吉林省长春市第八中学2026-2027学年高三上学期第二次质量检测数学试题

校训：障德博学开拓进取 学风：活学善问多思力行 长春八中2026—2027学年上学期 高三年级第二次质量检测数学试题 出题人：吴宇杰 审题人：张嘉宾杨帆王丽梅 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.若架合4--2x≤可，B-3g<0, 则AnB=() A.0,1) B.(32 C (1,) D.（-∞，0) 2.已知向量à=(1)，五=(x9),则“x=3”是“ā∥6”的(） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+cco8A=c,则△ABC的形 状为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰真角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 4.如图，设B=xD,AC=y元，(x>0,y>0),线段DE与BC交于点F,且B丽=BC, 则上+1的最小值为() x V A,5 B. 9 D. 9-5 校训：俘德博学开拓进取 学风：活学善问多思力行 5.二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法.他指出， 人的心理感受强度（用S表示）与物理刺激强度（用I表示)可以通过如下对数形式的 表达式来刻画：nS=nnl+nk,其中k,n均为正的常数.已知当物理刺激强度I从 15个单位增大到60个单位时，1S增加4；则当物理刺澈强度I从60个单位增大到480 个单位时，nS增加（) A.4 B.6 C.8 D.10 6.若定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)>fx)f2)=2e2, 则不等式f(x)<2e*的解集为() A.（0,2) B.(-∞，0) C.(0,+o) D.(2,tw) 7.已知两定点A(0,2),B(0,4),点C是x轴正半轴上的一动点，则当∠ACB最大时， sin∠ACB的值为( A B D② 4 3 AB AC 8.在△ABC中，BC=2, BC=0,且AB.AC=8,点D满足BD=九BA AB (0≤九≤1)，则BD.CD的取值范围为() A. B.[0,8] [o8 C. D[品 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知i为虚数单位，则下列结论正确的是↓) A复数：号】在复平面内对应的点位于第二象限 B.若复数z=(1-(2-),则z=V0 C.复数2=2+5i _i 的共轭复数z=-5-21 D.若z-1=2,则z-1-3列的最小值为2 2 校训：厚德博学开拓进取 学风：活学善问多思力行 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，(1+x)为偶函数，且当0<x≤1时，f(x)=4“-1, 则() A.∫(x)的周期为4 B。8()=(+了x-1的所有零点之和为14 c.f(4jsm经20 D.f(1)+f(2)++f(2026)=0 11.如图，由函数y=e*-e+1与y=n(x+e-1)的部分图象可得-条封闭曲线T,则() 2 A.T有对称轴 B.T的弦长的最大值为22 C.y=e-e+1与y=n(x+e-l)第三象限的交点横坐标在区间(-2，)内 D.直线x+y=t被厂截得弦长的最大值为√2(e-2) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设向量a=(2,,=（←1，若a1(6-,则同=.一一 13.已知角x满足(sinl5°-cosl5）sina=(sin15°+cosl5)cosa,则tana=_- 14,若实数气，名满足e+x-3=0,5n西+3西，-1=0，则名+的值为 .2 3 校训：犀德博学开拓进取 学风：活学备问多思力行 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.已知函数f(女)=女-x+1 ex (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求f(x)在区间[0,3]上的最值. 16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知向量m=(a,V3b), i=(cosA,sinB),且m/i. (1)求角A的大小；并当a=23,且A4BC的面积为23时，求△ABC的周长； (2)在(1)的条件下，若点D为BC的中点，求中线AD的长度. 17.己知函数f(x)=2sinx(cosx-V5sinx) (1)求∫(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)将∫(x)的图象向右平移p(P>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)的 图象关于直线x=受对称，求p的最小值及P最小时8（冈）在[0引 上的值域. 18.在aMBC中，角A:B,C所对的边分别为a,c,已知b= csin A+acos C. 3 (1)求角A的大小； (2)若角A的平分线交BC于点D,BD=2D(,AC=3,求D的长； 3)若。BC为锐角三角形，求+C的取值范围 bc 19.己知函数f(x)=(1-2x)lnx+m-1. (1)若a=1,求f(x)的单调区间； (2)若∫(x)有且仅有1个零点，求a的值； (3)若存在a,使得f(x)sa+b对任意x>0恒成立，证明：a-b<4. 数学期中考试题答案 题号 7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D B A B BC ABC 题号 11 答案ACD 1.B 【详解】令X-2x≤0，解得0≤x≤2，即A={0≤x≤2， [logx<0 令x>0 ,解得x>1,可得B={x>1,可得A∩B=(山，2]，故B正确. 2.A 【详解】根据平面向量平行的坐标性质，若4=(x,),万=(x2,y), 则a6台xy2-xy=0,代入i=(,x),b=(x,9)得：1x9-xx=0, 即x2=9,解得x=3或x=-3, 判断充分必要性：若x=3,一定能推出仍，充分性成立； 若仍，x还可以取-3，不能推出x=3,必要性不成立， 因此x=3是ā/仍的充分而不必要条件. 3.A 【详解】因为acos B+ccosA=c,由正弦定理得 sinAcosB+sinCcos4=sinC =sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB .sin Ccos A=cos Asin B,∴.cosA=0或sinC=sinB, 又A、B、C为三角形内角，故A=2或C=B,A4BC为直角三角形或等腰三角形 4.D 51 14 因为D,B,F三点共线，所以5少+亏x=1 故4x+y=5. 0水u功断s-号 答案第11页（共2页） y4x 5 9 当且仅当xy,即x=6=3时取等号.故最小值为5，故洗· 5.B 【详解】由题设公式lnS=nlnI+lnk（k,n为正的常数)， 可得当刺激强度从L变化到I2时，InS的增量为： AlnS=(n+nk)-(nn+k)=nin 1, 肖15指大到60时，An9=4,代入得：4车n92h42h2,3理 得nn2=2, 当I从60增大到480时，代入增量公式：△nS=xh =nln8=3nIn 2 60 将nn2=2代入，得△nS=3x2=6. 6.A 【详解】设8)- 2g0=f)=f田>0 e ·8(x)在R上单调递增 g=28<2x台9<2 ex g(x)<g(2), g(x)在R上单调递增.x<2,答案(-o,2),故选A 7.B 8.A AB AC AB,AC 【详解】因为网元表示∠BMC角平分线上的向量，又丽 B=0 ∠BAC的平分线与BC垂直，所以△ABC为等腰三角形，且AB=AC, AB2=AC2=x2=10 x2 cos 4=8 B=4C=x,则r+r=2xcos4=4,解得P@sA BD.CD=ABA.CB+BD)=ABA-(AB-AC+1BA) --486C-0-2a-a08方0ss 所丽历--广品在司上单德，在品上￥ 1 当元=0时，BD.CD=0;当2=10时， BD.CD=-1 0;当2=1时，BD.CD=8. 答案第21页（共2页） 所以D.C而的取值范围为8 9.BC 11 【详解】对于A:复数2=22在复平面内对应的点为：2， 位于第四象限，故A 错误； 对于B:由z=0-(2-)=2-i-2i+=1-3i,故z卡V12+(-3)2=0,故B正确； 2+5i_(2+51)1=-5+2i 对于0：由2= -ii 得z=-5-2i,故C正确； 对于D:因z-12表示z对应的点在以C(,0)为圆心、半径为2的圆上， 而引z-1-3i训表示圆上动点P到定点A(1,3)的距离，因圆心C到定点A的距离为3， 故2-1-3的最小值为3-2=1，故D错误。 10.ABC 【详解】对于A,f(1+x为偶函数，∴f(1-x)=f(1+x) ∴f(x+2)=f(-),且函数f(x)的图象关于直线x=1对称， 又f(x)是定义在R上的奇函数，·f(-x)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)=-f(-x), 故函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，且函数.f(x)的周期为4，故A正确； 对于B,函数8(x)的零点可看作y=f(x)与'=2x+1 的图象交点的横坐标， 作出y=f(x)与少=2x+1 的图象， Ay=f(x) x+1 2 观察图象知，直线’=2x+1与y=()的图象共有7个交点， 且它们关于点(2,0)成中心对称，：所有零点之和为3×4+2=14，故B正确； 对于C,结合己有分析以及对称性可知当0sx≤2时，f(✉)20，sim受≥0 2 答案第31页（共2页） 2均为奇函数，则当2≤x50时，f闭50血受s0 f(x与y=sin 当-2sx≤2时，f儿)sn受≥0 又f(x)与y=sin sm受的周期都为4，f(ysm空≥0在R上成立，故C正确. 对于D,~当0<x≤1时，f(x)=4-1,f()=3, 而f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f()=-3,f(4)=f(0)=0, ∴f(0+f(2)+…+f(2026)=506[f(0)+f(2)+f(3)+f(4]+f()+f(2)=3,故D错 误；故选：ABC. 11.ACD 【详解】对于选项A:因为y=e-e+l,即e=y+e-l,可得x=lh(y+c-l), 可知y=e-e+1的反函数为y=血(x+e-), 所以封闭曲线关于y=x对称，故A正确； 对于选项BC:因为函数y=c*-c+1与y=血(x+e-)的交点在直线y=x上， y=e*-e+1 联立方程y=x ,可得e*-x-e+1=0, 令h()=e-x-e+l,则h(x)=e-l, 当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0; 可知h(x)在(-∞，0)上单调递减；在(0，+∞)上单调递增， 且4(-2>0，h(-)=。+2-e<0,0=0, 则h(x)在(-2，-)有一个零点∈(-2，-)，另一个零点为1， 可知y=e-e+1与y=n(x+e-)第三象限的交点横坐标在区间(-2，-)内，故C正确； 设A(1,1),B(,%),所以AB到=V2(1-x)>2W2,且故B错误. x+y=t与曲线『对称轴AB垂直， 如图，只需考察曲线y=c-c+1上P到y=x距离最大值即可， 答案第41页（共2页） 找出过P与曲线相切且与AB平行的点R即可， 令f()=e-e+1，,令f'()=e=1,解得x=0, d=e-2 此时(0,2-c)到y=x的距离“√2， 所以直线x+y=(被r截得弦长最大值为V2(©-2)，故D正确， 12.5√2 【详解】6-à=(-3，x-1),由题意得a(-d)=0,即-6+x-1=0,得x=7 =1+49=5V2 故答案为：52 13.-V5 【详解】，sinl5°-cosl5°≠0，sinl5°+cosl5°≠0，cosa,sina不能同时为0， tana=sina=sinl5'+cos15tan15"+1 tanl5"+tan45 .0s≠0， cosa sinl5°-cosl5”tanl5”-11-tan45°tanl5 =-tan(15°+45）)=-tan60°=-V3 14.3 【详解】由女血x2+3x2-1=0得x2>0,则 +3-1=0 为，即en+(-hx)-3=0. 设f(x)=e+x-3，,∴"(x)=e+1>0,则函数f(x)在(-o,+o)上单调递增 由e5+x-3=0,e+(血)-3=0，得f(x)=0,f(-nx)=0. f(x)=f(-ln为)，得x=-lnx,即ln为=-x.为=e,得为 :+1= e+x-3=0,.e+=3.x +1=e+3=3 2 。 15.(1)2x+y-1=0 答案第51页（共2页） > (2)最大值为1，最小值为e 【详解】()因为/)-二x+ ex x=2x-e-(23-x+e 所以 (e2 (2x-)-(2-x+。2-3x+2 e 又f(0)=1,f'(0)=-2, 所以曲线y=f(x)在(0，f(0》处的切线方程为：y-1=-2(x-0),即2x+y-1=0; (2)由f(x)>0→2-3x+2<0→(x-1x-2)<01<x<2; 由f(x)<0→x<1或x>2, 所以f()的递减区间为(-0,1)和(2，+∞），递增区间为(1,2)， 所以f()在区间[0,1和[2,3]上递减，在区间，2]上递增， 且2)是<0=1，f0-日f)是， 所以=了的最大值为0)=1，最小值为)-. 16,们4=号，周长为25+6 (2)万 【详解1(1)因为m=-(a,V5励），i=(os4sinB),且m/i,则asinB=3bosA, 所以sin AsinB=5 sin,又B∈(0，π，则sinB≠0，所以sinA=V3cosA, 则m4=5,又4e0列，所以4=号. 叉41C的面积为2,5，所以cs如A25 得到bc=8, 又a=25,在△ABC中，由余弦定理得2=+c2-2hc0s-(b+e}-36c 3 所以(b+c=12+24=36,解得b+c=6,所以△1BC的周长为25+6. (2)因为点D为BC的中点，则而=（历+1C) 答案第61页（共2页） 所以0=(4+2aBAC+4c)-e+ce) 由①知e=8,公+心=20，所以而-420+8)=7，故网=5。 门.们的小正同周，第调送提区闲为红设+引e2列 21P的最小值为，此时问在0号引上的值时为[22-] 【详解】（1) f(x)=2sinx(cosx-3sinx)=2sin xcosx-23sin2x=sin2x-23x1-cos2x -sin2x+J3co2x-3-2simx-3 f(x)的最小正周期π 令受+2版s2江管经+22，相猫是加5s号点eZ 5 "3=2 所以单调递赠区间为红一晋“+司引 +2ke2) 21曲题意可得86-22-+骨引5=2am2x-2p+}5 因为8（的图象关于直线D对称，所以2×）-2p+骨+机长e乙 解得9=名受e乙，又0>0，故=-时，的最小值为， 此时-2m2-引}5，当时.2苦[号]， m2-到号别.数6-352-可 18.(1)3 (2)25 s别 【详解】()由题可得sn8=5。 3 -sin CsinA+sin coC且角4，B,Ce(0,元)， 答案第71页（共2页） 故sinC≠0，而sinB=sin[π-(A+C】=sin(A+C)=sinCcosA+-sin AcosC 因此sin Ccos+sin coC=V5、 -sin Csin 4+sin Acos C 3 CosA3 即sinA3,lanA=V3,解得角A为3. (2)由题可得∠BAD-元 6设BD的长度为2x,则BC=3x, 因为mAn分，所以咖8=C。 BC AC mA=3.3=5 BC 3x22x, BD AD inB=255-=2N5 AD BD sin∠BAD 12x 又因sinB sin∠BAD,则 +c-+c=1+4 (3)根据余弦定理b2+c2=a2+2 bccosA=a2+2bc,故hcbc bc, 再由正弦定理可得+) =1+sin24 3 =1+ sin Bsin C 4sin Bsin C, 由第(1)问可 B+C=2z 3.6C=-B 3 则 3 3 3 1+ =1+ =1+ 4sin BsinC 4sin Bsin 2v3 sin Bcos B+2sin2B 1+2sin 2A 3 因为C为脱角三角形，8(后引，则28（怎 19.(1)/(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(1，+∞). (2)1 【详解】(1)当a=1时，f()=1-2x)nx+x-1,定义域为(0，+o∞）， 求导得到了)=-2+1-2+1=-2r+上-1 令闲=-2+上，则当*0时-是2<0 答案第81页（共2页） 所以(x)在(0，+∞)内单调递减，且h()=0， 即f"(x)在(0，+o)内单调递减，且f'()=0, 所以当x∈(0，)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增； 当x∈(L,+∞)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减； 综上所述，f(x)单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(1，+∞)， (2)因为(x)有且仅有1个零点， 所以方程(1-2x)lnx+a-1=0有且仅有1个解， 即《=2nx-nx1 xx有且仅有1个解， 令8(y=2Inr-血r+1 xx,x>0, 则8'(x)=2x-2+n x2 令m=2x-2+hx,则m(倒=2+>0 所以m(x)在区间(0，+o∞)上单调递增， 又因为m()=0, 所以当0<x<1时，m(x)<0,即g(x)<0,(x)单调递减； 当x>1时，m(x)>0,即8(x)>0,8(x)单调递增； 所以函数8()在x=1处取得极小值也是最小值g()=1, 当x→0*时，g(x)→+o0,x→+0时，8(x)→+0， 因为a=2血x-血x1 xx有且仅有1个解， 所以a=1. (3)因为f(x)≤a+b对任意x>0恒成立， 所以f(y)x≤a+b,即b≥f(x)nx-a, 因此a-b≤2a-f(x)x, 要证a-b<4,只需证明2a-f(x)ma<4即可， 对函数求导得到'()=-2x+-2+a 答案第91页（共2页） 令小=22*a,则肉=子 所以n(x)在区间(0，+∞)单调递减， 即f"(x)在区间(0，+∞)单调递减， 存在唯一极大值点，满足(x,)=0,即 =2nx+2-1 x0, 在(0，x)内f'(x)>0函数f(x)单调递增， (x,+∞)内.f'(x)<0函数f(x)单调递减， 所以当x=。时取得极大值也是最大值 f(xo)=(1-2x0)In xo+axo-1 =0-s22 =lnx+2x-2」 a我如-22君功--号 令6=-2r2+2,则7-2+号-2+-2 x2 当0<x<2时，()>0，()单调递增， 当x>2时，()<0，()单调递减， 故(x)在x=2时取得最大值(2)=3m2-4-1+2=3n2-3<0, 3m6-2x-2+2<0 因 Xo 所以2a-f(6)-3n-2x,-2 +6<4 ,所以2a-f(x)<4, 故a-b≤2a-f(x)<4得证. 答案第101页（共2页）