甘肃天水市第一中学、第三中学2026-2027学年高二上学期期中质量检测数学试题

2026-2027学年普通高中高二上学期期中质量检测学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 数 学 1． 选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．过点 、 的直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 2．已知直线和直线互相平行，则实数的值为（   ） A．或3 B．3 C． D． 3．已知空间向量，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 6．若直线恒过定点，则点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆与圆交于，两点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 二．多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中至少有一个符合要求，全部选对得6分部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列说法正确的是（　　） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是18 B．直线（为参数）必过第四象限 C．过两点的直线方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和 10．已知直线与圆相交于，两点，则（    ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．直线截圆的弦长为 11．在直三棱柱中，是的中点，，，，为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线所成角的余弦值是 C．点到平面的距离是 D．线段的长的最大值是2 三．填空题（本题有3个小题，共15分.） 12．已知直线：，则直线的一个方向向量为_______． 13．设点，，直线关于直线对称的直线与圆：有公共点，则实数的取值范围是________. 14．已知正方体的棱长为，有一个圆柱以为轴，使得正方体均在圆柱内部，则该圆柱体积的最小值为________． 四．解答题（本题有5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（15分）．将一张长为2宽为1的矩形纸片置于平面直角坐标系中，其中． (1)若直线与均过点B，且，分别求出与的直线斜截式方程． (2)将矩形纸片折叠，使O点落在线段上，记为点，记折痕所在直线为l，其斜率为k，求k的取值范围． 16（15分）．已知定点，点为圆：上的动点，为线段的中点，若点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)已知圆：，判断圆与曲线的位置关系；如果相交求公共弦长. 17（15分）．如图，，，为圆锥的三条母线，且． (1)证明：； (2)若为圆锥底面圆的直径，且圆锥侧面积为，（体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 18（15分）．如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，为的中点． (1)求证：； (2)求点到平面的距离 19（17分）．如图，在几何体中，已知菱形边长为4，，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在点，使直线与平面夹角为？若存在，求的值；不存在，说明理由 第5页共6页 第6页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A ⊙ A c D B BD BD 题号 11 答案 CD 12.() 13.（m,-3i5U3i5,+ 128V3 14.3元 15.【详解】(1)因为0ABC是长为2宽为1的矩形，且O0,0),A(2,0),C(0,1), 所以B.kc=,因为4C414AC,所以长-大e,友E=-, 1 即k,=2,k=2, 直线刘的方程为-1一-引，故直线影的斜装式方程为+2。 直线2的方程为'-1=2(-2 ,故直线的斜截式方程为)=2x-3 (2)根据题意可得直线1为线段OD的垂直平分线， 因为D(x,)在线段BC上，所以0≤x≤2， 当x=0时，D0,),此时k=0, 当x≠0时，如士放k=g,北时0<52：所以-25k<0: 综上，-2≤k≤0. 16.(1)设动点 M”,国C上的动点 e(o,Yo) 因为M为线段的中点，且P5,-8),可得 k=5+,y=。t% 2 得≤-2x-5为=2y+8,由于点0在096-+-16上，f代人2x5-+国+=16 答案第1页（共2页） (x-3)2+(y+4)2=4 化简整理得 ,所以曲线E的方程为 x-3)2+(y+4)2=4 tM P 2+y2-2x+2y-7=0m(x-1)2+(y+1)2=9 ,因此圈的圆心为 C C2(1,-1) (2)由 得 由(1)可知，曲线卫是圆心为 6刊，半径1=2 的圆， 两圆圆心距为1=V6-+(4-(=2+(-3》=3 |2-5H3-2=1万+2=2+3=5 5,由于1<厅<5，因此圆C与曲线B的位置关系为相交， x-3)2+(y+4)2=4=x+y2-6x+8y+21=0, 将两圆的一般式方程相减，得到公共弦所在直线的方程为-4x+6y+28=0一2x-3y-14=0, d,=12x3-3×(-4)-141_16+12-14-4 圆心E(3,-4④)到公共弦所在直线的距离为 V22+(-3)2 1313. 所以公共长1=2R-=22-(品) 12W13 13 17.(I)证明：取BC中点M,连接AM,PM,如图所示： 因为PB=PC,所以PM⊥BC, 又因为PA⊥BC,PMOPA=P,PM,PAc平面PMA, 所以BC⊥平面PMA, 又因为AMC平面PMA,所以BC⊥AM, 答案第2页（共2页） 又因为M是BC中点，所以AB=AC B (2)因为BC为直径，可另设BC中点O,故O为底面圆的圆心，且PO1平面BAC, 由(1)知A01BC,所以以O为坐标原点，OB,OA,OP分别为x少2轴， 建立如图所示的空间直角坐标系· √2π 因为圆锥侧面积为V3π，体积为3，设圆锥底面圆半径为r,母线长为l, πrl=V3元 则有 wh=2,又 3 =+解得，-1'h=2 故P0,0v2.40,l0).BL,0.0)C-l0,0 P-0.1-2)PB=(1.0.-2)PC-(-1.0-) m·PA=0y-2z=0 设月=(，，)为平面P4B的法向量，则云-PB=0-V2z=0, 今=5，则=5，名=1所以=(55， m·PA=0∫52-V22=0 设元=(k,,2)为平面P4C的法向量，则PC=01-x-V2z,=0, 令戈=- ,则为=5，名=1，所西=(5,5，D 设平面。与平面。，的夹角为.，则os0=Cos7,乃 n'n -2+2+1_1 PAB PAC nn 5x55, 0 所以平面P4B与平面PAC的夹角的余弦值为5 答案第3页（共2页） ZA I! 18.(1) ZA B 以D为原点，分别DA.DC、DF的方向为、’、“销正方向建立空间直角坐标系 由PD=AD=4,底面ABCD为正方形，得D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,4,0),C0,4,0).P(0,0,4). O PB 92,2,2) 为中点，故 AC=(-4,4,0)DB=(4,4,0)DP=(0,0,4) AC.DB=(-4)×4+4×4+0×0=0 ,故AC1DB AC.DP=(-4)×0+4×0+0×4=0 ,故1C1DP 又DBoDP=D,DB、DPc平面PBD,由线面垂直的判定定理，AC⊥平面PBD (2) O D C A B AC=(-4,4,0)A0=（-2,2,2) 答案第4页（共2页） n.AC=0-4x+4y=0 设平面AC0的法向量方=（化，y,2):故i:A0=0即-2x+2y+2z=0: 放7=，10).B=(0,40 点B到平面ACQ的距离d= 1B.0x1+4x1+0x0二4=-22 V12+12+02 19.0证明：△MDE中，因4D2+狐=16+16=32=(42=DE,则得4ELAD, 同理可得AE⊥AB,又ADOAB=A,AD,ABC平面ABCD,则AE⊥平面ABCD: 又：ABCD为菱形，BD⊥AC 则可以O为原点，OA为x轴，OB为'轴，作平行于AE的直线为z轴，如图建系： 则D(0,-2,0）,E25,04,F-25.0,3.B02,0.C(25,00) 则0E=(250,4).F-(25,2,3）,Ds=(0,4.0) 设=(，，）为平面FBD的法向量。 [方.BF=-23x-2y+3z=0 则i.DB=4y=0 故可取i=(3,0,2 则0E=(230,4)=2元 故OE⊥平面FBD; 2)BE=(25-24,Bc=(-25,-2,0）】 BC.BE -8 点c到直线B正满 16- 42 =V14 EB BE 答案第5页（共2页） (3)假设线段0E上存在点P,设OF=0E=52,04风），0≤2≤1， 则PF=0F-0F-(-250,3-(252,04-(25-230,3-4) 由(1)已得平面FBD的法向量为m-(5,02). :直线PF与平面FBD夹角为30° sin 30cos(m mPF -142 1 TmPF√7×√2822+212， 解得1= 2,0≤<1，-2 OP 1 ∴存在p符合题意，且0B2 答案第6页（共2页）