湖南长沙市雅礼教育集团2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年下学期雅礼集团初三期中考试 数学科目参考答案与试题解析 一.选择题（共10小题） 题号 2 4 5 6 9 10 答案 ◇ C A C A 一.选择题（共10小题） 3.已知样本数据1,2,3,3,4,5，下列说法不正确的是() A.平均数是3 B.众数是3 C.离差平方和是10 D.方差是2 【答案】D 【解答】解：己知样本数据为1,2,3,3,4,5，共6个数据. :平均数x1+2+3+3+4+5_18=3, 6 6 选项A正确，不符合题意； ,数据中3出现的次数最多， 众数是3，选项B正确，不符合题意： :离差平方和=1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=4+1+0+0+1+4=10， 选项C正确，不符合题意； 方差2=×10= 6 32, 选项D错误，符合题意： 故选：D 9.关于x的一元二次方程x2-3x-5=0的两个根是x,x2,则x+x2-xx2的值为() A.8 B.-8 C.-2 D.2 【答案】A 【解答】解：由条件可知+水三-=3,5二竹 1s5, …31+2-x3=3-(-5)=8, 故选：A 10.如图所示是抛物线y=a+bx+c的部分图象，其项点坐标为（←1，m,且与x轴的一个交点在点（←5,0） 和(-4,0)之间，则下列结论： (-l,m: ①abc>0;②&a+c<0;③b2=4a(c-m:④若n≠-1，则有(m+b)<a-b 其中正确的结论有( ) A.①③B.②④C.①③④ D.①②③④ 【答案】C 【解答】解：①：拋抛物线开口向下， .a<0, :顶点坐标为(-1，)， .对称轴为直线x=-1, b =-1, 即b=2a<0, 抛物线y=x2+bx+c交y的正半轴， .c>0, ..abc>0, 所以①正确，符合题意： ②：抛物线与x轴的一个交点在点（一5,0）和（←4,0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=-1, “.抛物线与x轴的另一个交点在点(2,0)和(3,0)之间. 由图象知当x=2时，y>0, .4a+2b+c>0, .b=2a, ..8a+c>0, 所以②错误，不符合题意： ③，抛物线顶点坐标为(-1，)， .抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与直线y=m有唯一一个交点， .方程m2+bx+c=,即ar2+br+c-m=0有两个相等的实数根， .b2-4a(c-m=0, :.b2=4a(c-m, 因此③正确，符合题意： ④由图象可得x=-1时，y=a-b+c为最大值， .当n≠-1时，a-b+c>am2+bm+c, .n(an+b)<a-b 所以④正确，符合题意， 故选：C. 二.填空题（共6小题） 11.因式分解：2ab2-2a=2a(b+1)b-1). 【答案】2a(b+1)b-1). 【解答】解：2ab2-2a=2a(b2-1)=2a(b+1)b-1), 故答案为：2a(b+1)b-1). 12.已知m是一元二次方程x2-3x+1=0一个根，则2025-2+3m的值为2026· 【答案】2026. 【解答】解：由条件可知2-3l+1=0, .2-3=-1, .原式=2025-(-3m)=2025-(-1)=2026. 故答案为：2026. 13.若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为18π，则它的侧面展开图的圆心角180° 【解答】解：设圆锥的母线长为1， 根据题意得2r31=18x, 解得1=6，n=180° 14.如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(a,2)和B(-2,-1).根据图象回答，当xx>1或 -2<x<0时，一次函数的值大于反比例函数的值. 【答案】x>1或-2<x<0. 【解答】解：设反比例函数的解析式为y=:, 把（←2，-）代入可得k=2, 当y=2时，x=1,即a=1, .两个函数交点的横坐标为1和-2， 由图象得，当x>1或-2<x<0时，一次函数的值大于反比例函数的值. 故答案为：x>1或-2<x<0. 15.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠A=110°，连接OB,OD,则∠BOD=_140_°. D ⊙ 【答案】140 【解答】解：：四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠A+∠BCD=180°， .∠BCD=180°-∠A=180°-110°=70°， 由圆周角定理得：∠BOD=2∠BCD=2×70°=140°， 故答案为：140. 16.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED,AB=2,∠ABE=45°，则DE的长是 2W2-2. E 【解答】解：：四边形ABCD为矩形， AD1/BC,AD=BC,∠A=90°， .AB=2,∠ABE=45°， ∴.∠AEB=45°， .∠ABE=∠AEB, .·.AE=AB=2, .BE=AB2+AE=22, AD//BC, ∠DEC=∠ECB, EC平分∠BED, .∠BEC=∠DEC, ∠BEC=∠ECB, .BC=BE =22, .AD=22, .DE=AD-AE=2√2-2， 故答案为：2√2-2. 三.解答题（共7小题） 17.计算： 令1-8+12-221+2025. 【答案】2. 【解答】解： 白1-8+|2-2W21+20250 =3-2W2+(2W2-2)+1 2 =3-2W2+2W2-2+1 .2 =2 2 18.先先化简，再求值： 一Q-1),其中a从-1,0,2，中的一个合适数代入求值. d+2a+ a+1 【答案】1,1 a+1'3 【解答】 a 2+2a+1 ÷0、1 a ÷(0+1-1 (a+1) 、a+1 1 a+1 3 根据分式有意义的条件可得：a+1≠0，a≠0 则a≠-1，a≠0 .a=2, 当a2时，原式号 43 19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(5,4),B(0,3),C(2,1). (1)画出△ABC关于原点对称的中心对称图形△ABC1,并写出点A的坐标： (2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，在这个旋转变换中，计算点C的运动轨迹的长度.（结果保留π） y -5引 B -2 -6-5-4-3-2-10123456 【答案】(1)△ABC关于原点对称的中心对称图形△AB,C,如图即为所求； y 6 5 3 ⊙ C -6-5- 4 2-177 01 234 56 B A 4(-5,-4: (2)点C的运动轨迹的长度为5 交. 【解答】解：(1)△ABC关于原点对称的中心对称图形△AB,C1,如图1即为所求； 2 6 A B 2 2101 234 6 B 图1 由图可知，A(-5,-4): 2 (2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，如图2， 6 A A B 6 图2 0C=V22+12=5, ·.弧CC2的长度 90πxV5_5 180 故点℃的运动轨迹的长度为 π 2 …2 20.雅湾产业园坐落湘江畔，借“强省会”战略，园区引进智能分选线，果子逐箱被“打分”；推行有机 肥替代化肥，守护一江碧水。果品装成“湘江源”礼盒，经助农直播售往全国，利润按比例返还果农。为 检验智能分选线的分级效果，质检员从“人工分选线（甲）”和“智能分选线（乙）”上各随机抽取10箱 猕猴桃，按糖度、果形、色泽三项综合评分（满分100分，得分用x表示）， 甲线10箱得分：96,80,96,86,99,98,92,100,89,84。 乙线10箱得分：88,90,91,92,92,92,93,93,94,95。 通过数据分析，得到下表： 分选线 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分2 甲（人工分选） 92 Q 96 43.4 乙（智能分选） 92 92 b 3.6 (1)求出a,b的值：a=94 2,b= 92 21 (2)乙线得分的下四分位数是 912分 (3)园区要将这批果品作为助农直播的主推货源，需从两条分选线中选择质量更稳定的一条供货。 根据表中数据，应选择甲、乙中哪一条？请说明理由 选乙方差小 2 21.如图，BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC=BC,且∠ACB=∠BDC=∠AED=90°. (1)求证：CE=BD (2)若AC=AD=4N5,求BD的长. 【答案】(1)：∠AED=90°，∠AEC+∠AED=180°， .∠AEC=180°-∠AED=180°-90°=90°， :∠ACB=∠BDC=∠AED=90°， .∠ACB=∠BDC=∠AEC=90°， .·∠CAE+∠ACE=∠ACE+∠BCD=90°， .∠CAE=∠BCD, 在△ACE和△CBD中， ∠CAE=∠BCD ∠AEC=∠CDB, AC=CB ∴△ACE=△CBD(AAS), ..CE=BD: (2)BD=4. 【解答】(1)证明：：∠AED=90°，∠AEC+∠AED=180°， .∠AEC=180°-∠AED=180°-90°=90°， .·∠ACB=∠BDC=∠AED=90°， .∠ACB=∠BDC=∠AEC=90°， :∠CAE+∠ACE=∠ACE+∠BCD=90°， ·∠CAE=∠BCD, 在△ACE和△CBD中， 「∠CAE=∠BCD ∠AEC=∠CDB, AC=CB .△ACE兰△CBD(AAS), ..CE=BD; ….4 (2)解：由(1)可得△ACE=△CBD(AAS9, .AE=CD, AE⊥CD,AC=AD=4V5, ..CE=DE ..CD=2CE, ·.AE=CD=2CE=2BD, .6 在直角三角形ACE中，由勾股定理得：AC2=CE2+AE2, .CE2+(2CE)2=(4V5)2, 解得：CE=4(负值已舍去)， BD=4. 8 22.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC,垂足为点E,连接BD. (1)求证：BD平分∠ABC: (2)若AC=8,DE=2,求线段BD的长， D 【答案】(1)证明：半径OD⊥AC, 弧AD=弧CD,AE=CE, .∠ABD=∠CBD, .BD平分∠ABC, 4 (2)解：如图，连接AD, D E .·OD⊥AC,AC=8, 设圆O的半径为R,则OE=R-2, 在Rt△AEO中，由勾股定理得： (R-2)2+42=R2, 解得R=5, 7 .AB=10, 在Rt△ADE中，由勾股定理得： AD=√DE2+AE2=V22+42=25, :AB是OO的直径， .∠ADB=90°， 在Rt△ADB中，由勾股定理得： BD=√AB2-AD2=V102-(2V5)2=4V5. 9 23.雅湾产业园分级后的猕猴桃被装成“湘江源”礼盒，通过助农直播间销售。已知每盒成本30元，当 售价为40元时，每天可售出60盒：市场调查发现，售价每降低1元，每天可多售出10盒。设每盒降价x 元。(1)为让利于消费者、让果农多销多得，若直播间每天销售这种礼盒的利润为630元，则每盒应降价 多少元？ (2)设直播间每天销售这种礼盒的利润为w元，求w与x之间的函数关系式：当每盒售价定为多少元时， 每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)降价3元： (2)当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润为640元. 【解答】解：(1)设每盒降价x元，则每天售出的数量是(60+10)盒： (40-30-x)(60+10x)=630, x=1,x3=3, …2 由于要让利于游客，x=1舍去， .3 .降价3元时商店每天的利润是630元： 4 (2)商店每天售卖该款猕猴玩偶的利润为w元，设每盒降价x元， 则w=(40-30-x)(60+10x) =(10-x)(60+10x) =-10x2+40x+600 =-10(x-2)2+640, 7 :降价后高于成本.0<x<10: .当x=2时，w取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元. 9 24题（本题满分10分） o 解：()设⊙o的半径为T,则OB=OC=r,OE=OB-BE=r-2。 ◇ ·AB⊥CD于E,AB经过圆心， ∴.△OEC是直角三角形。 B 在Rt△OEC中，由勾股定理得OE2+CE2=OC2 ∴.(r-2)2+(2√3)2=r2,解得r=4。 D ..⊙0的半径为4。 3 (2)证明：在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2=4+12=16,BC=4。 BE=2=BC,∴LBCE=30,∠EBC=60;同理BD=4,∠EBD=60°。 (原题图) BC=BD=4,∠CBD=∠EBC+∠EBD=120° 将△BCP绕点B逆时针旋转120°，使BC与BD重合，点P的对应点为P',则△BCP兰△ BDP', BP'=BP,DP'=CP.∠PBP'=120°，∠BCP=LBDP'。 四边形BCPD内接于⊙O,∴LBCP+∠BDP=180°（圆内接四边形对角互补）， LBDP'+∠BDP=180°，P、D、P'三点共线(D在P与P'之间)。 PC+PD=DP'+PD=PP'。 在△BPP'中，BP=BP',∠PBP'=120°，LBPP'=∠BP'P=30°。 作BM1PP'于M,则PM=PP',BM=BP(30°角所对的直角边等于斜边的-半) PM-VBPR-BME BP.PP-2PM-V3BP. :PC+PD=V3PB。(也可用截长补短证全等) (3)作PH⊥AB于H。 E在CD上，CD⊥AB,PH⊥AB,∴点P到直线CD的距离等于EH。 SAPCD=SAPCE+S△PDE=CE·EH+DE·EH=CD·EH=2W3·EH。 在Rt△PEH中，x2=PH2+EH2; 在Rt△P0H中，PH2=0P2-0H2=16-0H2,而0H=IEH-0EL.故0H2= (EH-2)2, x2=16-(EH-2)2+EH2=12+4BH.÷EH=-12 4 y=23.÷2=x2-12)。 当P与C重合时EH=0,此时x=CE=2V3;当P与A重合时EH=EA=6,此时x=6。 点P不与A、C重合， 2V3<x<6。 综上.y=x2-12)2V3<x<6 第25题 (1)由“中心对称"得”=2x,即y1+y2=4x(对任意x成立)。 ①5x+(-x)=4x,符合 ②(x+1+(x-2=4x-1+4x,不符合： ③(-3x2+x)+(3x2+2x)=4x,符合。 3(少一个只得1分) “互为“同心函数”的是①③」 (2)直线的同心函数"为y=4x-[(3-m)x+刊=(m+1)x-n,与y=联立，得 (m+1)x2-nx-6=0(交点横坐标x≠0)。 由题意交于两点，知m+1≠0且方程有两个不相等的实数根 涵+妇=好2=品 蚊+好调 %=解得n=-3。 直线：y=(3-m)x-3=-mx+(3x-3)。 令x=0,无论m为何值都有y=-3,直线恒过定点(0，-3)。 6 (3)二次函数y=-ax2+(4-b)x-c的“同心函数"”为y=4x-[-ax2+(4-b)x-c]=ax2+bx+c。 m=a+b+c(x=1时的函数值)，n=16a+4b+c(x=4时的函数值)，c为x=0时的函数值。 P(t,m)与M(1,m)纵坐标相同，且a>0、t≠1， 1与关于抛物线的对称轴x=一品对称。 些=六即t=8-1 由m<n得a+b+c<16a+4b+c,即b>-5a;由n<c得16a+4b+c<c,即b<-4a。 -5a<b<-4a,又a>0.4<-8<5,3<t<4 设g(①=-2+2t-1=-2(t-2)2+1,其图象开口向下、对称轴为t=2. “g()在(3,4)上随的增大而减小，当3<t<4时，9)<93)=且g)的值可以无限接近 由w+>9)恒成立得w+≥ w名-是 即w的取值范围是w三-2026年下学期九年级期中检测 数学科目 本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是() A D. 2.由deepseek开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内AI产品榜统计数据，这 款推理型AⅡ聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达2215000.将2215000用科学记数法表 示为() A.2215×104 B.2.215×10 C.2.215×107 D.0.2215×10 3.己知样本数据1,2,3,3,4,5下列说法不正确的是（) A.平均数是3B.众数是3 C.离差平方和是10 D.方差是2 4.下列运算正确的是() A.3a+2b=5ab B.2c2-c2=2 C.-2(a-b)=-2a+b D.x2y-4x2=-3x2y 5.抛物线y=-(x+2)2+4的顶点坐标为（ A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-2,4) D.(2,-4) 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠A:∠B:∠C=7:4:2,则∠D等于() A.100° B.80° C.140° D.40° 7.如图，点P在反比例函数y=二(x<O)的图象上，过点P分别作x轴，y轴的垂线段PA,PB.若 矩形OAPB的面积为6，则k的值为( A.6 B.-6 C.3 D.-3 8.如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A'B'C,'B交AC于点D,若∠ADC=90°， 则∠A的度数() A.35° B.75° C.55 D.65° 9.关于x的一元二次方程x2-3x-5=0的两个根是x,名，则x+x,-xx的值为（) A.8 B.-8 C.-2 D.2 10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点在点(-5,0)和(-4,0)之间，其顶点 坐标为(-1，m),则下列结论：①abc>0:②8a+c<0;③b2=4a(c-m);④若n≠-1，则有 n(an+b)<a-b. 其中正确的结论有() A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③④ A (-1,m:外 43- 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第1页共4页 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.因式分解：2ab2-2a= 12.已知m是一元二次方程x2-3x+1=0一个根，则2025-m2+3m的值为 13.若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为18π，则它侧面展开图的圆心角为°. 14.如图，已知一次函数y=c+b≠0与反比例函数y=”(m≠0)图象交于点Aa,2)和 B(-2,-1).根据图象回答，当kx+b>m时，则x的取值范围是 15.如图，四边形ABCD内接于⊙0，∠A=110°，连接OB,OD,则∠BOD= 0 16.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED,AB=2,∠ABE=45°，则DE的 长是 D B 第14题图 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、 23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分) 17.计算：（分）-V8+2-2V21+2026. 18.先化简，再求值： a 安t0t*0 ),其中a从-1,0,2中的一个合适数代入求值. a+11 19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(5,4),B(0,3),C(2,1). (1)画出△ABC关于原点对称的中心对称图形△ABC,并写出点A的坐标： (2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，在这个旋转变换中，计算点C的运动轨迹的长度.（结果保 留π) y 6 6-5=4-3-21012.3.4.56x 第2页共4页 20.雅湾产业园坐落湘江畔，借“强省会”战略，园区引进智能分选线，果子逐箱被“打分”；推行 有机肥替代化肥，守护一江碧水。果品装成“湘江源”礼盒，经助农直播售往全国，利润按比例返 还果农。为检验智能分选线的分级效果，质检员从“人工分选线（甲）”和“智能分选线（乙）”上 各随机抽取10箱猕猴桃，按糖度、果形、色泽三项综合评分（满分100分） 甲线10箱得分：96,80,96,86,99,98,92,100,89,84. 乙线10箱得分：88,90,91,92,92,92,93,93,94,95. 通过数据分析，得到下表： 分选线 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分2 甲（人工分选） 92 a 96 43.4 乙（智能分选） 92 92 b 3.6 (1)求出a,b的值：a= ,b= (2)乙线得分的下四分位数是 分 (3)园区要将这批果品作为助农直播的主推货源，需从两条分选线中选择质量更稳定的一条 供货。根据表中数据，应选择甲、乙中哪一条？请说明理由。 21.如图，CB是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC=BC,且∠ACB=∠BDC=∠AED=90°. (1)求证：CE=BD. (2)若AC=AD=45,求BD的长. 22.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E,连接BD (1)求证：BD平分∠ABC; (2)若AC=8,DE=2,求线段BD的长 23.雅湾产业园分级后的猕猴桃被装成“湘江源”礼盒，通过助农直播间销售。已知每盒成本30元， 当售价为40元时，每天可售出60盒；市场调查发现，售价每降低1元，每天可多售出10盒。设每 盒降价x元，且高于成本价销售。 (1)为让利于消费者、让果农多销多得，若直播间每天销售这种礼盒的利润为630元，则每盒应降 价多少元？ (2)设直播间每天销售这种礼盒的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；当每盒售价定为多少 元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 第3页共4页 24.如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于E,且BE=2，CE=2V5,点P是劣弧AC上的一 个动点（不与A、C两点重合），连接DP、CP、BP. (1)求⊙0的半径； (2)求证：PC+PD=√3PB; (3)连接PE,令PE=x,SAPCD=y,求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围。 A 0 D 25.在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x,这两个函数对 应的函数值分别记为，y2且点(x,y)与点(x,y2)关于点(x,2x)成中心对称（此三个点可 以重合)，则称这两个函数互为“同心函数”.例如：y=3x和y=x互为“同心函数”. (1)判断下列各组函数是否互为“同心函数”： 0y=5数和y=-:②y+1和y=-2:@y=3+3x和y=3r+3 2 2 2 其中互为“同心函数”的是」 (填序号) (2)若直线1的解析式为y=(B-m)x+n(m≠3)此函数的“同心函数”与反比例函数y=6的图 象交于M6,,)商点。当满是+号时直线总经过一个定点，试求谈定点 的坐标. (3)若ML,m)N(4,n以P(t,m)三个不同的点均在二次函数 y=-ax2+(4-b)x-c(a,b,c为常数，且a>0)的“同心函数”的图象上，且满足 m<a<6,若存在常数，使得w+>之+2”-1恒成之，求四的取值范围。 第4页共4页