第四单元 圆［单元测试•思维拓展］-2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册能力自测通关卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 绝密★启用前 2026-2027学年人教版（新教材）数学六年级上册能力自测通关卷 第四单元 圆［单元自测•思维拓展］ 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一．用心思考，认真填写（共8小题，每题2分，满分16分） 1．（本题2分）某小学挂钟（如图）的分针长10厘米。学校规定12：45~13：45午休。在学生午休时间内，这根分针的针尖走了( )厘米，分针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 【思路引导】（1）用终止时间13：45减去起始时间12：45，先计算午休的总时长；分针1小时转动1整圈，依此判断分针转动的圈数；计算分针针尖走过的路程，用圆的周长公式：，题干已知的分针长度10厘米作为半径，代入周长公式计算圆的周长，再乘分针转动的圈数即可求得结果； （2）计算分针扫过的面积，用圆的面积公式：，代入已知数值，求得圆的面积，再乘分针转动的圈数即可求得结果。（取） 【规范解答】（1）（小时），所以分针转了圈； （厘米），这根分针的针尖走了厘米。 （2） （平方厘米），分针扫过的面积是平方厘米。 2．（本题2分）如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径，则阴影部分图形的面积为( )。（圆周率用表示） 【答案】π 【思路引导】观察发现，可以通过旋转中间最小的阴影圆变成，这样阴影部分的面积就是大圆面积减去5个空白半圆的面积，也就是减去个空白圆的面积，空白圆的直径就是大圆的半径。先用大圆的半径除以2求出空白圆的半径，再根据圆的面积公式s＝πr2分别求出面积，再计算即可。 【规范解答】大圆的面积：π×32＝9π 空白部分的面积：3÷2＝ ×π×2 ＝×π× ＝××π ＝π 阴影部分的面积：9π－π＝π 阴影部分图形的面积为π。 3．（本题2分）如图，AB＝3厘米，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】4.5// 【思路引导】 如图，连接EF（是小圆直径，长度与AB相等是3厘米），EF中点是小圆圆心，标注为点G，小圆与长方形上边交点标注为H点，连接GH、EH。三角形EGH是直角三角形，GH＝EG是小圆的半径为r（长度是厘米），EH是以长方形长为直径的大圆的半径为R，因为三角形EGH是直角三角形，所以，所以大半圆面积等于小圆的面积。小圆中间空白面积命名为柳叶面积。扇形EHF的面积×2等于大半圆面积，柳叶面积的一半等于扇形EHF的面积减去三角形EHF的面积，即（扇形EHF的面积－三角形EHF的面积）×2＝柳叶面积，三角形EHF的面积＝EF×HG÷2，据此解答。 【规范解答】 （厘米） 从图中可知：EF是小圆直径是3厘米，HG是小圆半径是1.5厘米。 阴影部分面积 ＝小圆面积－柳叶面积 ＝小圆面积－（扇形EHF面积－三角形EHF面积）×2 ＝小圆面积－扇形EHF面积×2＋三角形EHF面积×2 ＝小圆面积－大半圆面积＋三角形EHF面积×2 ＝三角形EHF面积×2 ＝EF×GH÷2×2 （平方厘米） 4．（本题2分）林林家有一款圆形的扫地机器人，直径为20厘米。周日，林林使用扫地机器人清洁地面，扫地机器人启动后，沿直线前进了1米（如图所示）。在此过程中，扫地机器人扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】2314 【思路引导】将1米换算成100厘米，由图可知，扫过的面积等于直径为20厘米的圆面积加上长为100厘米，宽为20厘米的长方形面积，据此列式计算即可。 【规范解答】1米＝100厘米，（厘米） （平方厘米） 5．（本题2分）下图，以一个平行四边形的底为直径画一个半圆，阴影①比阴影②的面积小4.3平方厘米，求半圆的面积是( )平方厘米 。 【答案】15.7 【思路引导】根据题目，已知阴影①比阴影②的面积小4.3平方厘米，即阴影②的面积－阴影①的面积＝4.3平方厘米。观察图形可知，阴影②的面积加上空白部分面积是平行四边形的面积，阴影①的面积加上空白部分面积是半圆的面积，所以平行四边形的面积比半圆的面积大4.3平方厘米，要求半圆的面积，平行四边形的底是半圆的直径2r厘米，高是半圆的半径r厘米，根据平行四边形面积公式S＝底×高，可得平行四边形面积，根据圆的面积公式S＝πr2，可得半圆的面积，可据此建立等式求解。 【规范解答】设半圆的半径为r厘米。 平行四边形的底是半圆的直径2r厘米，高是半圆的半径r厘米 平行四边形面积为2r×r＝2r2（平方厘米） 根据圆的面积公式S＝πr2，可得半圆的面积为平方厘米。 因为平行四边形的面积－半圆的面积＝4.3，即 把π＝3.14代入可得： 再把代入半圆面积公式 半圆面积为： ＝1.57×10 ＝15.7（平方厘米） 因此，半圆的面积是15.7平方厘米。 【考点剖析】本题考查组合图形中的阴影部分面积，注意根据阴影部分面积的关系进行求解即可。 6．（本题2分）用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是( )平方厘米。根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是( )平方厘米。 【答案】 6.28 1.57n 【思路引导】观察图形可知，第1幅图的阴影部分是由3个半径为1厘米的扇形组成，3个扇形的圆心角之和等于三角形的内角和180°，所以3个扇形可以组成一个半圆，则第1幅图的阴影面积等于圆面积的； 第2幅图的阴影部分是由4个半径为1厘米的扇形组成，4个扇形的圆心角之和等于正方形的内角和360°，所以4个扇形可以组成一个圆，则第2幅图的阴影面积等于一个圆的面积，即圆面积的； 第3幅图的阴影部分是由5个半径为1厘米的扇形组成，其中以梯形的4个顶点为圆心的扇形的圆心角之和等于梯形的内角和360°，这4个扇形可以组成一个圆；另外一个扇形是半圆形，所以第3幅图的阴影面积等于圆面积的； 第4幅图的阴影部分是由6个半径为1厘米的扇形组成，其中以长方形的4个顶点为圆心的扇形的圆心角之和等于长方形的内角和360°，这4个扇形可以组成一个圆；另外2个扇形都是半圆形，可以组成一个圆；所以第4幅图的阴影面积等于2个圆的面积，即圆面积的； 据此得出规律：第n幅图的阴影面积等于圆的面积×。 【规范解答】第1幅图的阴影面积是：3.14×12× 第2幅图的阴影面积是：3.14×12× 第3幅图的阴影面积是：3.14×12× 由此可知，第4幅图的阴影面积是： 3.14×12× ＝3.14×1×2 ＝6.28（平方厘米） 规律：第n幅图的阴影面积是3.14×12×＝1.57n（平方厘米） 填空如下： 第4幅图的阴影面积是（6.28）平方厘米。根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是（1.57n）平方厘米。 【考点剖析】通过观察前几幅图的阴影面积，发现阴影部分由若干个扇形组成，结合扇形的圆心角与图形内角和的关系，得出与整个圆的面积的关系，进而找到规律。 7．（本题2分）如图中，大正方形的面积是25cm2，小正方形的面积是9cm2，那么圆环的面积是( )。 【答案】50.24cm2 【思路引导】由题图可知，大正方形的边长就是大圆的半径，小正方形的边长就是小圆的半径，所以大正方形的面积就是R2，小正方形的面积就是r2，根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【规范解答】根据分析得出： 3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 故答案为：50.24cm2。 【考点剖析】解题关键在于识别出大、小正方形的面积分别对应大圆、小圆半径的平方，无需单独求出半径，直接利用圆环面积公式S＝π（R2－r2）代入数值计算即可，省去了开方求半径的步骤，简化运算。 8．（本题2分）如图中，每个小圆的直径是4cm，那么正六边形的周长是( )cm；阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】 24 25.12 【思路引导】（1）由图可知，正六边形的边长等于小圆的直径，已知每个小圆的直径是4cm，正六边形有6条边且每条边长度相等，根据正六边形的周长＝边长×6，可得正六边形周长。 （2）观察可知，阴影部分可拼接成两个完整的圆（正六边形的6个阴影扇形，可组合成2个直径为4cm的圆）。根据圆的面积公式：，代入数据计算即可。 【规范解答】4×6＝24（cm） 。 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（cm2） 如题图中，每个小圆的直径是4cm，那么正六边形的周长是24cm；阴影部分的面积是25.12cm2。 【考点剖析】对于阴影部分面积，观察发现阴影扇形可拼接成2个完整的圆，进而利用圆的面积公式计算是解题关键。 二．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分5分，每小题1分） 9．（本题1分）下面有关圆的说法，正确的是（    ）。 ①一个圆的半径有无数条，直径有无数条。 ②同一个圆中，半径是直径的2倍。 ③圆的半径决定圆的大小。 ④因为扇形是它所在圆的一部分，那么圆的一部分一定是扇形。 A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】①同一个圆里，有无数条半径，无数条直径，所有半径长度都相等。 ②在同圆或等圆中，直径的长度是半径长度的2倍； ③圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小； ④由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形。扇形是圆的一部分。 逐一判断4个关于圆的说法的正误，再选出全部正确的对应选项。 【规范解答】①一个圆的半径有无数条，直径有无数条，说法正确。 ②同一个圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的，原说法错误。 ③圆的半径决定圆的大小，说法正确。 ④扇形是它所在圆的一部分，但圆的一部分不一定是扇形，原说法错误。 正确的是①③。 10．（本题1分）如图，在正方形内画一个最大的圆，圆内再画一个最大的正六边形，那么正六边形的周长是正方形周长的（    ）。 A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路引导】设正方形的边长为2。因为正方形内最大圆的直径等于正方形边长，所以可得到圆的直径长度。因为圆内最大正六边形的边长等于圆的半径，所以可得到正六边形的边长。分别计算正方形周长和正六边形周长，再求两者的比值即可。 【规范解答】根据分析： 假设正方形边长是2，正方形的周长就是2×4＝8 正方形里画最大的圆，这个圆的直径刚好和正方形的边长相等 所以圆的直径是2，半径是2÷2＝1 圆内画最大的正六边形，圆里最大的正六边形，每条边的长度都等于圆的半径，也就是1 正六边形有6条边，它的周长是1×6＝6 正六边形周长÷正方形周长＝6÷8＝＝ 那么正六边形的周长是正方形周长的。 11．（本题1分）如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】阴影部分的面积是甲、乙两圆的公共部分，所以可以先通过它求出两圆的面积比，再根据“周长比等于半径比，而面积比是半径比的平方”求出周长比。 【规范解答】设阴影部分的面积为S。 因为，所以 又因为，所以 ∶＝∶＝16∶9 因为， 所以，周长比为4∶3 【考点剖析】关键是先利用公共部分求出两圆的面积比，再根据“周长比等于半径比，而面积比是半径比的平方”求出周长比。 12．（本题1分）杭州奥体中心体育场——“大莲花”的内部配有奥体训练场，被设计成标准400m的综合田径场（如上图），两端是半圆形，中间是长方形。半径36.5m，直道长85.39m，道宽1.22m。如果在这个场地组织400m田径比赛，下列关于各起跑线间相差的距离，说法正确的是（    ）。 A．第一道和第二道起跑线相差1.22πm B．第二道和第四道起跑线相差3.66πm C．第二道和第五道起跑线相差4.88πm D．第二道和第三道起跑线相差2.44πm 【答案】D 【思路引导】400m田径比赛中，直道长度所有跑道都相同，起跑线的差距只来自两端弯道（合起来是1个整圆）的周长差，圆的周长C＝2πr，相邻两条跑道之间的半径差就是道宽。 【规范解答】设外侧跑道半径为R，内侧跑道半径为r，则R－r＝道宽＝1.22m，起跑线间相差距离： C外－C内 ＝2πR－2πr ＝2π（R－r） ＝2π×1.22 ＝2.44π（m） 第二道和第三道起跑线相差2.44πm 13．（本题1分）有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，如图，则至少需要绳子（ ）分米（结头处绳子不计）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】每处的绳子由6段直边和6段圆弧组成，每段直边的长度就是直径的长度，6段圆弧拼起来正好等于一个圆的周长，先用6段直边的长度加上6段圆弧的长度计算出一处绳子的长度，再乘2求出总绳长。 【规范解答】6段直边的长度为：6×5＝30（分米）。 圆的直径是5分米，周长为：，即6段圆弧的长度是。 一处绳子的长度是，总绳长为：。 三．仔细斟酌，准确判断（共5小题，满分5分） 14．（本题1分）小志要把一个半径为0.5米的圆形铁环滚到墙边，铁环初始位置处圆心与墙边之间的距离为13.06米，则铁环要滚动5圈。( ) 【答案】× 【思路引导】当铁环滚到墙边时，铁环与墙相切，此时铁环与地面接触的点到墙的距离等于铁环的半径，所以铁环实际滚动的距离比13.06米少0.5米。铁环滚动一周，地面上经过的长度正好等于铁环的周长（C＝2πr）。用铁环实际滚动的距离除以滚动一周的长度，就得到滚动的周数。与题干的5圈比较判断对错。 【规范解答】实际滚动的路程：13.06－0.5＝12.56（米） 铁环周长：2×3.14×0.5 ＝6.28×0.5 ＝3.14（米） 滚动圈数：12.56÷3.14＝4（圈） 因此铁环要滚动4圈，并非5圈，原说法错误。 故答案为：× 15．（本题1分）从一张正方形纸上剪出一个最大的圆，圆的直径小于正方形的边长。( ) 【答案】× 【思路引导】从正方形上剪圆，当圆的直径等于正方形边长时最大 【规范解答】最大圆如图： 此时圆的直径等于正方形的边长，因此圆的直径小于正方形边长的表述错误。 故答案为：× 16．（本题1分）周长相等的正方形和圆相比，正方形的面积小。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据题意，选一个简单的周长数值（比如周长为12），分别算正方形和圆的面积再比较：正方形边长＝周长÷4，面积＝边长×边长；圆的半径＝周长÷2×π，面积是3.14×半径2，这样就能看出谁的面积小，据此解答。 【规范解答】假设正方形和圆的周长都是12： 正方形的面积： 边长：12÷4＝3 面积：3×3＝9 圆的面积： 半径：12÷（2×3.14） ＝12÷6.28 ≈1.91 面积：3.14×1.91×1.91≈11.46 比较：9＜11.46，所以正方形的面积小。 “周长相等的正方形和圆相比，正方形的面积小”的说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】解题关键是通过具体数值举例计算，直观比较面积大小，避免仅靠图形外观判断。 17．（本题1分）杂技团小红骑的自行车，前轮滚动4周，则后轮要滚动5周，前轮与后轮的直径的比是5∶4。( ) 【答案】√ 【思路引导】自行车行驶时，前后轮所行路程相同。前轮滚动4周，行驶路程为：前轮周长×4，即×4；后轮滚动5周，行驶的路程为：后轮周长×5，即×5，根据路程相等关系，可得：×4＝×5；两边同时除以，得到×4＝×5，根据比的基本性质，将等式转化为前轮直径和后轮直径的比即可。 【规范解答】根据路程相等： ×4＝×5 4＝5 ∶＝5∶4 因此，杂技团小红骑的自行车，前轮滚动4周，则后轮要滚动5周，前轮与后轮的直径的比是5∶4，说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】这道题的难点在于没有注意到前后轮滚动的总距离一样这个隐藏信息，同时从4＝5转换成直径比时，也容易出错。 18．（本题1分）如图，从地到地，走路线①比走路线②近。( ) 【答案】× 【思路引导】如下图：根据圆周长的计算公式分别求出路线①以为直径的半圆形，路线②分别以、、为直径的半圆组成的路线的长度，再比较即可解答。 【规范解答】如图： 路线①长度： 路线②长度： 所以路线①和路线②一样近。 故答案为：× 【考点剖析】本题主要考查借助圆的周长公式比较长度，解答本题的关键是乘法分配律的应用。 四、看清列式，仔细计算（共1小题，满分6分） 19．（本题6分）求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。 【答案】0.86平方厘米；125.6平方厘米 【思路引导】（1）观察图形可知：正方形内部有四个以正方形顶点为圆心、边长的一半为半径的扇形，这四个扇形拼合后恰好是一个完整的圆，则阴影面积＝正方形的面积－四个扇形组成的整圆的面积。由图可知：正方形的边长为1＋1＝2厘米，根据正方形公式：面积＝边长×边长，求出正方形面积；圆的半径为1厘米，根据圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14），求出圆的面积；最后用正方形的面积减去圆的面积求出阴影面积。 （2）观察图形可知：阴影面积＝大半圆面积（半径（12＋8）÷2＝10厘米）－中半圆面积（半径12÷2＝6厘米）＋小半圆面积（半径8÷2＝4厘米）。 根据半圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14），分别求出三个半圆的面积，再用大半圆面积－中半圆面积＋小半圆面积，求出阴影面积。 【规范解答】（1）（1＋1）×（1＋1）－3.14×12 ＝2×2－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 所以第一个阴影部分的面积是0.86平方厘米。 （2）×3.14×[（12＋8）÷2]2－×3.14×（12÷2）2＋×3.14×（8÷2）2 ＝×3.14×（20÷2）2－×3.14×62＋×3.14×42 ＝×3.14×102－×3.14×62＋×3.14×42 ＝×3.14×100－×3.14×36＋×3.14×16 ＝×3.14×（100－36＋16） ＝×3.14×80 ＝125.6（平方厘米） 所以第二个阴影部分的面积是125.6平方厘米。 【考点剖析】本题关键是：第一幅图利用整体减空白的方法，用正方形面积减去四个扇形拼成的整圆面积得出阴影面积；第二幅图通过割补平移将阴影部分转化为大半圆减12厘米直径小半圆再加8厘米直径小半圆计算。 五、实践操作，动手动脑(共2小题，满分12分） 20．（本题6分）如左图中两个半径为r的等圆相交且只有一个交点（P1）的位置关系叫作两个圆“相切”，P1点就叫作两个圆的切点，这时发现点O1、P1、O2，在一条直线上。 （1）在左图中添加一个等圆使三个圆相切如右图的位置关系，请用直尺和圆规作图，找到圆心O3并标注在左图中，同时标注另外两个切点P2、P3。（保留作图痕迹） （2）求出作图后的三个“切点”所围成的弧线最短总长。 【答案】（1） （2）3.14r 【思路引导】（1）用圆规丈量圆O1的半径，在原图的上方画一个圆，圆心标记为O3，用直尺连接O1和O3并画一条虚线，同理用直尺连接O2和O3并画一条虚线，并在圆弧的交点处标记切点P2和P3。 （2）三个切点围成的图形为等边三角形，根据三角形内角和为180度，可知三个“切点”所围成的弧线最短总长即为圆周长对应的圆心角为180度的弧长，据此解答。 【规范解答】（1）图略 （2）×2×3.14×r ＝×2×3.14×r ＝3.14×r ＝3.14r 答：作图后的三个“切点”所围成的弧线最短总长为3.14r。 【考点剖析】弧长计算的关键：先确定圆弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式，本题中利用等边三角形的60度内角推导出圆心角为180度是解题突破口。 21．（本题6分）如图小方格的边长表示100米，请根据描述完成作图和计算。 城市“15分钟生活圈”的服务半径一般为750米左右（如图）。具体设施包括大型商超、医院、学校、公园和地铁站等。 （1）某新区规划把学校和社区医院设计在10分钟圈上，请画出这个以社区A为中心的“圈”，标注10min。 （2）求出10－15分钟环间的面积是多少平方米？ （3）在大商场露天平台看社区A在西偏北40°800米处，请画出大商场位置用点C表示。（请标注相关数据） 【答案】（1） （2）981250平方米； （3） 【思路引导】（1）根据题意“城市“15分钟生活圈”的服务半径一般为750米左右”，用750÷15可计算“1分钟生活圈”的服务半径为多少米，然后再用结果×10，即为计算“10分钟生活圈”的服务半径为多少米，再计算对应的图上距离（小方格的边长表示100米），用计算出来的服务半径÷100，看图上距离为几格，由此作图； （2）利用圆的面积公式计算10－15分钟圆环间的面积，用大圆的面积减去小圆的面积； （3）利用平面图上方向规定：上北下南左西右东，依据题意结合图示去解答。 【规范解答】（1）750÷15×10＝500（米） 500÷100＝5（格），图略。 （2）3.14×750²－3.14×500² ＝3.14×（750²－500²） ＝3.14×（750×750－500×500） ＝3.14×（562500－250000） ＝3.14×312500 ＝981250（平方米） 答：10－15分钟环间的面积是981250平方米。 （3）800÷100＝8（格），图略。 【考点剖析】本题考查圆的绘制、圆环面积计算、方位表示，结合方格图解决作图与计算问题。 六、灵活应用，解决问题(共10小题，满分56分） 22．（本题5分）李叔叔家有一块直径为12米的圆形菜地（如图），为了方便管理，他打算在外围铺一条1米宽的环形小路，如果每平方米小路需要水泥15千克，铺好这条小路一共需要多少千克水泥？ 【答案】612.3千克 【思路引导】用圆形菜地的直径除以2算出内圆半径，内圆半径加上1米，算出外圆半径。圆的面积S＝πr2，用外圆面积减去内圆面积求出环形小路的面积，再乘每平方米所需水泥的质量，即可得到总水泥量。 【规范解答】12÷2＝6（米） 6＋1＝7（米） 3.14×72－3.14×62 ＝3.14×49－3.14×36 ＝153.86－113.04 ＝40.82（平方米） 40.82×15＝612.3（千克） 答：铺好这条小路一共需要612.3千克水泥。 23．（本题5分）一个圆形花坛，直径是12米，在花坛的周围修一条宽1米的石子路。这条石子路的面积是多少平方米？如果每平方米需要石子50千克，修这条石子路一共需要多少千克石子？ 【答案】 40.82平方米；2041千克 【思路引导】石子路为圆环形状，已知花坛直径12米，半径＝直径÷2，内圆的半径是12÷2＝6米；外圆的半径也就是6＋1＝7米。再根据圆环的面积公式：S＝π（R2r2），把数据代入计算得出石子路的面积；再根据总重量＝面积×每平方米用量，计算出需要石子的重量。 【规范解答】（米） （米） （平方米） （千克） 答：这条石子路的面积是40.82平方米，修这条石子路一共需要2041千克石子。 24．（本题5分）世界上最大的树是位于美国加利福尼亚州的雪曼将军树，已有3500多年树龄，树干高约83.3米。其横截面近似于一个直径为5米的圆，横截面的面积是多少平方米？ 【答案】19.625平方米 【思路引导】先根据直径半径，再根据，代入数据得出答案。 【规范解答】（米） 2.52 （平方米） 答：横截面的面积是平方米。 25．（本题5分）12月某小学迎来“科创节”，科学小组设计制作出机器人。 如图，环形轨道由两个圆组成，它们只有一个公共点C，大圆直径AC为80厘米，小圆直径BC为48厘米。甲、乙两个小机器人同时从C点出发，都按照每秒4厘米的速度沿顺时针方向滑行，甲机器人沿大圆圆周滑行，乙机器人沿小圆圆周滑行。（取3） (1)当乙机器人第一次回到C点时，滑行了多远？ (2)当乙机器人第一次回到C点时，甲机器人是否已经经过了A点？ (3)现在小朋友改变甲机器人的速度为原来的2倍，乙机器人的速度不变，甲、乙两机器人重新同时从C点出发，各自沿着圆周顺时针不间断地反复滑行，它们是否会在C点相遇？如果相遇，那么此时甲机器人至少滑行了几圈？如果不能相遇，请说明理由。 【答案】(1)144厘米 (2)经过了A点 (3)会相遇；6圈 【思路引导】（1）当乙机器人第一次回到C点时，它滑行的距离等于小圆的周长，小圆直径BC为48厘米，利用“”求出小圆的周长； （2）两个机器人的速度相同，当甲机器人到达A点时，它滑行的距离等于大圆周长的一半，利用“”求出此时甲机器人滑行的距离，最后和乙机器人滑行的距离相比较； （3）先根据“”求出大圆周长和小圆周长，再求出甲机器人的速度，最后根据“时间＝路程÷速度”求出甲机器人和乙机器人滑行一圈分别需要的时间，当它们滑行的经过时间是各自滑行一圈需要时间的公倍数时两个机器人在C点相遇，求此时甲机器人至少滑行了几圈，需要先求出它们各自滑行一圈需要时间的最小公倍数，甲机器人滑行的圈数＝总时间÷甲机器人滑行一圈需要的时间，据此解答。 【规范解答】（1）3×48＝144（厘米） 答：滑行了144厘米。 （2）3×48＝144（厘米） 3×80÷2 ＝240÷2 ＝120（厘米） 因为144厘米＞120厘米，所以甲机器人已经经过了A点。 答：甲机器人已经经过了A点。 （3）甲机器人滑行一圈需要的时间：3×80÷（4×2） ＝3×80÷8 ＝240÷8 ＝30（秒） 乙机器人滑行一圈需要的时间：3×48÷4 ＝144÷4 ＝36（秒） 30和36的最小公倍数：2×3×5×6＝180 经过180秒它们会在C点相遇。 180÷30＝6（圈） 答：它们会在C点相遇，相遇时甲机器人至少滑行了6圈。 【考点剖析】本题主要考查圆的周长的应用和用最小公倍数解决实际问题，掌握圆的周长计算公式并准确求出两个机器人滑行经过时间的最小公倍数是解答题目的关键。 26．（本题6分）一只狗被栓在一间小房子的墙角上（如图），这间小房子的底面是一个边长为5米的正方形，栓小狗的绳长16米。小狗从点A出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑多少米？ 画一画：画出小狗的运动轨迹。 算一算： 【答案】；53.38米 【思路引导】 如图，小狗可跑的距离＝半径16米的圆的周长＋半径（16－5）米的圆的周长＋半径（16－5－5）米的圆的周长＋半径（16－5－5－5）米的圆的周长，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此列式解答。 【规范解答】图略。 2×3.14×16×＋2×3.14×（16－5）×＋2×3.14×（16－5－5）×＋2×3.14×（16－5－5－5）× ＝2×3.14×16×＋2×3.14×11×＋2×3.14×6×＋2×3.14×1× ＝3.14×（2×16×）＋3.14×（2×11×）＋3.14×（2×6×）＋3.14×（2×1×） ＝3.14×（32×）＋3.14×（22×）＋3.14×（12×）＋3.14×（2×） ＝3.14×8＋3.14×5.5＋3.14×3＋3.14×0.5 ＝3.14×（8＋5.5＋3＋0.5） ＝3.14×17 ＝53.38（米） 答：最多可跑53.38米。 【考点剖析】关键是具有一定的空间想象能力，准确画出小狗跑的路线。 27．（本题6分）一个圆沿着直线滚动圆心运动的轨迹是一条直线，一个圆沿着另一个圆的外周滚动，圆心的运动轨迹会形成一个圆形。盼盼说：“同理，一个圆沿着正方形外周滚动，圆心的运动轨迹会形成一个正方形。”盼盼这样说对吗？ （1）请通过画图、计算等方式说明你支持或反对的理由。 （2）请计算出一个直径2cm的圆沿着边长为4cm的正方形外周滚动一圈，圆心运动轨迹的长度。 （3）请通过其他演算总结出一个圆沿着正多边形外周滚动一圈后，圆心运动轨迹长度的计算公式。（圆心轨迹长度用C，圆的半径用r，正多边形的边长用a，边长数用k表示。） 【答案】（1）不对； （2）22.28cm； （3） 【思路引导】（1）盼盼说得不对，通过画图方式可以说明我反对盼盼的理由，圆心在正方形拐角处的运动轨迹为圆弧，所以圆心的运动轨迹的长度是圆的周长加正方形的周长。 （2）通过（1）的画图方式可知：圆心的运动轨迹长度是圆周长和正方形周长之和，据此计算即可。 （3）通过再次演示圆在正三角形边上的运动轨迹，结合（1）圆在正四边形边上的运动轨迹即可得出结论：。 【规范解答】（1）盼盼说得不对，圆心运动轨迹长是圆周长和正方形周长之和。可以通过画图方式说明我反对盼盼的理由，图略。 （2）3.14×2＋4×4 ＝6.28＋16 ＝22.28（cm） 即圆心运动轨迹的长度是22.28cm。 （3）以三角形为例说明如下： 通过上图画图分析可知：如果圆心轨迹长度用C，圆的半径用r，正多边形的边长用a，边长数用k表示，则：。 【考点剖析】解答这道题容易忽略圆在正多边形拐角处的圆弧运动，误将圆心轨迹当作正多边形本身，或计算拐角圆弧时错误拆分角度；推导通用公式时，需牢记正多边形外角和是360°，这是拐角圆弧拼接成整圆的关键。 28．（本题6分）课堂上老师组织探究活动：已知正方形的面积是40cm2，求涂色部分的面积。 淘气举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积。 （1）淘气说得对吗？如果对，请你在图上将淘气的想法表示出来。如果不对，请说明理由。 （2）涂色部分的面积是（    ）cm2。 【答案】（1）对； （2）8.6 【思路引导】（1）由图可知，圆的直径等于大正方形的边长，大正方形面积＝边长×边长，相当于大正方形面积＝圆的直径×圆的直径，没有两个相同的数相乘等于40cm2，则把大正方形平均分为4个小正方形，小正方形的边长就是圆的半径，小正方形面积＝圆的半径×圆的半径，小正方形面积是40÷4＝10（cm2），即圆的半径×圆的半径＝10（cm2），代入圆面积公式即可求出圆的面积，则淘气说得对，最后画图即可。 （2）根据涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，据此解答。 【规范解答】（1）淘气说得对，画图略。 （2）40÷4＝10（cm2） 40－3.14×10 ＝40－31.4 ＝8.6（cm2） 则涂色部分的面积是8.6cm2。 【考点剖析】本题属于求组合图形面积的问题，需要先把大正方形平均分为4个小正方形，小正方形的边长就是圆的半径，小正方形面积＝半径×半径，小正方形面积是40÷4＝10（cm2），即半径×半径＝10（cm2），带入圆面积公式，即可求出圆面积。要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。 29．（本题6分）如下图：一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块正方形地毯边缘滚动一周。已知这块地毯的边长是18分米，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米，这个扫地机器人底面圆心走过路线的长度是多少分米？ 【答案】81.42分米 【思路引导】扫地机器人贴合正方形边缘滚动，圆心到正方形各边的距离始终是底面圆的半径。所以圆心走过的路线，是圆心沿着正方形的周长走，同时在四个角处，圆心会走一段圆弧，这些圆弧拼起来是一个完整的圆，圆的半径为扫地机器人圆形底面的半径。即扫地机器人底面圆心走过路线的长度为正方形的周长加上半径为1.5分米的圆的周长。根据，圆的周长公式：，据此列式计算即可。 【规范解答】 （分米） 答：这个扫地机器人底面圆心走过路线的长度是81.42分米。 【考点剖析】本题围绕正方形周长和圆的周长知识点展开，关键是分析出圆心走过的路线由正方形周长和一个底面圆的周长组成，运用这两个图形的周长公式计算后相加，就能得到总长度。 30．（本题6分）如图：（1）是一个直径是12厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】75.36平方厘米 【思路引导】阴影部分的面积等于整个图形的面积减去半圆的面积，整个图形的面积等于一个半圆的面积加上一个圆心角为60°的扇形的面积，所以阴影部分的面积等于圆心角为60°的扇形的面积，这个扇形的半径等于半圆的直径，即。12厘米 【规范解答】 ＝ ＝75.36（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是75.36平方厘米。 【考点剖析】本题考查了不规则图形的面积的计算方法，把不规则图形转化为规则图形来计算是常用的方法。 31．（本题6分）（如下图）A、B是圆直径的两端点，甲从A点、乙从B点同时出发，沿圆周相向而行，两人在C点相遇，已知A、C两点在圆周上的长度为31.4米，甲的速度是乙的，则圆的直径是多少米？ 【答案】70米 【思路引导】因为甲、乙用了相同的时间，甲的速度是乙的，所以甲走的路程是乙的，甲走了31.4米，用31.4除以可求出乙走的路程，甲、乙走的路程和等于圆周长的一半，再乘2就是圆的周长，根据圆的周长公式C＝πd可得：d＝C÷π，代入数据即可求出圆的直径是多少。 【规范解答】31.4÷＋31.4 ＝31.4×＋31.4 ＝78.5＋31.4 ＝109.9（米） 109.9×2÷3.14 ＝219.8÷3.14 ＝70（米） 答：圆的直径是70米。 【考点剖析】本题主要考查相遇问题，解答本题的关键是求出甲、乙两人在相遇时走过的路程和。 第 2 页 共 6 页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 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5．（本题2分）下图，以一个平行四边形的底为直径画一个半圆，阴影①比阴影②的面积小4.3平方厘米，求半圆的面积是( )平方厘米 。 6．（本题2分）用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是( )平方厘米。根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是( )平方厘米。 7．（本题2分）如图中，大正方形的面积是25cm2，小正方形的面积是9cm2，那么圆环的面积是( )。 8．（本题2分）如图中，每个小圆的直径是4cm，那么正六边形的周长是( )cm；阴影部分的面积是( )cm2。 二．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分5分，每小题1分） 9．（本题1分）下面有关圆的说法，正确的是（    ）。 ①一个圆的半径有无数条，直径有无数条。 ②同一个圆中，半径是直径的2倍。 ③圆的半径决定圆的大小。 ④因为扇形是它所在圆的一部分，那么圆的一部分一定是扇形。 A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 10．（本题1分）如图，在正方形内画一个最大的圆，圆内再画一个最大的正六边形，那么正六边形的周长是正方形周长的（    ）。 A． B． C． D．无法确定 11．（本题1分）如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是（    ）。 A． B． C． D． 12．（本题1分）杭州奥体中心体育场——“大莲花”的内部配有奥体训练场，被设计成标准400m的综合田径场（如上图），两端是半圆形，中间是长方形。半径36.5m，直道长85.39m，道宽1.22m。如果在这个场地组织400m田径比赛，下列关于各起跑线间相差的距离，说法正确的是（    ）。 A．第一道和第二道起跑线相差1.22πm B．第二道和第四道起跑线相差3.66πm C．第二道和第五道起跑线相差4.88πm D．第二道和第三道起跑线相差2.44πm 13．（本题1分）有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，如图，则至少需要绳子（ ）分米（结头处绳子不计）。 A． B． C． D． 三．仔细斟酌，准确判断（共5小题，满分5分） 14．（本题1分）小志要把一个半径为0.5米的圆形铁环滚到墙边，铁环初始位置处圆心与墙边之间的距离为13.06米，则铁环要滚动5圈。( ) 15．（本题1分）从一张正方形纸上剪出一个最大的圆，圆的直径小于正方形的边长。( ) 16．（本题1分）周长相等的正方形和圆相比，正方形的面积小。( ) 17．（本题1分）杂技团小红骑的自行车，前轮滚动4周，则后轮要滚动5周，前轮与后轮的直径的比是5∶4。( ) 18．（本题1分）如图，从地到地，走路线①比走路线②近。( ) 四、看清列式，仔细计算（共1小题，满分6分） 19．（本题6分）求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。 五、实践操作，动手动脑(共2小题，满分12分） 20．（本题6分）如左图中两个半径为r的等圆相交且只有一个交点（P1）的位置关系叫作两个圆“相切”，P1点就叫作两个圆的切点，这时发现点O1、P1、O2，在一条直线上。 （1）在左图中添加一个等圆使三个圆相切如右图的位置关系，请用直尺和圆规作图，找到圆心O3并标注在左图中，同时标注另外两个切点P2、P3。（保留作图痕迹） （2）求出作图后的三个“切点”所围成的弧线最短总长。 21．（本题6分）如图小方格的边长表示100米，请根据描述完成作图和计算。 城市“15分钟生活圈”的服务半径一般为750米左右（如图）。具体设施包括大型商超、医院、学校、公园和地铁站等。 （1）某新区规划把学校和社区医院设计在10分钟圈上，请画出这个以社区A为中心的“圈”，标注10min。 （2）求出10－15分钟环间的面积是多少平方米？ （3）在大商场露天平台看社区A在西偏北40°800米处，请画出大商场位置用点C表示。（请标注相关数据） 六、灵活应用，解决问题(共10小题，满分56分） 22．（本题5分）李叔叔家有一块直径为12米的圆形菜地（如图），为了方便管理，他打算在外围铺一条1米宽的环形小路，如果每平方米小路需要水泥15千克，铺好这条小路一共需要多少千克水泥？ 23．（本题5分）一个圆形花坛，直径是12米，在花坛的周围修一条宽1米的石子路。这条石子路的面积是多少平方米？如果每平方米需要石子50千克，修这条石子路一共需要多少千克石子？ 24．（本题5分）世界上最大的树是位于美国加利福尼亚州的雪曼将军树，已有3500多年树龄，树干高约83.3米。其横截面近似于一个直径为5米的圆，横截面的面积是多少平方米？ 25．（本题5分）12月某小学迎来“科创节”，科学小组设计制作出机器人。 如图，环形轨道由两个圆组成，它们只有一个公共点C，大圆直径AC为80厘米，小圆直径BC为48厘米。甲、乙两个小机器人同时从C点出发，都按照每秒4厘米的速度沿顺时针方向滑行，甲机器人沿大圆圆周滑行，乙机器人沿小圆圆周滑行。（取3） (1)当乙机器人第一次回到C点时，滑行了多远？ (2)当乙机器人第一次回到C点时，甲机器人是否已经经过了A点？ (3)现在小朋友改变甲机器人的速度为原来的2倍，乙机器人的速度不变，甲、乙两机器人重新同时从C点出发，各自沿着圆周顺时针不间断地反复滑行，它们是否会在C点相遇？如果相遇，那么此时甲机器人至少滑行了几圈？如果不能相遇，请说明理由。 26．（本题6分）一只狗被栓在一间小房子的墙角上（如图），这间小房子的底面是一个边长为5米的正方形，栓小狗的绳长16米。小狗从点A出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑多少米？ 画一画：画出小狗的运动轨迹。 算一算： 27．（本题6分）一个圆沿着直线滚动圆心运动的轨迹是一条直线，一个圆沿着另一个圆的外周滚动，圆心的运动轨迹会形成一个圆形。盼盼说：“同理，一个圆沿着正方形外周滚动，圆心的运动轨迹会形成一个正方形。”盼盼这样说对吗？ （1）请通过画图、计算等方式说明你支持或反对的理由。 （2）请计算出一个直径2cm的圆沿着边长为4cm的正方形外周滚动一圈，圆心运动轨迹的长度。 （3）请通过其他演算总结出一个圆沿着正多边形外周滚动一圈后，圆心运动轨迹长度的计算公式。（圆心轨迹长度用C，圆的半径用r，正多边形的边长用a，边长数用k表示。） 28．（本题6分）课堂上老师组织探究活动：已知正方形的面积是40cm2，求涂色部分的面积。 淘气举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积。 （1）淘气说得对吗？如果对，请你在图上将淘气的想法表示出来。如果不对，请说明理由。 （2）涂色部分的面积是（    ）cm2。 29．（本题6分）如下图：一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块正方形地毯边缘滚动一周。已知这块地毯的边长是18分米，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米，这个扫地机器人底面圆心走过路线的长度是多少分米？ 30．（本题6分）如图：（1）是一个直径是12厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 31．（本题6分）（如下图）A、B是圆直径的两端点，甲从A点、乙从B点同时出发，沿圆周相向而行，两人在C点相遇，已知A、C两点在圆周上的长度为31.4米，甲的速度是乙的，则圆的直径是多少米？ 第 2 页 共 6 页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $