24.2 圆的基本性质（第2课时 垂径分弦）（教学课件）数学新教材沪科版九年级下册

【新教材】沪科版·九年级下册 第24章 圆 24.2 圆的基本性质 第2课时 垂径分弦 学 习 目 标 1 2 3 了解圆的轴对称性，探索并证明垂径定理及其推论，能运用垂径定理进行计算与证明. 经历观察、实验、猜想、证明等探究过程，培养几何直观和推理能力，体会转化与方程的数学思想. 了解垂径定理在实际生活中的应用，感受数学的应用价值和我国古代桥梁建筑的数学文化. 历史悠久 智慧结晶 它又名“安济桥”,位于河北省赵县,是我国现存的著名的古代石拱桥,距今已有1400年了，是隋代开皇大业年间由著名匠师李春设计建造的,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,全长50.82米,桥宽约10米, 跨径37.02米,拱高7.23米,是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥。 新知导入 它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 新知导入 37m 7.23m A B O R AD=BD ? C D R-7.23 新知导入 新知探究 1.在透明纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，如图24-20，你发现了什么？ 1.7.2013 请同学们按教材步骤动手探究：第一步，把圆沿一条直径折叠，发现直径两侧的半圆完全重合；第二步，在半圆上刺一个孔，摊平后得到两个重合点A、B，连接AB成弦，发现直径CD垂直于AB且平分AB；第三步，观察发现弧AD=弧DB，弧AC=弧CB。这就是我们今天要学习的垂径定理。 ‹#› O 圆是轴对称图形 对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 新知探究 新知探究 2. 折叠 后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点 A，B。把折叠的圆摊平，那么折痕 CD 是直径，点 A，B 是关于直线 CD 对称的一对对应点。连接 AB，得弦 AB（如图 24-21）。这时直径 CD 与弦 AB 有怎样的位置关系？ CD⊥ AB 1.7.2013 请同学们按教材步骤动手探究：第一步，把圆沿一条直径折叠，发现直径两侧的半圆完全重合；第二步，在半圆上刺一个孔，摊平后得到两个重合点A、B，连接AB成弦，发现直径CD垂直于AB且平分AB；第三步，观察发现弧AD=弧DB，弧AC=弧CB。这就是我们今天要学习的垂径定理。 ‹#› 3.直径CD把分成 分成AD和BD两部分，把ACB ⌒ ⌒ ⌒ 分成AC和CB 两部分，这是AD与DB，AC与CB各有怎样的关系？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 相等 新知探究 · O A D E C B 线段： AE=BE ⌒ ⌒ 直径CD平分弦AB，并且平分AB,ACB ⌒ 弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ ⌒ ⌒ ⌒ 新知探究 从刚才的探究当中你能得到什么结论？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理 文字语言 图形语言 几何语言 垂直于弦的直径 平分弦并且平分弦所对的两条弧 , ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 新知探究 下列图形是否具备应用垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 针对训练 12 1、应用垂径定理满足的条件： 过圆心 垂直于弦 2、定理中“垂直于弦的直径”可能是以直径, 也可能是以半径,过圆心的线段或直线的形式来体现. A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 3、常见的几种类型 归纳小结 典例精析 例2.如图，的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到AB的距离. 解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB,垂足为点E，则 AE=EB=AB = 又∵在， ∴OE= = =4cm 所以圆心O到AB的距离为4cm. 圆心到弦的距离为弦心距.如图中的OE. 在你的圆上作一条弦AB,取AB中点E,过点E作直径CD （1）CD与AB的位置关系是什么？为什么？ （2） · O A B C D E ⌒ AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （1）连接A O,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. ⌒ ⌒ 新知探究 垂径定理的推论 文字语言 图形语言 几何语言 平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. , ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 新知探究 如下图，⊙O的直径为CD=10cm，AB是⊙O的弦，AE=BE,OE:OC=3:5,则AB的长为 . 针对训练 8cm 17 37m 7.23m A B O C D 解：用 表示主 桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R． 过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为D。 例3.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，计算 赵州桥主桥拱的半径为多少？ 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OD=OC－CD=R－7.23 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.52+（R－7.23）2 解得：R≈27．3（m） 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 因为：OC⊥AB ∴AD=AB=18.5 典例精析 规律方法 d r 常构造以弦、半径、弦心距为边的直角三角形 利用垂径定理和勾股定理来解决 r2 = d2 + 在垂径定理的应用中 涉及弦长a，圆心到弦的距离d， 半径r等量时 巩固新知 1.如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是(　　) A．AE＝BE B．OE＝DE 2.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5.则DC的长是_______ B 2 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． (1)求证：AD＝BC； (2)若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长为________． （1）证明：过点O作OH⊥CD于点H. ∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH， ∴AH＋DH＝BH＋CH，∴AD＝BC. 巩固新知 （2026•南充）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，OB＝CD＝2，则OE长为（　　） A．1 B． C．2 D．5 B （2026•苏州）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由ABC，线段CD，DE，EA四部分构成，AE，CD分别垂直于地面l．经测量，该月洞门的最高点B到地面的距离为21分米，AE＝CD＝3分米，DE＝12分米，则ABC所在圆的半径为 分米． 10 真题感知 垂径分弦 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对优 弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三” 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小结 23 筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有一千多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度(即水面下方的圆上任一点距离水面的最大距离)为1米． (1)求该圆的半径OA； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米，则水面上涨的高度为________米． 课后练习 作业布置 1.基础性作业：课本P18练习1、2和课本P19练习1、2. 2.发展性作业：已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ）A．或 B．或 C． D． 3.拓展性作业：小亮在学习了圆的有关性质后，为验证自己的学习成果，打算只用一张矩形纸条和刻度尺测量家中的碗口直径．如图，将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．求碗口的直径（忽略碗壁厚度）． 【新教材】沪科版·九年级下册 感谢聆听! C．＝ D．＝ $