北京市昌平区第二中学2026-2027学年高二上学期期中数学试题

昌平二中2026-2027学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项.） 1.直线x-√5y=0的倾斜角为() A.30 B.60 C.120 D.150 2.过点A(3,2)且斜率为1的直线方程是（) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y-1=0 3.点(5，一3)到直线x+2=0的距离等于 A.7 B.5 C.3 D.2 4.若直线1的一个方向向量为v=(-2,-2,4),平面a的一个法向量为n=(1,1,2),则直线1与平 面a的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.平行或线在面内 D.相交但不垂直 5.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，若BD=xAB+yAD+zM,则(x,y,2)=（) D A.（-11,1) B.(,-l,) c.(1.1.-) D.（-1,-l,-1) 6.已如两条直线4：m+4y-1=0,:x+y+2=0,则“a=2"是“4/1川2的() A.充分不必要条件A B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.过点(2，)的直⑧/与圆X+y2-2x-3=0相交于A,B两点，那么当1B|取得最小值时，直线， I的方程是() 人.x-y-3=0 B.x+y-3=0 C.x-y-1=0 D.x+y-1=0 8.如图，过点P分别作平面α，B,Y截因柱得到椭圆C,C,C其中， 椭圆C,C所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆 C,C,C的离心率分别为，只，6，它们的大小关系为（) Λ.4>62>% B.e=e>e C.%=%>g b >6=e 一十 9.定义一个集合，集合中的元茨是空间内的点：集合中的任意三个不同点R,2,乃均满足： 存在不全为0的实数元，2，，使得10P+2,05+10丽=0.已知(1,0,0)E2,(1,2,0)2, 则属于集合Ω的点可以是（). A.(0,0,0) B.（-1,0,0) c.(0.-1,0) D.(0,0,-) 10.已知曲线C:(×2+y2=4x2y,则下列说法正确的有几个（) ()C关于原点对称： (2)C只有两条对称轴： (3)曲线C上点到原点最大距离是1： (4)曲线C所围成图形的总面积小于π： A.1 B.2 C.3 D.4 第II卷（非选择题） 二、填空思（共5小题，每小愿5分，共25分.） 11.两条直线4：x-y-1=0与4：2x-2y-3=0之间的距离是 12.已知圆C:X+y2-2x-4y+1=0与直线1：y=k(x+),则圆心C的坐标为， 若圆 C关于直线1对称，则k=一 13.如图，把椭圆父+上=1的长轴AB分成4等份，过每 2516 个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P,乃，，3个 B'x 点，F是椭圆的一个焦点，则RF+P+= 14.在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点，点A(O,3),动点M满足IMA=2MOl,则点M 轨迹方程为. :若动点M在圆C:(x-3)2+0y-3)2=2上，则r的取值范 围为 15.如图，在棱长为2的正方体BCD-AB,CD,中，点P,2 分别在棱BB,DD上，且BP=DQ=x,点M为B,C的中点， B 给出下面四个结论： ①AC⊥P2: ②存在x∈(0,2).使得PMg是钝角： B ③当x=1时，△MP2的面积取得最小位： ④当x∈(0,2)时，平面MP2截该正方体的表面所得的截面为六边形 其中正确结论的序号为 三、解答题（本大厨共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.已知圆C的圆心在x轴上，半径为V5,且圆过点P(2,1)。 (I)氽圆C的标准方程： (2)判断直线12xy+1=0与圆C的位置关系： (3)根据(2)的直线1与圆C位置关系，若相切写出切点坐标；若相交，求截得的弦长；若相 离，求出圆C上的点到直线！的最小距离： 17.在△ABC中，已知点B(-L,4),BC边上的中线和高所在的直线方程分别为x-y+2=0和 x+2y+2=0. )求过点A且与直线BC平行的直线的方程： (2)求△BC的面积. I8.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB,AB II DC,E为棱PB的中点，平面DCE与 棱PA相交于点F,且PA=AB=AD=2CD=2,PB=BD. (I)求证：AB‖EF: (2)求点P到平面DCEF的距离： 厄知点M在枝PC上且PC,求直线M与平面DCB所 成角的正弦值 19.已知椭圆号+若=〔o>6>0的腐心率为三.P(2小.Q(么-)是椭圆上两点，直线 :y=c+m与椭圆交于A、B两点， (1)求椭圆的标准方程： (2)当k=2时，是否存在I使得M=Pg?说明理由： 3)记直线PA,PB的斜率依次为k,k,,当y≠0且线段AB的中点M在直线y=一x上时，式问 kk是否为定值？说明理由. 20.如图，在多面体ABCDEF中，四边形EFDC为正方形.D⊥平面EFDC,ABIICD.且 B=D=2,CD=4,P为枝BC上的点. (I)证明：平面FDB⊥平面BCE: E (2)诺平面FMP与平面PBD的夹角的余弦值为√匣 14 (i)求线段BP的长： (5)判断直线BE与平面FAP的位置关系，并说明理由. B 21.如图，设A是由1×n(n之2)个实数组成的n行n列的数表，其中a,表示位于第1行第j列 的实数，且ag∈{-l,(i=1,2压=1,2，n) 42… an 01 … an a 记向贤X=(an,a,a),X,=(0n,a20),若XX=anan+an4n++aaa=0,则称 X与X为正交向量.若对任意不同的iJE{1,2.,都有X与X,为正交向量，则称A为正 交数表。 (直按判断 -日)4-日 是否为正交数表（不需要说明理由）： ()当n=6时，设X=(1,1,11,1,1),且X与x,为正交向量，X与X为正交向量，求证：X与 X不是正交向量： 3)求证：对任意k∈N”,当n=4k+2时，A不是正交数老，