广东省肇庆市德庆县香山中学2026-2027学年高三上学期11月月考数学试题

香山中学2027届高三级第一学期11月月考数学科试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.样本数据2，8，14，16，20平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 2.已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 3.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则＝(　　) A． B．－ C． D．－ 4. 函数中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5.等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为(　　) A． B． C． D． 6.定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. 2 C. D. 7.已知α∈，β∈，若sin(α＋β)＝，cos β＝，则sin α等于(　　) A. B. C. D. 8.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，σ2)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为（ ） (若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.954 5) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.以下四个命题中，是真命题的是（ ） A．若，且为锐角，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若命题：，，则的否定为：， D．若，则 10.已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 11.对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.曲线C：在点处的切线方程为___________． 13.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为_________. 14.已知函数f(x)＝(ln x)2－ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分) 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16.(本小题满分15分) 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. (1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ (2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a＝2cos B(bcos C＋ccos B)． (1)求B； (2)已知点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，BD＝2，求a＋c的最小值． 18.(本小题满分17分) 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 19. (本小题满分17分) 对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列. （1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； （2）若，求的二阶和数列的前n项和； （3）若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香山中学2027届高三级第一学期11月月考数学科答案 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.【答案】C 【详解】样本数据的平均数为. 2.【答案】B. 【详解】因为，所以. 3.【答案】D　解析：因为角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，所以P.根据三角函数的定义，得cos α＝－.所以sin ＝cos α＝－. 4. 【答案】D 【详解】解：因为定义域为， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，又时，，，所以， 所以，故排除C； 5.【答案】 B 【解析】数列的首项，设公差为，则由成等比数列可得，所以，即，整理可得，因为，所以，所以，故选B． 6.【答案】A 【详解】，故的一个周期为2，所以. 7.答案：C解析：因为α∈，β∈，sin(α＋β)＝＞0，cos β＝，所以α＋β∈，则sin β＝＝，cos(α＋β)＝－＝－，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝×－×＝.故选C. 8.【答案】A 解：依题可知，μ＝100，根据题意及正态曲线的特征可知，|X－100|<2σ的解集A⊆(99,101)，由|X－100|<2σ可得100－2σ<X<100＋2σ， 所以解得σ≤，故σ至多为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9.【答案】AC 【详解】对于选项A：若，则， 由为锐角，，解得，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为假命题； 对于C：由特称命题的否定可知：的否定为：，，故C选项为真命题； 对于选项D：若，则，，故D选项为假命题. 10.答案：ABD 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或，解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 11.【答案】ABC 【详解】对A，∵，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，∵设， ， 增加了，两项系数为0，∴ ，故C正确； 对于D，∵， ∴，故D错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.【答案】 【详解】试题分析：，则点M 又因为，所以切线斜率为，切线方程为， 13.【答案】 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以，所以该等比数列公比为2. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为， 因为， 又，所以，所以，所以该等比数列公比为. 14.答案： 【详解】函数f(x)＝(ln x)2－ax2的定义域为(0，＋∞)，导函数f′(x)＝－2ax， 由已知－2ax＝0有两个不相等的正实数根， 所以a＝有两个不相等正实数根． 令g(x)＝，则g′(x)＝. 由g′(x)＝0，得x＝. 当x∈(0，)时，g′(x)>0，函数g(x)在(0，)上单调递增； 当x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)在(，＋∞)上单调递减． 又g(1)＝0，g()＝， 当x>1时，g(x)>0，当0<x<1时，g(x)<0， 当x→＋∞时，g(x)→0， 所以函数g(x)的图象如图， 所以实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分． 15.解：由余弦定理有，.....................1分 可得，.....................3分 因为，所以， 从而，....................4分 又因为，即，.....................5分 又因为，所以......................6分 （2）由（1）可得，，，从而，，.............7分 而，....................8分 由正弦定理有，....................9分 从而，....................10分 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ，....................11分 由已知的面积为，可得，...................12分 所以.....................13分 16.解（1）若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则的可能取值为50，30，0...1分 则，，，.........................3分 所以，........................4分 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则的可能取值为70，40，0 则，，，.....6分 所以...........................7分 因为，故选择方案一比较合适...........................8分 （2）设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，.....9分 则，，，.....................11分 所以，.........13分 故，所以所求概率为...................15分 17.解析：(1)由正弦定理得：........................1分 sin A＝2cos B(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝2cos Bsin A，.........................3分 因为sin A≠0，所以cos B＝，.............................................5分 又B∈(0，π)，所以B＝..............................................6分 (2)因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD＝，.............................................7分 又S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，所以acsin ＝a·2·sin ＋c·2·sin ，............................................10分 化简得ac＝a＋c，所以＋＝，............................................12分 所以a＋c＝(a＋c)＝≥＝..............................14分 当且仅当＝时，等号成立，即a＋c的最小值为..............................................15分 18.解：（1）的定义域为 …………1分 , …………3分 若，，在上单调递减； …………4分 若，当时，，即在上单调递减， …………5分 当时，，即在上单调递增. …………6分 综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增。 …………7分 （2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意. …………9分 若，由（1）可知，的最小值为 …………10分 令，，所以在上单调递增，又， 当时，，至多一个零点，不符合题意，…………12分 当时， ， 又因为，结合单调性可知在有一个零点 ……………………13分 令，，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以……………………15分 当时 结合单调性可知在有一个零点 …………16分 综上所述，若有两个零点，的范围是 …………17分 19.解：（1）由题意，得，，， 所以，，........................................................2分 因为是等比数列，所以公比为，由此得，，，...................3分 所以，，，................4分 所以，，........................5分 （2）设的二阶和数列的前n项和为， 由题意，得，........................................................6分 ，.........................................................7分 所以.....................10分 （3）因为，所以，解得..........................12分 设数列的公差为d，则，得，.......................13分 又因为， 所以，，.....15分 所以k的最大值是1999，此时公差为....................................17分 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $