专题09一次函数的应用专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题09一次函数的应用专题通关讲义 知识点01：一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程 (组)、不等式 (组) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 知识点02：建立函数模型解决实际问题的一般步骤： 知识点03：利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具 (如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较。 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段。涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。 知识点04:常见实际模型 + 核心公式（必背） 知识点 05利用一次函数图象解决实际问题（重难点） 1. 图象横纵坐标含义 横轴x：时间、数量、里程等自变量； 纵y：费用、路程、水量等因变量； 图象上任意一点(x,y)代表一组实际对应数据。 2. 图象常见线段分类 上升直线：k>0，y随x增大而增大（费用随里程增加）； 下降直线：k<0，y随x增大而减小（剩余油量随时间减少）； 水平线段：k=0，y不变（静止、价格固定）。 3. 图象解题三类题型 （1）读取图象已知点坐标，用待定系数法求函数解析式； （2）看图直接读取对应x、y值（不用计算）； （3）求两图象交点：交点横坐标是两种方案费用相等的临界值。 4. 读图易错点 横轴、纵轴单位看清；分段图象分两段分别求解析式。 知识点 06一次函数最值问题（拔高综合） 核心规律（结合自变量取值范围） k>0，y随x增大而增大： x取最大值→y最大；x取最小值→y最小； k<0，y随x增大而减小： x取最大值→y最小；x取最小值→y最大。 2. 题型场景 采购成本最低、利润最大、耗材最少、行程最短。 3. 解题步骤 （1）写出y=kx+b； （2）确定x取值范围m≤x≤n； （3）根据k正负判断增减，代入区间端点求最值 知识点 07 两种一次函数方案选择（拔高压轴） 1. 核心思路 设两种方案总费用： 方案①：y1=k1x+b1 方案②：y2=k2x+b2 分三步比较： 求交点：令y1=y2，解方程，求出临界x0； 分类讨论： x=x0：两种方案费用相同； x>x0：比较k大小，k越小越省钱； x<x0：基础费b小的方案更划算。 2. 实用判断口诀 k代表单价，单价低适合量大；b代表基础费，基础费低适合量小。 知识点08:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 1、自变量与因变量意义混淆 易错提醒：解题需明确解析式中x、y对应的实际量；x为主动变化的自变量，y为随自变量变化的因变量，严禁颠倒对应关系，避免答案错误。 2、遗漏自变量实际取值范围 易错提醒：一次函数实际应用题中，自变量受现实条件限制，并非全体实数；求解函数值、最值、方案问题时，必须在自变量有效取值范围内计算。 3、函数变化速率计算错误 易错提醒：一次函数的变化速率为斜率k，需通过横、纵坐标变化量的比值求解；不可直接用单一纵坐标差值判定变化快慢。 4、两函数交点几何意义理解错误 易错提醒：两个一次函数交点横坐标，为两函数数值相等的对应时刻；纵坐标为相等时的函数值；可根据交点两侧图像位置，准确判断函数值的大小关系。 5、一次函数解析式参数求解出错 易错提醒：代入坐标求解y=kx+b时，精准计算参数k、b；明确b为图像与y轴交点纵坐标，杜绝参数概念混淆与计算失误。 6、误判图像水平线段的实际状态 易错提醒：函数图像水平线段，表示自变量增大、函数值恒定不变；行程问题中代表物体静止，无路程位移变化，不可错误累加运动路程。 7、函数方案选择未分段讨论 易错提醒：多套一次函数方案对比，需列不等式划分自变量取值区间；不同区间最优方案不同，不可仅凭斜率大小直接判定最优方案。 8、计算前未统一物理单位 易错提醒：题干包含多种计量单位时，需先统一所有单位，再代入解析式运算；单位不统一会导致全部计算结果失效。 题型 考察方向 难度 题型一 分配方案问题 ★★★ 题型二 最大利润问题 ★★★ 题型三 行程问题 ★★★ 题型四 梯度计价问题 ★★ 题型五 其他问题 ★★ 题型六 一次函数与几何综合 ★★★★ 题型七 已知直线与坐标轴交点求方程的解 ★★ 题型八 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★★ 题型九 利用图象法解一元一次方程 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 分配方案问题 1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 3．A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 4．综合实践活动《绿动未来——追踪碳排放》 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过20棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 题型二 最大利润问题 5．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 6．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A，B，C三种盲盒，具体信息如下表： A盲盒 B盲盒 C盲盒 运动耳机（成本：60元/副） 3副 0副 2副 手办模型（成本：45元/个） 0个 2个 3个 迷你音箱（成本：75元/个） 4个 6个 3个 （1）若某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为________个； （2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了1个），则迷你音箱的总成本最多为________元． 7．三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． (1)求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； (2)由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 8．某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 题型三 行程问题 9．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度（单位：m）与上升的时间（单位：s）的对应关系如图所示．下列说法正确的是（   ） A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快 C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同 10．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 11．李虹和张惠平时的耐力与速度相差无几．某日体育课上，老师设计了一个的赛跑方案，让李虹从起跑就全速前进，而让张惠留着后劲儿，待到剩下最后时再加速，并跟踪记录了赛跑的全过程．赛跑的全过程如图所示． (1)你从这幅图中读出了哪些信息？ (2)老师设计这个方案的目的是什么？ 12．一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以的速度匀速行驶．已知警车加满油后，油箱中的余油量与行驶时间之间的函数关系图象是如图所示的直线l的一部分． (1)求直线l的函数表达式． (2)警车加满油时，油箱中的油量是多少升？ (3)已知警车往返的耗油量相同．若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于，则其巡逻的最远路程是多少千米？ 题型四 梯度计价问题 13．某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时 14．为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 15．某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 16．夏日如约至，瓜香满大兴．某西瓜采摘园今年采取线上和线下相结合的方式销售，顾客可以通过网络平台在直播间线上购买，也可以线下到西瓜园先采摘再购买．若购买西瓜所需费用元，两种购买方式的具体费用标准如下： 线上：在直播间购买，所需费用与的函数解析式为； 线下：在西瓜园采摘购买，不超过时，每千克西瓜的价格为元；超过时，超过部分每千克西瓜的价格为10元．线下购买所需费用与的函数关系如图所示： (1)的值为________； (2)直接写出在西瓜园采摘购买西瓜所需费用与之间的函数解析式； (3)小方想购买西瓜，选用哪种购买方式更合算，请说明理由． 题型五 其他问题 17．跨学科  一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 18．某商店售卖一款商品，售出部分商品后剩余商品进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为56件时，销售金额为__________元． 19．有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（单位：）．装置内液体体积为V（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（单位：） 装置内液体体积V（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（）与x（）满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求V与x之间的函数表达式； (2)当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为___________ ． 20．在某自动化智能工厂中，工业机器人在执行任务时会产生能耗．为优化能源管理，工厂建立了机器人单次连续工作时长与总能耗的动态模型，模型满足： 当时，机器人处于“启动与加速阶段”，是的正比例函数； 当时，机器人进入“恒速作业阶段”，能耗增长趋于平稳．与满足一次函数关系，且该函数在处与“启动与加速阶段”的函数连续（即时，两个阶段的总能耗相等）． (1)若时，，求“启动与加速阶段”关于的函数解析式； (2)若时，总能耗为，求“恒速作业阶段”关于的函数解析式； (3)在（2）的条件下，工厂对机器人进行了技术改进．改进后，“恒速作业阶段”的新能耗系数比原能耗系数降低了，常数项保持不变．若改进后某次连续工作中，原模型与新模型的总能耗差值为，求该机器人的工作时长． 题型六 一次函数与几何综合 21．如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为________． 23．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 24．一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． (1)求点A、B的坐标． (2)求的面积． (3)已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 题型七 已知直线与坐标轴交点求方程的解 25．如图，一次函数的图象过点，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 26．如图，直线是一次函数的图像，点，在直线上．请根据图像写出方程的解______．    27．如图，P是函数图象上一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，作轴于点M，交于点E，作轴于点N，交于点F． 则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 28．定义：图像与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x=m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B， （1）如图:直线l:x＝1,关于直线l的对称函数y＝与该直线交于点C ①直接写出点的坐标：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 　）； ②P为关于直线l的对称函数图像上一点（点P不与点C重合），当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标； （2）当直线y＝x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围． 题型八 由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 29．若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 30．已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是______． 31．已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C．D． 题型九 利用图象法解一元一次方程 32．一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 33．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 34．如图，一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3），则关于x的方程的解是_____． 35．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 36．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09一次函数的应用专题通关讲义 知识点01：一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程 (组)、不等式 (组) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 知识点02：建立函数模型解决实际问题的一般步骤： 知识点03：利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具 (如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较。 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段。涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。 知识点04:常见实际模型 + 核心公式（必背） 知识点 05利用一次函数图象解决实际问题（重难点） 1. 图象横纵坐标含义 横轴x：时间、数量、里程等自变量； 纵y：费用、路程、水量等因变量； 图象上任意一点(x,y)代表一组实际对应数据。 2. 图象常见线段分类 上升直线：k>0，y随x增大而增大（费用随里程增加）； 下降直线：k<0，y随x增大而减小（剩余油量随时间减少）； 水平线段：k=0，y不变（静止、价格固定）。 3. 图象解题三类题型 （1）读取图象已知点坐标，用待定系数法求函数解析式； （2）看图直接读取对应x、y值（不用计算）； （3）求两图象交点：交点横坐标是两种方案费用相等的临界值。 4. 读图易错点 横轴、纵轴单位看清；分段图象分两段分别求解析式。 知识点 06一次函数最值问题（拔高综合） 核心规律（结合自变量取值范围） k>0，y随x增大而增大： x取最大值→y最大；x取最小值→y最小； k<0，y随x增大而减小： x取最大值→y最小；x取最小值→y最大。 2. 题型场景 采购成本最低、利润最大、耗材最少、行程最短。 3. 解题步骤 （1）写出y=kx+b； （2）确定x取值范围m≤x≤n； （3）根据k正负判断增减，代入区间端点求最值 知识点 07 两种一次函数方案选择（拔高压轴） 1. 核心思路 设两种方案总费用： 方案①：y1=k1x+b1 方案②：y2=k2x+b2 分三步比较： 求交点：令y1=y2，解方程，求出临界x0； 分类讨论： x=x0：两种方案费用相同； x>x0：比较k大小，k越小越省钱； x<x0：基础费b小的方案更划算。 2. 实用判断口诀 k代表单价，单价低适合量大；b代表基础费，基础费低适合量小。 知识点08:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 ⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 1、自变量与因变量意义混淆 易错提醒：解题需明确解析式中x、y对应的实际量；x为主动变化的自变量，y为随自变量变化的因变量，严禁颠倒对应关系，避免答案错误。 2、遗漏自变量实际取值范围 易错提醒：一次函数实际应用题中，自变量受现实条件限制，并非全体实数；求解函数值、最值、方案问题时，必须在自变量有效取值范围内计算。 3、函数变化速率计算错误 易错提醒：一次函数的变化速率为斜率k，需通过横、纵坐标变化量的比值求解；不可直接用单一纵坐标差值判定变化快慢。 4、两函数交点几何意义理解错误 易错提醒：两个一次函数交点横坐标，为两函数数值相等的对应时刻；纵坐标为相等时的函数值；可根据交点两侧图像位置，准确判断函数值的大小关系。 5、一次函数解析式参数求解出错 易错提醒：代入坐标求解y=kx+b时，精准计算参数k、b；明确b为图像与y轴交点纵坐标，杜绝参数概念混淆与计算失误。 6、误判图像水平线段的实际状态 易错提醒：函数图像水平线段，表示自变量增大、函数值恒定不变；行程问题中代表物体静止，无路程位移变化，不可错误累加运动路程。 7、函数方案选择未分段讨论 易错提醒：多套一次函数方案对比，需列不等式划分自变量取值区间；不同区间最优方案不同，不可仅凭斜率大小直接判定最优方案。 8、计算前未统一物理单位 易错提醒：题干包含多种计量单位时，需先统一所有单位，再代入解析式运算；单位不统一会导致全部计算结果失效。 题型 考察方向 难度 题型一 分配方案问题 ★★★ 题型二 最大利润问题 ★★★ 题型三 行程问题 ★★★ 题型四 梯度计价问题 ★★ 题型五 其他问题 ★★ 题型六 一次函数与几何综合 ★★★★ 题型七 已知直线与坐标轴交点求方程的解 ★★ 题型八 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★★ 题型九 利用图象法解一元一次方程 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 分配方案问题 1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 【答案】x＞300 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 3．A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 4．综合实践活动《绿动未来——追踪碳排放》 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过20棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克 (2)①（且a为整数）；②最优的采购方案是购买20棵杨树和80棵冷杉 【分析】（1）设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是克，列二元一次方程组求解即可； （2）①设购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可；②根据“采购杨树不超过20棵”列出不等式求出的范围，根据一次函数的性质可知随的增大而增大，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是克， 依题意得：，解得． 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． （2）解：①设购买了棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意得：， ∴与的函数关系式为：（且a为整数）． ②依题意得：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，的值最大， （棵）． ∴最优采购方案是购买20棵杨树和80棵冷杉． 题型二 最大利润问题 5．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 6．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A，B，C三种盲盒，具体信息如下表： A盲盒 B盲盒 C盲盒 运动耳机（成本：60元/副） 3副 0副 2副 手办模型（成本：45元/个） 0个 2个 3个 迷你音箱（成本：75元/个） 4个 6个 3个 （1）若某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为________个； （2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了1个），则迷你音箱的总成本最多为________元． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了有理数的列式计算、一次函数的应用等知识点，正确运用一次函数的性质成为解题的关键． （1）直接根据题意列式计算即可； （2）设销售A盲盒的个数为x，B盲盒的个数y，则销售C盲盒的个数为个，根据题意列二元一次方程可得，即销售C盲盒的个数为个；则迷你音箱的总成本，然后再确定x的取值范围，最后根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】解：（1）某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为：． 故答案为4． （2）设销售A盲盒的个数为x，B盲盒的个数y，则销售C盲盒的个数为个， 则有：，解得：， 所以销售C盲盒的个数为个， 所以迷你音箱的总成本，整理得：， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 当时，y有最大值， ∴迷你音箱的总成本最多为． 7．三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． (1)求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； (2)由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 【答案】(1)菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元 (2)①；②10；450 【分析】（1）设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则可表示1个菌菇礼盒的销售单价，根据等量关系：售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，列出一元一次方程，并求解即可； （2）①求得1个菌菇礼盒的进价，进而得其利润，再由利润和即可得到关于的函数解析式； ②根据①所列的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则1个菌菇礼盒的销售单价为元， 由题意，得， 解得， 则； 答：菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元； （2）解：①每个菌菇礼盒的进价为（元），利润为（元）， 则，其中； ②，且 ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最大，且最大值为， 答：当购进10个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是450元． 8．某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)①与乙种产品进货量之间的函数表达式为：；②当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式． （2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案． 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 题型三 行程问题 9．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度（单位：m）与上升的时间（单位：s）的对应关系如图所示．下列说法正确的是（   ） A．起飞时甲、乙高度相同 B．甲无人机的上升速度更快 C．乙无人机的上升速度更快 D．甲、乙两架无人机速度相同 【答案】B 【分析】数形结合可得答案． 【详解】解：由题可知：甲从地面起飞，乙无人机从距离地面高的平台起飞，起飞时甲、乙高度不相同，故A不正确； 速度路程时间，由两图像交点知，相同时间内，甲上升的距离大于乙上升的距离，甲无人机的上升速度更快，故B正确，C不正确，D不正确． 10．小明步行从家去学校，走到分钟时，发现数学作业忘在了家里，于是以原速的倍回家取，然后从家乘出租车赶往学校（拿作业及等出租车的时间忽略不计），结果比预计步行时间提前了分钟．小明离家路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象如图，那么从小明家到学校的路程是______米． 【答案】1200 【分析】本题考查了一次函数的应用以及行程问题中路程、速度、时间之间的关系，根据图像前两段求出小明步行的速度，进而求出返回家的时间和时刻，利用待定系数法求出乘出租车阶段路程与时间的函数关系式，设预计步行时间为，列出方程求解即可得到路程． 【详解】解：步行的速度为：米/分钟， ∵以1.5倍的速度回家取作业， ∴小明返程回家的时间为分钟， 则返回时函数图象的点坐标是， 设后来乘出租车中与的函数解析式为， 把和代入得， ， ​解得： ， 设步行到达的时间为， 则实际到达的时间为， 由题意得，， 解得， 则家到学校的距离为米． 11．李虹和张惠平时的耐力与速度相差无几．某日体育课上，老师设计了一个的赛跑方案，让李虹从起跑就全速前进，而让张惠留着后劲儿，待到剩下最后时再加速，并跟踪记录了赛跑的全过程．赛跑的全过程如图所示． (1)你从这幅图中读出了哪些信息？ (2)老师设计这个方案的目的是什么？ 【答案】(1) 解：由图象可知，李虹前60秒跑了360米，速度为米/秒，始终在张惠的前面，后秒跑了米，速度为2米/秒； 张惠前60秒跑了300米，速度为米/秒，后秒，跑了米，速度为米/秒； 李虹总用时80秒，张惠总用时75秒，最终张惠获胜； (2)体育老师设计这个方案的目的是为了说明长跑应在开始时保存实力，在最后的再进行冲刺，反而会获胜 【详解】（1）略 （2）略 12．一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻，在公路旁的某加油站加满油后，以的速度匀速行驶．已知警车加满油后，油箱中的余油量与行驶时间之间的函数关系图象是如图所示的直线l的一部分． (1)求直线l的函数表达式． (2)警车加满油时，油箱中的油量是多少升？ (3)已知警车往返的耗油量相同．若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于，则其巡逻的最远路程是多少千米？ 【答案】(1)（）； (2)警车加满油时油箱中的油量是升； (3)巡逻的最远路程是千米． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）警车加满油对应行驶时间的时刻，进而根据函数表达式作答即可； （3）根据题意求出单程耗油量的最大值，进而求出警车最远开出的单程时间，根据警车速度计算即可． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为（）， 由图可知直线过点和， 将两点代入解析式得： 解得， 因此直线l的函数表达式为（）； （2）解：警车加满油对应行驶时间的时刻， 将代入函数表达式得：， 即加满油时油箱有60升油； （3）解：∵要求返回后余油量不少于， ∴往返总耗油量不大于， 即单程耗油量不大于， ， 当时， 解得， 即警车最远开出的单程时间为， ∵警车速度为， ∴最远单程路程为． 题型四 梯度计价问题 13．某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时 【答案】B 【分析】根据费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，设出一次函数解析式，代入求值即可． 【详解】解：设， 由题意知，， 解得， ， 当时，， 答：该停车场免费停车时间为1小时． 14．为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据阶梯收费标准，先确定时人均水费的计算方式，再结合家庭人口数得到总水费，整理后即可得到与的函数关系式． 【详解】解：当时， 人均用水量中，不超过部分的水费为 元， 超过部分的水量为，该部分水费为元． 因此人均水费为元， 已知王老师家有4口人，总应缴水费， 当时，与之间的函数关系式为． 15．某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【答案】(1)当时，；当时，； (2)10元 【分析】（1）根据题中分段计价的方式求出函数表达式即可得到答案； （2）由（1）中所求函数表达式，按照题意求出费用即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意， 当时，； 当时，； （2）解：小刚一次性购买所付的费用为元； 小刚分两次购买（每次购买）所付的费用为元； 小刚一次性购买所付的费用比分两次购买（每次购买）所付的费用少元． 16．夏日如约至，瓜香满大兴．某西瓜采摘园今年采取线上和线下相结合的方式销售，顾客可以通过网络平台在直播间线上购买，也可以线下到西瓜园先采摘再购买．若购买西瓜所需费用元，两种购买方式的具体费用标准如下： 线上：在直播间购买，所需费用与的函数解析式为； 线下：在西瓜园采摘购买，不超过时，每千克西瓜的价格为元；超过时，超过部分每千克西瓜的价格为10元．线下购买所需费用与的函数关系如图所示： (1)的值为________； (2)直接写出在西瓜园采摘购买西瓜所需费用与之间的函数解析式； (3)小方想购买西瓜，选用哪种购买方式更合算，请说明理由． 【答案】(1)16 (2) (3)解：若在线上购买，当时，（元）， 若在线下购买，当时，（元）， ∵， ∴选用线上购买更合算． 【分析】（1）由图象可得，当时，，即可求解； （2）根据题意分和，列出函数解析式即可； （3）分别求出线上和线下购买时的费用，比较即可解答． 【详解】（1）解：由图象可得，当时，， ∴． （2）解：由（1）有， 当时，， 当时，， 综上所述，y关于x的函数解析式为． （3）略 题型五 其他问题 17．跨学科  一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由“每挂重物体，弹簧伸长”可知该函数的比例系数为，则有挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为． 18．某商店售卖一款商品，售出部分商品后剩余商品进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为56件时，销售金额为__________元． 【答案】 【分析】求出函数解析式，把代入求解即可． 【详解】当时，设函数解析式为， 把点代入可得：， 解得：， ； 当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：， 解得：， ， 与的函数关系式为， 当时，， 即当销售量为56件时，销售金额为元． 19．有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为x（单位：）．装置内液体体积为V（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x（单位：） 装置内液体体积V（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知V（）与x（）满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求V与x之间的函数表达式； (2)当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为___________ ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据（）与（）满足一次函数关系，使用待定系数法求解即可； （2）先得到每增加，体积增加，再求解高度即可． 【详解】（1）解：设，代入 和得： ， 解得， ∴； （2）解：当探针刚接触液面时有，此时， 设该装置底面积为S， ∴， ∵， ∴每增加，体积增加， ∴． ∴． 即当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为． 20．在某自动化智能工厂中，工业机器人在执行任务时会产生能耗．为优化能源管理，工厂建立了机器人单次连续工作时长与总能耗的动态模型，模型满足： 当时，机器人处于“启动与加速阶段”，是的正比例函数； 当时，机器人进入“恒速作业阶段”，能耗增长趋于平稳．与满足一次函数关系，且该函数在处与“启动与加速阶段”的函数连续（即时，两个阶段的总能耗相等）． (1)若时，，求“启动与加速阶段”关于的函数解析式； (2)若时，总能耗为，求“恒速作业阶段”关于的函数解析式； (3)在（2）的条件下，工厂对机器人进行了技术改进．改进后，“恒速作业阶段”的新能耗系数比原能耗系数降低了，常数项保持不变．若改进后某次连续工作中，原模型与新模型的总能耗差值为，求该机器人的工作时长． 【答案】(1) (2) (3)该机器人的工作时长为 【分析】（1）根据题意可知“启动与加速阶段”是的正比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知“恒速作业阶段”与满足一次函数关系 ，将代入，利用待定系数法求解即可； （3）先求出新模型的解析式为 ，根据原模型与新模型的总能耗差值为，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设“启动与加速阶段”关于的函数解析式为 将，代入，得 解得 ∴“启动与加速阶段”关于的函数解析式为 ； （2）解：将代入，得 将代入 ，得， 解得， ∴“恒速作业阶段”关于的函数解析式为； （3）解：由（2）可知，原“恒速作业阶段”的解析式为， 改进后，新能耗系数 ， 新模型的解析式为 ， 根据题意，得 ， 解得， 答：该机器人的工作时长为． 题型六 一次函数与几何综合 21．如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征． 根据函数解析式求出点D坐标即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴点D的纵坐标为3， 在中，当时，， ∴． 故选：D． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为________． 【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，由轴对称性质得，故．当、、三点共线时取最小值．求直线的解析式，令得，故． 【详解】如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接． ， 对称点 ． 由轴对称性质：， ． 当 、、 三点共线时， 最小． 设直线解析式为， 可得，解得， 直线解析式为， 令，可得， 当有最小值时，点的坐标为． 23．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)或 【分析】（1）求出时y的值即可得到答案； （2）根据列式求解即可； （3）由（2）可得，则，据此求出点M的横坐标，进而求出其纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点M的坐标为或． 24．一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． (1)求点A、B的坐标． (2)求的面积． (3)已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②y的最小值为 【分析】（1）在中，求出时的函数值和时的自变量的值即可得到答案； （2）联立直线，求出交点C的坐标，再由三角形面积公式求解面积即可； （3）①分类讨论，根据一次函数的性质求解即可；②先求出三条直线的交点坐标，再分类讨论，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，解得， 此时， ∴， ∴ （3）解：①当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 综上，或； ②当时，一次函数解析式为， 联立，得，， 解得， ∴直线，的交点为； 同理可求直线，的交点为；直线，的交点为； 如图： 当时，， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 当时，最大， ∴， ∵ ∴当时，的最小值为； 当时， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 综上：的最小值为． 题型七 已知直线与坐标轴交点求方程的解 25．如图，一次函数的图象过点，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系， 根据一次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程的解解答即可． 【详解】解：∵一次函数与x轴的交点坐标是， ∴方程的解是． 故选：A． 26．如图，直线是一次函数的图像，点，在直线上．请根据图像写出方程的解______．    【答案】 【分析】当时，得到，一次函数过，当时，，继而判断即可． 【详解】∵一次函数过， ∴当时，， 方程的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数与x轴交点的横坐标就是时构成的一元一次方程的解是解题的关键． 27．如图，P是函数图象上一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，作轴于点M，交于点E，作轴于点N，交于点F． 则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数解析式与一次函数与坐标轴的交点问题及两点间距离公式，设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式求出，即可求出． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、， 令，解得，将代入，则， ∴， 设点坐标为， ∵点分别是直线与的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ∵， ． 故选：C． 28．定义：图像与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x=m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B， （1）如图:直线l:x＝1,关于直线l的对称函数y＝与该直线交于点C ①直接写出点的坐标：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 　）； ②P为关于直线l的对称函数图像上一点（点P不与点C重合），当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标； （2）当直线y＝x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围． 【答案】（1）①﹣2，2，2；②（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）；（2）﹣2＜m≤． 【分析】（1）①令±2x+4=0，解得x=2或-1，从而求得A、B的坐标分，根据图像点C（1，3）； ②当点P在x轴上方时，根据题意得出点P、C所在的直线与x轴平行，进而求解；当点P在x轴下方时，同理可得：-3=±2x+4，即可求解； （2）分两种情况讨论；列出关于m的方程，求得m的值，结合图像即可求得m的取值范围． 【详解】解：令±2x+4=0，解得x=2或-1， 故点A、B的坐标分别为（-2，0）、（2，0）， ∵函数与x轴负半轴交点为A，与x轴正半轴交点记B，则-2＜m≤2； （1）①从图像看，x=1时，y=-2x+4=2，故点C（1，2）； 故答案为-2，2，2； ②当点P在x轴上方时， ∵S△ABC=S△ABP，C（1，2）， 故点P的纵坐标为3， 当y=2x+4=3时，x=-，故点P（-，3）； 当点P在x轴下方时， 同理可得：-3=±2x+4，解得x=±， 故点P的坐标为（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）； （2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时， 当m≥0时，点C（m，4﹣2m）， 将点C的坐标代入y＝x得：4﹣2m＝m，解得m＝； ∴0≤m≤， 当m＜0时，m＝2m+4， 解得m＝﹣4， ∴-4＜m＜0 又∵﹣2＜m≤2， ∴﹣2＜m≤． 【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键． 题型八 由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 29．若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵方程的解为x=2， ∴当x=2时mx+n=0； ∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n， ∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 30．已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系交点坐标即可． 【详解】解：方程的解是， 函数与轴的交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确把握方程与函数之间的关系是解题关键． 31．已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 题型九 利用图象法解一元一次方程 32．一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是知道通过图象怎么求方程的解． 关于的方程一元一次方程的解就是一次函数当函数值为时的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：从图象上可知，一次函数与轴交点的横坐标为， 关于的方程的解为：， 故选：C． 33．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于的方程的解是 故选：D． 34．如图，一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3），则关于x的方程的解是_____． 【答案】x=1 【分析】根据已知得到两函数的交点P的坐标，然后利用两个一次函数图像的交点的横坐标就是方程的解，即可解答． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3） ∴关于x的方的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两个一次函数的交点与一元一次方程的解的关系，两个一次函数的交点的横坐标即为对应一元一次方程的解． 35．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，两函数图象交点的横坐标就是关于x的方程的解． 【详解】解：当时，，解得，则， 当时，， 关于的方程的解为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键． 36．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 根据表格描点、连线，如图所示： (3)函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） (4)①2；②；③ 【分析】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． （1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可； 【详解】（1）解：将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 故答案为：，； （2）略 （3）解：观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 故答案为：函数的图象关于轴对称； （4）解：①观察图象可知， 的图象与有两个交点， 故方程有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 故答案为：； ③当时，， 即函数必过， 当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点， 即当时，与有2个交点，此时； 当时，同理可得当时，与有2个交点，此时； 当时，，由①可知此时与有2个交点； 综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $