精品解析：吉林省长春市第八中学2026-2027学年高三上学期第二次质量检测数学试题

长春八中2026——2027学年上学期 高三年级第二次质量检测数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，解得，即， 令，解得，可得，可得，故B正确. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面向量平行的坐标性质，若，， 则，代入，得：， 即，解得或， 判断充分必要性：若，一定能推出，充分性成立； 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此是的充分而不必要条件. 3. 中，内角的对边分别为，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形或等腰三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为，由正弦定理得 ， ，或， 又、、为三角形内角，故或，为直角三角形或等腰三角形. 4. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为， 故选：D. 5. 二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法．他指出，人的心理感受强度（用表示）与物理刺激强度（用表示）可以通过如下对数形式的表达式来刻画：，其中，均为正的常数．已知当物理刺激强度从15个单位增大到60个单位时，增加4；则当物理刺激强度从60个单位增大到480个单位时，增加（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数运算性质，先根据已知增量求出与的关系，再代入计算目标增量即可． 【详解】由题设公式（为正的常数）， 可得当刺激强度从变化到时，的增量为：， 当从15增大到60时，，代入得：，整理得， 当从60增大到480时，代入增量公式：， 将代入，得． 6. 若定义在上的可导函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】构造函数，. 求导得. 由，得，故在上单调递增. 由，得. 不等式等价于，即. 因为单调递增，所以，解集为. 7. 已知两定点，，点是轴正半轴上的一动点，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，应用向量夹角余弦值的坐标表示，结合换元法、二次函数性质求最大取值，进而可求解. 【详解】设，则， 所以， 令，则， 而，故当，即， 取得最小值，此时最大，且， 所以当最大时，的值为. 8. 在中，，，且，点满足（），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表示角平分线上的向量，结合已知条件，得为等腰三角形，且.由余弦定理及数量积的定义求得，将转化成关于的二次函数，分析该函数在的单调性，从而求得其取值范围. 【详解】因为表示角平分线上的向量， 又，的平分线与垂直， 所以为等腰三角形，且. 设，则， 解得. 则 . 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，； 当时，； 当时，. 所以的取值范围为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 B. 若复数，则 C. 复数的共轭复数 D. 若，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、模的运算、乘除法运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A：复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A错误； 对于B：由，故，故B正确； 对于C：由，得，故C正确； 对于D：因表示对应的点在以为圆心、半径为2的圆上， 而表示圆上动点到定点的距离，因圆心到定点的距离为3， 故的最小值为，故D错误. 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）. A. 的周期为4 B. 的所有零点之和为14 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据为偶函数，判断函数的图象关于直线对称，根据的奇函数性质，进而可得到函数的周期为4；对于B，函数的零点可看作与的图象交点的横坐标，然后画出图象判断即可；对于C，根据正弦函数的性质判断即可；对于D，根据函数的周期性进行计算即可. 【详解】对于A，为偶函数，， ，且函数的图象关于直线对称， 又是定义在上的奇函数，，， ， 故函数的图象关于点对称，且函数的周期为4，故A正确； 对于B，函数的零点可看作与的图象交点的横坐标， 作出与的图象， 观察图象知，直线与的图象共有7个交点， 且它们关于点成中心对称，所有零点之和为，故B正确； 对于C，结合已有分析以及对称性可知当时，，， 与均为奇函数，则当时，， 当时，， 又与的周期都为4，在上成立，故C正确. 对于D，当时，，， 而，，， ，故D错误； 故选：ABC. 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 有对称轴 B. 的弦长的最大值为 C. 与第三象限的交点横坐标在区间内 D. 直线被截得弦长的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：分析可知的反函数为，结合反函数的对称性即可判断；对于BC：可知函数与的交点在直线上，可得，令，利用导数分析零点，进而分析判断；对于D：找出过与曲线相切且与平行的点即可判断. 【详解】对于选项A：因为，即，可得， 可知的反函数为， 所以封闭曲线关于对称，故A正确； 对于选项BC：因为函数与的交点在直线上， 联立方程，可得， 令，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递减；在上单调递增， 且，，， 则在有一个零点，另一个零点为， 可知与第三象限的交点横坐标在区间内，故C正确； 设，，所以，且故B错误. 与曲线对称轴垂直， 如图，只需考察曲线上到距离最大值即可， 找出过与曲线相切且与平行的点即可， 令，令，解得， 此时到的距离， 所以直线被截得弦长最大值为，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设向量，，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解 【详解】，由题意得，即，得 . 故答案为： 13. 已知角满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的性质及两角和的正切公式，对已知条件进行化简变形求解． 【详解】，，不能同时为0， ， ． 故答案为：． 14. 若实数，满足，，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由，得；构造函数，判断函数的单调性，根据单调函数的零点唯一，得到，即，可求得的值. 【详解】由得，则，即. 设，，则函数在上单调递增. 由，，得，. ，得，即. ，得. ，. . 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）根据导数分析函数的单调性，结合单调性取得函数的最值即可． 【小问1详解】 因为， 所以 ， 又，， 所以曲线在处的切线方程为：，即； 【小问2详解】 由； 由或， 所以的递减区间为和，递增区间为， 所以在区间和上递减，在区间上递增， 且<，， 所以的最大值为，最小值为． 16. 在中，内角的对边分别为．已知向量，，且． （1）求角的大小；并当，且的面积为时，求的周长； （2）在（1）的条件下，若点为的中点，求中线的长度． 【答案】（1），周长为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用向量共线的坐标表示及正弦定理得，即可求出；再结合条件及余弦定理求出，即可求解； （2）根据条件，利用向量的中线公式得，再利用（1）中结果及数量积的运算律，即可求解. 【小问1详解】 因为，，且，则， 所以，又，则，所以， 则，又，所以， 又的面积为，所以，得到， 又，在中，由余弦定理得， 所以，解得，所以的周长为. 【小问2详解】 因为点为的中点，则， 所以， 由（1）知，，所以，故. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，求的最小值及最小时在上的值域． 【答案】（1）的最小正周期，单调递增区间为； （2）的最小值为，此时在上的值域为． 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简，再结合正弦函数单调性即可求解； （2）通过平移确定，再由得到，进而可求解. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期 令，， 解得，， 所以单调递增区间为． 【小问2详解】 由题意可得， 因为的图象关于直线对称， 所以，， 解得，，又，故时，取最小值，最小值为， 此时， 当时，， 则， 故． 18. 在中，角，，所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若角的平分线交于点，求的长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换化简求出角； （2）设，根据正弦定理化简求解即可； （3）根据余弦定理和正弦定理将目标式化简，再根据三角恒等变换及正弦函数性质计算求解即可.. 【小问1详解】 由题可得且角， 故，而， 因此， 即，，解得角为. 【小问2详解】 由题可得设的长度为，则， 因为，所以， 又因，则. 【小问3详解】 根据余弦定理， 故， 再由正弦定理可得， 由第（1）问可得，故， 则， 因为为锐角三角形，故，则， 因此，故，则. 19. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有且仅有1个零点，求的值； （3）若存在，使得对任意恒成立，证明：． 【答案】（1）的单调递增区间为 ，单调递减区间为. （2） （3）因为对任意恒成立， 所以，即， 因此， 要证，只需证明即可， 对函数求导得到， 令，则， 所以在区间单调递减， 即在区间单调递减， 存在唯一极大值点，满足，即， 在内 函数单调递增， 内 函数单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值 . 因此， 令，则， 当 时， ，单调递增， 当时， ，单调递减， 故在 时取得最大值， 因此， 所以，所以， 故得证. 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，利用导数即可得到单调区间； （2）由有且仅有1个零点，分离参数得到有且仅有1个解，令， 利用导数得到的单调性和最小值，所以. （3）由对任意恒成立，得到，则只需证明即可，利用导数得到最大值为.因此，再令，得到 时取得最大值，因此，即，故得证. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得到， 令，则当时， 所以在内单调递减，且 ， 即在内单调递减，且， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为有且仅有1个零点， 所以方程有且仅有1个解， 即有且仅有1个解， 令， ， 则， 令，则， 所以在区间 上单调递增， 又因为 ， 所以当 时， ，即，单调递减； 当 时， ，即 ，单调递增； 所以函数在 处取得极小值也是最小值， 当时， ，时， ， 因为有且仅有1个解， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2026——2027学年上学期 高三年级第二次质量检测数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 中，内角的对边分别为，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形或等腰三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. D. 5. 二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法．他指出，人的心理感受强度（用表示）与物理刺激强度（用表示）可以通过如下对数形式的表达式来刻画：，其中，均为正的常数．已知当物理刺激强度从15个单位增大到60个单位时，增加4；则当物理刺激强度从60个单位增大到480个单位时，增加（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 若定义在上的可导函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两定点，，点是轴正半轴上的一动点，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，且，点满足（），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 B. 若复数，则 C. 复数的共轭复数 D. 若，则的最小值为 10. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）. A. 的周期为4 B. 的所有零点之和为14 C. D. 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 有对称轴 B. 的弦长的最大值为 C. 与第三象限的交点横坐标在区间内 D. 直线被截得弦长的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设向量，，若，则___________. 13. 已知角满足，则__________． 14. 若实数，满足，，则的值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 16. 在中，内角的对边分别为．已知向量，，且． （1）求角的大小；并当，且的面积为时，求的周长； （2）在（1）的条件下，若点为的中点，求中线的长度． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，求的最小值及最小时在上的值域． 18. 在中，角，，所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若角的平分线交于点，求的长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有且仅有1个零点，求的值； （3）若存在，使得对任意恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $