广东省肇庆市德庆县香山中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

2025-2026学年香山中学高三级8月月考数学科试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 2.设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3.曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6.已知且且且，则（ ） A. B. C. D. 7.已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ） A、10 B、20 C、25 D、50 8. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.以下四个命题中，是真命题的是（ ） A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若命题：，，则的否定为：， D．若，则 10.已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(　　) A．f(x)的定义域是(－6,4) B．f(x)有最大值 C．不等式f(x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．f(x)在[0,4]上单调递增 11.已知函数f(x)的定义域是R，函数f(x)是偶函数，f(2x－1)＋1是奇函数，则(　　) A．f(0)＝－1 B．f(1)＝－1 C．4是函数f(x)的一个周期 D．函数f(x)的图象关于直线x＝9对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量若，则___________ 13.已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________. 14．已知函数f(x)＝若对任意x1≠x2，都有＞0，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 16. （本小题满分15分） 已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的通项公式. 17. （本小题满分15分） 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 18. （本小题满分17分） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 19.(本小题满分17分) 设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)若数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝求数列{bn}的前项的和． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年香山中学高三级8月月考数学科试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 【答案】C　[因为z＝－1－i，所以|z|＝＝.故选C． 2.设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 3.曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】令，则，即，， 所以曲线在处的切线方程为，即 4. 已知函数，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况，结合指数函数和对数函数单调性，得到不等式解集. 【详解】当时，，解得， 与求交集得， 当，，解得， 与求交集得， 故的解集为. 故选：B 5. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6.已知且且且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令，利用导数研究其单调性后可得的大小. 【详解】因为，故，同理， 令，则， 当时，，当时，， 故在为减函数，在为增函数， 因为，故，即，而， 故，同理，，， 因为，故， 所以. 故选：D． 7.已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ） A、10 B、20 C、25 D、50 【答案】C 解：由得，即，由基本不等式得，当且时，等号成立。 8. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，,则,当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.当时，，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 所以时，.画出函数的图象如图所示： 因为函数有两个零点，所以与的图象有两个交点， 由图可知或.所以的取值范围为.故选C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.以下四个命题中，是真命题的是（ ） A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若命题：，，则的否定为：， D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为真命题； 对于C：由特称命题的否定可知：的否定为：，，故C选项为真命题； 对于选项D：若，则，，故D选项为假命题. 10.已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(　　) A．f(x)的定义域是(－6,4) B．f(x)有最大值 C．不等式f(x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．f(x)在[0,4]上单调递增 AB　[由题意可得解得－6＜x＜4，即f(x)的定义域是(－6,4)，则A正确； f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确； 因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)＜4的解集是(－6，－4)∪(2,4)，则C错误； 因为f(x)在(－1,4)上单调递减，所以D错误 11.已知函数f(x)的定义域是R，函数f(x)是偶函数，f(2x－1)＋1是奇函数，则(　　) A．f(0)＝－1 B．f(1)＝－1 C．4是函数f(x)的一个周期 D．函数f(x)的图象关于直线x＝9对称 BC　[因为f(2x－1)＋1是R上的奇函数， 所以f(－2x－1)＋1＝－[f(2x－1)＋1]， 整理得，f(－2x－1)＋f(2x－1)＝－2. 令x＝0，得2f(－1)＝－2，解得f(－1)＝－1，又f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝－1，B正确； 将2x替换为x＋1，得f(－x－1－1)＋f(x＋1－1)＝－2，即f(－x－2)＋f(x)＝－2①， 又因为f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)， 将x替换为x＋2，得f(－x－2)＝f(x＋2)②， 由①②得f(x＋2)＋f(x)＝－2③， 则f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2④， ③－④得f(x＋4)＝f(x)， 故4是函数f(x)的一个周期，C正确； 因为f(x＋2)＋f(x)＝－2， 所以f(x＋2)＋f(－x)＝－2， 故f(x)关于点(1，－1)中心对称， 又因为4是函数f(x)的一个周期， 所以f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝－1， 故f(x)关于点(9，－1)中心对称，D错误； 因为f(x)关于点(1，－1)中心对称，故点(0，f(0))与点(2，f(2))关于点(1，－1)中心对称，无法得到f(0)＝－1，A错误．故选BC．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13.已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________. 【答案】e [(1)因为f(ln 2)＝aln 2，f(ln 4)＝aln 4，所以f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2·aln 4＝aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，所以aln 2＝2，所以a＝e. 14．已知函数f(x)＝若对任意x1≠x2，都有＞0，则实数a的取值范围是________. 【答案】(1,2]　 解析：因为对任意x1≠x2，都有＞0，所以函数f(x)在定义域内单调递增．因为f(x)＝所以 解得1＜a≤2. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 解：（1）， ………………2分 则， ………………3分 由题意可得， ………………4分 解得； ………………5分 （2）由，故，其定义域为 ………………6分 则， ………………7分 故当时，，当时，，当时，，…9分 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， ……11分 故有极大值， ………………12分 有极小值 ………………13分 16. （本小题满分15分） 已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义可求得，可得其通项公式； （2）利用错位相减法以及等比数列前项和公式计算可得. 解：（1）设等比数列的公比为， 由题意得，………………2分 解得（舍去），………………4分 所以. 即数列的通项公式为.………………6分 （2）由（1）知①，………………8分 所以②.………………10分 ①－②得………………12分 …………13分 所以.………………15分 17. （本小题满分15分） 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.………………2分 从而f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.………………5分 所以a＝2，b＝1.经验证满足f(x)是奇函数．………………6分 (2)由(1)知f(x)＝＝－＋，………………7分 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．………………9分 因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k， 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，………………12分 从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.………………14分 故实数k的取值范围为.………………15分 18. （本小题满分17分） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【详解】（1）由题意得的定义为，且，……………2分 当时，恒成立，此时在上单调递减；……………3分 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减；…4分 当时，当时，，当时，，……………6分 此时在上单调递增，在上单调递减；……………8分 综上所述：当时，在上单调递减；……………9分 当时，在上单调递增，在上单调递减；……………10分 （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以，……………12分 当时，即时，取得极小值也是最小值，…14分 所以，解得或，……………16分 故函数的最小值为，实数的值为或.……………17分 19.(本小题满分17分) 设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)若数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝求数列{bn}的前项的和． 解析：(1)证明：当n＝1，得S1＝a1＝2a1－1＋1，解得a1＝0 ...................1分 由题意Sn＝2an－n＋1①得：则Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)＋1②， ...................2分 ②－①，得an＋1＝2an＋1－2an－1， ...................3分 即an＋1＝2an＋1， ...................4分 所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即＝2. ...................5分 又因为a1＋1＝1， ...................6分 所以{an＋1}是首项为1，公比为2的等比数列． ...................7分 (2)由(1)知an＋1＝2n-1，则an＝2n－1－1， ...................9分 所以bn＋1＝ ...................10分 且b1＝a2＝22-1－1＝1， ...................11分 又因为当n为偶数时，bn＋1＝2n-1－1－bn，即bn＋bn＋1＝2n-1－1， ...................13分 所以b1＋b2＋…＋b2n＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2n-2＋b2n-1)＋b2n ...................14分 ＝1＋21－1＋23－1＋…＋22n-3－1＋22n-2－1， ...................15分 ＝ ...................16分 ＝ ...................17分 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$