专题10一次函数的应用同步培优讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题10一次函数的应用同步培优讲义 ✺知识框架 一、一次函数建模 1.分析实际问题中的变量关系 2.求一次函数的表达式3.根据实际意义确定自变量取值范围 二、函数图象解读 1.图象上点、线段的实际意义2.由常数 k判断函数的增减变化3. 两个一次函数图象交点的实际含义4.一次函数与一元一次方程的联系 三、典型应用类型 1.分段计费问题2.匀速行程问题3.方案选择问题 四、求解与检验 1.代入求值、比较函数值 2.在自变量取值范围内确定最值 3.检验结果是否符合实际情境 ✺学习目标 1.会求一次函数、正比例函数的表达式，能判断实际问题是否可以用一次函数刻画。 2.能结合实际背景确定自变量的取值范围。 3.能够读懂带有实际背景的函数图象，解释点、线段、交点的实际意义；理解一次函数与一元一次方程之间的联系。 4.会利用一次函数的增减性比较方案，在自变量取值范围内确定最值。 5.能用一次函数模型解决实际问题，体会建模与数形结合的数学思想。 ✺题型归纳 题型1.分配方案问题（一次函数的实际应用） 题型2.最大利润问题（一次函数的实际应用） 题型3.行程问题（一次函数的实际应用） 题型4.梯度计价问题 题型5.其他问题（一次函数的实际应用） 题型6.一次函数与几何综合 题型7.已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型8.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型9.利用图象法解一元一次方程 题型10.课堂小练 ✺知识清单 一、建模基本步骤 审：分清自变量与因变量，找出等量关系； 设：设函数表达式，一般形式y=kx+b (k≠0)，正比例函数设y=kx (k≠0)； 求：根据条件确定表达式中的常数； 定：结合实际情境，确定自变量的取值范围； 解：利用表达式、图象和函数性质进行计算分析； 答：检验结果，规范写出答案。 二、自变量的取值范围 自变量除满足代数式有意义外，还应符合实际：长度、时间、费用一般为非负数；人数、物品数量为非负整数；同时满足题目给出的限制条件。 三、图象信息与函数、方程的联系 1.图象的横、纵坐标分别表示两个变量，图象上点(x,y)对应一组变量的取值。 k>0，y 随 x 的增大而增大； k<0，y 随x的增大而减小； 水平线段表示y的值保持不变。 2.两个一次函数图象的交点，表示此时两个函数的函数值相等，常用于费用相同、相遇等问题。 3.直线 y=kx+b与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。 四、常见题型 1.分段计费：自变量在不同范围时收费标准不同，需要分段写出函数表达式并讨论。 2.行程问题：匀速运动时，路程与时间满足一次函数关系，常借助图象分析相遇、追及问题。 3.方案选择：写出不同方案对应的函数表达式，结合增减性选出合适的方案。 五、自变量限定范围内的最值 对于一次函数y=kx+b (k≠0)，在给定的自变量取值范围内： k>0，自变量取最小值时，函数值最小；自变量取最大值时，函数值最大； k<0，自变量取最小值时，函数值最大；自变量取最大值时，函数值最小。 注意：一次函数本身没有最大、最小值；实际问题中的最值，受自变量取值范围约束。 ✺题型精讲 题型1.分配方案问题（一次函数的实际应用） 1．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 【答案】A 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 2．本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶千米，应付给甲公司元，应付给乙公司元，、分别与之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租__________公司． 【答案】甲 【分析】由题意可知x=3500>1500，此时观察图像，则此时甲省钱． 【详解】根据图象可知当x>1500时，，此时甲省钱． ∵x=3500>1500，此时， ∴此时甲省钱． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据两个一次函数的交点判断出与的大小是解答本题的关键． 3．A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 题型2.最大利润问题（一次函数的实际应用） 1．某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，利用图像中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 【详解】解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 2．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A，B，C三种盲盒，具体信息如下表： A盲盒 B盲盒 C盲盒 运动耳机（成本：60元/副） 3副 0副 2副 手办模型（成本：45元/个） 0个 2个 3个 迷你音箱（成本：75元/个） 4个 6个 3个 （1）若某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为________个； （2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了1个），则迷你音箱的总成本最多为________元． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了有理数的列式计算、一次函数的应用等知识点，正确运用一次函数的性质成为解题的关键． （1）直接根据题意列式计算即可； （2）设销售A盲盒的个数为x，B盲盒的个数y，则销售C盲盒的个数为个，根据题意列二元一次方程可得，即销售C盲盒的个数为个；则迷你音箱的总成本，然后再确定x的取值范围，最后根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】解：（1）某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为：． 故答案为4． （2）设销售A盲盒的个数为x，B盲盒的个数y，则销售C盲盒的个数为个， 则有：，解得：， 所以销售C盲盒的个数为个， 所以迷你音箱的总成本，整理得：， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 当时，y有最大值， ∴迷你音箱的总成本最多为． 3．某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为20元和18元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，设买A种笔记本（且为正整数）本，买两种笔记本的总费用为元． (1)写出（元）关于（本）的函数关系式； (2)若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价元（），B种笔记本价格不变，请你帮学校设计购买方案，使所花费用最省？并求出最少费用． 【答案】(1)（且为正整数） (2)当时，购买A种笔记本8本，B种笔记本22本费用最省，最少费用为元；当时，任意购买本A种笔记本总费用都为540元；当时，购买A种笔记本11本，B种笔记本19本费用最省，最少费用为元 【分析】（1）据总费用等于两种笔记本的费用之和列式，结合题干给出的x的取值范围即可得到答案； （2）分类讨论的取值，结合一次函数的性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即（元）关于（本）的函数关系式为且x为正整数； （2）解：∵且为正整数， ∴x取8，9，10，11， ，根据题意得：， 当，即时，W随x的增大而增大， 此时当时，W取得最小值，为， 即购买A种笔记本8本，B种笔记本22本费用最省，最少费用为元； 当，即时，任意购买本A种笔记本总费用都为540元； 当，即时，W随x的增大而减小， 此时当时，W取得最小值，为， 即购买A种笔记本11本，B种笔记本19本费用最省，最少费用为元； 综上所述，当时，购买A种笔记本8本，B种笔记本22本费用最省，最少费用为元；当时，任意购买本A种笔记本总费用都为540元；当时，购买A种笔记本11本，B种笔记本19本费用最省，最少费用为元． 题型3.行程问题（一次函数的实际应用） 1．小明周末到离家一定距离的图书馆阅读学习，在图书馆阅读学习一段时间后，小明先以的速度原路返回，行走后在一文具超市停留，然后以返回开始时的速度回到家里，设小明从家出发到返回家中所用时间为，离家的距离为，y与x的函数图象如图所示．下列结论中：①图书馆离小明家；②小明在图书馆的阅读学习时间为；③小明原路返回的平均速度为；④若小明是离开图书馆原路返回，则他在可到家．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键在于根据函数图象中的关键信息，结合路程、速度和时间的关系来逐一分析各个结论． 【详解】解：由题意知图书馆离小明家，①正确； 小明在图书馆的阅读学习时间是，②正确； 文具超市离图书馆， 所以文具超市离小明的家，， 小明从开始返程到达家里共用了， 所以小明的返程平均速度为，③正确； 若小明是离开图书馆原路返回，则他在可到家，④正确． 故正确的有4个． 2．已知某租车公司有A，B两种租车方案．A方案：先支付500元，再按每千米0.5元收费；B方案：直接按每千米1元收费．已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是________． 【答案】800千米 【分析】分别计算两种方案花费元时，对应的行驶里程；相同花费下，行驶里程更大的为最优租车方案，据此解答即可． 【详解】解：设小明的行驶里程是千米，需要的总花费是元， 由题意得：A方案：；当时，，解得； B方案：；当时，； ∵小明使用的是最优租车方案，且， ∴小明选择的是B方案，他的行驶里程是800千米． 3．2027年第33届世界大学生冬季运动会将在长春举办，火炬传递路线从净月潭出发，终点设在长春五环体育馆．甲､乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． (2)求甲､乙两人相距最远时的距离． 【答案】(1) (2)相距最远为250米 【分析】（1）设甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系式为，把和代入求出与的值，即可确定出解析式； （2）由图可得当时，甲、乙两人相距最远．把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系式为， 把和代入得：， 解得：，， 则； （2）解：由图象可得，当时，甲、乙两人相距最远． （米）． （米）． 所以甲、乙两人相距最远时的距离为250米． 题型4.梯度计价问题 1．某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（     ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】先设商品每件的原价为元，根据题意可得超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为：，由图像可知，过点，代入求解即可． 【详解】设商品每件的原价为元， 超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为： ， 由图像可知，过点， ∴， 解得：， 答：商品每件的原价为元． 2．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：白天行驶距离在千米以内（包括千米）起步价元，超过千米后，每多行驶千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：________． 【答案】 【分析】根据收费规则，当乘车距离千米时，乘车总费用由起步价和超出3千米部分的加收费用两部分组成，据此即可建立函数关系式． 【详解】解：由题意得，当时，超出3千米的行驶距离为千米， 总费用， ∴乘车费用与乘车距离之间的函数关系式为：． 3．某水果批发市场批发葡萄，采取分段计价方式，其价格如表： 购买数量 不超过的部分 超过的部分 单价（元） 8 6 设顾客购买葡萄的总费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小李一次性购买葡萄所付的费用，比分两次购买（每次购买葡萄）所付的费用少多少元？ 【答案】(1)当时，，当时， (2)小李一次性购买葡萄所付的费用，比分两次购买（每次购买葡萄）所付的费用少30元 【分析】（1）根据表格所给的购买方式，分段计算即可得出结果； （2）分别求出两种方式购买葡萄所花费的钱，作差即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， 当时，， 综上所述，当时，，当时，； （2）解：一次性购买葡萄所付的费用为（元）， 分两次购买（每次购买葡萄）所付的费用为（元）， （元）， 故小李一次性购买葡萄所付的费用，比分两次购买（每次购买葡萄）所付的费用少30元． 题型5.其他问题（一次函数的实际应用） 1．某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表格中两组对应值求出一次函数解析式，再代入总费用计算超出流量即可． 【详解】解：设一次函数解析式为（），将，和，代入， 可得，解得， ∴， 令，得， 解得，即他使用的流量共超出． 2．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．某弹簧不挂物体时长；当所挂物体的质量为时，弹簧长．则所挂物体的质量为时弹簧的长度为______． 【答案】 【分析】根据已知的两组弹簧长度与所挂物体质量的对应值，用待定系数法求出一次函数关系式，再代入给定的物体质量计算对应的弹簧长度． 【详解】解：设弹簧长度与所挂物体质量的函数关系式为， ∵ 不挂物体时，弹簧长度为， ∴ 代入关系式得， ∵ 当所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴ 代入关系式得， 将代入上式，得， 解得， ∴ 函数关系式为， 当所挂物体质量为时，代入关系式得， ∴此时弹簧的长度为． 3．陕西省第十八届运动会将于2026年8月举办，某超市准备出售运动会纪念玩偶，每个玩偶售价为元，学校计划在该超市购买50个玩偶，总计需要元． (1)与是否为函数关系？若是，请写出关于的函数解析式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若每个玩偶售价40元，则学校需要的费用为多少？ 【答案】(1)与是函数关系， (2)若每个玩偶售价40元，则学校需要的费用为2000元 【分析】（1）根据玩偶售价、购买玩偶的数量与购买玩偶的总价三者间的关系建立等量关系即可． （2）把代入函数关系中计算函数值即可． 【详解】（1）解：购买数量一定时，玩偶购买总价随玩偶单价而发生变化，所以与是函数关系，    由题意得，． （2）解：当时，， 答：若每个玩偶售价40元，则学校需要的费用为2000元． 题型6.一次函数与几何综合 1．如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有两个交点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， ∵当正比例函数经过点A时，， 当经过点C时，， ∴直线与正方形有两个交点，k的取值范围是， 观察四个选项，只有在范围内． 2．已知两点，，一次函数（k为常数，且）的图像经过点且与线段有公共点，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据一次函数过点得到与的关系，再求出直线分别过线段端点、时对应的值，即可确定的取值范围． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 将代入得：， 解得， 一次函数解析式为， 当直线经过点时，代入坐标得 ， 解得， 当直线经过点时，代入坐标得 ， 解得， 直线与线段有公共点， 的取值范围是． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标． 【答案】或或． 【分析】分两种情况讨论：和，根据坐标两点的距离以及等腰直角三角形的定义分别求解即可． 【详解】解：当时，， 点A的坐标为， 点的横坐标为， 将代入，得， ； 当时，， 设，则， ，， ， 解得：或， 或， 综上可知，点C的坐标为或或． ． 题型7.已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．如图，一次函数的图象经过点和，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴关于的方程的解是． 2．直线过点和点，则关于x 的方程的解是____________ 【答案】/ 【分析】根据关于x 的方程的解是其对应函数图象与x轴交点的横坐标，据此即可解答． 【详解】解：∵直线过点和点， ∴直线与x轴交点的坐标为， ∴关于的方程的解为． 3．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 题型8.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 2．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点A和点． (1)求a，m的值； (2)利用函数图象，直接写出时自变量x的取值范围_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入求出m，然后把代入中求出值； （2）先求出点A的坐标，然后根据图像即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得 ， ∴， ∴． 将代入中得： ， 解得：； （2）解：当时，， ∴， ∴． 由图像得：当时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 题型9.利用图象法解一元一次方程 1．如图，一次函数的图像经过点，则方程的解是（     ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用方程的解就是一次函数当时对应的的值求解即可． 【详解】解：一次函数的图像经过点， 方程的解是． 2．如图，一次函数与的图象相交于点，那么关于的方程的解为_____________． 【答案】 【分析】利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：观察图象得：一次函数与的图象相交于点的横坐标为2， 即当时，， ∴关于的方程的解为． 3．在平面直角坐标系中，已知函数，其中为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象上，则的值为______________，的值为______________； (2)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，直接写出的取值范围______________． 【答案】(1)①；②；或3 (2)或 【分析】（1）①由题意画出函数图象即可； ②由图象即可得解； （2）分类讨论，然后根据增减性找到区间最大值和最小值，即可得解． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 描点作图即可，作图略； ②当时，， 当时，可得或， 解得或3； （2）解：当时，此时当时，其图象都在的图象上， ∵， ∴y随x增大而增大， 当时，，当时，， ∴； 当时， 在时，结合图象， 函数的最大值在时取到，为， 函数的最小值在时取到，为， ∴， ， ， 综上，或． ✺课堂小练 一、单选题 1．甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题图中横坐标代表时间、纵坐标代表路程，直线的倾斜程度代表甲、乙的速度，直线越陡，说明相同时间内行驶的距离越长，即速度越快；如果是水平线，说明时间在流逝而距离没有增加，即处于停留状态． 【详解】解：说法①，纵坐标轴表示甲、乙行驶的路程，可以看出两人都行驶了，符合题意； 说法②，在横坐标轴上可以看到，甲在至之间为水平线，纵坐标无变化，即停留了，符合题意； 说法③，在横坐标轴上可以看到乙比甲晚出发了，不符合题意； 说法④，甲、乙在时相遇，相遇后甲直线的倾斜程度小于乙直线的倾斜程度，即甲的速度小于乙的速度，符合题意； 说法⑤，乙比甲早到达目的地，不符合题意； 由此可见，①、②、④符合图象描述，故选B． 2．已知一次函数的图象如图所示，则方程的解可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象确定的取值范围，解方程用表示，结合不等式性质确定的范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数与轴交点在与之间 令，则 方程的解满足 对比各选项，仅符合题意 二、填空题 3．若直线与轴的交点坐标为，则关于的方程的解是________． 【答案】 【分析】一次函数与轴交点的横坐标即为对应一元一次方程的解． 【详解】解：直线与轴的交点坐标为， 关于的方程的解为． 4．某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 20 30 40 每辆客车的租金/元 500 600 900 其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满． （1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为______元； （2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是______． 【答案】 6100 3，6，1或9，2，1或6，4，1 【分析】（1）列式计算即可求解； （2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，分①，或②，或③，三种情况讨论，利用a，b，c都是正整数以及一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）依题意得(元)； 故答案为：6100； （2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，租车的总费用为y， 则，即， 整理得， ∵a，b，c都是正整数， ∴则必须是3的倍数， ∴①，或②，或③，； 分类讨论， ①当，，时，，不合题意，舍去； 当时，，， ∴， ∵， ∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700元，此时； ②当，，时，由（1）得，不合题意，舍去； 当时，，， ∴， ∵， ∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700元，此时； ③当，时，，，或，或 当，，时，，不合题意，舍去； 当，或时，； 综上，如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是3，6，1或9，2，1或6，4，1． 故答案为：3，6，1或9，2，1或6，4，1． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确的分类是解题的关键，注意租用甲型客车有优惠活动． 三、解答题 5．某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 3 2 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式． (2)小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)10元 【分析】（1）根据分段计价的方式列关系式即可； （2）分别求出两种购买方式所付的费用，再作差即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，． （2）解：若小亮一次性购买苹果，所付的费用为（元）， 若小亮分两次购买（每次购买苹果），所付的费用为（元）， （元）， 即小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少元． 6．如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： (1)当t为0时，甲离A地______千米； (2)甲的速度为______时，乙的速度为______时； (3)当t为______时，甲、乙两人离A地距离相等； (4)当时，乙离开A地的时间是______时． 【答案】(1)10 (2)2；4 (3)5 (4)7 【分析】（1）由图象可以得到当时间为0时，甲离A地的距离是多少； （2）结合函数图象，根据“路程÷时间=速度”解答即可； （3）由图象可以得到甲、乙两人离A地距离相等时的时间； （4）设出对应的函数表达式，然后根据点在此函数的图象上，可以求得对应的函数表达式，然后令，可以求得相应的t的值，本题得以解决． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间为0时，甲离A地10千米 （2）解：甲的速度为；乙的速度为； （3）解：由图象可知，当时间等于5时，甲、乙两人离A地距离相等； （4）解：设对应的函数表达式是， ∵点在此函数的图象上， ∴， 解得，， 即对应的函数表达式是：， 令时，， 解得． 7．哈国客商准备在乌鲁木齐采购一批特色商品，经调查，A型商品的进价是160元/件，B型商品的进价是150元/件． (1)若该哈国客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，哈国客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金元．求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 【答案】(1)，，m为正整数 (2)当时，最大收益为元；当时，最大收益为元；当时，最大收益为元 【分析】（1）根据总利润=两种商品的利润之和，列出解析式即可解决问题； （2）结合（1）可得，分三种情形讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品件， A型商品每件利润为（元），B型商品每件利润为（元）． 由题意：， ∴， ∵， ∴； ∴该客商销售这批商品的利润与m之间的函数解析式是： ，m为正整数． （2）解：由（1）得： ①当时，即时，随m的增大而增大，所以时，最大利润为元； ②当时，即时最大利润为17500元； ③当时，即时，随m的增大而减小， ∵， 所以时，最大利润为元． 8．如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为（），扫过的图形面积为（）． (1)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当扫过的图形面积（）由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况求出解析式； （2）因为当时，，分别求出当扫过的图形面积（）为矩形面积的和当扫过的图形面积（）为矩形面积的的时间，即可求出点运动的时间． 【详解】（1）解：当点在上运动时， ， ， ，， ； 当点在上运动时，如下图所示， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ； 综上所述，； （2）解：当时，，， 当时，， 当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， ； 当扫过的图形面积（）由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了秒． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10一次函数的应用同步培优讲义 ✺知识框架 一、一次函数建模 1.分析实际问题中的变量关系 2.求一次函数的表达式3.根据实际意义确定自变量取值范围 二、函数图象解读 1.图象上点、线段的实际意义2.由常数 k判断函数的增减变化3. 两个一次函数图象交点的实际含义4.一次函数与一元一次方程的联系 三、典型应用类型 1.分段计费问题2.匀速行程问题3.方案选择问题 四、求解与检验 1.代入求值、比较函数值 2.在自变量取值范围内确定最值 3.检验结果是否符合实际情境 ✺学习目标 1.会求一次函数、正比例函数的表达式，能判断实际问题是否可以用一次函数刻画。 2.能结合实际背景确定自变量的取值范围。 3.能够读懂带有实际背景的函数图象，解释点、线段、交点的实际意义；理解一次函数与一元一次方程之间的联系。 4.会利用一次函数的增减性比较方案，在自变量取值范围内确定最值。 5.能用一次函数模型解决实际问题，体会建模与数形结合的数学思想。 ✺题型归纳 题型1.分配方案问题（一次函数的实际应用） 题型2.最大利润问题（一次函数的实际应用） 题型3.行程问题（一次函数的实际应用） 题型4.梯度计价问题 题型5.其他问题（一次函数的实际应用） 题型6.一次函数与几何综合 题型7.已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型8.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型9.利用图象法解一元一次方程 题型10.课堂小练 ✺知识清单 一、建模基本步骤 审：分清自变量与因变量，找出等量关系； 设：设函数表达式，一般形式y=kx+b (k≠0)，正比例函数设y=kx (k≠0)； 求：根据条件确定表达式中的常数； 定：结合实际情境，确定自变量的取值范围； 解：利用表达式、图象和函数性质进行计算分析； 答：检验结果，规范写出答案。 二、自变量的取值范围 自变量除满足代数式有意义外，还应符合实际：长度、时间、费用一般为非负数；人数、物品数量为非负整数；同时满足题目给出的限制条件。 三、图象信息与函数、方程的联系 1.图象的横、纵坐标分别表示两个变量，图象上点(x,y)对应一组变量的取值。 k>0，y 随 x 的增大而增大； k<0，y 随x的增大而减小； 水平线段表示y的值保持不变。 2.两个一次函数图象的交点，表示此时两个函数的函数值相等，常用于费用相同、相遇等问题。 3.直线 y=kx+b与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。 四、常见题型 1.分段计费：自变量在不同范围时收费标准不同，需要分段写出函数表达式并讨论。 2.行程问题：匀速运动时，路程与时间满足一次函数关系，常借助图象分析相遇、追及问题。 3.方案选择：写出不同方案对应的函数表达式，结合增减性选出合适的方案。 五、自变量限定范围内的最值 对于一次函数y=kx+b (k≠0)，在给定的自变量取值范围内： k>0，自变量取最小值时，函数值最小；自变量取最大值时，函数值最大； k<0，自变量取最小值时，函数值最大；自变量取最大值时，函数值最小。 注意：一次函数本身没有最大、最小值；实际问题中的最值，受自变量取值范围约束。 ✺题型精讲 题型1.分配方案问题（一次函数的实际应用） 1．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 2．本年度某单位常有集体外出学习活动，因此准备与出租车公司签订租车协议．现有甲、乙两家出租车公司供选择．设每月行驶千米，应付给甲公司元，应付给乙公司元，、分别与之间的函数关系如图所示，若这个单位估计每月需要行驶的路程为3500千米，那么为了省钱，这个单位应租__________公司． 3．A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 题型2.最大利润问题（一次函数的实际应用） 1．某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 2．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A，B，C三种盲盒，具体信息如下表： A盲盒 B盲盒 C盲盒 运动耳机（成本：60元/副） 3副 0副 2副 手办模型（成本：45元/个） 0个 2个 3个 迷你音箱（成本：75元/个） 4个 6个 3个 （1）若某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为________个； （2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了1个），则迷你音箱的总成本最多为________元． 3．某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为20元和18元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，设买A种笔记本（且为正整数）本，买两种笔记本的总费用为元． (1)写出（元）关于（本）的函数关系式； (2)若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价元（），B种笔记本价格不变，请你帮学校设计购买方案，使所花费用最省？并求出最少费用． 题型3.行程问题（一次函数的实际应用） 1．小明周末到离家一定距离的图书馆阅读学习，在图书馆阅读学习一段时间后，小明先以的速度原路返回，行走后在一文具超市停留，然后以返回开始时的速度回到家里，设小明从家出发到返回家中所用时间为，离家的距离为，y与x的函数图象如图所示．下列结论中：①图书馆离小明家；②小明在图书馆的阅读学习时间为；③小明原路返回的平均速度为；④若小明是离开图书馆原路返回，则他在可到家．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知某租车公司有A，B两种租车方案．A方案：先支付500元，再按每千米0.5元收费；B方案：直接按每千米1元收费．已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是________． 3．2027年第33届世界大学生冬季运动会将在长春举办，火炬传递路线从净月潭出发，终点设在长春五环体育馆．甲､乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． (2)求甲､乙两人相距最远时的距离． 题型4.梯度计价问题 1．某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（     ）． A．元 B．元 C．元 D．元 2．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：白天行驶距离在千米以内（包括千米）起步价元，超过千米后，每多行驶千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：________． 3．某水果批发市场批发葡萄，采取分段计价方式，其价格如表： 购买数量 不超过的部分 超过的部分 单价（元） 8 6 设顾客购买葡萄的总费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小李一次性购买葡萄所付的费用，比分两次购买（每次购买葡萄）所付的费用少多少元？ 题型5.其他问题（一次函数的实际应用） 1．某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出（     ） A． B． C． D． 2．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．某弹簧不挂物体时长；当所挂物体的质量为时，弹簧长．则所挂物体的质量为时弹簧的长度为______． 3．陕西省第十八届运动会将于2026年8月举办，某超市准备出售运动会纪念玩偶，每个玩偶售价为元，学校计划在该超市购买50个玩偶，总计需要元． (1)与是否为函数关系？若是，请写出关于的函数解析式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若每个玩偶售价40元，则学校需要的费用为多少？ 题型6.一次函数与几何综合 1．如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有两个交点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．3 D． 2．已知两点，，一次函数（k为常数，且）的图像经过点且与线段有公共点，则k的取值范围是__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标． 题型7.已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．如图，一次函数的图象经过点和，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．直线过点和点，则关于x 的方程的解是____________ 3．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 题型8.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点A和点． (1)求a，m的值； (2)利用函数图象，直接写出时自变量x的取值范围_________． 题型9.利用图象法解一元一次方程 1．如图，一次函数的图像经过点，则方程的解是（     ） A．4 B．1 C．3 D．2 2．如图，一次函数与的图象相交于点，那么关于的方程的解为_____________． 3．在平面直角坐标系中，已知函数，其中为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象上，则的值为______________，的值为______________； (2)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，直接写出的取值范围______________． ✺课堂小练 一、单选题 1．甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系的图象如图所示．根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了；②甲车停留了；③乙比甲晚出发了；④相遇后甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知一次函数的图象如图所示，则方程的解可能是（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 3．若直线与轴的交点坐标为，则关于的方程的解是________． 4．某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 20 30 40 每辆客车的租金/元 500 600 900 其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满． （1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为______元； （2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是______． 三、解答题 5．某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 3 2 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式． (2)小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 6．如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： (1)当t为0时，甲离A地______千米； (2)甲的速度为______时，乙的速度为______时； (3)当t为______时，甲、乙两人离A地距离相等； (4)当时，乙离开A地的时间是______时． 7．哈国客商准备在乌鲁木齐采购一批特色商品，经调查，A型商品的进价是160元/件，B型商品的进价是150元/件． (1)若该哈国客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，哈国客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金元．求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 8．如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为（），扫过的图形面积为（）． (1)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当扫过的图形面积（）由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $