广东省广州市真光中学2026-2027学年高一上学期11月期中测试数学试题

广州市真光中学2026学年第一学期期中测试 高一 数学 参考答案 1-8 BDAC DABC 9-11 ACD AD ABD 12． 13．50 14． 15．【详解】（1）当时，，所以， ，所以． （2）“是的必要条件”等价于， 集合． 当时，，解得，此时显然有， 当时，有，则需，解得， 综上，实数的取值范围为． 16．【答案】(1)函数是增函数，证明如下： 任取，不妨设 ， 则， 因为，可得， 又因为，所以，即， 所以函数是上的增函数． (2)由函数，其定义域为关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数， 则，即为， 因为函数是上的单调增函数，所以， 即恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围为． 17．【详解】（1）当时，， 当时，， 综上，． （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元． 18．【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 故，即，又，即， 此时，经检验，该函数为奇函数， 故，． （2）由得，整理得， 设，其判别式， 因为，所以，即， 因此，方程在实数集上恒有两个不相等的实数根，即为， 由韦达定理得，， 因为，且，则， 所以． （3）由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 故，， 即存在使得成立， 令， ①当，即时，的根为符合题意； ②当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③当且时，； ④当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 故，即，解得， ⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：． 19．【详解】（1）不是“依赖函数”，理由如下： 取，则，显然不存在，使得， 故不是“依赖函数”； （2）因为在上单调递增， 故，即，解得， 由，故，解得， 从而，又函数在上单调递增， 所以，即． （3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若，故在上单调递减， 从而，即，解得（舍）或， 从而存在使得对任意的，有不等式都成立， 即对恒成立， 由，得． 由，可得， 又在上单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市真光中学2026学年第一学期期中测试 高一 数学 试题 命题人：郭铭恩，吴润文，莫祺 审题人：钟三明 限时120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，则的元素的个数为 A．3 B．4 C．5 D．16 2．已知集合，若，则实数的值为 A．1或0 B．2 C．0 D．1 3．函数的定义域为 A． B． C． D． 4．下列命题中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 5．设，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 6．函数的图象大致为 A． B． C． D． 7．某高中对100名学生进行社团参与情况调查，发现每名学生至少参加了篮球社、动漫社、辩论社这三个社团中的一个。数据显示，参加篮球社的有55人，参加动漫社的有40人，参加辩论社的有45人；篮球社和动漫社都参加的有15人；篮球社和辩论社都参加的有20人；三个社团都参加的有8人，则动漫社和辩论社都参加的人数为 A．5 B．13 C．15 D．20 8．已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则 A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面命题正确的是 A．， B．， C．的一个充分不必要条件是 D．“”是“”的充分不必要条件 10．若为正实数，已知，则 A．的最大值为4 B．则的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 11．表示不超过的最大整数，已知，函数满足，，且当时，单调递增，下列说法正确的是 A． B．不一定是单调函数 C．若，则 D．若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数为偶函数，则_________． 13．用一段长的篱笆，靠墙围成一个矩形菜圃（靠墙一侧不需围篱笆），则菜圃面积最大值是_________． 14．若是上的单调递增函数，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，，． （1）若，求，； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数． （1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． （2）若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18．（17分）已知函数是上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）证明：当时，方程有两个不同的根，并求两根差值的取值范围； （3）经研究发现，函数在单调递增．现设若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．（17分）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $