湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

2026年秋季高一期中考试 数 学 命题人：欧卫卫 审题人：李典芳 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项符合题目要求.) 1.已知命题p:3x>1,x2一4<0，则命题p的否定是 北 圜 A.3x>1,x2-4≥0 B.3x≤1，x2-4<0 C.Hx≤1，x2-4>≥0 D.Hx>1,x2-4≥0 如 2.已知a,b∈R,则“a>b”是“a2>b”的 A充要条件 B.既不充分也不必要条件 然 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 0 3.已知幂函数f(x)=(m2一3m一3)xm一2的图象与y轴没有公共点，则实 救 数m的值为 A.4 B.1 C.-1 D.-4 ☒ 4,函数f()=工-1山的图象大致为 南 5.《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方 数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都 能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示，点D,F在圆O 上，点C在直径AB上，且OF⊥AB,CD⊥AB,CE⊥OD于点E,设AC =,BC=a>60).该闲形完成<d<←亚的无字 证明.图中长度为 @2十&的线段是 2 A.CE B.CD C.CF D.DE 高一数学试题(N)第1页（共8页） 6.生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量C会按确定的比率衰减（称 为衰减率)，C与死亡年数t之间的函数关系式为C=C×0.5(C为原 始量，k为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为 半衰期.2026年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳 14残余量约占原始含量的80%，则可推断该生物死亡时间属于 附：①参考数据：lg2≈0.30；②参考时间轴如图： 。春秋 秦汉魏晋 隋唐 「战国中时期十南北朝 公元2026年 一时期 公元前 公元前 公元 公元 公元 770年 221年 220年 589年 907年 A.春秋战国 B.秦汉时期 C.魏晋南北朝 D.隋唐时期 (3a-1)x+3a,x<1, 7.已知函数f(x) 满足对任意x≠x2都有 x+2,≥l (x1一x2)[f(x1)一f(x2)]>0成立，则实数a的取值范围是 A[3刂 B(合] c(3,] D(房) |x2-4x-5,x≥0， 8.(★)已知函数f(x) 3·(侵)》-2x<0, 则方程[f(x)]一6f(x) 十5=0的解的个数为 A.5 B.6 C.7 D.8 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分.) 9.(★)下列说法正确的是 A.函数f(x)=2x2与函数g(t)=2r表示同一函数 B.函数f(x)=1与函数g(x)=(x十1)°表示同一函数 C.若f(x)的定义域为[-2,2]，则f(2x一1)的定义域为[一5,3] D.函数f(x)=lg(x2-x十1)的定义域为R 高一数学试题(N)第2页（共8页） 10.已知a>0,b>0,若a+2b=1,则 Ab的最大值为日 Ba2+4的最小值为号 C名+名的最大值为8 D.(侵)+（° 的最小值为√2 11.双曲函数是数学中一类非常重要的函数，其中就包括双曲正弦函数： )=2,双曲余孩函数：g)=e（e271828,为日 然对数的底数).下列关于f(x)与g(x)的说法正确的是 A.函数y=f(x)·g(x)的图象关于原点对称 B.Vx∈R,都有f(x)-g(x)=1 C函数y侣的值域为(-1，） D.Hx,y∈R,都有g(x-y)=g(x)·g(y)-f(x)·f(y) 选择题答题卡 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.计算：-1og,2+(）+log18= 1.(★)已知集合A=xx-3,m∈z,B={x∈Z∈N则集合 A∩B的子集个数为 14.已知函数f(x)的定义域为R,且y=f(x十2)一1是奇函数，若函数 y-z二2与y=fx)图象的交点为(n),(),…,(),则 x1十y1十x2+y2十·十xm十ym= 高一数学试题(N)第3页（共8页） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 15.(★)（本小题满分13分） 已知集合A={x|x一1≤5}，集合B={xm+1≤≤2m-1}(m∈R). (1)当m=4时，求AUB,B∩CRA; (2)设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若命题p是命题q的必要条件，求实 数m的取值范围. 高一数学试题(N)第4页（共8页） 16.(★)（本小题满分15分） 设f(x)=x2-mx+m,m∈R (1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式f(x)<x 高一数学试题(N)第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 两次购买同一种物品，有两种不同的策略 策略①：不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②：不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同， 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为 p1,p2,设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次 购买的金额均为n. (1)若p1=4,p2=5,m=20,n=200,请分别计算策略①及策略②购买 的产品的平均价格； (2)采用哪种策略购买更经济实惠？请说明理由. 高一数学试题(N)第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f)=2:+2,g()=log(4+1)一ax. (1)用定义证明f(x)的奇偶性及f(x)在(0，十∞)上的单调性； (2)若函数g(x)为偶函数，求实数a的值，并解不等式g(x+1) >g(3-2x); (3)在(2)的条件下，设函数(x)=log号·log号+m,若对任意的 x1∈[0,1]，总存在x2∈[3,27]，使得g(x1)=h(x2)成立，求实数m 的取值范围 高一数学试题(N)第7页（共8页） 19.（本小题满分17分) 某同学在阅读高等数学时发现两则定义. 定义1：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若Vx1,x2∈I, 都有f色)≤)生f),则称y=fx)为区间1上的下凸 函数. 显然下凸函数有如下性质：设A是下凸函数y=f(x)图象上任意 点，则函数y=f(x)在A点处的切线始终在函数y=f(x)图象的下方 (不包含点A).如图1. 定义2：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若V1,x2∈I, 都有f色≥)士f》,则称y=f)为区间1上的上凸 2 函数 显然上凸函数有如下性质：设A是上凸函数y=f(x)图象上任意 点，则函数y=f(x)在A点处的切线始终在函数y=f(x)图象的上方 (不包含点A).如图2 y=f(x) y=f(x) 0x图1 X2 图2 已知函数f(x)=x4一4x,g(x)=lnx. (1)判断并用定义证明f(x)与g(x)在定义域内是上凸函数还是下凸 函数； (2)已知曲线y=f(x)在点P(x,f(xo)处的切线方程为y一f(x) (4x8一4)(x一x),且y=f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，十∞) 上单调递增，若方程f(x)=m有两个实根x1,x2,且x1<x2,证明： x-≤贺+4； (3)已知曲线y=g(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x一1，若对任意 E(0,十o∞)，e1-nx一ha一1≥0恒成立，求实数a的取值 范围。 高一数学试题(N)第8页（共8页）2026年秋季高一期中考试 数学参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B A C B 1.D【解析】命题p的否定是“Vx>1,x2-4>≥0”. 2.B【解析】当0>a>b时，a2<b; 当a2>b时，|a>|b,可能为b>0>-b>a. 故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件. 3.C【解析】因为f(x)=(m2-3m一3)xm-2是幂函数， 所以m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1, 当m=4时，f(x)=x2,函数图象过(0,0)，与y轴有交点，不符合题意； 当m=一1时，f)=x3=是40，图象与y轴没有交点，特合题意，所以m=-1 4.A【解析】f(x)的定义域为{xx≠0}， 又f-x)=1-”-1=-x-1=-f, 所以f(x)为奇函数，其图象关于原，点对称，所以C,D错误； 又x>0时，f(x)≥0，所以B错误，A正确. 5.C【解析】法-：由图形可知OF=号AB=4C+BC)=生史，0C=AC-OA=a-=2, 在直角△C0F中，由句度定理得CF=VO+OC-√+(-√，造C 法二：因为OF-生√@，选项中比OF长的线段只有C,故选C 另给出CD,CE,DE的长度证明： 在直角△D0C中，由勾股定理得CD=VOD-0C-√(2)-(22)'=a6, CE-OC.CD_(a-b)/ab DO a+b 由CE1OD,CDLAB,.则△D0△DEC,可符器S, 所以DB=瓷-单。-第所以线段D5的长度为竿 a+b 2 6.B【解析】由题，当1=5730时，C-C,故2C=C×0.5平，解得=5730， ∴.C=CX0.5】 由GX0.5=0.8C,得号-（侵）， 所以g告=1g(2)血，即g4一g5=写6g司， 解得-530×0g5l_5730X0-g221g2-5730Xg232≈5730×号-1910， 1g 2 1g 2 1g 2 2026一1910=116，即该生物体死亡时间距今1910年，大约在公元116年左右，为秦汉时期.故选B. 高一数学参考答案(N)-1 7.C【解析】由题意得，函数f(x)在R上单调递增， 当<1时，画数y=(3a-1)x十3a单调递增，则3a-1>0,即a>: 当≥1时，函教y=x十是单调递增，已知>号，由对勾函数性质得y=x十是在(0，@)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增，所以Wa≤1，解得a≤1； 当x=1时，(3a-1DX1+3a≤1+a,则6a-1a+1,解得a≤号. 综上，可得时<a≤. 8.B【解析】由方程[f(x)门]一6f(x)十5=0解得f(x)=1或f(x)=5,画出函数f(x)的大致图象如下，可得方 程的解有6个.故选B. y=5 0 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 题号 9 10 11 答案 AD ABD ACD 9.AD【解析】对于A,两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数，故A正确； 对于B,函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{xx≠一1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，所以不是同一 函数.故B错误； 对于C,国为f)的定义城为[-2,2]，对于函数f(2x-1,则-2≤2x-1≤2，解得-<≤号，即f2z 1)的定义城为[司，昌]，故C错误； 对于D,因为x2一x十1>0恒成立，所以f(x)的定义域为R,故D正确. 10.ABD【解析选项A,由2ab-a·2≤(2生)=子，即a长合， 当且仅当a=26,且a十2b=1,即a=司，6=}时取等号，故A正确； 选项B,由2(a2+)>a2+B+2ab=(a+b)2,得a2+6≥a+b) 2 所以c2+4=82+(2)≥a2》-名，当且仅当a=20,且a十26=1，即a=26=宁时取等专，故B 2 正确； 选项C,因为a>0,6>0,所以2+方-a+2b(层+若)=4++号≥4+2-8， a 高一数学参考答案(N)一2 当且仅当0-号，且a十26=1，即a=2b=时取等号，故C错误： 选项D(侵)°+（°-（侵广+（侵）≥2V合°·（合-2√合-， 当且仅当（侵）广°=（侵），且a十2b=1,即a=2,6=时取等号，放D正确. 11.ACD 【解析】选项A,函数f(),g()的定义战都为R,且f(一)=e)C=一f(),f(r)是奇函数， 2 g(一)=十e=g(,g()是偶函数，故y=f)·g()是奇函数，图象关于原点对称，故A正确； 2 速项B,产()一g=产十e2-2色十。产+2=-1，故B错误： 4 4 选项C函故)y侣-+-密+1异 2 e+1>1…0异<211-号1，即通数y铝的位线为-1，，故C正角： 选项D,8·g》-)·f)=e.-e.巴-+e+e+ 2 2 2 4 e+y-ey-ex十ey_ey十e 4 2 一=g(x一y),故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12号【解折1162+（停）产+l6e18=og竖+（停）》4-1bs9+2-2+号-号 14【獬折时于来合B=∈∈N若骨∈N∈么则x+1=1,25,10,到z=0.14,9, 即B={0,1,4,9}.又因为A={xx=3n,n∈Z},可知0∈A,1任A,4A,9∈A, 则A∩B={0,9},所以集合A∩B的元素个数为2，子集个数为4. 143m【解析2生号-产2十1，所以画量y2的因象的对格中心为2， 又函数y=f(x十2)一1是奇函数，所以y=f(x)图象的对称中心为(2,1). 所以十M十x十y+…十x十a=(a十十…十x)+(0十业十…十)=4…受+2…登-3m 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【解析】(1)由x-1|≤5得-5≤x-1≤5，解得-4≤x≤6， 所以A={x|-4≤x≤6}， 当m=4时，B={x|5≤x≤7}， 所以AUB=[-4,7], B∩儿RA=(6,7].…6分 (2).命题力是命题q的必要条件，.集合B是集合A的子集， 当B=0时，m十1>2m-1,解得m<2,符合题意； m+1≤2m-1, 当B≠0时，{-4≤m十1，解得2≤m≤2： 27 2m-1≤6， 综上所述，实数m的取值范国为一©，？] …13分 16.【解析】(1)由题意得，f(x)=x2-mx十m≥0， 则△=(-m)2一4m=m(m-4)≤0，解得0≤m≤4， 高一数学参考答案(N)一3 所以实数m的取值范围为[0,4].… 6分 (2)由f(x)<x,化简得x2-(m十1)x+m<0,即(x-1)(x-m)<0, 当m<1时，对于不等式(x-1)(x一m)<0,解得m<x<1; 当m=1时，对于不等式(x-1)(x-m)<0,无解； 当m>1时，对于不等式(x-1)(x-m)<0,解得1<x<m. 综上所述，当m<1时，关于x的不等式f(x)<x的解集为(m,1); 当m=1时，关于x的不等式f(x)<x的解集为☑； 当m>1时，关于x的不等式f(x)<x的解集为(1，m). …15分 17.【解析】(1)采用策略①：购买的产品平均价格为20×4十20X5=9 2×20 …3分 第略@：购买的产品平均价格为20020-9 2×200_40 … …6分 4 5 (2)采用策略②比策略①更经济实惠.理由如下： 采用策略①，两次购买的教量均为m,则两次的平均价格为m十m=十卫； 2m 2 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的总数量为”十”， p1 P2 则两次的平均价格为2m=2 九+n111, p p2 P P2 因为A>0>0,于光吉老=老会-00 21L1 pI p2 当1=2时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与策略②一样经济实惠； 省大加时，十位气工名术用策略②比袋洛①更经济实悬，四 2 15分 18.【解析】(1)易知函数f(x)的定义域为R, fx)=2+是-2+2，f-)-2+2r=2r+2=, 所以函数y=f(x)是定义域为R的偶函数.…2分 任取0<，fx)-f✉)=29+站-(2+)=2-29十是-日 =24-25+20=(2-%)2器2 因为y=2是增函数，所以2一21>0， 因为0<x1<x2,2%2-1>1X1-1=0, 所以f2)-fx)=(2%-24)25,25-1>0, 22221 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增.… ……4分 (2)易知函数g(x)=log2(4r+1)一ax的定义域为R, 因为g(x)为偶函数， 所以对任意x,有g(-x)=g(x)成立，即l0g(4-x+1)十ax=log2(4+1)一ax, 整理得2ax=log2(4十1)-log2(4十1)=1og24十1-log24=log22r=2z 所以a=1.…6分 即g(x)=1og2(4+1)-x, 高一数学参考答案(N)一4 所以g)=log(+1)-x=1log(+1）-1og2r=loe:1-loga(2+安)=lgf, 由(1)知f(x)是在（一∞，0）上单调递减、在(0，十∞)上单调递增的偶函数， 由复合函数的单调性可知，g(x)是在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增的偶函数. 由g(x+1)>g(3-2x),得|3-2x|<|x十1， 所以(3-2x)2<(x十1)2，整理得(x一4)(3x-2)<0, 解得号4， 等式的解集为(，4… (3)g(x)=log2(4+1)-x=log2f(x), 由(2)知g(x)在(0，十∞)上单调递增， g(0)=log2(4°+1)=log22=1,g(1)=log2(41+1)-1=log25-1, 所以g(x)=log2(4+1)-x在区间[0,1]上的值域为[1，log25-1]. 又h(x)=l1og号·l1og号+m=(1ogx-1)(logx-2)+m=(1og3x)2-3 3lOEa+2+m,x∈[3,27]， 令1ogx=,e[1,3],则y=2-3+2+m=(-是)°-}+m, 所以当1=是时咖=一}+m,当1=3时，yx=2+m, 所以函数h(x)在区间[3,27]上的值域为[-青十m,2十m], 因为对任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈[3,27]，使得g(x)=h(x2)成立， 所以[1,1og5-1][-}+m,2+m],所以 og25-1≤2+m, 解得1og5-3≤m<是， 所以实数m的取值范国为[loga5-3,是]， 17分 19.【解析】(1)由a2+b2≥2ab得2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a十b)2, 所以心士护≥（士），当且仅当a=b时等号成立 f(x)的定义域为R,对任意x,x2, 生》-色）=-[(-4]告-（色） 2 2 -》-()≥(-(）≥[吉]-()=o 2 当且仅当=时等号成主，所以fu)士2）-f色)≥0， 2 则f(x)为R上的下凸函数.… …3分 g(x)的定义域为(0，十∞)，对任意x1>0,x2>0, a-g(色）“士ns-h）-ha2-(色） 2 2 =lnVa·西-1n(色)<0，当且仅当=时等号成立， 所以)士-g(白士)0,8)为区间0，+∞)上的上凸通载 …5分 高一数学参考答案(N)一5 (2)证明：令f(x)=0,得x=0或x=4, 由已知得y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=一4x, 令一4红=m,得'=一朵 y=f(x)在(4宝，0)处的切线方程为y=[4×(4)3-4](x-4)=12(x-4), 令12(x-4)=m,得'=登十位. 由(1)知f(x)为R上的下凸函数，其大致图象如图所示， O 1 结合函数图象得，x1'≤x1,x2≤2'， 西-<x-=十4-(-）=g+4.…10分 (3)由1e-1-lnx-lna-l≥0得ea-1-lna-l≥lnx, 所以e-ha-1十x-lna-l≥x十lnx=enr十lnx,① 设h(x)=e十x,易知h(x)在R上单调递增， ①式即为h(x-lna-1)≥h(lnx), 所以x-lna-l≥lnx, 所以lna≤x-1-lnx. 由已知得x一1一lnx≥0，当且仅当x=1时等号成立， 所以lna≤0，解得0<a≤1. 所以实数a的取值范围为(0,1]. …17分 高一数学参考答案(N)一6