第六单元 多边形的面积（知识清单）-2026-2027学年五年级上册数学冀教版（新教材）

第六单元 多边形的面积 知识清单 【知识框架+知识梳理+典例精讲+巩固练习 知识框架 知识梳理 知识点 1：借助方格计算面积（转化的方法） (1) 转化的思想 ① 计算不规则图形的面积时，可以通过平移、割补、拼接，把它转化成长方形、正方形等规则图形。 ② 转化后图形的形状改变，但面积不变。 (2) 借助方格求面积 ① 每个方格代表一定的面积，先数清图形所占的方格数，再按每个方格的面积计算。 ② 不满一整格的格子，一般按半格估算或数一数估算。 【易错点】 ① 误以为割补、平移后面积会变大或变小。转化只改变形状，面积不变。 ② 数方格时漏数或重复数，尤其是边缘不满一整格的格子。 知识点 2：平行四边形的面积 (1) 面积公式 ① 平行四边形的面积 ＝ 底 × 高，用字母表示：S ＝ ah。 ② 例：底 6.2 cm、高 3.4 cm，面积 ＝ 6.2×3.4（平方厘米）。 (2) 公式的推导（割补法） ① 沿平行四边形的高把它剪开，把剪下的三角形平移到另一边，拼成一个长方形。 ② 拼成的长方形的长等于平行四边形的底，宽等于高，所以面积 ＝ 底 × 高。 (3) 底和高要对应 ① 计算面积时，必须用与这条高对应的那组底。 ② 平行四边形可以作出两条不同的高，用哪条高就要配相应的底。 【易错点】 ① 用相邻两条边的长度相乘：面积应用“底 × 对应高”，不是邻边相乘。 ② 底和高不对应：必须用与高垂直、对应的那组底，不能乱配。 ③ 忘记写面积单位（平方厘米、平方米等），或写成厘米。 知识点 3：三角形的面积 (1) 三角形的底和高 ① 从三角形的一个顶点向它所对的边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高，这条边叫作三角形的底。 ② 三角形有三组底和高，计算时用对应的一组。 (2) 面积公式 ① 三角形的面积 ＝ 底 × 高 ÷ 2，用字母表示：S ＝ ah÷2。 ② 例：底 3.4 cm、高 1.2 cm，面积 ＝ 3.4×1.2÷2（平方厘米）。 (3) 公式的推导 ① 用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 ② 拼成的平行四边形与三角形等底等高，面积是三角形面积的 2 倍，所以三角形面积 ＝ 底 × 高 ÷ 2。 【易错点】 ① 忘记“÷2”：三角形面积是拼成的平行四边形面积的一半，必须除以 2。 ② 底和高不对应：用不同一组的底和高计算。 ③ 已知面积反求底或高时，忘记先“×2”再除。 知识点 4：梯形的面积 (1) 面积公式 ① 梯形的面积 ＝（上底 ＋ 下底）× 高 ÷ 2，用字母表示：S ＝（a＋b）h÷2。 (2) 公式的推导 ① 拼摆法：用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于原梯形的上底 ＋ 下底，高等于梯形的高，所以面积 ＝（上底 ＋ 下底）× 高 ÷ 2。 ② 割补法：把一个梯形割补成长方形或平行四边形，再求面积。 (3) 公式的变形（已知面积求上底、下底或高） ① 高 ＝ 梯形面积 × 2 ÷（上底 ＋ 下底）。 ② 上底 ＝ 梯形面积 × 2 ÷ 高 − 下底。 ③ 下底 ＝ 梯形面积 × 2 ÷ 高 − 上底。 【易错点】 ① 忘记“上底 ＋ 下底”，或用“上底 × 下底”计算。 ② 忘记“÷2”。 ③ 反求上底、下底或高时，忘记面积先“×2”再代入运算。 知识点 5：组合图形的面积 (1) 什么是组合图形 ① 由两个或两个以上学过的简单图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形）组合而成的图形，叫作组合图形。 (2) 计算方法 ① 分割法：把组合图形分割成几个简单图形，分别求出每个图形的面积，再把面积相加。 ② 添补法：把组合图形添补成一个大的规则图形，用大图形的面积减去添补部分的面积。 (3) 选择合理的方法 ① 根据图形特点，选择分割或添补，尽量用最简便、不易漏算的方法。 ② 图形中缺的底或高，要先用已知条件求出，再代入公式。 【易错点】 ① 分割时漏掉某一小块，或多算、重复计算了某一部分。 ② 用添补法时，忘记减去添补部分的面积，只算了大图形的面积。 ③ 缺的底或高没有先通过已知条件求出，就直接代入公式。 典例精讲 考点1、组合图形面积 【典型例题1】计算下面图形中涂色部分的面积（单位：厘米）。 【答案】42平方厘米；75平方厘米 【分析】涂色部分的面积＝平行四边形的面积－三角形的面积，，； 涂色部分的面积＝梯形的面积＋长方形的面积，，。 【详解】8×6－（8－3－2）×4÷2 ＝8×6－3×4÷2 ＝48－6 ＝42（平方厘米） （5＋10）×（12－6）÷2＋6×5 ＝15×6÷2＋6×5 ＝45＋30 ＝75（平方厘米） 【练习1】计算下面各图形和阴影的面积。（图中数据单位：厘米） 【答案】32平方厘米；24平方厘米；133平方厘米 【分析】图1：平行四边形面积＝底×高，底为8厘米，高为4厘米，据此计算即可； 图2：阴影面积＝梯形面积－空白大三角形面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，据此计算即可； 图3：将图形补成一个大长方形，图形面积＝大长方形面积－挖去的梯形面积，长方形面积＝长×宽，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此计算即可。 【详解】图1：8×4＝32（平方厘米） 图2：（6＋15）×8÷2 ＝21×8÷2 ＝168÷2 ＝84（平方厘米） 15×8÷2 ＝120÷2 ＝60（平方厘米） 84－60＝24（平方厘米） 图3：14×12＝168（平方厘米） 14－10＝4（厘米） 12－7＝5（厘米） （4＋10）×5÷2 ＝14×5÷2 ＝70÷2 ＝35（平方厘米） 168－35＝133（平方厘米） 【典型例题2】一块平行四边形草坪中间有一条宽1.5米的石子小路，平行四边形底28米，高12米。铺1平方米草坪需要15元，铺满草坪一共需要花费多少钱？ 【答案】4770元 【分析】先根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，求出大平行四边形的总面积；小路同样是平行四边形，同理求出小路面积，用大平行四边形总面积减去小路面积得到草坪面积，再用草坪面积乘每平方米草坪的价格，求出总花费。 【详解】28×12＝336（平方米） 1.5×12＝18（平方米） 336－18＝318（平方米） 318×15＝4770（元） 答：铺满草坪需要4770元。 【练习2】一个梯形果园，上底是80米，下底是120米，高是60米，其中有一条水渠。如果每棵果树占地10平方米，这个果园一共可以种多少棵果树？ 【答案】594棵 【分析】先根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2求出整个梯形果园的总面积，再根据平行四边形面积公式：面积＝底×高求出中间平行四边形形状的水渠面积，用梯形总面积减去水渠面积得到实际可以栽种果树的土地面积，最后用可种植的土地面积除以每棵果树的占地面积，求出能栽种果树的总棵数。 【详解】梯形面积：（80＋120）×60÷2 ＝200×60÷2 ＝12000÷2 ＝6000（平方米） 水渠面积：60×1＝60（平方米） 可种果树面积：6000－60＝5940（平方米） 果树棵数：5940÷10＝594（棵） 答：这个果园一共可以种594棵果树。 【典型例题3】如图是一块公园的标识牌，在这个标识牌的正反两面刷油漆，每平方米需要油漆1.2千克，准备2千克油漆够吗？ 【答案】不够 【分析】我们首先要将这个标识牌分割成两个图形，一个长方形和一个三角形，如下： 分别求出长方形和三角形的面积，＝长×宽，＝长×宽÷2， 然后两个图形相加并将平方分米换算成平方米（1平方米＝100平方分米）； 油漆总量＝每平方米油漆用量×面积×2，（注意这里是要漆两面） 最后和2kg做比较，油漆总量大于2千克，就是够了，反之，则不够； 【详解】长方形面积：10×8＝80（平方分米） 三角形面积： 8×（12－10）÷2 ＝8×2÷2 ＝8（平方分米） 80＋8＝88（平方分米）＝0.88（平方米） 油漆量：0.88×2×1.2＝2.112（千克） 2.112＞2，不够 答：准备2千克油漆不够。 【练习3】王叔叔的炖锅店要翻新。店内有一面墙的平面图如下，如果粉刷墙面每平方米需要花费78元，那么粉刷这面墙至少需要多少元钱？ 【答案】3978元 【分析】这面墙由长方形和三角形组成，先根据三角形的面积公式和长方形的面积公式分别算出两个图形的面积，将两者的面积相加得到墙面总面积，再用总面积乘每平方米的花费，得到总费用。 【详解】6×7.5＝45（平方米） 6×2÷2 ＝12÷2 ＝6（平方米） 45＋6＝51（平方米） 51×78＝3978（元） 答：粉刷这面墙至少需要3978元。 考点2、借助方格算面积 【典型例题4】春天人们喜欢在郊外放风筝。风筝又称“纸鸢”，起源于东周春秋时期，距今2000多年。如图为一张风筝示意图（网格纸中每小格代表1cm2），其面积约为（    ）cm2。 A．24 B．32 C．16 D．48 【答案】A 【分析】用数格子估计不规则图形面积的方法：分别数出完整格数和不完整格数，所占格数特别少的忽略不计；把不完整格按半格计算加上整数格，估算出面积。 【详解】 如图，红色圆片表示的完整格数有14个，蓝色圆片表示的不完整格数有20个。 14＋20÷2 ＝14＋10 ＝24（cm2） 其面积约为24cm2。 【练习4】如图，每个小方格的边长表示1cm，图案的面积约是（    ）cm2。 A．30 B．44 C．55 D．70 【答案】B 【分析】数方格估算不规则图形面积的方法：先数满格的图案部分，再数出不满格的（2个不满格的按1个满格算），每个小方格面积是1×1＝1；据此计算即可。 【详解】满格有30格，不满格有28格。 28÷2＝14（格） 30＋14＝44（格） 1×1＝1（） 44×1＝44（） 【典型例题5】下图，每个小方格的边长是1厘米。 ①号图形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。②号图形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 14 8 16 7 【分析】根据题目可得：每个小方格的边长是1厘米，根据正方形面积＝边长×边长，计算出一个小方格的面积；求图形①和②的周长时，分别数出图形①和②边长上有多少个小方格线段即可；求图形①和②的面积时，分别数出图形①和②中有多少个小方格即可。 【详解】根据分析可得： 小方格面积＝（平方厘米） ①号图形的边长上有14条小方格的线段，占据8个完整的小方格， 故①号图形的周长是14厘米，面积是8平方厘米； ②号图形的边长上有16条小方格的线段，占据7个完整的小方格， 故②号图形的周长是16厘米，面积是7平方厘米。 【练习5】数一数，图①的面积等于( )个小方格；图②的面积等于( )个小方格；图③的面积等于( )个小方格。 【答案】 9 8 9 【分析】用方格纸计算图形面积，方格纸中的格子都是正方形，从而数出正方形数量即可。结合图示可知，图①的面积等于9个小方格；图②的面积等于8个小方格；图③的面积等于9个小方格，据此解答即可。 【详解】数一数，图①的面积等于9个小方格；图②的面积等于8个小方格；图③的面积等于9个小方格。 【典型例题6】下图中涂色部分的面积大约是( )平方厘米。 【答案】315 【分析】正方形面积＝边长×边长，算出1个小方格的面积。 不规则图形的面积估算方法：数格子，分别数出满格和不满格的数量，不满格的数量按半格计算，再加上满格的数量，就是不规则图形的格子数，最后乘每个小方格的面积即可。 【详解】1个小方格的面积：3×3＝9（平方厘米） 如图，满格的有26格，不满格的有18格，18÷2＝9（格）。 面积： （26＋9）×9 ＝35×9 ＝315（平方厘米）（答案不唯一，合理即可） 【练习6】如图，每个小正方形的面积是1平方厘米，估计这个阴影部分的面积在( )范围内。 【答案】14到32平方厘米 【分析】每个方格的面积是1×1＝1平方厘米，阴影覆盖部分有14个满格和18个不满格。当18个不满格的部分面积合起来不够1格时面积最小，所以阴影面积一定大于14平方厘米；当18个不满格部分合起来是17个满格和1个不满格时，面积最大，此时阴影面积比14＋18＝32平方厘米小。 【详解】满格的有14个方格，即14平方厘米； 满格14个和不满格18个，14＋18＝32（平方厘米） 所以阴影部分的面积在14到32平方厘米范围内。 【典型例题7】如上图所示，小明把自己的手掌印在方格纸上，一个格子代表，请你用所学的知识估一估面积大约是( )。 【答案】68 【分析】这道题的关键是利用数方格的方法计算面积，需要统计两种方格：满格和不满格，因为一个格子代表，所以将满格看作，不满格看作。数出格子后分别计算满格和不满格的面积，最后相加即可，由图可知满格有55个，不满格有26格。 【详解】根据分析： 所以，小明手掌的面积大约是68。（答案不唯一） 【练习7】下图是一片树叶的平面图（每个小方格表示1平方厘米）这片树叶的面积大约是( )平方厘米。（不满整格的，都按半格进行计算） 【答案】48 【分析】先数出整格个数，再数出半格的个数，然后再求出它的面积。 【详解】整格的有36格，不满整格的有24个。 （平方厘米） 所以下图是一片树叶的平面图（每个小方格表示1平方厘米）这片树叶的面积大约是48平方厘米。 考点3、平行四边形面积 【典型例题8】一个平行四边形的底是8厘米、高是45厘米，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】360 【分析】平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算即可。 【详解】8×45＝360（平方厘米） 所以这个平行四边形的面积是360平方厘米。 【练习8】一块平行四边形菜地，底18米，高9米，如果底不变，高扩大到原来的2倍，面积是( )平方米。 【答案】324 【分析】根据题意，用原来的高乘2，算出扩大后的高。再根据平行四边形的面积＝底×现在的高，代入计算即可。 【详解】9×2＝18（米） 18×18＝324（平方米） 【典型例题9】求下面图形的面积。 【答案】90cm2 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，用15乘6即可。 【详解】15×6＝90（cm2） 【练习9】求下列图形的面积。（单位：厘米） 【答案】72平方厘米；23.4平方厘米 【分析】平行四边形的面积＝底×高； 第一个图形中，底是12厘米，对应的高是6厘米，代入公式计算即可； 第二个图形中，底是6.5厘米，对应的高是3.6厘米，代入公式计算即可。 【详解】12×6＝72（平方厘米） 答：面积为72平方厘米。 6.5×3.6＝23.4（平方厘米） 答：面积为23.4平方厘米。 【典型例题10】小区内有一块平行四边形休闲草坪，底长24米，对应高11米，这块草坪的占地面积是多少平方米？ 【答案】264平方米 【分析】求草坪的占地面积就是求平行四边形的面积，平行四边形的面积＝底×对应高。 【详解】24×11＝264（平方米） 答：这块草坪的占地面积是264平方米。 【练习10】一个平行四边形池塘，相邻两条边长分别是35米和22米，以35米为底时，对应高18米。如果以22米为底，这条底对应的高是多少米？ 【答案】米 【分析】平行四边形的面积＝底×高，且同一平行四边形面积固定。先通过已知的底和对应高算出面积，再用面积除以22米的底，即可得到这条底对应的高。 【详解】 （米） 答：这条底对应的高是米。 【典型例题11】一块平行四边形的菜地，底长90米，高比底短15米，如果平均每平方米收青菜6千克，这块地共收多少千克青菜？ 【答案】40500千克 【分析】用底减去高比底短的长度算出平行四边形的高，再用平行四边形面积＝底×高计算出菜地面积，最后用面积乘每平方米青菜产量得到总收成。 【详解】 （千克） 答：这块地共收40500千克青菜。 【练习11】一块平行四边形的稻田，底是90米，对应的高是60米，如果每平方米施肥0.45千克，这块稻田需施肥多少千克？ 【答案】2430千克 【分析】已知平行四边形稻田的底是90米，对应的高是60米，根据平行四边形的面积＝底×高，用求出稻田的面积。每平方米施肥0.45千克，求这块稻田需施肥多少千克，用每平方米施肥的重量乘稻田的面积进行计算。 【详解】求稻田的面积： （平方米） 求需施肥多少千克： （千克） 答：这块稻田需施肥2430千克。 【典型例题12】希望小学校园内有一块平行四边形空地，中间有一条宽为2米的水泥路（如图）。如果在水泥路两旁的空地上铺草坪，每平方米草坪需要20元，一共需要多少元？ 【答案】1920元 【分析】题目中已知一块平行四边形空地，中间有一条宽为2米的水泥路，从图中可以看出，将小路两侧的两块草坪通过平移拼接在一起，形成一个新的平行四边形，此时平行四边形的底是米，高不变，仍然是8米，根据平行四边形的面积＝底×高，用求出草坪的面积，最后根据总价＝单价×数量，用每平方米草坪的单价20元乘草坪的面积求出一共需要的钱数。 【详解】平行四边形的底： （米） 草坪的面积： （平方米） 需要的钱数： （元） 答：一共需要1920元。 【练习12】一块平行四边形草坪，中间有两条宽为1米的石子路（如图）。已知铺这块草坪共用去2400元，平均每平方米草坪需要多少元？ 【答案】 12元 【分析】用平移的方法，把4块分散的草坪向中间靠拢，能拼成一个新的平行四边形。原来大平行四边形的底是21米，减去竖向石子路的宽度1米，得到新平行四边形的底； 原来大平行四边形的高是11米，减去横向石子路的宽度1米，得到新平行四边形的高。 草坪总面积＝新平行四边形面积＝底×高，已知总花费是2400元，每平方米的价格＝总花费÷草坪面积。 【详解】21－1＝20（米） 11－1＝10（米） 20×10＝200（平方米） 2400÷200＝12（元） 答：平均每平方米草坪需要12元。 考点4、三角形面积 【典型例题13】先画出三角形顶点A到它的对边的高；再画出三角形顶点B到它的对边的高。 【答案】； 【分析】顶点A的对边是BC，根据三角形高的定义，从A出发向BC作垂线段，垂足落在BC上，该垂线段就是A到对边的高。 顶点B的对边是AC，AC长度不足，可先延长CA，再从B出发向AC所在直线作垂线段，该垂线段就是B到对边的高。 【详解】图略 【练习13】分别画出下面三角形底边上的高。 【答案】 【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高。 【详解】略 【典型例题14】一个三角形的面积是32平方厘米，高是8厘米，那么这个三角形的底是( )厘米。 【答案】 【分析】三角形面积公式为，其中是面积，是底，是高，已知面积和高，要求底，a＝2S÷h。 【详解】32×2÷8＝8（厘米） 【练习14】一块直角三角形铁皮，两条直角边分别是9分米和6分米，这块铁皮的面积是( )平方分米。 【答案】27 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，而直角三角形的两条直角边分别是其底和高，代入面积公式即可求解。 【详解】9×6÷2 ＝54÷2 ＝27（平方分米） 故这块铁皮的面积是27平方分米。 【典型例题15】计算下面图形的面积（单位：cm）。 【答案】24cm2；24cm2 【分析】三角形面积公式：。第一个三角形直接给出一组对应的底和高，直接代入计算。第二个是直角三角形，两条直角边互为底和高，代入公式计算即可。 【详解】（1）6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） （2）6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 【练习15】直接列式计算下面三角形的面积（单位：cm）。 【答案】24cm2；24cm2；2.16cm2 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】（1）6×8÷2＝24（cm2） （2）6×8÷2＝24（cm2） （3）2.4×1.8÷2＝2.16（cm2） 【典型例题16】小区三角形警示牌，底10分米，高8分米，给警示牌正反两面刷油漆，刷油漆的总面积是多少平方分米？ 【答案】80平方分米 【分析】先利用三角形面积公式：求出警示牌单面的面积，由于正反两面都要刷漆，用单面面积乘2即可得到总面积。 【详解】（平方分米） （平方分米） 答：刷油漆的总面积是80平方分米。 【练习16】手工课制作三角形书签，书签底6厘米，高5厘米，制作25张这样的书签，一共需要多少平方厘米卡纸？ 【答案】375平方厘米 【分析】先根据三角形面积公式：，求出1张书签的面积，再乘书签总张数，即可得到所需卡纸的总面积。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） 答：一共需要375平方厘米卡纸。 考点5、梯形面积 【典型例题17】计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【答案】320平方厘米；54平方厘米 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】（14＋18）×20÷2 ＝32×20÷2 ＝320（平方厘米） （10＋8）×6÷2 ＝18×6÷2 ＝54（平方厘米） 【练习17】计算下面梯形的面积。 【答案】48；36 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 【详解】（4＋8）×5÷2 ＝12×5÷2 ＝60÷2 ＝30（） （5＋7）×6÷2 ＝12×6÷2 ＝72÷2 ＝36（） 【典型例题18】一个梯形果园，上底长45米，下底长63米，高30米，如果每棵果树占地9平方米，果园一共能种多少棵果树？ 【答案】180棵 【分析】先根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出果园的总面积，再用总面积除以每棵果树的占地面积，即可求出果树的总棵数。 【详解】 （棵） 答：果园一共能种180棵果树。 【练习18】一块梯形稻田，上底38米，下底52米，高24米。如果每平方米稻田能收获稻谷0.7千克，这块稻田一共可以收获稻谷多少千克？ 【答案】756千克 【分析】根据梯形的面积，先求出梯形稻田的面积，再用稻田面积乘每平方米收获稻谷的质量，即可求出总收获量。 【详解】 （平方米） （千克） 答：这块稻田一共可以收获稻谷756千克。 巩固练习 一、填空题 1．两张方格纸，一张方格边长8分米，一张边长2分米，用( )分米方格纸估算同一花坛，结果会更精准。 【答案】2 【分析】估算不规则图形的面积时，方格边长越小，估算图形面积的精确度越高。 【详解】2＜8 两张方格纸，一张方格边长8分米，一张边长2分米，用2分米方格纸估算同一花坛，结果会更精准。 2．有一个平行四边形框架，邻边分别长10厘米和6厘米，拉动框架变形后，底10厘米不变，高变为5厘米，此时图形面积是( )平方厘米。 【答案】50 【分析】平行四边形的面积＝底×高，题里明确底是10厘米，对应的高是5厘米，直接代入计算即可。 【详解】10×5＝50（平方厘米） 3．把一个底18cm、高10cm的平行四边形沿对角线分成两个完全一样的三角形，每个三角形的面积是( )cm2。 【答案】90 【分析】把平行四边形沿对角线分成两个完全一样的三角形，则三角形与平行四边形等底等高，三角形面积＝底×高÷2，代入数值计算即可。 【详解】18×10÷2 ＝180÷2 ＝90（cm2） 4．如图，一个平行四边形被分成甲、乙两部分，甲的面积比乙大72平方米，甲的上底是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 9 116 【分析】结合平行四边形和三角形的特征可知：甲可以分隔成一个和乙完全相同的三角形和一个小平行四边形。因为甲的面积比乙大72平方米，所以下图中小平行四边形的面积是72平方米。平行四边形底＝面积÷高，其中小平行四边形的高是8米，进而计算出小平行四边形的底，也就是甲的上底，最后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算出梯形的面积。 【详解】72÷8＝9（米） （9＋20）×8÷2 ＝29×8÷2 ＝232÷2 ＝116（平方米） 所以甲的上底是9米，面积是116平方米。 5．近似平行四边形草坪中间有一条宽1.2米的平行四边形石子路，草坪整体底25米，高10米，草坪实际种植面积是( )平方米。 【答案】238 【分析】先根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，求出大平行四边形的总面积；小路是底1.2米、高10米的平行四边形，用小路的底乘高求出小路面积，最后用大平行四边形总面积减去小路面积得到草坪实际种植面积。 【详解】大平行四边形总面积：25×10＝250（平方米） 小路面积：1.2×10＝12（平方米） 草坪面积：250－12＝238（平方米） 6．如图，将一张长方形纸的一角折叠，涂色部分的面积是( )平方厘米。 【答案】234 【分析】由图可知这个长方形的长为26厘米，宽为16厘米，长方形的面积＝长×宽即可求出长方形纸的面积；折叠后为梯形，梯形的上底为9厘米，下底为16厘米，高为26厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2即可求出折叠后的面积；用长方形面积减去梯形面积即可求出图中白色三角形的面积，用梯形面积减去白色三角形的面积即可求出涂色部分的面积。 【详解】（9＋16）×26÷2 ＝25×26÷2 ＝325（平方厘米） 325－（26×16－325） ＝325－（416－325） ＝325－91 ＝234（平方厘米） 即涂色部分的面积是234平方厘米。 【点睛】由图可知阴影部分的面积为梯形的面积与折叠部分面积的面积差。 二、选择题 7．图中每个小方格的面积是，估算这片叶子的面积，下面几种方法中最合理的是（    ）。 A．方格纸上满格和不满格的都记1。 B．方格纸上满格都记1格，不满格的都记0。 C．将图案转化成边长是5cm的正方形。 D．用数格子的方法：大于半格的记1格，不够半格的记为0。 【答案】D 【分析】不规则图形面积估算，数方格时满格直接计数，重点处理不满格：有两种处理方式，一种不满格全都按半格算；另一种是大于半格记1格，小于半格记0，结合选项选出合理方法。 【详解】A．方格纸上满格和不满格的都记1。不满格全部按整格计算，会把面积算得偏大，方法不合理。 B．方格纸上满格都记1格，不满格的都记0。不满格全部忽略不计，会把面积算得偏小，方法不合理。 C．将图案转化成边长是5cm的正方形。叶子实际形状和正方形差距很大，强行转化会造成很大误差，方法不合理。 D．用数格子的方法：大于半格的记1格，不够半格的记为0。这是估算不规则图形面积常用的方法，可以减小估算误差，方法最合理。 8．如图，平行四边形ABCD的周长是（    ）cm。 A．24 B．96 C．43.2 D．9.6 【答案】C 【分析】平行四边形面积＝底×高，用DC边的长度乘对应的高8cm算出平行四边形的面积；再用平行四边形的面积除以另一条高10cm求出对应的底边BC的长度；最后根据“平行四边形周长＝2×相邻两边长度和”即可算出平行四边形的周长。 【详解】平行四边形的面积：12×8＝96（cm2） BC边的长度：96÷10＝9.6（cm） 周长：（12＋9.6）×2 ＝21.6×2 ＝43.2（cm） 9．一个三角形的底是8厘米，高是6厘米。如果底和高都扩大到原来的2倍，新三角形的面积比原来增加了（　　）平方厘米。 A．24　 B．48　　 C．72　 D．12 【答案】C 【分析】三角形面积等于底乘高除以2，先计算原三角形的面积。 底和高都扩大到原来的2倍，先求出扩大后的底和高的数值，再代入面积公式计算新三角形的面积。 要求面积增加的量，用新三角形面积减去原三角形面积即可得到结果。 【详解】原三角形面积： （平方厘米） 新三角形的底：（厘米） 新三角形的高：（厘米） 新三角形面积： （平方厘米） 增加的面积：（平方厘米） 10．如下图，平行四边形被分割成了一个三角形和一个梯形。已知三角形的面积比梯形的面积少平方厘米，则梯形的面积是（     ）平方厘米。 A．450 B．750 C．1200 D．600 【答案】B 【分析】 可以在梯形种分割出一个同样的三角形，这样多出的平方厘米就是一个平行四边形的面积，已知平行四边形的高，用平行四边形的面积除以高即可求出底，平行四边形的底也就是梯形的上底，再根据梯形的面积等于（上底下底）高，代入数据得出答案。 【详解】（厘米） （平方厘米） 11．下图中，阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．800 B．600 C．400 D．200 【答案】C 【分析】两个阴影三角形为同高三角形，高为20厘米，两个三角形的底之和为40厘米，三角形面积公式为，阴影总面积可拆分为两个三角形面积相加，可转化为，代入对应数值计算即可 【详解】由分析得，阴影部分面积为： ＝20×20 ＝400（平方厘米） 12．如图，用篱笆靠墙围一块梯形的地，这块地的面积是，则篱笆长（    ）m。 A．20 B．40 C．52 D．24 【答案】C 【分析】根据梯形的面积公式，用梯形的面积乘2除以高求出梯形的上下底的和，再加上高即可解答。 【详解】 （m） 故篱笆长52m。 三、计算题 13．计算下面图形的面积。 （1）   （2）（3） 【答案】（1）92m2；（2）27cm2；（3）22cm2 【分析】（1）平行四边形面积＝底×高，据此求出平行四边形面积。 （2）三角形面积＝底×高÷2，据此求出三角形面积。 （3）梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此求出梯形面积。 【详解】（1）11.5×8＝92（m2） （2）18×3÷2 ＝54÷2 ＝27（cm2） （3）（3.5＋7.5）×4÷2 ＝11×4÷2 ＝44÷2 ＝22（cm2） 14．求下图中阴影部分的面积。（单位：米） 【答案】1280平方米；18平方米；10平方米 【分析】图1，阴影部分面积＝平行四边形的面积－空白三角形的面积，代入数据，即可求出阴影部分的面积。 图2，阴影部分面积等于两个三角形的面积的和；左边的三角形的底为5米，高为4米；右边的三角形的底为4米，高也为4米；根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出两个三角形的面积，再相加即可。 图3，阴影部分的面积相当于一个底为5米，高为4米的三角形的面积；根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】60×32－40×32÷2 ＝1920－640 ＝1280（平方米） 5×4÷2＋4×4÷2 ＝10＋8 ＝18（平方米） 5×4÷2＝10（平方米） 四、作图题 15．画出下面三角形底边上的高。 【答案】 【分析】从三角形指定底边的对应顶点向它的对边（底）作一条垂线，并标上直角符号，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；据此画图即可。 【详解】画图略。 五、解答题 16．学校劳动基地有一块面积为31.5平方米的平行四边形菜地，底是10.5米，工人叔叔要安装三条垂直于底边的水管（如图），三条水管的长一共有多少米？ 【答案】9米 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，求得高＝平行四边形面积÷底；水管的长度即为平行四边形的高，一共有3条水管，用高乘3就能算出总长度；列综合算式解答。 【详解】31.5÷10.5×3 ＝3×3 ＝9（米） 答：三条水管的长一共有9米。 17．有两个三角形，第一个三角形底24米、高16米；第二个三角形面积和第一个相等，但它的底是32米，求第二个三角形这条底对应的高是多少米？ 【答案】米 【分析】先利用三角形面积公式：三角形面积底高，算出第一个三角形的面积，两个三角形面积相等，再逆用面积公式：高面积底，求出第二个三角形的高。 【详解】 （平方米） （米） 答：第二个三角形这条底对应的高是米。 18．人工湖，又称人造湖，是一种用于拦洪蓄水和调节水流的水利工程建筑物。一个梯形人工湖占地36公顷，它的下底是1800米，高是240米。求这个梯形人工湖的上底长。 【答案】 1200米 【分析】先将面积单位换算为平方米，再根据梯形面积公式的逆运算，求出上下底之和，最后减去下底得到上底长度。 【详解】 （平方米） （米） （米） 答：这个梯形人工湖的上底长1200米。 19．沙漏是古代的一种计量时间的工具。你能算出如图所示的沙漏截面的面积吗？ 【答案】28.62平方厘米 【分析】观察图形可知，沙漏的面积＝中间长方形的面积＋两个等底等高的梯形的面积，已知长方形的长是0.7厘米，宽是0.6厘米，根据长方形的面积＝长×宽，即可求出长方形的面积；已知梯形的上底是0.7厘米，下底是5.3厘米，高＝（10－0.6）÷2，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可解答。 【详解】（10－0.6）÷2 ＝9.4÷2 ＝4.7（厘米） 0.7×0.6＋（5.3＋0.7）×4.7÷2×2 ＝0.42＋6×4.7÷2×2 ＝0.42＋28.2 ＝28.62（平方厘米） 答：沙漏截面的面积是28.62平方厘米。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 多边形的面积 知识清单 【知识框架+知识梳理+典例精讲+巩固练习 知识框架 知识梳理 知识点 1：借助方格计算面积（转化的方法） (1) 转化的思想 ① 计算不规则图形的面积时，可以通过平移、割补、拼接，把它转化成长方形、正方形等规则图形。 ② 转化后图形的形状改变，但面积不变。 (2) 借助方格求面积 ① 每个方格代表一定的面积，先数清图形所占的方格数，再按每个方格的面积计算。 ② 不满一整格的格子，一般按半格估算或数一数估算。 【易错点】 ① 误以为割补、平移后面积会变大或变小。转化只改变形状，面积不变。 ② 数方格时漏数或重复数，尤其是边缘不满一整格的格子。 知识点 2：平行四边形的面积 (1) 面积公式 ① 平行四边形的面积 ＝ 底 × 高，用字母表示：S ＝ ah。 ② 例：底 6.2 cm、高 3.4 cm，面积 ＝ 6.2×3.4（平方厘米）。 (2) 公式的推导（割补法） ① 沿平行四边形的高把它剪开，把剪下的三角形平移到另一边，拼成一个长方形。 ② 拼成的长方形的长等于平行四边形的底，宽等于高，所以面积 ＝ 底 × 高。 (3) 底和高要对应 ① 计算面积时，必须用与这条高对应的那组底。 ② 平行四边形可以作出两条不同的高，用哪条高就要配相应的底。 【易错点】 ① 用相邻两条边的长度相乘：面积应用“底 × 对应高”，不是邻边相乘。 ② 底和高不对应：必须用与高垂直、对应的那组底，不能乱配。 ③ 忘记写面积单位（平方厘米、平方米等），或写成厘米。 知识点 3：三角形的面积 (1) 三角形的底和高 ① 从三角形的一个顶点向它所对的边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高，这条边叫作三角形的底。 ② 三角形有三组底和高，计算时用对应的一组。 (2) 面积公式 ① 三角形的面积 ＝ 底 × 高 ÷ 2，用字母表示：S ＝ ah÷2。 ② 例：底 3.4 cm、高 1.2 cm，面积 ＝ 3.4×1.2÷2（平方厘米）。 (3) 公式的推导 ① 用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 ② 拼成的平行四边形与三角形等底等高，面积是三角形面积的 2 倍，所以三角形面积 ＝ 底 × 高 ÷ 2。 【易错点】 ① 忘记“÷2”：三角形面积是拼成的平行四边形面积的一半，必须除以 2。 ② 底和高不对应：用不同一组的底和高计算。 ③ 已知面积反求底或高时，忘记先“×2”再除。 知识点 4：梯形的面积 (1) 面积公式 ① 梯形的面积 ＝（上底 ＋ 下底）× 高 ÷ 2，用字母表示：S ＝（a＋b）h÷2。 (2) 公式的推导 ① 拼摆法：用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于原梯形的上底 ＋ 下底，高等于梯形的高，所以面积 ＝（上底 ＋ 下底）× 高 ÷ 2。 ② 割补法：把一个梯形割补成长方形或平行四边形，再求面积。 (3) 公式的变形（已知面积求上底、下底或高） ① 高 ＝ 梯形面积 × 2 ÷（上底 ＋ 下底）。 ② 上底 ＝ 梯形面积 × 2 ÷ 高 − 下底。 ③ 下底 ＝ 梯形面积 × 2 ÷ 高 − 上底。 【易错点】 ① 忘记“上底 ＋ 下底”，或用“上底 × 下底”计算。 ② 忘记“÷2”。 ③ 反求上底、下底或高时，忘记面积先“×2”再代入运算。 知识点 5：组合图形的面积 (1) 什么是组合图形 ① 由两个或两个以上学过的简单图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形）组合而成的图形，叫作组合图形。 (2) 计算方法 ① 分割法：把组合图形分割成几个简单图形，分别求出每个图形的面积，再把面积相加。 ② 添补法：把组合图形添补成一个大的规则图形，用大图形的面积减去添补部分的面积。 (3) 选择合理的方法 ① 根据图形特点，选择分割或添补，尽量用最简便、不易漏算的方法。 ② 图形中缺的底或高，要先用已知条件求出，再代入公式。 【易错点】 ① 分割时漏掉某一小块，或多算、重复计算了某一部分。 ② 用添补法时，忘记减去添补部分的面积，只算了大图形的面积。 ③ 缺的底或高没有先通过已知条件求出，就直接代入公式。 典例精讲 考点1、组合图形面积 【典型例题1】计算下面图形中涂色部分的面积（单位：厘米）。 【练习1】计算下面各图形和阴影的面积。（图中数据单位：厘米） 【典型例题2】一块平行四边形草坪中间有一条宽1.5米的石子小路，平行四边形底28米，高12米。铺1平方米草坪需要15元，铺满草坪一共需要花费多少钱？ 【练习2】一个梯形果园，上底是80米，下底是120米，高是60米，其中有一条水渠。如果每棵果树占地10平方米，这个果园一共可以种多少棵果树？ 【典型例题3】如图是一块公园的标识牌，在这个标识牌的正反两面刷油漆，每平方米需要油漆1.2千克，准备2千克油漆够吗？ 【练习3】王叔叔的炖锅店要翻新。店内有一面墙的平面图如下，如果粉刷墙面每平方米需要花费78元，那么粉刷这面墙至少需要多少元钱？ 考点2、借助方格算面积 【典型例题4】春天人们喜欢在郊外放风筝。风筝又称“纸鸢”，起源于东周春秋时期，距今2000多年。如图为一张风筝示意图（网格纸中每小格代表1cm2），其面积约为（    ）cm2。 A．24 B．32 C．16 D．48 【练习4】如图，每个小方格的边长表示1cm，图案的面积约是（    ）cm2。 A．30 B．44 C．55 D．70 【典型例题5】下图，每个小方格的边长是1厘米。 ①号图形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。②号图形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【练习5】数一数，图①的面积等于( )个小方格；图②的面积等于( )个小方格；图③的面积等于( )个小方格。 【典型例题6】下图中涂色部分的面积大约是( )平方厘米。 【练习6】如图，每个小正方形的面积是1平方厘米，估计这个阴影部分的面积在( )范围内。 【典型例题7】如下图所示，小明把自己的手掌印在方格纸上，一个格子代表，请你用所学的知识估一估面积大约是( )。 【练习7】下图是一片树叶的平面图（每个小方格表示1平方厘米）这片树叶的面积大约是( )平方厘米。（不满整格的，都按半格进行计算） 考点3、平行四边形面积 【典型例题8】一个平行四边形的底是8厘米、高是45厘米，这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【练习8】一块平行四边形菜地，底18米，高9米，如果底不变，高扩大到原来的2倍，面积是( )平方米。 【典型例题9】求下面图形的面积。 【练习9】求下列图形的面积。（单位：厘米） 【典型例题10】小区内有一块平行四边形休闲草坪，底长24米，对应高11米，这块草坪的占地面积是多少平方米？ 【练习10】一个平行四边形池塘，相邻两条边长分别是35米和22米，以35米为底时，对应高18米。如果以22米为底，这条底对应的高是多少米？ 【典型例题11】一块平行四边形的菜地，底长90米，高比底短15米，如果平均每平方米收青菜6千克，这块地共收多少千克青菜？ 【练习11】一块平行四边形的稻田，底是90米，对应的高是60米，如果每平方米施肥0.45千克，这块稻田需施肥多少千克？ 【典型例题12】希望小学校园内有一块平行四边形空地，中间有一条宽为2米的水泥路（如图）。如果在水泥路两旁的空地上铺草坪，每平方米草坪需要20元，一共需要多少元？ 【练习12】一块平行四边形草坪，中间有两条宽为1米的石子路（如图）。已知铺这块草坪共用去2400元，平均每平方米草坪需要多少元？ 考点4、三角形面积 【典型例题13】先画出三角形顶点A到它的对边的高；再画出三角形顶点B到它的对边的高。 【练习13】分别画出下面三角形底边上的高。 【典型例题14】一个三角形的面积是32平方厘米，高是8厘米，那么这个三角形的底是( )厘米。 【练习14】一块直角三角形铁皮，两条直角边分别是9分米和6分米，这块铁皮的面积是( )平方分米。 【典型例题15】计算下面图形的面积（单位：cm）。 【练习15】直接列式计算下面三角形的面积（单位：cm）。 【典型例题16】小区三角形警示牌，底10分米，高8分米，给警示牌正反两面刷油漆，刷油漆的总面积是多少平方分米？ 【练习16】手工课制作三角形书签，书签底6厘米，高5厘米，制作25张这样的书签，一共需要多少平方厘米卡纸？ 考点5、梯形面积 【典型例题17】计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【练习17】计算下面梯形的面积。 【典型例题18】一个梯形果园，上底长45米，下底长63米，高30米，如果每棵果树占地9平方米，果园一共能种多少棵果树？ 【练习18】一块梯形稻田，上底38米，下底52米，高24米。如果每平方米稻田能收获稻谷0.7千克，这块稻田一共可以收获稻谷多少千克？ 巩固练习 一、填空题 1．两张方格纸，一张方格边长8分米，一张边长2分米，用( )分米方格纸估算同一花坛，结果会更精准。 2．有一个平行四边形框架，邻边分别长10厘米和6厘米，拉动框架变形后，底10厘米不变，高变为5厘米，此时图形面积是( )平方厘米。 3．把一个底18cm、高10cm的平行四边形沿对角线分成两个完全一样的三角形，每个三角形的面积是( )cm2。 4．如图，一个平行四边形被分成甲、乙两部分，甲的面积比乙大72平方米，甲的上底是( )米，面积是( )平方米。 5．近似平行四边形草坪中间有一条宽1.2米的平行四边形石子路，草坪整体底25米，高10米，草坪实际种植面积是( )平方米。 6．如图，将一张长方形纸的一角折叠，涂色部分的面积是( )平方厘米。 二、选择题 7．图中每个小方格的面积是，估算这片叶子的面积，下面几种方法中最合理的是（    ）。 A．方格纸上满格和不满格的都记1。 B．方格纸上满格都记1格，不满格的都记0。 C．将图案转化成边长是5cm的正方形。 D．用数格子的方法：大于半格的记1格，不够半格的记为0。 8．如图，平行四边形ABCD的周长是（    ）cm。 A．24 B．96 C．43.2 D．9.6 9．一个三角形的底是8厘米，高是6厘米。如果底和高都扩大到原来的2倍，新三角形的面积比原来增加了（　　）平方厘米。 A．24　 B．48　　 C．72　 D．12 10．如下图，平行四边形被分割成了一个三角形和一个梯形。已知三角形的面积比梯形的面积少平方厘米，则梯形的面积是（     ）平方厘米。 A．450 B．750 C．1200 D．600 11．下图中，阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．800 B．600 C．400 D．200 12．如图，用篱笆靠墙围一块梯形的地，这块地的面积是，则篱笆长（    ）m。 A．20 B．40 C．52 D．24 三、计算题 13．计算下面图形的面积。 （1）   （2）（3） 14．求下图中阴影部分的面积。（单位：米） 四、作图题 15．画出下面三角形底边上的高。 五、解答题 16．学校劳动基地有一块面积为31.5平方米的平行四边形菜地，底是10.5米，工人叔叔要安装三条垂直于底边的水管（如图），三条水管的长一共有多少米？ 17．有两个三角形，第一个三角形底24米、高16米；第二个三角形面积和第一个相等，但它的底是32米，求第二个三角形这条底对应的高是多少米？ 18．人工湖，又称人造湖，是一种用于拦洪蓄水和调节水流的水利工程建筑物。一个梯形人工湖占地36公顷，它的下底是1800米，高是240米。求这个梯形人工湖的上底长。 19．沙漏是古代的一种计量时间的工具。你能算出如图所示的沙漏截面的面积吗？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $