27.2反比例函数的图象与性质（第1课时课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

教材】人教版 ·九年级上册 第二十七章反比例函数 27.2反比例函数的图象和性质 第1课时图象与性质 1 学 习 目 标 理解并掌握反比例函数的图象特征(双曲线)及k>0、 k<0 时的象限分布和增减性； 2 掌握用描点法画反比例函数图象的步骤，能初步运用性质 解决简单问题. 3 经历“类比猜想 → 动手画图 →观察归纳 → 推理论证”的探究 过程，体会类比、数形结合和从特殊到一般的数学思想， 提升动手操作和逻辑推理能力 . 1 熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式； 2 运用反比例函数的图象与性质判断函数图象所在象限、增 减性，判断点是否在函数图象上； 3 经历“问题分析→方法提炼→ 变式拓展”的解题过程， 体会数形结合、转化与分类讨论的数学思想，提升逻辑推 、理和解决实际问题的能力 . 结合解析式研究图象形状、 位置、增减性等 今天我们就按照“画图→观图→析性”的方法，来研究反比例函 数的图象与性质. 1.什么是反比例函数?自变量X 的取值范围是什么? 2.我们是按照怎样的步骤研究一次函数和二次函数的图象与性质? 1.反比例函数的概念及X 的取值范围 2.研究步骤 ①形如 (k 为常数， k≠ 0) 的函数； 画出函数图象 观察图象 新课引入 本节课我们将运用这些性质解决具体的数学问题，包括如何求反 比例函数的解析式、如何判断点是否在函数图象上，以及如何利 k>0 一 、三象限 每象限内，y 随 x 增 大而减小 k<0 二、四象限 每象限内，y 随 x 增 大而增大 形状 双曲线 所在象限与性质 用增减性比较函数值的大小. 1.反比例函数具有什么性质? 新知探究 k>0 时反比例函数的图象与性质 探究 结合反比例函 的解析式，思考： (1)自变量x 不能取0,那么函数图象会是一条连续的直线吗? (2)你能绘制出它们的图象吗? (1)由 中x 不能为0,因此它们的图象不可能是一条连续的直线 (2)绘图：①列表 X … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …· … -1 -3 3 1 … -2 -3 -6 6 3 2 1 点A 在第二象限，横纵坐标异号 即x <0, y>0 ,代入y 因此图象位于第二、第四象限 在每一个象限内，y 随x的增大而增大。 想一想 要判断函数图象所在 象限和增减性，需要 先知道什么? 例1已知反比例函数的图象经过点A(-2,4). (1)这个函数的图象位于哪些象限?y 随 X 的增大如何变化? 要判断函数图象所在象限和增减性， 需要知道k 的符号。 新知探究 描点 ③连线 (2)点B(1,-8), ,D(2,4) 是否在这个函数的图象上? 解：设这个反比例函数的解析式为 因为点A(-2,4) 在其图象上，所以点A 的坐标满足 ,即 因为点B,C 的坐标都满足 点 D 的坐标不满足 所以点B, C 在函数 的图象上，点D 不在这个函数的图象上. 解得k =-8. 因此，这个反比例函数的解析式为 新知探究 思考 当k>0 时，在每一个象限内，随着x的增大，y 的值如何变化? 你能结合解析式说明理由吗? ①当k>0 时，反比例函数y= 的图象是双曲线，两支 分别位于第一、第三象限； ②在每一个象限内，y 随x的增大而减小。 对于同一个象限内的x 炎的值越小，所以y 越小 增减性的前提是 “在每一个象限 内”,跨象限比较 不成立。 动态演示 放映状态下点击图象 4 = 2 4 1.待定系数法求反比例函数解析式的步骤： ②代入已知点坐标； ④写出解析式。 2.判断点是否在反比例函数图象上的方法： 代入验证法，即点的坐标满 则点在图象上。 如何判断一个点是否在反比例函数的图象上? ①设解析式； ③解方程求k; ①猜想图象的位置和增减性 ②用描点法画出 的图象 ③小组内交流观察到的结论，并结合解析式说明理由。 ④邀请小组代表展示作图成果，分享探究结论。 刚才我们研究了k>0 时的情况，现在请大家类比刚才的研究方法，分组 探究k<0 时反比例函数 和 的图象与性质。 小组任务 新知探究 k<0 时反比例函数的图象与性质 小组合作 选项A: 点(-2,3), 计算xy=(-2)×3=-6 ∴-6≠6,∴该点不在函数图象上。 选项B: 点(2,-3),计算xy=2×(-3)=-6 ∴-6≠6,∴该点不在函数图象上。 选项C: 点(3,2),计算xy=3×2=6 ∴6=6,∴该点在函数图象上。 选项D: 点 (-3,2), 计算xy=(-3)×2=-6 比例函数图象上的点 已知反比例函数 下列各点中，在该函数图象上的是( ) A.(-2,3) B.(2,-3) C.(3,2) D.(-3,2) 解：对于反比例函数 k=6。 【分析】判断点是 否在反比例函数图 象 上 ，用 xy = k 验 便，避免了分式运 算. ∴-6≠6,∴该点不在函数图象上。 列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限?常数m 的取值范围 是什么? 解：因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所 以另一支必位于第三象限. 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 m-5>0. 解得 m>5. y4 想一想： 反比例函数的图象有 什么对称性? 的图象的一支。根据图象，回答下 例2图中的曲线是反比例函数 图象特征与参数范围、增减性综合应用 探究 反比例函数 y = x k ( k 为 常 数 ， k = 0 ) k的符号 k>0 k<0 图象形状 所在象限 增减性 的 思考 结合k>0和k<0时的反比例函数图象与性质整理，你能总结出反比例 函数的图象与性质吗? 注：①增减性必须强调“在每一个象限内” ②图象永远不与坐标轴相交 知识小结 想一想 图象位于第一、第三 象限，说明k 满足什 么条件?这里的k 是 x (2)因为m-5>0 所以在这个函数图象的任意一支上 y都随X的增大而减小 因此当X₁>X₂ 时 ，y₁ < y₂ · (2)在这个函数图象的某一这支上任取点A(x₁,y₁) 和点B(X₂,y₂) 。 如果 X₁>X ₂, 那么y₁ 和y₂ 有怎样的大小关系? ∵反比例函数为 ,k=2>0, ∴ 此时函数的图象关于原点对称，图象分布在第一、 三象限，在每个象限内y随x的增大而减小. P】分析】先判断反 比例函数比例系数k 的正负，根据k>0图 象分布在一、三象 限，匹配对应选项 即可. 1.下列图象中，是反比例函 白的大致图象的是( ) 新 知 巩 固 反比例函数的图象 ∴排除A 、B 、C, 而D正确. 故选：D. 解：由题意 A. C. B. 解：对于反比例函数 ,k=4>0。 已知0 <X₁< X₂, 说明两点都在第一象限内 (x>0), 且自变量满足X₁< X₂。 ∴在第一象限内，y 随X 的增大而减小 ∴当 X₁< X₂ 时，对应的函数值y₁>y₂ >0 综上可得：0 < y₂ < y₁ 利用增减性比较函数值大小 在反比例函数 的图象上有两点A(x₁,y ₁) 、B(X ₂,y₂), 若 0< X₁<X₂, (r【分析】先由k = 4>0判断函数在 第一象限内的增减 性，再 根 据 0< X1 <X₂ 利用增曾减性 判断y1 和y ₂ 的大 小关系 。 则下列结论正确的是( ) A.y₁<y₂<0 B.y₂<y1< C0< D.0<y₁<y₂ 0 2.若点A(-1,y₁) 、B(2 ,y₂) 、 C(-2,y₃) 在反比例函数 的图象 上，则Y₁ 、y₂ 、y₃ 的大小关系为( ) A.y1>y2>y₃ B.y₃<y₁<y₂ C.y₁<y₂<y₃ D.y₁<y₃<y₂ 解：∵反比例函数解析式为 ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象 ∵点A(-1, y₁) 、C(-2, y₃) 在第三象限，且-2<1 ∴y₁<y₃<0,∴y₁<y₃<y₂ . 新 知 巩 固 反比例函数的性质 k 的正负，根据 (k>0) 图象分布在 一、三象限，匹配 对应选项即可。 限内，y 随X 增大而减小 ∵ B(2,y₂)在第一象限 ∴y₂ >0 C【分析】先判断反 比例函数比例系数 ①首先要判断自变量是否同号 ( 即两 点是否在同一象限) ②再利用增减性比较； 若异号，则直接根据象限内函数值的 正负比较。 一般情况下，如何比较反比例函数值的大小? 比较反比例函数值的大小时 C. D. 【分析】反比例函数 的图象是双曲线 当k>0 时 ，它的两个分支分别位于第一、三象限； 当k<0 时，它的两个分支分别位于第二、四象 限.据此解答即可. 要巩固训练1 判定反比例函数的图象 解：k=-2<0, 则函 数在第二、四象限. 故选：B 反比例函 的大致图象是( ) 解：设这个反比例函数的解析式为 (k 为常 数，k ≠ 0) 。 ∵ 反比例函数的图象经过点(3,-4) 待定系数法求反比例函数解析式 已知反比例函数的图象经过点(3,-4),求这个反比例函数的解析式。 【分析】设反比例函 数解析式为 , 将 已知点的横纵坐标代 入解析式，解方程求 出k 的值，即可确定 解析式。 得：k=-4×3=-12 ∴ 这 个 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 O ( 变式题 当a>b 时，反比例函数 的图象大致是() 巩固训练1 判定反比例函数的图象 的图象在第一、三象限，故选C. 解：∵a >b ∴ a-b>0 ∴ 反比例函数 B. D. 时 ，y=6 。 求当X=4 时 ，y 的值。 ∴反比例函数的解析式为 当X=4 时，代入解析式得： 已知y 与 X 成反比例，且当X=2 解： ∵y 与X 成反比例 ∴设 (k 为常数，k≠0) ∵当 X=2 时 ，y=6 ∴将X=2, y= 6 代入解析式，得： 待定系数法求反比例函数解析式 解得：k=6×2=12 答案：y = 3 变式题 ∵函数图象是双曲线，且在第一，三象限 ∴ 该函数的表达式可能： 故选：C. 【分析】观察函数图 象利用反比例函数图 象上点的坐标特征找 出k的取值范围是解 题的关键. 某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是() 巩固训练2 根据图象判定反比例函数的k值 D. B. C.m >2 D.m<2 解：在函数 中，k =m +2。 ∵函数图象位于第一、第三象限 ∴k>0, 即： m+2>0 得： m>-2 观 国 城 根据图象/性质判断参数范国 若反比例函数 的图象位于第一、第三象限，则m 的取值范围是( 【分析】根据反比例函 数的性质，图象位于第 一、第三象限时k>0, 因此令m+2>0, 解 不等式即可求出m 的取 值范围。 答案：A B.m<-2 O 巩固训练2 根据图象判定反比例函数的k值 变式题 在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如 图所示，则k 的值可能是() A.1 B.2 C.3 D.4 解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点A(2,2), ∴k<2×2=4, ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点B(-1,-2), ∴k>-1×(-2)=2, ∴2<k<4, ∴k 的值可能是3. A.k>1 B.k<1 C. 图象的另一支在第三象限 D.y 随X的增大而增大 解：已知反比例函数 的图象的一支在第二象限。 ∵图象的一支在第二象限 ∴k<0, 即：k-1<0 解得： k<1 故B 正确. 的图象的一支在第二象限，则下列说法正确的是( 根据图象/性质判断参数范园 变式题 若反比例函数 【分析】结合反比例函 数k的正负，逐一验证 点是否在图象、象限分 布、增减性与对称性， 找出表述错误的选项. 解：A、把x=-2 代入解析式得y=5, 所以点 (-2, 5)在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、∵k=-10<0,∴ 在每一个象限内，y 随x的增大而 增大，故本选项错误，符合题意； C、∵k=-10<0, ∴ 函数图象在二、四象限内，故本 选项正确，不符合题意； D 、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正 确，不符合题意. 巩 固 训 练 3 反比例函数的性质 对于反比例函数 下列结论不正确的是( ) A. 图象必经过点(-2,5) B.y 随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 解：对于反比例函数 ,k = 12 。 A: 点(3,-4),xy=3×(-4)=-12≠12, 不在图象上。 B: 点(4,-3),xy=(4)×(-3)=-12, 不在图象上。 C: 点(6,2),xy=6×2=1 2=k, 在图象上。 D: 点(-2,6),xy =(-2)×6=-12≠12, 不在图象上。 答案：C 断点是否在反比例函数图象上 下列各点中，在反比例函数 图象上的是() A.(3,-4) B.(4,-3) C.(6,2) D.(-2,6) 【分析】分 别计算各选 项横纵坐标 的乘积，等 于k=12 的 点就在图象 上. B. 点(-1,-6)在反比例函数的图象上 C. 当 X<0 时 ，y随X的增大而增大 D. 若点A(-2,y₁) 、B(2,y₂) 都在反比例函 的图象上，则y₁< y₂ 解：∵k=-6<0, ∴ 图象位于二、四象限， 故A选项错误，不符合题意； 变式题 下列关于反比例函数 A. 图象在第一、三象限 巩 固 训 练 3 反比例函数的性质 的描述中，正确的是() ∵当x= - 1时， 若点(2,m) 在反比例函数 的图象上，则m 的值为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解：∵点(2, m) 在反比例函数 的图象上 ∴该点坐标满足函数解析式， 即当X=2 时，y=m。 将X=2 代入解析式，得： 断点是否在反比例函数图象上 变式题 答案：B 巩 固 训 练 3 反比例函数的性质 ∴点(-1,-6)不在反比例函数的图象上， 故B选项不正确，不符合题意， ∵k=-6<0, ∴当x<0 时，y随x的增大而增大， 故C选项正确，符合题意； ∴y1>y2, 故D选项错误，不符合题意； 故选：C. 本节课你学到了什么? 待定系数法求解析式 点与图象的关系 图象与参数范围 函数值大小比较 步骤：设→代→求→写 判断方法：代入验证(k=xy) 由图象分支确定k的符号 解不等式求参数取值范围 判断自变量是否同号 利用增减性比较大小 反比 例函 数的 图象 与性 质的 应用 【新教材】人教版 ·九年级上册 感谢聆听! $