13.2命题与证明第2课时课件 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

13.2 命题与证明 第2课时 命题的证明 ｜ 沪科版·八年级数学上册 01 同学们好，这节课我们接着学习13.2 命题与证明，今天是第2课时——命题的证明。上一课时我们已经认识了命题，也知道它能判断真假，可是光知道一个结论是对的，还不够。 这一节课我们就来看一看，怎样用推理去说明一个结论为什么成立。 学习目标 本节课要理解定理、演绎推理与证明的含义，并会按规范步骤证明简单几何问题。 1 理解基本事实、定理与演绎推理的含义； 2 掌握证明的基本步骤与书写格式； 3 能运用已学几何知识证明简单问题。 02 先看今天要达成的三个目标。第一，要理解基本事实、定理和演绎推理到底指什么，这是我们后面推理的起点。 第二，要掌握证明的基本步骤和书写格式，也就是先画图、再写已知求证、最后写出有依据的过程；第三，还要能运用学过的几何知识，去证明一些简单的问题。这三点里，其实写得规范往往比想得对更难。 情境导入 测量与拼剪只能“接近”180°， 说明结论需要推理来确认。 把三角形三个内角剪下拼在一起， 拼出的是“接近”平角； 度量也总有误差； 要确信结论成立，必须进行推理。 1 2 3 A B C 1 2 3 ∠1+∠2+∠3 与平角比较：只是“接近” 03 上课之前，我想请大家先动手做一件事：把一个三角形的三个内角剪下来，拼在一起。你会发现它们差不多拼成了一个平角；要是拿量角器去量，加起来也总是接近180°。 可是"接近"并不等于"就是"，量出来的数据还会有误差。那我们凭什么敢说三角形的内角和一定是180°呢？靠动手试一试是不够的，还得靠推理来确认。 数学史话：欧几里得与《原本》 论证几何从少数基本定义与基本事实出发，靠演绎推理建立全部结论。 1 古希腊数学家欧几里得著《原本》； 2 从少量基本定义、基本事实出发逐条推理； 3 确立了公理化的演绎范式。 04 其实这个问题，两千多年前就有人认真想过了。古希腊的数学家欧几里得写了一部《原本》，他从很少的几条基本定义和基本事实出发，一条一条地往下推。 就这样，他把当时几乎所有的几何结论都建立了起来。这种从少数起点推出全部结论的做法，就是我们要学的演绎推理，也是整个论证几何的源头。 新知探究 基本事实 定义：基本事实是经长期实践检验为真、作为判断其他命题真假原始依据的真命题。 说明：基本事实是推理的原始依据，本身不需要证明。 两点确定一条直线 A B 两点之间线段最短 A B 折线 线段 过直线外一点，有且只有 一条直线与已知直线平行 P l m 5 前面我们用测量的办法量过三角形的三个内角，可不管怎么量，量出来的都是"差不多"的结果，总会有误差。数学要的不是"差不多"，而是"一定成立"，这就引出了今天第一个概念——基本事实。 它是人们在长期实践中反复检验、公认为正确的真命题，是我们判断其他命题真假时最原始的出发点，本身不需要证明。比如"两点确定一条直线""两点之间线段最短"，还有"过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行"，都是我们早就熟悉的基本事实。 新知探究 定理 定义：从基本事实或其他真命题出发，经过推理判断为正确的命题，叫做定理。 基本事实 定理 含义 举例 经长期实践检验为真、作为推理原始 依据的真命题，本身不需要证明。 从基本事实或其他真命题出发， 经过推理判断为正确的真命题。 两点确定一条直线、两点之间线段最短、 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 提示：基本事实可以不证自明地使用，而定理必须先证明、后使用。 6 有了基本事实这个出发点，我们还需要得到更多结论，这时候"定理"就登场了。定理不是凭空冒出来的，它必须从基本事实，或者从已经被证明为真的命题出发，经过一步一步推理，判断为正确，才能叫做定理。 我们对比着看这两栏：基本事实是"不用证明、直接可用"的原始依据；而定理是"证明之后才能用"的真命题。像"内错角相等，两直线平行"这句话，就是由基本事实推理得到的定理。这个区别请大家一定记牢，后面写证明时全靠它。 新知探究 演绎推理 定义：从已知条件出发，依据定义、基本事实和已证定理，按逻辑规则逐步推出结论的思维过程，叫做演绎推理。 推理的思维过程 条件 已知事项 依据 定义、基本事实、已证定理 结论 推出的新判断 从已知条件出发， 明确已知事项。 依据定义、基本事实、 以及已证定理。 按逻辑规则逐步推理， 推出新的判断。 每一步推理都要有依据，这是演绎推理的基本要求。 7 那么，从已知条件到最后的结论，中间这个"推"的过程又叫什么呢？这就是演绎推理。 它的思路其实很朴素：从已知条件出发，依据定义、基本事实和已经证明的定理，按照逻辑规则一步一步往下推，最后得到结论。请注意，链条上的每一个环节都必须有依据，不能凭感觉猜，更不能跳步。可以说，演绎推理就是把"结论为什么成立"讲清楚的过程。 新知探究 证明及其步骤 定义：演绎推理的过程叫做证明。证明一个命题，一般分画图、写已知求证、证明三步。 证明的三个步骤 第 1 步 画图 按题意画出符合要求的图形。 第 2 步 写已知、求证 结合图形写出已知、求证并编号。 第 3 步 证明 写出推理过程，每一步注明依据。 书写要点：已知、求证要结合图形写清楚，并分别编号； 证明过程要一步一步写清楚，每一步都注明依据。 8 把演绎推理的过程写下来，就是证明。那写证明有没有固定的套路呢？有，一般是三步。 第一步画图，按题意把图形准确地画出来；第二步写已知、求证，结合图形写清楚，最好分别编号；第三步才是证明，把推理过程一步步写出来，每一步都注明依据。刚开始学的时候，大家最容易偷懒的就是第三步——只写结论不写依据，考试里这是要扣分的，请你现在就养成"步步有据"的习惯。 例题精讲 例1 已知 如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，∠1 与 ∠2 是内错角，且 ∠1 = ∠2。 求证 AB ∥ CD。 分析 ∠1 与 ∠3 是对顶角，可得 ∠3 = ∠1； 把“内错角相等”转化为“同位角相等”， 从而判定 AB ∥ CD。 A B C D E F ∠1 ∠3 ∠2 9 前面我们把基本事实、定理和演绎推理都过了一遍，现在换大家来做主角，先看一道最典型的例题。 题目交代得很清楚：直线 AB、CD 被直线 EF 所截，∠1 与 ∠2 是内错角，并且 ∠1 等于 ∠2，要我们说明 AB 平行于 CD。请大家先别急着动笔，盯着图看十秒钟——条件是内错角，结论却是用同位角来判定平行，中间还差一步。 这一步就藏在 ∠1 的对顶角 ∠3 里。对顶角相等，所以 ∠3 等于 ∠1；既然 ∠1 又等于 ∠2，那 ∠2 自然等于 ∠3。到这里，内错角的条件就被我们"翻译"成了同位角的条件。 所以例1的真正难点不在计算，而在想清楚"用哪个角当桥"。请记住这个思路，下一页我们把它写成规范的证明过程。 例1 规范解答 证明 ∵ ∠1 = ∠3（对顶角相等）， ∠1 = ∠2（已知）， ∴ ∠2 = ∠3（等量代换）。 ∴ AB ∥ CD（同位角相等，两直线平行）。 书写提醒 每一步推理都要注明依据。 依据链：对顶角相等 → 等量代换 → 同位角相等，两直线平行 A B C D E F ∠1 ∠3 ∠2 10 刚才我们找到了思路，现在要看的是这道题在作业本上应该怎么写。 请特别注意括号里的内容：∠1 等于 ∠3，依据是对顶角相等；∠1 等于 ∠2，依据是已知；由这两条推出 ∠2 等于 ∠3，依据是等量代换；最后得到 AB 平行于 CD，依据是同位角相等、两直线平行。每一步都写清"因为什么"，这就是证明和"我觉得对"的区别。 很多同学会漏掉依据，只写结论，阅卷时就要扣分。你把这份解答和黑板上的图对照一下，会发现证明其实就是把图上的关系一条条说清楚。 下一页的例2会更进一步，它要用到角平分线和邻补角两个知识点，我们看看能不能同样把依据写全。 例题精讲 例2 已知 ∠AOB 与 ∠BOC 互为邻补角， OE 平分 ∠AOB，OF 平分 ∠BOC。 求证 OE ⊥ OF。 分析 ① 由角平分线定义得到两个半角； ② 两个半角之和等于 ∠EOF； ③ 再由邻补角和为 180° 求出度数。 A O C B E F ∠1 ∠2 11 例1我们把内错角"翻译"成了同位角，例2换一个场景，来说说邻补角和角平分线一起出现时会发生什么。 题目里 ∠AOB 与 ∠BOC 互为邻补角，OE 平分 ∠AOB，OF 平分 ∠BOC，问题是要证 OE 垂直于 OF。看着条件挺多，其实抓两个点就够了：一是角平分线定义，把大角拆成两个相等的半角；二是邻补角的和为 180°。 大家先猜一猜结果——两条角平分线的夹角是多少度？答案是 90°，也就是说，只要两个角互为邻补角，它们的平分线一定互相垂直，这个结论和角的大小无关。 那么为什么一定是 90° 呢？下一页我们就照着刚才说的两条依据，把它一步一步推出来。 例题精讲 例2 规范解答 A C B E F O ∠1 ∠2 参照图形：∠AOB 与 ∠BOC 互为邻补角 证明 证明：∵ OE 平分 ∠AOB，OF 平分 ∠BOC（已知）， ∴ ∠1=½∠AOB，∠2=½∠BOC（角平分线定义）。 ∵ ∠AOB+∠BOC=180°（邻补角定义）， ∴ ∠1+∠2=½(∠AOB+∠BOC)=90°（等式性质）。 ∴ ∠EOF=90°，即 OE⊥OF（垂直定义）。 12 上一页我们已经画好邻补角 ∠AOB 与 ∠BOC，并作出两条角平分线 OE 和 OF，这一页就把它写成一个完整的证明。 先看第一步：由角平分线的定义，∠1 等于 ∠AOB 的一半，∠2 等于 ∠BOC 的一半，这一步后面的括号必须写上“角平分线定义”，千万不能省。 再来看邻补角，∠AOB 与 ∠BOC 加起来正好是 180°，把它们的一半相加就是 90°，也就是 ∠1 加 ∠2 等于 90°，依据是等式性质。 而 ∠1 与 ∠2 拼起来恰好就是 ∠EOF，所以 ∠EOF 为 90°，根据垂直定义，OE 就垂直于 OF 了。请同学们把每一步后面的依据都补全，这是证明题拿分的关键。 例题精讲 例3 A B C D E F ∠1 ∠2 如图：AB∥CD，直线 EF 与两直线相交 ① 改写成“如果……那么……”的形式 “两直线平行，内错角相等”改写为： 如果两条直线平行，那么内错角相等。 题设：两条直线平行；结论：内错角相等。 ② 结合图形写出已知、求证 已知：如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，AB∥CD。 求证：∠1=∠2。 13 前面两道例题都直接给了图形，这一页换一种考法，题目只给出一句文字命题——“两直线平行，内错角相等”。 遇到这种题，第一步是“翻译”，把它改写成“如果……那么……”的形式，也就是：如果两条直线平行，那么内错角相等。其中“两条直线平行”是题设，“内错角相等”是结论。 第二步就是画图，把 AB 平行于 CD、EF 作为截线画出来，再结合图形写出已知和求证：已知 AB∥CD，求证 ∠1 等于 ∠2。 记住“先翻译、再画图、后写已知求证”这个顺序，文字命题的证明就不会乱了。 例题精讲 例3 解答与书写要点 A B C D E F ∠3 ∠1 ∠2 如图：AB∥CD，直线 EF 与两直线相交 证明 证明：∵ AB∥CD（已知）， ∴ ∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）。 又 ∵ ∠1=∠3（对顶角相等）， ∴ ∠1=∠2（等量代换）。 书写要点 ① 先画图；再写出“已知、求证”。 ② 证明过程每一步都要注明依据。 14 接着上一页的已知和求证，我们来把这个证明补完整。 因为 AB 平行于 CD，根据“两直线平行，同位角相等”，可以得到 ∠2 等于 ∠3；又因为 ∠1 和 ∠3 是对顶角，所以 ∠1 也等于 ∠3。 两个角都等于同一个 ∠3，用等量代换就能推出 ∠1 等于 ∠2，内错角相等也就证完了。大家会发现，中间这个同位角 ∠3 正是打通这道题的关键。 最后再强调书写三步：先画图，再写清已知和求证，证明过程每一步都注明依据。做到这三点，证明才能既正确又规范。 当堂练习 课堂练习（基础） 练习1 判断下列语句是不是命题 ① “垂线段最短”——是命题（真命题）。 ② “画线段 AB=3cm”——不是命题（没有作出判断）。 ③ “对顶角相等”——是命题（真命题）。 练习2 把命题改写成“如果……那么……”的形式 原命题：同位角相等，两直线平行。 改写：如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，那么这两条直线平行。 题设：两条直线被第三条直线所截，且同位角相等； 结论：这两条直线平行。 15 学到这里我们先停一停，用两道小题检验一下刚才的理解。判断一句话是不是命题，关键看它有没有对事情作出判断：“垂线段最短”“对顶角相等”都明确肯定了某种事实，所以是命题；而“画线段 AB=3cm”只是让我们做一个动作，谈不上真假，自然就不是命题。 第二题更贴近后面的学习：把“同位角相等，两直线平行”改写成“如果……那么……”的形式，前半句是题设，后半句是结论。请同学们在草稿本上先写一遍，养成先分清条件和结论、再往下推理的习惯，这一步会直接影响后面证明写得清不清楚。 当堂练习 课堂练习（提升） 练习3 同旁内角互补，两直线平行 ∠1 ∠3 ∠2 已知：直线 AB、CD 被直线 EF 所截， ∠1 与 ∠2 是同旁内角，且 ∠1+∠2=180°。 求证：AB∥CD。 证明：∵ ∠1+∠3=180°（邻补角定义）， 又 ∠1+∠2=180°（已知）， ∴ ∠2=∠3（同角的补角相等）。 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 练习4 平行线中的等角转化 ∠1 ∠3 ∠2 ∠4 已知：AB∥CD，直线 EF 与直线 AB、CD 相交， ∠1 与 ∠2 是同位角，且 ∠1=∠2。 求证：∠3=∠4。 证明：∵ AB∥CD（已知）， ∴ ∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）。 又 ∵ ∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等）， ∴ ∠3=∠4（等量代换）。 16 这两道题已经有一点“证明”的影子了。左边第3题要证“同旁内角互补，两直线平行”，思路是把同旁内角转成同位角：先用邻补角得到 ∠1 与 ∠3 互补，再由“同角的补角相等”得出 ∠2 等于 ∠3，而它们正是一对同位角，于是两直线平行。 右边第4题更直接，已知两直线平行，就先把同位角 ∠1 与 ∠2 找出来；再利用对顶角相等，把 ∠2 和 ∠4、∠1 和 ∠3 联系起来，最后等量代换。请特别留意，每一步后面括号里的就是依据，少了它，推理就断了链。 当堂练习 课堂练习（拓展） A B C D E F M N G H 练习5 角平分线与平行线 已知：AB∥CD，EF 分别交 AB、CD 于 M、N， MG 平分 ∠BMF，NH 平分 ∠DNE。 判断 MG 与 NH 的位置关系，并说明理由。 结论：MG⊥NH。 证明：∵ AB∥CD（已知）， ∴ ∠BMF+∠DNE=180°（同旁内角互补）。 ∵ MG 平分 ∠BMF，NH 平分 ∠DNE， ∴ ∠GMN=½∠BMF，∠HNM=½∠DNE。 ∴ ∠GMN+∠HNM=½×180°=90°。 ∴ MG⊥NH（垂直定义）。 17 最后这道题，不妨先猜结论、再证明。MG 平分 ∠BMF，NH 平分 ∠DNE，粗看两条线既不相交也不平行，可只要按题意把图画准，就会发现它们是互相垂直的。 怎么证呢？∠BMF 和 ∠DNE 是同旁内角，由 AB 平行 CD 可知它们互补、和为 180°；角平分线把它们各自分掉一半，两半合起来正好是 90°，所以 MG 与 NH 垂直。这道题把平行线的性质和角平分线接在一起，是对本节综合运用能力的一次小检验。 归纳提升 易错提醒 错误做法 ① 只写结论，不写依据。 如：∵ ∠1=∠2，∴ AB∥CD。 （未注明“同位角相等，两直线平行”） ② 判定与性质颠倒。 把“同位角相等，两直线平行”（判定） 与“两直线平行，同位角相等”（性质）混用。 正确做法 ① 每一步都注明依据。 如：∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 （写清用的是哪一条判定或性质） ② 分清判定与性质。 判定：由角的关系 → 直线平行； 性质：由直线平行 → 角的关系。 易错提醒：每一步都要有依据，判定与性质不能颠倒。 18 下课之前，我们一起回顾几个最容易出错的地方。很多同学证明时只写一句“所以 AB 平行 CD”，却忘了注明依据，这样即使结论对了，过程也是不完整的；规范的写法应当是“所以 AB 平行 CD，同位角相等，两直线平行”。 另一个高频错误是把判定和性质混为一谈。“同位角相等，两直线平行”是由角推出平行，是判定；“两直线平行，同位角相等”是由平行推出角的关系，是性质。方向不同，用错了整道题的逻辑就反了。请记住一句话：每一步都要有依据，判定和性质不能颠倒。 课堂小结 13.2 命题与证明（第2课时） 定义与基本事实 定理 演绎推理 证明 方法：证明的三步书写 ① 画图：按题意画出正确的图形 ② 写已知、求证：结合图形写出并编号 ③ 证明：写出推理过程，每步注明依据 三步缺一不可：图形、条件、推理环环相扣。 提醒：依据要写全 · 每一步推理都必须注明理由 · 基本事实是原始依据，定理需推理证明 · 分清性质与判定，不要颠倒使用 只写结论不写依据，是常见的失分点。 19 这节课我们把整条线索串起来了：从定义和基本事实出发，得到定理，再用演绎推理去证明新的结论。上面的四个方框就是本节课的知识链，大家可以按这个顺序回忆，而不是零散地背结论。 请特别注意两种身份：基本事实是推理的原始依据，本身不需要证明；定理则要依靠推理才能站住脚。写证明时也别忘了三步——画图、写已知求证、写出带依据的推理。 最容易失分的地方是只写结论、不写理由，这一点在做课后作业时要格外当心。 板书设计 13.2 命题与证明（第2课时） 主板书 课题：13.2 命题与证明（第2课时） 一、基本事实（推理的原始依据） · 两点确定一条直线 · 两点之间线段最短 · 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 二、定理（经推理证实的真命题） · 内错角相等，两直线平行 三、证明三步骤 ① 画图 ② 写已知、求证 ③ 写出推理过程，每步注明依据 副板书 例1 两直线平行的判定 （图形与证明过程） 例2 邻补角的平分线互相垂直 （图形与证明过程） 学生易错点记录区 （课堂现场随手记录） 20 这一页是板书的整体规划，我上课时会把黑板分成主板书和副板书两大块。主板书留在左边，写课题、基本事实、定理和证明的三步骤，这是全课的骨架，一节课都不擦。 副板书放在右边，随讲随写，例题的图形和证明过程都落在这里，例1 的对顶角转化、例2 的角平分线推理各自占一块区域。 最下面专门留出学生易错点记录区，谁把判定和性质写反了、谁漏了依据，我就随手记上去，下课前再带着大家一起回看。 分层作业 13.2 命题与证明（第2课时） 必做（基础） 课本习题：判断命题 2 题；书写证明步骤 2 题 要求：按“画图—写已知求证—证明”完整书写，每步注明依据 选做（提升） 证明：同旁内角互补，两直线平行 提示：先画出图形，写出已知、求证，再用平行线判定完成推理 拓展 证明：“邻补角的平分线互相垂直”的逆命题，并判断其真假 提示：先写出逆命题，再判断真假；若为真，按三步骤给出证明 21 作业分三层，大家按自己的情况认领。必做部分是课本习题，判断命题和书写证明步骤各两题，人人都要动笔，重点是把画图、写已知求证、写出带依据证明这套格式走完整。 选做的同学请证明同旁内角互补、两直线平行，它和今天学的判定只差一步角的转化，动手前先把已知和求证写清楚。 学有余力的同学挑战拓展题：把邻补角的平分线互相垂直写成逆命题，判断真假，如果是真命题，就按三步骤给出完整证明。 下节课再见 下节课学习：三角形内角和定理的证明 13.2 命题与证明（第2课时） ｜ 沪科版·八年级数学上册 22 今天的课就到这里。我们弄清了基本事实、定理、演绎推理和证明之间的关系，也练了规范书写证明的完整格式。 下节课我们要用今天的方法去证明三角形内角和定理，那是一个很经典的证明。大家可以先想一想：不量角、不剪拼，怎么用推理说明三个内角加起来一定是 180°。 课后记得把分层作业做完，我们下节课见。 $