3.4 相似三角形的判定（第1课时 平行线截三角形所得的两个三角形相似）课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教版九年级上册 平行线截三角形所得的两个三角形相似 ——"A"型与"X"型的判定 【情境导入】古人如何用日影测金字塔高度？ 故事：古希腊数学家泰勒斯在金字塔下立了一根小木棍。当木棍影子长度正好等于木棍本身高度时，他量出了金字塔的影子长度，当场报出金字塔的高度。 思考：为什么"棍影=棍高"时"塔影=塔高"？背后隐藏着怎样的三角形关系？ 揭示：木棍与金字塔都垂直于地面，阳光是一组平行光线——平行光线恰好"截"出了两个相似的直角三角形！本节课我们就来学习"平行线截三角形"的相似判定。 温故知新 观察思考：一组平行直线截两条相交直线，截得的对应线段之间有什么关系？ l1 l2 l3 A B1 B2 B3 C1 C2 C3 l1 l2 l3 A B1 B2 B3 C1 C2 C3 思考：当l1∥l2∥l3时，△AB1C1、△AB2C2、△AB3C3的形状相同吗？它们之间是否相似？ 一起探究 如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，满足AD∶DB=1∶2（D是AB靠近A的三等分点），且DE∥BC。猜一猜△ADE与△ABC是否相似？如果相似，相似比是多少？ A B C D E 图1.4-1 同桌讨论一下 A B C D E 图1.4-1 由于D，E分别是AB，AC的中点，根据三角形的中位线定理得DE∥BC，且DE= BC，从而有 ∠ADE = ∠B， ∠AED = ∠C， 又∠DAE = ∠BAC， 由DE∥BC得DE∶BC=AD∶AB=1∶3，三个角对应相等、三边成比例，因此△ADE∽△ABC，相似比为1∶3。 如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点（既不是中点也不是三等分点）。过D作DE∥BC交AC于E。△ADE与△ABC仍然相似吗？把DE上下平行移动，你的结论还成立吗？ 思 考 A B C D E 图1.4-2 猜想：不论D在AB上的什么位置，只要DE∥BC，就一定有△ADE∽△ABC。 证明过程：已知△ABC，过边AB上一点D作DE∥BC，交AC于点E，如图1.4-3所示. 图1.4-3 在△ADE与△ABC中，∠DAE=∠BAC. 因为 DE∥BC， 所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB. 过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F. 由于DE∥BC，DF∥AC，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例” 得 A B C D E F A B C D E F 因为四边形CFDE为平行四边形， 所以 CF=DE . 于是 综上所述，根据相似三角形定义得 △ADE∽△ABC. 由此，可得如下由此可得： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. 由此，可得如下由此可得： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. A B C D E A B C D E A B C D E 如图，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC. 随堂诊断 1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，BC=10，则DE的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 A B C D E C 10 2. 如图，在□ABCD中，E在AD上，AE∶ED=3∶2，连接BE交AC于点F，若AF=6，则FC=______. A B C D E F 10 随堂诊断 【易错警示】平行截相似时的「X型」和「A型」 ✗ 常见错误写法 错例1：DE∥BC，但D在AB延长线上、E在AC延长线上，仍按△ADE∽△ABC写比例 AD/AB = AE/AC； 错例2：在两条线段交叉的「X型」图形中，过交点作平行线，没看清哪两个三角形相似，就把边对乱了。 ✓ 正确写法与理由 正确：只要DE∥BC，不管D、E在边上还是在延长线上，都有「平行→同位角相等→△ADE∽△ABC」，关键是把「A型」和「X型」分清楚： - A型：小三角形「套在」大三角形里，公共角在顶点； - X型：两个三角形对顶，对顶角相等+内错角相等。 两种图都用「平行→相似→成比例」同一条逻辑。 原因：平行带来的是角相等，不是边的位置；图形位置变了，对应字母顺序也要跟着调整，不然比例式就错。 例1 如图，在△ABC中，D是边AB的中点，过D作DE∥BC交AC于点E，延长DE到点F使EF=DE，连接CF。求证：△CFE∽△ABC。 A D E B C F 分析：先由DE∥BC证△ADE∽△ABC，再证△ADE≌△CFE（SAS），从而△CFE∽△ABC。 所以△ADE≌△CFE. 而△ADE∽△ABC， 因此 △CFE∽△ABC. 从而 又 D 为△ABC的边 AB 的中点，则 于是 则 E 为边 AC 的中点， 即AE = CE. 又 ∠AED = ∠CEF ，DE=FE， 随堂诊断 3. 如图，E是□ ABCD的边AD上一点，且 连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE=3，DF=4，则平行四边形ABCD的周长为 ( ) A B C D E F A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 B 3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB、AC于D、E两点。若AD=3，DB=6，DE=2，则BC的长为（ ） （提示：△ADE∽△ABC，AD/AB = DE/BC，即 3/(3+6) = 2/BC，解得 BC = 6。） 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，正方形EFCD的三个顶点E、F、D分别在AB、BC、AC上。已知AC=6，BC=4，求正方形的边长。 解：因为∠C=90°，四边形EFCD是正方形， 设正方形边长为x，则DE=CD=x，AD=6−x，且DE∥BC. 所以 △ADE∽△ACB. 所以 即 由△ADE∽△ACB得 x/4 = (6−x)/6，解得 x = 2.4。 练习 A B C D E F 所以 正方形的边长为 2.4（即 12/5）。 2. 如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，点 E，F分别在边AB，AD上，且OE∥CB，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由. 解：四边形AEOF与四边形ABCD相似. 理由：因为 OE∥CB， 所以 △AEO∽△ABC， 所以 ∠EAO=∠BAC， ∠AEO=∠B，∠AOE=∠ACB， A B C D E F O 因为OF∥CD，所以△AFO∽△ADC， 所以 ∠FAO=∠DAC， ∠AFO=∠D，∠AOF=∠ACD， 所以 ∠EAF=∠BAD，∠AEO=∠B， ∠EOF=∠BCD，∠AFO=∠D， 所以 四边形AEOF与四边形ABCD相似. A B C D E F O 3. 如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于E、F、G三点。已知AD=4，BC=8，AE=2，AB=5，求EF、EG的长。 A B C D E F G 解：因为AD∥EG， 所以 △BEF∽△BAD. 所以 即 解得 因为EG∥BC， 所以 △AEG∽△ABC. 所以 即 由△BEF∽△BAD得 EF = AD·BE/AB = 4×3/5 = 2.4； 由△AEG∽△ABC得 EG = BC·AE/AB = 8×2/5 = 3.2。 4. 如图，P是□ABCD的边BC延长线上任意一点，AP分别交BD、CD于点M、N。求证：AM² = MN·MP。 A B C D P M N 证明过程：因为四边形ABCD为平行四边形， 所以 AB∥DN， AD∥BP. 由AB∥DN得①△AMB∽△NMD，故 AM/MN = BM/DM； 所以 所以 又由AD∥BP得②△BMP∽△DMA，故 MP/AM = BM/DM。 两式联立得 AM/MN = MP/AM，即 AM² = MN·MP。 本课回顾 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. A B C D E A B C D E A B C D E 如图，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC. 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业 【生活链接】相似与平行线在生活中的应用 ① 测量旗杆高度：同一时刻阳光可看作平行光线，立一根2米长的标杆，测得影长1.5米，同时旗杆影长9米，由"平行光→同位角相等→两直角三角形相似"可得旗杆高 = 2×(9÷1.5) = 12 米。 ② 小孔成像：烛焰与屏幕之间的小孔让光线沿直线穿过，屏上的像与烛焰构成"X型"相似，像高∶物高 = 像距∶物距。 ③ 楼梯扶手设计：阶梯的竖直栏杆互相平行，斜扶手把它们截成等长的小段——这是"平行线等分线段"的经典应用。 ④ 地图与比例尺：地图上每条街道都与现实街道平行对应，所有三角形按比例缩小，整张地图就是实际地形的"相似形"。 【方法锦囊】平行判定相似的「两图一条链」 A型（共顶点）：DE∥BC ⇒ ∠ADE=∠ABC、∠AED=∠ACB ⇒ △ADE∽△ABC； X型（对顶）：AB∥CD，AC与BD交于O ⇒ ∠A=∠C、∠B=∠D、∠AOB=∠COD ⇒ △AOB∽△COD； 一条链：平行 → 角等 → 相似 → 边成比例，记住这条链，平行线出相似题目就不再怕。 课堂小结 ★ 一个判定定理： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 ★ 两种基本图形： A型（共顶点）：小三角形"套"在大三角形内，公共角在顶点； X型（对顶型）：两边延长相交于一点，形成对顶的两个相似三角形。 ★ 一条思路链： 看到平行线 → 找同位角/内错角相等 → 对应角都相等 → 三角形相似 → 列比例式求线段。 ★ 三类典型应用：求线段长度、证明比例（等积）式、测量无法直接度量的物体高度。 $