直线与平面平行的判定与性质 专项训练-2027届高三数学一轮复习

直线与平面平行的判定与性质专项训练 判定定理 · 性质定理 · 专项训练 【学生版】 适用：高二同步新授 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展提升」收纳与本节内容直接相关的延伸，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签标注了所用方法或所考定理，做题时可以按标签回到对应板块核对思路。 • 图上实线是看得见的棱、虚线是被挡住的棱，描点的字母是题目新添的点。先看懂图再动笔，别把虚线当成实线去用。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。写证明题时把判定定理的三个条件（平面外、平面内、平行）逐条写全，这是本节最容易丢分的地方。 直线与平面平行的判定与性质专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册 8.5 直线、平面平行的判定与性质。本节围绕「一条直线」与「一个平面」的平行关系展开：怎样用判定定理证明平行、怎样用性质定理把平行还原成线线平行、以及怎样求线面距离；只在例 4 与练习 5 中顺带用到等体积法求距离，不系统讨论角度与体积的计算。 题源：本节 10 题依据近三年（2024—2026）高考真题与各地统考、模拟的问法编拟或同型改编，不逐题标注卷别。所有答案与过程均已逐题独立演算核对，全册配图。 一、知识要点 （一）直线与平面的位置关系 1. 直线与平面的位置关系只有三种：直线在平面内（，有无数个公共点）、直线与平面相交（，有且只有一个公共点）、直线与平面平行（，没有公共点）。按公共点的个数分类是最不容易出错的分法。 2. 「直线在平面内」不属于「平行」。写 之前必须先确认 ，这是判定定理里最容易漏掉的一个条件。 3. 直线与平面平行时， 与 内的直线要么平行、要么异面，但一定没有公共点；反过来，由「 与 内某条直线没有公共点」推不出 ——异面也没有公共点。 4. 记法：、、。画图时把 画成与平面的一条边平行、并且不穿过平面，一眼就能读出位置关系。 （二）判定定理与找平行线的三条途径 5. 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。符号语言：由 、、，可得 。 6. 三个条件缺一不可：少了 ， 可能就在 内；少了 ，平行线根本不在平面里；少了 ，结论没有依据。写过程时三条必须逐条写全。 7. 途径一（中位线）：三角形（或梯形）中，连接两边中点的线段平行于第三边。题中出现两个中点时，第一反应就是连中位线；只有一个中点，就自己补第二个。 8. 途径二（平行四边形）：证四边形的一组对边平行且相等，得平行四边形，再由另一组对边平行得到所需的线线平行。棱柱、棱锥里「两条平行线段的中点连到一起」往往正好构成一个平行四边形，甚至矩形。 9. 途径三（面面平行）：若 ，则 内的任意一条直线都平行于 。题中若已经出现两个平行的平面，用它最快，连中位线都省了。 10. 途径四（补作平行线）：图中没有现成的中点与平行四边形时，自己动手制造平行——过棱上的点作另一条棱（或对角线）的平行线，由「平行线分线段成比例」先定出落点，再套判定定理。平行线一出现，判定定理立刻可用；动点、比例问题都走这条路。 （三）性质定理与线面距离 11. 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。符号语言：由 、、，可得 。 12. 两条定理的作用方向正好相反：判定定理把「线线平行」升级成「线面平行」，性质定理把「线面平行」还原成「线线平行」。求线段的比时几乎都用后者。 13. 用性质定理的关键一步是「造一个过 的辅助平面 」。 要选得让交线 落在已知图形里（通常选经过 和某条已知直线的平面），否则交线画不出来，定理根本用不上。 14. 线面距离：若 ，则 上任意一点到 的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离。求它时只需在 上取一个好算的点，通常取端点或中点。 15. 点到平面的距离有两种算法：几何法——作出垂线段，放进直角三角形里算；等体积法——把高放进三棱锥，用 反解出高。线面平行时先用「距离处处相等」把直线到平面的距离换成一个好算的点的距离。 二、方法提炼 方法1　中位线法：见两个中点就连，连完先说清「这条中位线落在哪个平面内」，再套判定定理。若只有一个中点，就自己补出第二个中点。写过程时把「 是 的中点、 是 的中点，所以 是 的中位线」整句写全，不要跳步。 方法2　平行四边形法：证一组对边平行且相等，得平行四边形，再由另一组对边平行得到所需的线线平行。棱柱中两条平行线段的中点连线常构成平行四边形；判定它是不是矩形，用勾股逆定理（两条邻边的平方和等于对角线平方），不要凭图形「看着周正」。 方法3　面面平行与线面平行互化：一方面，若 ，则 内的任意直线都平行于 ；另一方面，若两条相交直线都平行于同一个平面，则它们确定的平面也平行于该平面。见到「两个平面平行」或「平面内两条相交直线」就想到它。 方法4　辅助平面法（动点与比例）：先过已知点作一条与平面内直线平行的辅助线（常用中位线或「平行线分线段成比例」定落点），让辅助线与题目直线确定辅助平面；若辅助平面内两条相交直线都平行于已知平面，由面面平行的判定得两平面平行，再用性质定理把「线面平行」还原成线线平行、平行线分线段成比例。动点轨迹、求线段的比，都走这条路——例 4 与练习 4、练习 6 就是它的三个版本。 三、易错提醒 ◆ 漏写「直线在平面外」：只说 、 就下结论 ，是本节第一大错， 完全可能也在 内。 ◆ 以为 时 平行于 内的任意直线：其实只有与 共面的那些才平行， 内其余直线与 异面。 ◆ 把「没有公共点」当成平行：异面直线也没有公共点，但绝不平行。位置关系要按公共点的个数与是否共面一起判断。 ◆ 用性质定理时不交代辅助平面：必须先写「过 作平面 ，」，否则推理链断了一环，阅卷时是要扣分的。 ◆ 中位线找错三角形：连线之前先问一句「这两个中点是不是同一个三角形两条边的中点」，不是的话就得换三角形，或者自己补中点。 ◆ 动点轨迹只验端点不证一般性：先由两个特殊位置定出轨迹的「候补线段」，还要说明线段上每一点都满足条件、线段外都不满足——中间环节通常靠「面面平行」补上，只验端点就把轨迹写成线段，中间漏点、外面混点都会错。 ◆ 把线面距离算成点到点的距离：线面距离是直线上任一点到平面的垂线段长，取斜线段、或者取到平面上离得最近的顶点，都会算错。 四、例题精讲 【例 1】 判定定理 · 线面位置关系（多选） 题注：四个选项各考一条路径——平面与平面的交线、面面平行的传递、异面的识别、判定定理的完整使用。逐项过关，不要凭图猜。 如图，在正三棱柱 中， 为 的中点， 为 的中点，则（　　） A． 平面 　　　　B． 平面 C．　　　D． 平面 【例 2】 方法1 · 中位线法与平行四边形法 题注：三个中点分处三条线，第（1）问补一个中点就有中位线；第（2）问先认清楚 在哪，平面 其实就是平面 。 如图， 为正方形 所在平面外一点，、、 分别为 、、 的中点。求证： （1） 平面 ；　　（2） 平面 。 【例 3】 方法3 · 面面平行与线面平行互化 题注：三个分点比例相同，截面 与底面 平行；体积比不必算高，用相似比一次到位。 如图，在三棱锥 中，点 、、 分别在棱 、、 上，且 。 （1）求证：平面 平面 ； （2）若三棱锥 的体积为 27，求三棱锥 的体积。 【例 4】 方法4 · 辅助平面法（动点轨迹） 题注：点 在一个面上动，条件只有「 平面 」一句话。思路是先找两个特殊位置定出「候补线段」，再用面面平行把整条线段补全。 如图，正方体 的棱长为 2， 是棱 的中点，点 是正方形 内（含边界）的动点，且 平面 。 （1）求点 的轨迹，并求轨迹的长； （2）求点 到平面 的距离。 五、巩固练习 1. 判定定理 · 三个条件 （多选）已知 、 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列条件中能推出 的是（　　） A．，　　　　B． 与 没有公共点 C．，，　　D．， 2. 方法1 · 中位线法 如图，正方体 的棱长为 2，、 分别是棱 、 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求直线 到平面 的距离。 3. 方法1 · 中位线法 如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，、 分别是棱 、 的中点。求证： 平面 。 4. 方法4 · 辅助平面法（定比例） 如图，正方体 的棱长为 2， 是棱 的中点，点 在棱 上，且 平面 。求 。 5. 方法1 · 中位线法（解答题结构） 题注：第（1）问是高考最典型的「取中点 + 中位线」；第（2）问先想清楚「线面平行 ⇒ 距离处处相等」，再挑一个好算的点。 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ，， 为棱 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求直线 到平面 的距离。 6. 方法4 · 辅助平面法（性质定理求比例） 如图，在三棱柱 中， 是棱 上一点，且 ，点 在棱 上，且 平面 。求 。 六、拓展提升（与本节内容直接相关的延伸） 以下 4 条与本节内容直接相关的延伸，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 1. 线面平行在体积题里最有用的推论：动点落在与底面平行的平面上时，它到底面的距离为定值，体积也随之定值——例 3 的体积比正是这一条的相似比版本。反过来，若动点所在平面与底面相交，体积必须写成关于参数的函数再讨论取值范围，判断的依据只有一条：动点所在的平面是否与底面平行。 2. 计数问题：正方体的十二条棱中，与某一条指定棱平行的有 3 条，与某个指定平面（如底面 ）平行的棱有 4 条。「八个顶点、十二条棱、六个面一共能配出多少组线面平行」是近年选择题爱考的题型，穷举时按棱的方向只有三类来分组，比逐条数快得多。 3. 线面平行与截面是一对孪生工具：截面的一条边落在某个面内，就自动平行于与该面平行的平面。例 4 的轨迹线段 其实就是「与平面 平行的平面」与正方形 的交线——把它看成截面问题：先造出与已知平面平行的截面，截面与动点所在面的交线就是轨迹，与例 4 的「面面平行补一般性」殊途同归。 4. 性质定理在高考中常以「求线段的比」的面目出现：先由线面平行得到线线平行，再用平行线分线段成比例或相似三角形算比，练习 6 的 即为一例。它的难点不在定理本身而在辅助平面的选择——记住一条：把辅助平面选成「经过已知直线和另一条已知直线」的平面，交线才画得出来。 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与平面平行的判定与性质专项训练 判定定理 · 性质定理 · 专项训练 【教师版】 适用：高二同步新授 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展提升」收纳与本节内容直接相关的延伸，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签标注了所用方法或所考定理，做题时可以按标签回到对应板块核对思路。 • 图上实线是看得见的棱、虚线是被挡住的棱，描点的字母是题目新添的点。先看懂图再动笔，别把虚线当成实线去用。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。写证明题时把判定定理的三个条件（平面外、平面内、平行）逐条写全，这是本节最容易丢分的地方。 直线与平面平行的判定与性质专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册 8.5 直线、平面平行的判定与性质。本节围绕「一条直线」与「一个平面」的平行关系展开：怎样用判定定理证明平行、怎样用性质定理把平行还原成线线平行、以及怎样求线面距离；只在例 4 与练习 5 中顺带用到等体积法求距离，不系统讨论角度与体积的计算。 题源：本节 10 题依据近三年（2024—2026）高考真题与各地统考、模拟的问法编拟或同型改编，不逐题标注卷别。所有答案与过程均已逐题独立演算核对，全册配图。 一、知识要点 （一）直线与平面的位置关系 1. 直线与平面的位置关系只有三种：直线在平面内（，有无数个公共点）、直线与平面相交（，有且只有一个公共点）、直线与平面平行（，没有公共点）。按公共点的个数分类是最不容易出错的分法。 2. 「直线在平面内」不属于「平行」。写 之前必须先确认 ，这是判定定理里最容易漏掉的一个条件。 3. 直线与平面平行时， 与 内的直线要么平行、要么异面，但一定没有公共点；反过来，由「 与 内某条直线没有公共点」推不出 ——异面也没有公共点。 4. 记法：、、。画图时把 画成与平面的一条边平行、并且不穿过平面，一眼就能读出位置关系。 （二）判定定理与找平行线的三条途径 5. 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。符号语言：由 、、，可得 。 6. 三个条件缺一不可：少了 ， 可能就在 内；少了 ，平行线根本不在平面里；少了 ，结论没有依据。写过程时三条必须逐条写全。 7. 途径一（中位线）：三角形（或梯形）中，连接两边中点的线段平行于第三边。题中出现两个中点时，第一反应就是连中位线；只有一个中点，就自己补第二个。 8. 途径二（平行四边形）：证四边形的一组对边平行且相等，得平行四边形，再由另一组对边平行得到所需的线线平行。棱柱、棱锥里「两条平行线段的中点连到一起」往往正好构成一个平行四边形，甚至矩形。 9. 途径三（面面平行）：若 ，则 内的任意一条直线都平行于 。题中若已经出现两个平行的平面，用它最快，连中位线都省了。 10. 途径四（补作平行线）：图中没有现成的中点与平行四边形时，自己动手制造平行——过棱上的点作另一条棱（或对角线）的平行线，由「平行线分线段成比例」先定出落点，再套判定定理。平行线一出现，判定定理立刻可用；动点、比例问题都走这条路。 （三）性质定理与线面距离 11. 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。符号语言：由 、、，可得 。 12. 两条定理的作用方向正好相反：判定定理把「线线平行」升级成「线面平行」，性质定理把「线面平行」还原成「线线平行」。求线段的比时几乎都用后者。 13. 用性质定理的关键一步是「造一个过 的辅助平面 」。 要选得让交线 落在已知图形里（通常选经过 和某条已知直线的平面），否则交线画不出来，定理根本用不上。 14. 线面距离：若 ，则 上任意一点到 的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离。求它时只需在 上取一个好算的点，通常取端点或中点。 15. 点到平面的距离有两种算法：几何法——作出垂线段，放进直角三角形里算；等体积法——把高放进三棱锥，用 反解出高。线面平行时先用「距离处处相等」把直线到平面的距离换成一个好算的点的距离。 二、方法提炼 方法1　中位线法：见两个中点就连，连完先说清「这条中位线落在哪个平面内」，再套判定定理。若只有一个中点，就自己补出第二个中点。写过程时把「 是 的中点、 是 的中点，所以 是 的中位线」整句写全，不要跳步。 方法2　平行四边形法：证一组对边平行且相等，得平行四边形，再由另一组对边平行得到所需的线线平行。棱柱中两条平行线段的中点连线常构成平行四边形；判定它是不是矩形，用勾股逆定理（两条邻边的平方和等于对角线平方），不要凭图形「看着周正」。 方法3　面面平行与线面平行互化：一方面，若 ，则 内的任意直线都平行于 ；另一方面，若两条相交直线都平行于同一个平面，则它们确定的平面也平行于该平面。见到「两个平面平行」或「平面内两条相交直线」就想到它。 方法4　辅助平面法（动点与比例）：先过已知点作一条与平面内直线平行的辅助线（常用中位线或「平行线分线段成比例」定落点），让辅助线与题目直线确定辅助平面；若辅助平面内两条相交直线都平行于已知平面，由面面平行的判定得两平面平行，再用性质定理把「线面平行」还原成线线平行、平行线分线段成比例。动点轨迹、求线段的比，都走这条路——例 4 与练习 4、练习 6 就是它的三个版本。 三、易错提醒 ◆ 漏写「直线在平面外」：只说 、 就下结论 ，是本节第一大错， 完全可能也在 内。 ◆ 以为 时 平行于 内的任意直线：其实只有与 共面的那些才平行， 内其余直线与 异面。 ◆ 把「没有公共点」当成平行：异面直线也没有公共点，但绝不平行。位置关系要按公共点的个数与是否共面一起判断。 ◆ 用性质定理时不交代辅助平面：必须先写「过 作平面 ，」，否则推理链断了一环，阅卷时是要扣分的。 ◆ 中位线找错三角形：连线之前先问一句「这两个中点是不是同一个三角形两条边的中点」，不是的话就得换三角形，或者自己补中点。 ◆ 动点轨迹只验端点不证一般性：先由两个特殊位置定出轨迹的「候补线段」，还要说明线段上每一点都满足条件、线段外都不满足——中间环节通常靠「面面平行」补上，只验端点就把轨迹写成线段，中间漏点、外面混点都会错。 ◆ 把线面距离算成点到点的距离：线面距离是直线上任一点到平面的垂线段长，取斜线段、或者取到平面上离得最近的顶点，都会算错。 四、例题精讲 【例 1】 判定定理 · 线面位置关系（多选） 题注：四个选项各考一条路径——平面与平面的交线、面面平行的传递、异面的识别、判定定理的完整使用。逐项过关，不要凭图猜。 如图，在正三棱柱 中， 为 的中点， 为 的中点，则（　　） A． 平面 　　　　B． 平面 C．　　　D． 平面 【答案】BD 【解析】A：平面 与底面 有公共点 、，所以两平面的交线就是直线 。在正三角形 中， 是 边上的中线，与 相交于顶点 ；而 不在直线 上，故 平面 。于是直线 与平面 有且只有一个公共点 ，即 平面 。故 A 正确。 B：棱柱的上、下底面互相平行（棱柱的结构特征），而 平面 ，由两个平面平行的性质（其中一个平面内的任意直线都平行于另一个平面），得 平面 。故 B 正确。 C：（棱柱的底面平行且相等）。假设 与 共面，则该平面经过直线 与点 ，只能是平面 ，于是 应落在两平面的交线 上，与 是 的中点矛盾。所以 与 是异面直线，不平行。故 C 错误。 D：， 平面 ，而 平面 （平面 与底面只交于直线 ， 不在 上），故 平面 ，由判定定理得 平面 。故 D 正确。 综上，选 BD。 【点拨】多选题逐项排查：A 项抓住「平面 与底面的交线是 」识破相交；B 项用两底面平行直接传递；C 项反证共面引出矛盾；D 项把判定定理的三个条件逐条写全。B、D 都是真正的平行，但路径不同——B 靠「面面平行、线线平行」的传递，D 靠判定定理，两条路径对比着记。 【例 2】 方法1 · 中位线法与平行四边形法 题注：三个中点分处三条线，第（1）问补一个中点就有中位线；第（2）问先认清楚 在哪，平面 其实就是平面 。 如图， 为正方形 所在平面外一点，、、 分别为 、、 的中点。求证： （1） 平面 ；　　（2） 平面 。 【答案】见解析 【解析】（1）取 的中点 ，连接 、。 在 中，、 分别是 、 的中点，故 是中位线，得 且 。 由 是正方形得 且 ；又 是 的中点，故 。于是 且 ，四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等），所以 。 由 平面 ，而 平面 （平面 与底面只交于直线 ， 不在 上），故 平面 。由判定定理得 平面 。 （2）因为 在棱 上，所以 、、 三点确定的平面就是平面 ，即平面 与平面 是同一个平面。 由 、 分别是 、 的中点，得 且 ，故四边形 是平行四边形，于是 。 又 平面 ， 平面 ，由判定定理得 平面 ，即 平面 。 【点拨】第（2）问的关键不是找中点，而是「认出平面」： 在 上，所以过 、、 的平面与过 、、 的平面是同一个。把「三个点确定的平面」先化简成图形里现成的平面，是这类题提速最多的一步。 【例 3】 方法3 · 面面平行与线面平行互化 题注：三个分点比例相同，截面 与底面 平行；体积比不必算高，用相似比一次到位。 如图，在三棱锥 中，点 、、 分别在棱 、、 上，且 。 （1）求证：平面 平面 ； （2）若三棱锥 的体积为 27，求三棱锥 的体积。 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】（1）由 ，得 。 在 中，，由平行线分线段成比例得 ；同理，在 中 ，在 中 。 由 、 平面 、 平面 ，得 平面 ；同理 平面 。 又 ，、 平面 ，由面面平行的判定定理得 平面 平面 。 （2）由 ，三棱锥 与三棱锥 的三条侧棱对应成比例，相似比为 ，故体积比为 ，所以 。 【点拨】（1）证面面平行必须落到「两条相交直线分别平行于另一个平面」，只证一条不够；（2）体积比千万别写成相似比本身——长度比 ，面积比 ，体积比 ，三次方这一步最容易错。 【例 4】 方法4 · 辅助平面法（动点轨迹） 题注：点 在一个面上动，条件只有「 平面 」一句话。思路是先找两个特殊位置定出「候补线段」，再用面面平行把整条线段补全。 如图，正方体 的棱长为 2， 是棱 的中点，点 是正方形 内（含边界）的动点，且 平面 。 （1）求点 的轨迹，并求轨迹的长； （2）求点 到平面 的距离。 【答案】（1）轨迹是线段 ，其中 为棱 的中点，长为 ；（2） 【解析】连接 、，设交点为 ，连接 ；取 的中点 ，连接 、、。 （1）第一步，找两个满足条件的特殊位置。在 中， 是 的中点， 是 的中点，故 是中位线，。由 、 都在平面 内（ 是 的中点，而 平面 ），得 平面 ；又平面 与底面 的交线是 ，而 不在 上，故 平面 ，即 平面 。由判定定理得 平面 ，所以点 满足条件。 再看 ： 与 分别是两条侧棱 、 的一半，故 且 ，四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等），于是 。由 平面 ，又 平面 ：若 在平面 内，则直线 （即直线 ）整条落在平面 内， 也是公共点，于是平面 就是由 、、 确定的平面 ；但 平面 ，故 平面 ，直线 上的点都不在该平面内，即 平面 ，矛盾。故 平面 。由判定定理得 平面 ，所以点 也满足条件。 第二步，用面面平行把两个特殊位置连起来。，两条相交直线 、 都平行于平面 ，且都落在平面 内，由面面平行的判定定理得 平面 平面 。 第三步，确定轨迹。平面 与正方形 所在的平面有公共点 、（ 不在这个侧面内，两平面不重合），故两平面相交，交线就是直线 。若 是线段 上任意一点，则 、 都在平面 内， 平面 平面 ，故 平面 ，线段上每一点都满足条件。 反之，若正方形 内的点 满足 平面 ：直线 平行于平面 ，而平面 也平行于平面 ，过直线 任作一个平面，它与两个平行平面的交线互相平行（面面平行的性质），于是直线 平行于平面 内的这条交线，从而 平面 或 平面 ；又直线 过平面 内的点 ，过平面内一点与平面平行的直线必在平面内，两种情形都有 平面 。于是 平面 ，结合 在正方形 内，得 在直线 上，即 在线段 上。综上，轨迹就是线段 。 轨迹长：在正方形 内，，故 。 （2）因为 平面 ，直线 上各点到平面 的距离都相等，故点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，设为 。用等体积法求 ：把三棱锥 换个顶点看成三棱锥 。底面 落在侧面 内（、 在棱 上， 是顶点），以 为底， 到直线 的距离等于 ，故 ；顶点 到侧面 的距离等于 ，故 ，即 。 再算底面 的面积：（底面对角线）， 是 的中点，故 ； 是 的中点， 在直角三角形 中（ 在棱 上，正方体的侧棱垂直于底面，故 ），（ 是底面对角线的一半，）。等腰三角形 中 是底边 上的中线，也是高，故 。 由 ，得 。 【点拨】动点轨迹题的两个固定动作要记住：其一，先找两个满足条件的特殊位置（这里用中位线和平行四边形各造一个），它们圈出「候补线段」；其二，用面面平行补一般性——过动点的直线平行于一个平面，与它平行的另一个平面「接住」这条直线，轨迹自然落在两平面的交线上。另外第（2）问揭示了一条常用结论：与平面平行的直线上，各点到该平面的距离处处相等；求距离时优先考虑等体积法，把高换到一个面积好算、高也好算的顶点上。 五、巩固练习 1. 判定定理 · 三个条件 （多选）已知 、 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列条件中能推出 的是（　　） A．，　　　　B． 与 没有公共点 C．，，　　D．， 【答案】BC 【解析】A 不能：可能 。例如 内有两条平行直线 、，则 、 都成立，但 ，结论不成立。 B 能： 与 没有公共点，正是直线与平面平行的定义。 C 能：平面外、平面内、平行三个条件齐备，正是判定定理的标准形式。 D 不能： 与 没有公共点，只说明它们平行或异面；异面时 完全可能与 相交，也可能就在 内。 故选 BC。 【点拨】判断「能不能推出」，逐条问自己两个问题：够不够判定定理的三个条件？有没有反例？A 与 D 的反例在同一个长方体内就能画出来，动手画一遍比空想可靠得多。 2. 方法1 · 中位线法 如图，正方体 的棱长为 2，、 分别是棱 、 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求直线 到平面 的距离。 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】（1）连接 、。在 中，、 分别是 、 的中点，所以 是中位线，。 又 ，且 平面 ，故 且 平面 。 因为 ， 平面 ，所以 平面 。由判定定理得 平面 。 （2）由 平面 知，直线 上各点到平面 的距离都相等，故所求距离就是点 到平面 的距离。 而 整个落在上底面 内，上、下底面平行且相距一个棱长，所以这个距离等于棱长 2。 【点拨】第（2）问千万别去作垂线：一旦知道线面平行，就取直线上最好算的那个点（这里取端点 ），它到平面的距离就是线面距离。再进一步，看到 在上底面内、而上下底面本来平行，答案其实可以直接读出来。 3. 方法1 · 中位线法 如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，、 分别是棱 、 的中点。求证： 平面 。 【答案】见解析 【解析】在 中，、 分别是 、 的中点，所以 是中位线，。 又底面 是平行四边形，故 ，于是 。 因为 平面 ，而 、 分别在棱 、 上（都不是端点），所以 平面 。 由判定定理（平面外一条直线平行于平面内一条直线），得 平面 。 【点拨】两步中位线加一次平行四边形，是这类题的固定套路： 靠中位线， 靠平行四边形，合起来就是 。写过程时每一步的依据都要标出来，最后别忘了补上「 不在平面 内」这一条。 4. 方法4 · 辅助平面法（定比例） 如图，正方体 的棱长为 2， 是棱 的中点，点 在棱 上，且 平面 。求 。 【答案】（ 是棱 的中点） 【解析】取 的中点 ，连接 、。 在 中，、 分别是 、 的中点，故 是中位线，。由 平面 ，而 不在该平面内（平面 与底面 的交线是 ， 在 上不在 上），故 平面 ，由判定定理得 平面 。 已知 平面 ，而 ，两条相交直线都平行于平面 ，由面面平行的判定定理得 平面 平面 。 于是 平面 平面 ，即 平面 。另一方面 侧面 （ 在 上， 在 上），而侧面 与平面 的交线是 ，由性质定理得 ，即 。 说明 恰在 的正上方（ 上与 上 对应的点），而 是 的中点，故 是 的中点，即 。 【点拨】本题的「平行」是条件，「比例」是结论，方向与例题相反——这正是性质定理的用武之地：由线面平行还原出线线平行。两个动作要记住：先造一条自己能控制的平行线（）把辅助平面立起来，再用「辅助平面内的直线平行于已知平面」还原到交线上，落点、比例就都出来了。 5. 方法1 · 中位线法（解答题结构） 题注：第（1）问是高考最典型的「取中点 + 中位线」；第（2）问先想清楚「线面平行 ⇒ 距离处处相等」，再挑一个好算的点。 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ，， 为棱 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求直线 到平面 的距离。 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）连接 、，设交点为 ，连接 。 因为 是正方形，所以 是 的中点；又 是 的中点，故在 中 是中位线，得 。 由 、 平面 ，知 平面 ，又 平面 ，故 平面 ；而 平面 （若 在平面 内，则平面 经过 、、 三点，就是底面 ，但 在棱 上不在底面内，矛盾），故 平面 。由判定定理得 平面 。 （2）因为 平面 ，所以直线 上各点到平面 的距离都相等，只需求点 到平面 的距离，设为 。用等体积法：把三棱锥 换个顶点看成三棱锥 。底面 是底面正方形的一半，； 是 的中点， 到底面的距离为 ， 在底面内，故 到底面的距离为 ，所以 ，即 。 再算 的三边。（底面对角线）。，故 ；由 （题给 底面的直接推论），，即 ，在 中由余弦定理：，得 。 在 中 ，故 。在 中，由 、、，余弦定理给出 ；而 ，在 中：，得 。 由 ，由勾股的逆定理知 ，故 。 由 ，得 。 【点拨】第（2）问的第一句话是得分点：先写「线面平行 ⇒ 距离处处相等」，再挑最好算的点（这里取 ）。求距离用等体积法：体积走「中点减半」一步可得；面积用三边长加勾股逆定理判直角——把 的三条边分别在各自平面三角形里用勾股、余弦定理算出来，比在空间里直接找高更稳。 6. 方法4 · 辅助平面法（性质定理求比例） 如图，在三棱柱 中， 是棱 上一点，且 ，点 在棱 上，且 平面 。求 。 【答案】 【解析】过 作 ，交 于点 ，连接 。在 中，由 得 （平行线分线段成比例）。 由 、 平面 ，而 在棱 的内部，不在平面 内，故 平面 （判定定理）。 又题给 平面 ，且 ，两条相交直线都平行于平面 ，由面面平行的判定定理得 平面 平面 。 于是 平面 平面 ，即 平面 。而 侧面 （ 在 上， 在 上），侧面 与平面 的交线是 ，由性质定理得 ，即 。 在侧面 中， 且 ，故四边形 的两组对边分别平行，是平行四边形，得 ；从而 。所以 。 【点拨】本题的「平行」是条件，「比例」是结论，方向与例题相反——这正是性质定理的用武之地：由线面平行还原出线线平行。两个动作要记住：先作一条自己能控制的平行线（）把辅助平面立起来，再把「辅助平面内的直线平行于已知平面」还原到交线上，比例就出来了。平行线分线段成比例在这里出现两次：一次定出 的位置（），一次把比例传递到 上。 六、拓展提升（与本节内容直接相关的延伸） 以下 4 条与本节内容直接相关的延伸，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 1. 线面平行在体积题里最有用的推论：动点落在与底面平行的平面上时，它到底面的距离为定值，体积也随之定值——例 3 的体积比正是这一条的相似比版本。反过来，若动点所在平面与底面相交，体积必须写成关于参数的函数再讨论取值范围，判断的依据只有一条：动点所在的平面是否与底面平行。 2. 计数问题：正方体的十二条棱中，与某一条指定棱平行的有 3 条，与某个指定平面（如底面 ）平行的棱有 4 条。「八个顶点、十二条棱、六个面一共能配出多少组线面平行」是近年选择题爱考的题型，穷举时按棱的方向只有三类来分组，比逐条数快得多。 3. 线面平行与截面是一对孪生工具：截面的一条边落在某个面内，就自动平行于与该面平行的平面。例 4 的轨迹线段 其实就是「与平面 平行的平面」与正方形 的交线——把它看成截面问题：先造出与已知平面平行的截面，截面与动点所在面的交线就是轨迹，与例 4 的「面面平行补一般性」殊途同归。 4. 性质定理在高考中常以「求线段的比」的面目出现：先由线面平行得到线线平行，再用平行线分线段成比例或相似三角形算比，练习 6 的 即为一例。它的难点不在定理本身而在辅助平面的选择——记住一条：把辅助平面选成「经过已知直线和另一条已知直线」的平面，交线才画得出来。 学科网（北京）股份有限公司 $