3.5.3调配、配比与配套问题 课件 2026--2027学年沪科版七年级数学上册

第3章 一次方程与方程组 3.5.3 调配、配比与配套问题 01 教学目标 通过种植安排实例，能抓住“人力总量”“资金总量”等配比关系列方程组。 01 通过调配问题探究，理解“总量不变、此消彼长”的等量关系。 02 通过配套问题探究，能正确写出“交叉相乘相等”的配套比例式。 03 某村有 18 位农民，筹集了 50 万元资金，准备承包一些低产田地进行种植结构调整，改种蔬菜和荞麦。 已知种蔬菜每公顷需 5 人、投入 15 万元；种荞麦每公顷需 4 人、投入 10 万元。 村支书提出两个要求：一是“所有的人都要有工作”，二是“资金正好够用”。这两个要求能不能同时满足？该承包多少公顷土地、怎样安排种植？ 02 新知导入 03 新知讲解 例4　某村 18 位农民筹集 50 万元资金，承包了一些低产田地进行种植结构调整，改种蔬菜和荞麦。种植这两种作物每公顷所需的人数和投入的资金如下表. 03 新知讲解 例4　在现有的条件下，这 18 位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有的人都有工作，且资金正好够用？ 分析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”？能用等式来表示它们吗？ 03 新知讲解 解：设蔬菜的种植面积为 x hm²，荞麦的种植面积为 y hm²。根据题意得：5x＋4y＝18　①（所有人都有工作）；15x＋10y＝50　②（资金正好够用）； ①×3 得 15x＋12y＝54　③；③－②得 2y＝4，y＝2；把 y＝2 代入①得 5x＋8＝18，x＝2。 则 x＋y＝4；此时 5x＝5×2＝10，4y＝4×2＝8。 答：这 18 位农民应承包 4 hm² 的田地，种植蔬菜和荞麦各 2 hm²，并安排 10 人种蔬菜、8 人种荞麦，这样能使所有人都有工作，且资金正好够用。 03 新知讲解 【归纳】 这类问题的两个等量关系分别是“人力总量＝18”和“资金总量＝50”；“每公顷所需人数×面积”得到人数，“每公顷投入资金×面积”得到资金。 列方程前先把“每单位量的消耗”与“面积”相乘，是配比类问题的通用做法。 03 新知讲解 设有 x 名学生、y 支铅笔。 每人 5 支余 3 支：y＝5x＋3　①；每人 7 支缺 5 支：y＝7x－5　②。 由①＝②得 5x＋3＝7x－5，2x＝8，x＝4。代入①得 y＝5×4＋3＝23。 答：有 4 名学生，共有 23 支铅笔。 【归纳】“盈不足”问题的等量关系：物品总数不变。余（盈） 则“总数＝每人所得×人数＋余数”，缺（不足）则“总数＝每人所得×人数－不足数”，两个式子表示同一个总数，因此相等。 探究二　若干学生分若干支铅笔，如果每人 5 支，那么多余 3 支；如果每人 7 支，那么缺 5 支。试问有多少名学生？共有多少支铅笔？ 03 新知讲解 做一做　某医院利用甲、乙两种原料为患者配制营养品。已知每克甲原料含 0.6 单位蛋白质和 0.08 单位铁质，每克乙原料含 0.5 单位蛋白质和 0.04 单位铁质。如果患者每餐需 34 单位蛋白质和 4 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？ 03 新知讲解 【解析】设每餐需甲原料 x g，乙原料 y g。 蛋白质：0.6x＋0.5y＝34　①；铁质：0.08x＋0.04y＝4　②。 由②×25 得 2x＋y＝100　③，即 y＝100－2x。代入①得 0.6x＋0.5(100－2x)＝34， 0.6x＋50－x＝34，－0.4x＝－16，x＝40；代入③得 y＝100－80＝20。 答：每餐需甲原料 40 g，乙原料 20 g。 检验：蛋白质 0.6×40＋0.5×20＝24＋10＝34，铁质 0.08×40＋0.04×20＝3.2＋0.8＝4，均符合需要。 03 新知讲解 【解析】设 A 产品的单价为 x 元，B 产品的单价为 y 元。x＋2y＝400　①2x＋5y＝900　②。 由①×2 得 2x＋4y＝800　③；②－③得 y＝100。把 y＝100 代入①得 x＋200＝400，x＝200。 答：A 产品的单价是 200 元，B 产品的单价是 100 元。 【归纳】“配套购买”问题的等量关系是“总价＝单价×数量”，两组购买方式给出两个总价，从而得到两个方程；这类题的未知数是“单价”，不是“套数”，设元时要看清单价的含义。 探究三　购买 1 个 A 产品和 2 个 B 产品需 400 元，购买 2 个 A 产品和 5 个 B 产品需 900 元，求两种产品的单价。 03 新知讲解 调配、配比与配套问题的关键 ① 配比问题：单位量×数量=总量（人数、资金、原料）。 ② 调配问题：总量不变，一减一加，调配后两边相等。 ③ 配套问题：m个甲配n个乙，即m×乙数=n×甲数（交叉相乘）。 ④ 盈不足问题：物品总数不变，盈=每人所得×人数+余。 关键：配套比例交叉相乘；调配同时改变调出方与调入方。 变式1　某车间有 21 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 3 个。每 2 个甲种零件与 3 个乙种零件配成一套。应安排多少人加工甲种零件、多少人加工乙种零件，才能使每天生产的零件恰好配套？ 04 变式训练 设安排 x 人加工甲种零件，y 人加工乙种零件。 人数：x＋y＝21　①；配套：每天产甲 5x 个、乙 3y 个，由 2 个甲配 3 个乙得 3×5x＝2×3y，即 15x＝6y，5x＝2y　②。 由②得 y＝2.5x？不合适，改写：由 5x＝2y 得 y＝2.5x，代入①得 x＋2.5x＝21，3.5x＝21，x＝6，y＝15。 检验：甲 5×6＝30（个），乙 3×15＝45（个），30∶45＝2∶3，恰好配套。 答：安排 6 人加工甲种零件，15 人加工乙种零件。 【易错点】配套要写成“交叉相乘相等”：2 个甲配 3 个乙，则 3×甲的个数＝2×乙的个数；误写成 2×甲＝3×乙 会把比例写反，导致答案颠倒。 04 变式训练 【解析】设甲仓原存 x t，乙仓原存 y t。 总量：x＋y＝210　①；调配后相等：x－20＝y＋20，即 x－y＝40　②。 ①＋②得 2x＝250，x＝125；①－②得 2y＝170，y＝85。 答：甲仓原存粮 125 t，乙仓原存粮 85 t。 【易错点】调配时“甲减 20、乙加 20”必须同时改变两个量；若只写 x－20＝y，就漏掉了乙仓增加的部分。检验：125－20＝105，85＋20＝105，相等。 变式2　甲、乙两仓共存粮 210 t。若从甲仓运出 20 t 放入乙仓，则两仓存粮吨数相等。求原来两仓各存粮多少吨。 04 变式训练 1．（选择）2节车厢+3辆卡车运100 t；4节车厢+5辆卡车运180 t。方程组正确的是（　　） A．　　B．　　 C．　　D． 解：选A。“2 节车厢＋3 辆卡车”对应 100 t，“4 节车厢＋5 辆卡车”对应 180 t，按“载重量×辆数”逐项相加即可。 （解得x＝20,y＝20，即每节车厢装 20 t、每辆卡车装 20 t)。 05 课堂练习 2．（填空）甲仓80 t、乙仓40 t。从甲仓调____t到乙仓后两仓相等。 解：设调x t，80−x=40+x，2x=40，x=20。所以调20 t。 05 课堂练习 3．（计算）某车间 18 名工人，每人每天可加工甲种零件 4 个或乙种零件 3 个。每 2 个甲种零件与 3 个乙种零件配成一套，应安排多少人加工甲种零件、多少人加工乙种零件，才能使每天生产的零件恰好配套？ 解：设安排 x 人加工甲种零件，y 人加工乙种零件。 x＋y＝18　①；配套：3×4x＝2×3y，即 12x＝6y，2x＝y　②。 把②代入①得 x＋2x＝18，x＝6；y＝12。 检验：甲 4×6＝24（个），乙 3×12＝36（个），24∶36＝2∶3，恰好配套。 答：安排 6 人加工甲种零件，12 人加工乙种零件。 05 课堂练习 4．（填空）甲乙两筐苹果共100个，从甲取10个放入乙后两筐相等，甲筐原有____个。 解：设甲x个、乙y个。 甲乙两筐苹果共100个则：x+y=100； 因为从甲取10个放入乙后两筐相等，所以：x−10=y+10。 相加得2x=120，x=60。所以甲筐原有60个。 05 课堂练习 5．（计算）某服装厂用甲、乙两种布料生产 A、B 两种服装。每件 A 需甲布 2 m、乙布 1 m；每件 B 需甲布 1 m、乙布 3 m。现有甲布 100 m、乙布 150 m，若两种布料恰好用完，求 A、B 各生产多少件。 解：设生产 A 服装 x 件，B 服装 y 件。 甲布：2x＋y＝100　①；乙布：x＋3y＝150　②。 由①得 y＝100－2x，代入②得 x＋3(100－2x)＝150，x＋300－6x＝150，－5x＝－150，x＝30；y＝100－60＝40。 答：生产 A 服装 30 件，B 服装 40 件。 05 课堂练习 6．（解答）2 辆大车和 3 辆小车一次可运货 16 t；4 辆大车和 5 辆小车一次可运货 28 t。求每辆大车、每辆小车一次各运多少吨。 解：设每辆大车一次运 x t，每辆小车一次运 y t。。 由①×2 得 4x＋6y＝32　③；③－②得 y＝4。 代入①得 2x＋12＝16，x＝2。 答：每辆大车一次运 2 t，每辆小车一次运 4 t。 05 课堂练习 7．（情境）某校组织学生到农场劳动，男生每人分 3 棵树苗、女生每人分 2 棵树苗，50 名学生共分到 130 棵树苗。男、女生各多少人？ 解：设男生 x 人，女生 y 人。 人数：x＋y＝50　①；树苗：3x＋2y＝130　②。 由①得 y＝50－x，代入②得 3x＋2(50－x)＝130，3x＋100－2x＝130，x＝30；y＝20。 答：男生 30 人，女生 20 人。 05 课堂练习 8．（创新）请编一道能用方程组表示的配套问题，并说明 x、y 各表示什么 解：开放题。示例：某车间有 20 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 3 个，某天共加工零件 84 个，问安排多少人加工甲种零件、多少人加工乙种零件？其中 x 表示加工甲种零件的人数，y 表示加工乙种零件的人数。 05 课堂练习 06 课堂小结 1．调配问题：总量不变，一减一加，调配后两边相等。 2．配比问题：各成分之和=总量。 3．配套问题：m个甲配n个乙，即m×乙数=n×甲数。 4．注意：配套比例交叉相乘；调配同时改变两边。 07 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1．（解答）甲乙两班共90人，从甲班调10人到乙班后两班相等。两班原有多少人？ 解：设甲班原有 x 人，乙班原有 y 人。。 ①＋②得 2x＝110，x＝55； ①－②得 2y＝70，y＝35。 答：甲班原有 55 人，乙班原有 35 人。 07 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2．（填空）每人分4棵余6棵，每人分6棵缺8棵，学生有____人。 解：设学生x人、树苗y棵。则：。相减得2x=14，x=7。所以学生有7人。 07 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 3．（选择）21名工人，每人加工甲零件4个或乙零件3个。每2个甲与3个乙配一套，应安排加工甲的工人（　　）名 A．5　　B．7　　C．10　　D．14 解：设x人加工甲、y人加工乙。则：。代入得3x=21，x=7。故选B。 07 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 4．（填空）甲乙两仓共存粮210 t，从甲运20 t到乙后两仓相等，甲仓原有____t。 解：设甲x t、乙y t。则：。 相加得2x=250，x=125。 所以甲仓原有125 t。 07 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 解：设A x件、B y件。则：。 代入得−10y=−300，y=30，x=40。 答：A40件，B30件。 5．（计算）生产A、B产品：每件A需甲料1 kg、乙料3 kg；每件B需甲料4 kg、乙料2 kg。甲料160 kg、乙料180 kg恰好用完。 07 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 6．（解答）3辆大车+2辆小车运26 t；2辆大车+3辆小车运24 t。求每辆大车、小车各运多少。 解：设大车x t、小车y t。则：。 ①×3−②×2得5x=30，x=6，y=4。 答：大车6 t，小车4 t。 07 作业布置 【综合拓展类作业】选做题： 7．（实践）45名学生植树，男生每人植4棵、女生每人植3棵，共植155棵。男女生各多少人？ 解：设男生x人、女生y人。则： 代入得x=20，y=25。 答：男生20人，女生25人。 07 作业布置 【综合拓展类作业】选做题： 8．（情境）商店用2000元购进甲乙商品共100件，甲每件15元、乙每件25元。各多少件？ 解：设甲x件、乙y件。则： 代入得−10x=−500，x=50，y=50。 答：甲50件，乙50件。 08 板书设计 3.5.3 调配、配比与配套问题 一、配比：单位量×数量=总量 二、调配：总量不变，调出减调入加 三、配套：m甲配n乙 → m×乙=n×甲 四、盈不足：总数=每人所得×人数±余缺 $