减区间为. 39．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为___________. 【答案】 【分析】应用换元法结合对数函数单调性及复合函数单调法则计算判断求解. 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则， 当时，由，得， 所以函数的单调递增区间是. 40．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）求函数的单调区间． （2）求函数的单调区间． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为. 【详解】（1）设，令，解得或， ∴函数的定义域为， 的对称轴为且开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域内单调递减， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）令，解得， ∴函数的定义域为， 又的图象开口向下且对称轴为， ∴在上单调递增，在上单调递减， 又∵在定义域上单调递增， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 考点十一　比较对数值的大小 41．（26-27高一上·全国·课堂例题）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数运算性质统一对数底数比较与的大小，再结合对数、指数函数的单调性判断、与1的大小关系，最终得出三者排序. 【详解】由题设有. 又，对数函数在上单调递增，且， 因此，即. 由对数函数单调性得； 指数函数在上单调递增， 因此，即. 综上可得. 42．（26-27高三上·云南保山·阶段检测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】和中间值和比较大小，即可判断选项. 【详解】因为，，， 所以. 43．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以． 44．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数是定义在上的偶函数，易判断函数在上单调递增，在上单调递减，利用偶函数性质结合对数、指数的运算性质，可判断出，从而得出，，的大小关系. 【详解】当时，，易得在上单调递增， 又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递减， 由题知， 又，所以最大，即最小， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 综上，，所以. 考点十二　由对数函数的单调性解不等式 45．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）已知函数． (1)证明：． (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明：． 因为，所以． 又，所以，所以， 即，所以，即． 故． (2) 【分析】（1）计算出，并根据单调性比较出大小； （2）由基本不等式得到，从而得到，求出答案 【详解】（1）略 （2）． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 依题意可得． 当时，，则满足题意． 当时，， 则，又，所以． 综上，的取值范围为． 46．（25-26高一上·山东威海·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，将原函数的值域问题转化为二次函数在上的值域问题，再结合二次函数的图象和性质可得； （2）令，将不等式转化为一元二次不等式，并解得或，再根据对数函数的单调性可得不等式的解集. 【详解】（1）由函数，得函数的定义域为. 令，当时，由对数函数单调性得：. 将原函数展开换元：， 所以原函数的值域问题转化为求二次函数在上的值域问题. 因为，二次函数的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以函数的最小值为，最大值为. 所以函数在的值域为， 因此函数在上的值域为. （2）不等式等价于，整理得， 因式分解得， 令，则，解得或. 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以 当时，即，， 由于是定义域为的单调递增函数，所以. 综上所述，不等式的解集为. 47．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3)若，则原不等式的解集为；若，则原不等式的解集为；若，则原不等式无解 【分析】（1）根据对数函数的定义，列式即可求出定义域； （2）根据奇偶性的定义即可判断； （3）按照和分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可. 【详解】（1）由函数的解析式可得解得， 所以函数的定义域为. （2）由（1）可知函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数. （3）可化为，， ①若，则有，即， 因为，， 所以原不等式的解集为， ②若，则有，即， （ⅰ）若，则，原不等式有解，解集为； （ⅱ）若，则，原不等式无解， 综上所述，若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式无解. 48．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知（且）． (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或. （2）由，且， 若，对数函数单调递减，则，， 若，对数函数单调递增，则，， 综上，的取值范围是． 考点十三　根据对数型函数的单调性求参数 49．（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数在区间上的单调性以及对数函数的单调性分析求解即可. 【详解】令，因为且，所以函数在上单调递减， 又函数在区间内单调递增， 所以函数为减函数，故， 又在上满足恒成立，故，解得：， 综上所述，的取值范围是. 50．（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数“同增异减”的单调性规则，先求出函数在单调递减的充要条件，再判断对应选项为该充要条件的真子集即可 【详解】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 51．（26-27高三上·四川达州·阶段检测）（多选）下列选项中说法正确的是（      ） A．若幂函数在区间上单调递减，则 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用幂函数系数为1求出参数，再结合单调性筛选m的值，判断选项A；利用抽象函数定义域整体取值范围不变，解不等式得到新自变量范围，判断选项B；利用复合函数同增异减，同时保证内层函数在区间上恒大于0，判断选项C；根据对数函数值域为R，则真数能取遍全部正数，分情况讨论求出的范围判断选项D． 【详解】由幂函数定义得，则， 解得或， 已知函数在区间上单调递减，则，故， 综上可得，故A正确； 定义域，中，令，则， 故函数的定义域为，故B正确； 外层函数在上单调递减， 复合函数整体在单调递增，则内层函数在上必须单调递减， 且恒成立，故， 最小值在处，，解得， 综上可得，，故C错误； 函数的值域为，则能取遍所有大于0的实数， 若，，一次函数可取全部正数； 若，，解得； 若，开口向下，无法取得所有正数，舍去； 综上可得，，故D正确． 52．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）已知函数是R上单调函数，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】若是R上单调递减，当时，要使单调递减，需，即； 当时，要使单调递减，需，与矛盾，故单调递减不可能. 若是R上单调递增，当时，要使单调递增，需，即； 当时，要使单调递增，需， 分段点处衔接应满足，得，即. 所以. 考点十四　利用对数函数的性质综合解题 53．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把复合函数的单调性转化为内层二次函数在区间上单调递减且恒正，由对称轴位置与端点函数值列不等式，由此求得的取值范围； （2）先由换元求出的最大值，再把“任意—任意”型恒成立转化为的最小值不小于该最大值，进而转化为关于的不等式恒成立问题，由此求得的取值范围. 【详解】（1）令，其图象开口向下，对称轴为， 又在定义域上单调递增， 故在[1，3]上单调递减等价于在上单调递减且恒成立． 则且，解得， 故的取值范围为； （2）令，由得，则， 当，即时，取最大值4． “对都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立． 易得在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，即的取值范围为． 54．（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，在时最大值为 2，最小值为 1. (1)求实数的值； (2)设，若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把二次函数配成顶点式，得到对称轴，结合判断单调性，代入端点值列方程组求出； （2）先化简方程，令，原方程转化为关于的二次方程，一个正数对应两个，要有4个解，就需要二次方程有两个不等正根，利用判别式、韦达定理列不等式，求出范围. 【详解】（1）由可知，函数的图象关于对称， 又，所以函数在上单调递增， 可得即解得. （2）易知， 所以即为， 即， 令，则，原方程转化为. 则关于的方程有四个不同的实数解等价于关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 55．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据函数单调性可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由，可知定义域为， 又， 即， 则， 所以， ， 因为在定义域内单调递增， 所以在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增， 因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知，在定义域内单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，正实数，满足，， 若，则，不满足， 所以， 因为，所以可变形为, 又函数在上单调递增，故， 即，所以， 则，当且仅当时，取等号， 即的最小值为，故选项C正确. 56．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知， 函数 (1)当时， 解不等式； (2)设， 若对任意函数f(x)在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． (3)若关于的方程 的解集中恰有一个元素，且还满足不等式 求的值． 【答案】(1)． (2) (3)或． 【分析】（1）利用对数函数的单调性，当时，求不等式的解集即可； （2）根据题意得出，通过对数的运算转化为任意恒成立，所以只需求函数在上的最小值即可； （3）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案. 【详解】（1）当时，由解得或， 由得，，解得， 所以不等式的解集为． （2）由复合函数的单调性可知，在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值分别为与， 则， 即，对任意成立． 因为，对称轴， 所以关于的二次函数在区间上单调递增， 所以时，，则，得． 所以的取值范围为． （3）方程的解集中恰有一个元素， 等价于方程仅有一个解，即方程仅有一个解， 当时，，满足，符合题意； 当时， ①若方程有两个相等的解，则需，解得， 方程的解为，满足； ②若时，方程有两不等实根，设为，显然， 由，得， 因为，所以，即， 所以都满足，所以此时不满足题意， 综上或． 考点十五　对数函数的实际应用 57．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反函数定义求出，由复合函数单调性满足同增异减进行求解，注意定义域 【详解】由反函数定义可知，其在上单调递增， 由得， 其中在上单调递增，在上单调递减， 由同增异减可知的单调递减区间是. 58．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求证：函数在内单调递增； (2)记为函数的反函数．若关于x的方程在上有解，求m的取值范围． 【答案】(1)任取，则， ，，，， ，即函数在内单调递增． (2) 【详解】（1）略. （2）， ， 当时，，，， 则，的取值范围是. 59．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，又，则__________ 【答案】16 【详解】因为，所以，则. 60．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)当时，，求函数的反函数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求函数解析式； （2）由，可得，可得反函数. 【详解】（1）根据题意，， 设，则，则， 所以； （2）当时，单调递增，则， 且由， 因为，所以解得， 所以. 考点十六　反函数的应用 61．（26-27高三上·天津南开·开学考试）已知函数与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间是_________ 【答案】 【分析】根据函数与函数的图象关于直线对称可知与互为反函数，求出解析式后根据复合函数单调性求单调区间. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称，所以， ，因为在上单调递减，在上单调递减，上单调递增， 所以根据复合函数的单调性可知的单调递增区间是. 62．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 【答案】C 【详解】∵函数与的图象关于直线对称， 而函数与的图象分别为函数与的图象向左平移1个单位可得， ∴函数的图象与函数的图象关于直线对称． 63．（26-27高一上·全国·课堂例题）设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值． 【答案】2 【分析】根据反函数的定义及互为反函数图象的关系求解 【详解】设，则点在函数的图象上，从而点在函数的图象上，即． 由反函数定义有， 所以有，从而． 64．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性定义及反函数的性质得出是上单调递减的奇函数，再将问题转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】因为，所以是上的奇函数， 又因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 所以也是在上单调递减的奇函数， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得或， 故原不等式的解集为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $