4.1 平均数 知识清单 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

2026—2027学年　苏科版　九年级数学（上册）

4.1　平均数

第四章　数据的集中趋势和离散程度

班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿　得分＿＿＿＿＿

使用说明　配合第 4 章第 1 节使用。算平均数之前先看两件事：每个数据出现了几次、各个数据的分量是否相同。份额不同，就要加权。

一　算术平均数

一组数据里各个数的和除以数据的个数，所得的结果叫做这组数据的算术平均数，简称平均数，记作 。若一组数据有 n 个，分别是 x1、x2、…、xn，那么

＝

平均数的单位与原数据相同：身高的平均数是 cm，捐款的平均数是元。

平均数做的事是“移多补少”，把高低不齐的一批数据抹平成同样多。它一定落在最小的数与最大的数之间，却不一定是数据中的某一个。7 名同学一分钟跳绳的次数是 135、143、140、149、141、139、140，七次的和是 987，平均 141 次；141 正好也是其中一位同学的成绩，这是数据凑巧。换成 100、100、100、104 四个数，平均 101，101 就不是这组数据里的数。

由定义可以直接得到

n＝x1＋x2＋…＋xn

平均数乘个数等于总和。题目给了平均数又缺一个数据，先算总和再减掉已知的，比设未知数列方程快。反过来，已知总和与个数能求平均数，已知平均数与个数能求总和，三个量知道两个就有第三个。

一个小数就能概括一批数据，比较两个班的成绩、估计一批零件的尺寸，用的都是平均数。它也受每一个数据牵动：数据里冒出一个特别大的数，平均数就跟着往上走，哪怕其余数据一个没变。

二　把平均数算得简便

数据都挤在某个数附近时，直接求和又长又容易错，可以取一个数作基准。设基准为 a，把每个数据写成 a 与一个偏差的和，先求偏差的平均数，再加回 a：

＝a＋

偏差可正可负，相加时正负抵消，剩下的数比原来小得多，心算就能完成。

跳绳那组数据取 140 作基准，七个偏差依次是 －5、3、0、9、1、－1、0，和是 7，平均偏差是 7÷7＝1，所以平均数是 140＋1＝141。基准换成 150 也行，偏差变成 －15、－7、－10、－1、－9、－11、－10，和是 －63，平均偏差 －9，150－9 仍是 141。基准取整十、整百的数最省事，取哪个不影响结果。

这样算的道理是平均数的两条性质：每个数据都加上同一个数，平均数也加上这个数；每个数据都乘同一个数，平均数也乘这个数。135、143 这些数既然都等于 140 加一个偏差，它们的平均数就等于 140 加偏差的平均数。后一条性质在单位换算时用得上，把 cm 换成 m，平均数直接除以 100，不必逐个换算再求平均。

偏差的和不是 0 是常态，除以个数加回去即可；若偏差的和恰好是 0，说明基准正好等于平均数，数据在基准两侧分布得比较对称时会出现这种情形。

三　加权平均数与权

某班 40 人参加植树，每人植 3 棵的有 8 人，4 棵的有 15 人，5 棵的有 12 人，6 棵的有 5 人，分布如表1。平均每人植树多少棵？

表1　某班 40 人每人植树棵数

 

把 3、4、5、6 加起来除以 4，得 4.5 棵，这个算法把四种情况看得一样重。实际上人数不同：15 人的“4 棵”比 5 人的“6 棵”占的分量大得多。求平均要把总棵数摊到 40 个人头上：总棵数 3×8＋4×15＋5×12＋6×5＝174，总人数 8＋15＋12＋5＝40，平均每人 ＝4.35（棵）。

一般地，n 个数据中 x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 fk 次，且 f1＋f2＋…＋fk＝n，那么这 n 个数据的平均数是

这个式子叫做加权平均数，f1、f2、…、fk 叫做权，也叫权数。权就是各个数据所占的份额，份额大的数据在平均数里说话更响。

权有三种常见给法。一是次数，上面的人数 8、15、12、5 就是权；二是比，三项按 5∶3∶2 计，就把 5、3、2 当权；三是百分比，平时 20%、期中 30%、期末 50%，20%、30%、50% 本身就是权。三种给法只是写法不同，各权之间的比不变，算出的平均数就不变。

权用百分比给出时，各权的和已经是 1，式子可以写得更短：

＝x1p1＋x2p2＋…＋xkpk

其中 p1＋p2＋…＋pk＝100%。把每个数据乘对应的百分比再相加就行，不必再除以权的和。

四　权改变了什么

各项的权相等时，加权平均数就是算术平均数。40 人若改成植 3、4、5、6 棵的各 10 人，平均数是 ＝4.5（棵），与把 3、4、5、6 直接平均的结果一致。算术平均数是加权平均数的特例，每个数据的权都是 1。

权大的数据对平均数的影响大。植树那组数据里，把 6 棵的 5 人改成植 3 棵的 5 人，总棵数少 15，平均数从 4.35 棵降到 3.975 棵，降了 0.375 棵；改动 4 棵那 15 人的数据，影响还要明显。所以算加权平均数之前先弄清权，权弄错，平均数就跟着错。

两批数据合在一起时，不能把两个平均数再平均。两个平均数各代表一批数据，两批的个数不同，占的份额就不同，个数正是这里看不见的权。要合并，先还原成总和，再除以两批的总个数。

权的大小反映各项的分量，得按实际意义事先定好。评优时学业与操行各占几成，是评定方案里写明的；定完再算，结果不合意也不能回头改权，否则同一批数据能算出好几个结果。

五　用样本平均数估计总体

要了解一湖鱼的平均质量、全市九年级学生平均每学期参加活动的天数，一条条称、一个个问都做不到。办法是抽样：从总体中抽出一部分个体组成样本，算出样本的平均数，用它估计总体的平均数。

某市抽样调查 200 名九年级学生上学期参加综合实践活动的天数，结果如表2。

表2　200 名学生参加综合实践活动的天数

 

这 200 个数据的平均数是

＝＝3.45（天）

据此估计，全市 8000 名九年级学生平均每人参加 3.45 天，总天数约为 8000×3.45＝27600（天）。

这个 3.45 天是估计值，不是全市的准确值。抽样要随机，样本要有代表性：只在一所学校里抽，或者只抽成绩靠前的学生，样本平均数就偏向一边。样本容量大一些，估计通常更可靠；换一批样本重抽，样本平均数往往略有出入，这是抽样本身的波动，不是算错了。

总体平均数乘总体个数就是总体总量，这条关系在估计产量、总量时最常用。反过来，已知总体总量与个体总数，也能求出总体的平均数。

六　例题

【例 1】 某小组 7 名同学一分钟仰卧起坐的次数是 32、38、35、41、36、34、36。（1）求这 7 人的平均次数；（2）后来一名同学加入，8 人的平均次数变成 37，这名同学做了多少次？

解　七次的和是 32＋38＋35＋41＋36＋34＋36＝252，平均次数 252÷7＝36（次）。

8 人的平均数是 37，总和是 8×37＝296（次），新同学做了 296－252＝44（次）。

也可以从平均数的变化反推：7 人的平均是 36，要升到 37，每人差 1 次，共差 7 次，这 7 次全由新同学补上，所以他比 37 次多 7 次，是 44 次。