第五章 三角函数（6考点+18易错+易错训练）（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数   知识点一 任意角与弧度制 1.角的定义:一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. 2.角的分类: 项目 分类 定义 图示 任 意 角 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 3. 与角终边相同的角的集合： . 4.把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 5.弧度与角度的换算 (1)180°=π rad,1°=rad≈0.017 45 rad; (2)π rad=180°,1rad=()°≈57.30°=57°18'. 6.弧长公式：. 7.扇形面积公式：. 知识点二 三角函数概念 1. 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2.设点为角终边上任意一点，那么：（设） ，，， 3. 平方关系：. 4.商数关系：. 知识点三 三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1. 诱导公式一： （其中：） 3.诱导公式三： 2. 诱导公式二： 4.诱导公式四： 5.诱导公式五： 6.诱导公式六： 知识点四 三角函数的图象和性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 无 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 无对称轴 对称中心 知识点五 三角恒等变换 1.记住15°的三角函数值： 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 . . 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)， 变形： . (2). 变形如下： (3) 升幂公式： 降幂公式： (4) (5) 4.简单的三角恒等变换 (1)半角公式 正弦 sin=± 余弦 cos=± 正切 tan=± (2)半角的有理公式:tan ==, (3)积化和差公式 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]; cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. (4)和差化积公式 sin θ+sin φ=2sincos; sin θ-sin φ=2cossin; cos θ+cos φ=2coscos; cos θ-cos φ=-2sinsin. (5) 辅助角公式: （其中辅助角所在象限由点的象限决定, ). 知识点六 函数的图象 1.对于函数有：振幅A，周期，初相，相位，频率. 2.能够讲出函数的图象与的图象之间的平移伸缩变换关系. 1 先平移后伸缩： 平移个单位 （左加右减） 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的倍 平移个单位 （上加下减） 2 先伸缩后平移： 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的倍 平移个单位 （左加右减） 平移个单位 （上加下减） 3.三角函数的周期，对称轴和对称中心 (1)函数，x∈R及函数，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期；(2)函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期. (3)对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与 解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4.由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：，.要根据周期来求,要用图像的关键点来求. 易错点1 区域角的书写易错写 易错提醒 1. 易漏加，导致不是区域角通式。 2. 端点开闭混淆，没看清是否包含边界。 3. 角度制弧度制混用，书写不统一。 4. 找起始范围出错，旋转方向判断失误。 5. 合并区域角时，范围写重或漏区间。 6. 未检验 k 取整，出现范围表示无效。 【对点训练1】 （26-27高一上·全国·课后作业）写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 【详解】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：或 ； （2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 角的集合为． 易错点2 角的范围具体界限不清晰 易错提醒 1. 误把 0°～90° 都当成第一象限角，0°、90° 不是象限角。 2. 错认为钝角就是大于 90° 的角，钝角要大于 90° 且小于 180°。 3. 混淆小于 90° 的角，包含负角，不只是锐角。 4. 概念辨析易忽略角的推广定义，仍局限初中认知。 【对点训练2】（25-26高一下·全国·阶段检测）（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．的角是第一象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．钝角都是第二象限角 D．小于的角都是锐角 【答案】ABD 【详解】A．的角是指范围内的角，不属于任何象限，所以A不正确． B．是第二象限角，是第一象限角，显然，所以B不正确． C．钝角的范围是，显然是第二象限角，所以C正确． D．锐角的范围是，小于的角也可以是零角或负角，所以D不正确． 故选：ABD 易错点3 n倍角、n分角所在具体范围不清晰 易错提醒 1. 求 n 分角范围，直接除以 n，忽略 k 的整数分类讨论。 2. 漏掉 ，不是通解形式。 3. n 倍角扩大范围时，不等关系处理出错。 4. 判断所在象限，凭主观，不代 k 检验。 5. 角度弧度混用，书写不规范。 【对点训练3】（2026高一·全国·专题练习）已知为第一象限角，试确定，，分别是第几象限角． 【详解】∵是第一象限角， ∴，， ∴，． ∴是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角． 对于及，有如下两种方法． 方法一：，． ①当，时，，，∴为第一象限角； ②当，时，，，∴为第三象限角． 综上可知，为第一象限角或第三象限角． 同理，，． ①当，时，，，∴为第一象限角； ②当，时，，，∴为第二象限角； ③当，时，，，∴为第三象限角． 综上可知，为第一象限角或第二象限角或第三象限角． 方法二：分别将各个象限二等分、三等分，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向依次循环标上数字1，2，3，4，如图①②所示． ∵为第一象限角， ∴根据图①中数字1所在的位置，确定出为第一象限角或第三象限角； 根据图②中数字1所在的位置，确定出为第一象限角或第二象限角或第三象限角．    易错点4 角度与弧度概念易混淆 易错提醒 1. 混淆角度、弧度，计算时单位不统一直接代值运算出错。 2. 误把 π 当成 3.14，忽略 π 是 180° 的弧度含义。 3. 写角的集合混用°与 rad，格式不规范丢分。 4. 转化换算记错公式，角度弧度互化比例弄反。 5. 判断象限角时，看到 π 不会快速对应度数。 【对点训练4】（25-26高一下·全国·阶段检测）（多选）下列命题中，正确的是（   ） A． “角度制”和“弧度制”是度量角的两种不同的度量制度 B．1rad的角等于1度的角 B． 的角是周角的，1rad的角是周角的 D．180°的角一定等于的角 【答案】ACD 【详解】对于A，“角度制”和“弧度制”是度量角的两种不同制度，其定义和单位均不相同， 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，弧度是角的度量单位，而不是长度的度量单位，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，用角度制时，周角是，因此的角是周角的； 根据弧度数的计算公式可知周角的弧度数为，因此的角是周角的，故C正确； 对于D，的角即平角，弧度数为，故D正确． 故选：ACD. 易错点5 用扇形弧长公式与面积公式求最值易用错 易错提醒 1. 记错弧长、扇形面积公式，混淆两种面积表达式。 2. 未统一用弧度制，直接用角度代公式计算失误。 3. 忽略实际定义域，求最值不检验自变量范围。 4. 审题分不清是扇形周长还是弧长，条件看错。 5. 配方求最值时，计算变形粗心出错。 【对点训练5】 （26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【详解】（1）由扇形的弧长计算公式 （2）方法一：，其中为弧度制. ， 其中，结合，解得. 当时，有最大值. 所以的最大值是，此时，. 方法二：， 当且仅当，即时，的最大值是. 此时扇形的圆心角. 易错点6 由终边或终边上的点求三角函数值易讨论不全面 易错提醒 1. 忽略点含参数时要分类讨论，不判断符号直接代入。 2. 求 r 计算失误，忘记 r>0。 3. 记错三角函数定义，分子分母弄反。 4. 未考虑角终边落在坐标轴特殊情况，造成漏解。 5. 计算符号出错，混淆各象限三角函数符号规律。 【对点训练6】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 【详解】（1）由终边上有一点，得. （2）由角的终边上一点，得； 当时，，； 当时，，. （3）由点在角的终边上，得，， 而，则， 整理得且，所以. 易错点7 同角三角函数基本关系“弦化切”易出错 易错提醒 1. 弦切互化直接默认，不检验定义域，容易增根漏根。 2. 混淆齐次式判断，非齐次强行弦切互化，方法误用。 3. 符号忽略，开方不讨论角象限，结果符号出错。 4. 分式变形随便约式，不考虑式子能否为零，丢情况。 5. 计算转化时公式记错，弦切关系式弄反。 【对点训练7】（25-26高三上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（    ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【详解】点在单位圆上且，则. 由三角函数定义得. 将原式分子分母同除以， 得. 易错点8 sinα±cosα和sinα·cosα的关系的化简中角的范围易讨论错 易错提醒 1. 忽视角范围，开方直接取正，正负判断出错。 2.  平方变形产生增根，最后不检验舍去。 3. 角之间隐藏关系挖掘不足，无法配凑化简。 4. 变形时忽略角本身取值限制，扩大范围。 【对点训练8】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【答案】 或 / 【详解】① 由，得 ， 化简得 ， 解得. 又（，若则，不满足已知等式）， 即 ，整理得，解得. ② 因为是第四象限角，故，，因此. 由， 所以. 易错点9 同角三角函数基本关系中因忽略角的范围而错 易错提醒 1. 开方求三角函数值，不结合角范围直接取正值，符号出错。 2. 平方恒等变形后，未利用角范围检验，出现增根。 3. 判断角所在象限时，忽略题干隐含限制，范围扩大。 4. 由三角函数值推角，不缩小角范围，解不唯一致错。 5. 齐次式求值，忽略角限制，产生不符合条件的解。 【对点训练9】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 则， 可得，所以. 易错点10 诱导公式混乱而致错 易错提醒 1. 记错“奇变偶不变，符号看象限”，分不清变不变函数名。 2. 符号判断凭直觉，没有把角默认看成锐角检验。 3. 混淆正负角、大角转化方法，乱套诱导公式。 4. 特殊角三角函数值记混，化简最后一步出错。 5. 角度弧度混在一起套用诱导公式，运算失误。 【对点训练10】（2027高三·全国·专题练习）已知是方程的根，是第三象限角，则______． 【答案】 【详解】方程的根为或2， 又是第三象限角，则，从而， 得，又， ，，. 则原式． 易错点11 五点法作图具体点不清楚而出错 易错提醒 1. 列表求五点时，容易算错相位，忽略 ω、φ 的影响。 2. 描点作图混淆横坐标，直接把 x 替换成相位，造成错误。 3. 画图忘记定义域、周期性，只画一段遗漏延伸。 4. 平移伸缩顺序搞错，五点法变换混淆。 5. 忽略最值点、零点准确性，图像草图失真。 【对点训练11】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，用“五点法”作出在上简图． 【详解】∵，∴，列表如下： 0 0 2 0 描点，连线，在上的图象如下： 易错点12 三角函数取值边界不清晰而致错 易错提醒 1. 容易混淆零点是包含还是排除边界，不等号写反出错。 2. 对参数取边界值时，不代入验证零点是否刚好满足题意。 3. 整体换元后，对新角范围端点处理随意，漏掉临界情况。 4. 计数零点时，多算或少算端点零点，范围偏大偏小。 5. 忽略三角函数周期性带来的临界，直接凭不等式下结论。 【对点训练12】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数 （）在区间 内恰有 个零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】时，，令，的解为，其中大于的前3个取值为， 则， 所以 的取值范围为 易错点13 单调区间不清楚而致错 易错提醒 1. 混淆三角函数单调区间是子集关系，误当成完全相等求 ω。 2. 忽略 ω 的正负，直接套用单调区间公式，产生错解。 3. 端点不等式处理不当，不等号随意，临界值未检验。 4. 换元后没理清内层函数增减，复合单调性判断失误。 5. 漏掉题干定义域限制，求出参数范围扩大。 【对点训练13】（2026·广东广州·模拟预测）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求sinx型三角函数的单调性 【分析】应用整体法及正弦函数的单调性列不等式求参数范围. 【详解】当时，则， 要使在该区间上单调递增，则区间内的必须包含在正弦函数的某个单调递增区间内， 因为区间的中心为，所以只能对应正弦函数在上的单调递增区间， 因此需满足且，得，又， 所以，即的取值范围是. 易错点14 函数对称关系混淆而致错 易错提醒 1. 混淆对称轴与对称中心公式，记错正弦、余弦、正切结论。 2. 分不清对称轴是最值点，对称中心是零点（特殊除外）。 3. 带 ω，φ 时，整体代换出错，直接套原函数结论。 4. 忽略正切对称中心不只是零点，容易漏情况。 5. 记错性质，把对称与周期性混在一起，推理失误。 【对点训练14】（25-26高一下·上海·期中）若直线是函数的一条对称轴，则__________． 【答案】 【详解】对于正弦型函数，其值域为，即最大值为，最小值为. 由正弦型函数的图象性质可知，函数图象的对称轴对应函数的最值点， 已知是的一条对称轴，因此在处取得最值，即. 易错点15 图象变换时忽略函数图象是对x而言致错 易错提醒 1. 伸缩平移变换容易直接对整体操作，忘记仅针对自变量 x。 2.  顺序混淆，先平移再伸缩与先伸缩再平移处理方式分不清。 3. 参数提取失误，不提取 x 系数，平移量算错，图像变换跑偏。 4. 审题分不清是图像本身平移，还是解析式直接变形。 【对点训练15】（2026·吉林·一模）（多选）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】BC 【详解】对于A：函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 得到，A错误； 对于B：函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 得到，B正确； 对于C：函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 得到，C正确； 对于D：函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 得到，D错误. 易错点16 和角差角公式混淆致错 易错提醒 1. 和差角公式混淆正弦、余弦展开式，符号容易记反。 2. 倍角公式记错，平方关系乱用，二倍余弦多种形式分不清。 3. 公式变形记错，辅助角公式系数处理失误。 4. 分不清是和角还是差角，代公式张冠李戴。 5. 逆用公式不熟练，看不出结构，化简方向出错。 【对点训练16】（2026·湖南·一模）已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 因为，都是锐角，所以，则，； 所以 . 易错点17 辅助角公式、倍角公式记忆不清致错 易错提醒 1. 倍角公式记错，余弦的三种表达式混淆，平方转换出错。 2. 辅助角公式中，a,b 与容易代错。 3. 忽略辅助角的取值范围，求相位时判断失误。 4. 公式逆用识别不出结构，不能快速配凑。 5. 化简时系数漏乘，直接套用公式造成结果偏差。 【对点训练17】25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，所以. 易错点18 忽略三角形中角的范围致错 易错提醒 1. 开方求三角函数值，不结合角范围，符号判断错误。 2. 平方恒等变形后，不利用角范围检验，产生增根。 3. 缩小角范围意识不足，无法锁定唯一三角函数值。 4. 做和差倍角求值，忽略角隐含限制，多解错解。 5. 求相位、参数时漏掉角范围，所求结果不符合题意。 【对点训练18】（2026·陕西·三模）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，且，因此是第四象限角，即， 得，该区间是第二象限，因此. 由同角三角函数基本关系​，代入， 所以， 结合是第四象限角，，得. 由半角公式得， 因此. 一、单选题 1．（26-27高三·全国·一轮复习）把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的终边相同， 所以把角化为的形式为. 2．（2026·湖北·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】；；； 因此，又，故. 3．（浙江杭州2026-2027年质量检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知函数为奇函数，则 4.（25-26高三·全国·一轮复习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 【答案】A 【详解】根据题意，可算得弧，弧． 所以，所以． 依据题意，可知截面面积， 化简得：． 所以当，． 即当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米． 5．（26-27高三上·江苏·学业考试真题）已知函数（，）的图象过三点，，，且的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 将，代入函数解析式，得，即， 由，可得， 点为函数零点，对应相位满足； 点为函数最大值点，对应相位满足， 两式作差得:， 所以， 又，代入得，解得， 所以 函数解析式为， 故. 6．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）在中，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为，所以， 又，故，即， 因此. 7．（25-26高一下·河南信阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 令，则．由二倍角正切公式得． 将其代入已知条件，得． 因为．所以，即，整理得，解得或． 又因为，所以，即． 因为，且， 所以． 8．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数的图象关于点对称 C．在区间上的所有实根之和为 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】D 【详解】由图象可知，函数的最大值为3，最小值为−1，所以，选项A错误； 因为函数图象过点，所以，解得，又，所以， 所以. 令，得，函数的图象关于点对称，选项B错误； 令，即，等价于，或，解得或者， 因为，所以或或或，所有实数根之和为，选项C错误； 将函数的图象向右平移个单位长度，得到，选项D正确. 二、多选题 9．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）下面说法正确的是（　　） A．角 与角 终边相同 B．终边在直线 上的角 的取值集合可表示为 C．若 是第二象限角，则 是钝角 D．若 为第二象限角，则 为第一象限角或第三象限角 【答案】AD 【详解】选项A：终边相同的角相差，又，是的整数倍，因此两角终边相同，A正确. 选项B：终边在直线上的角包含第二、四象限两部分，取值集合为，B错误. 选项C：第二象限角是终边落在第二象限的角，可表示为， 钝角仅指范围内的正角，如是第二象限角但不是钝角，C错误. 选项D：若为第二象限角，则， 则，为第一象限角或第三象限角，D正确. 10．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象 【答案】ACD 【详解】， 选项A：的最小正周期为，A正确； 选项B：若函数关于点对称，则， 代入得，B错误； 选项C：当时， ，最大值为1， 对应最大值为，且取最大值时，C正确； 选项D：将向左平移个单位，即将替换为，得： ，D正确. 11.（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）（多选）若函数，的部分图象如图中实线所示，记其与x轴在原点右侧的第一个交点为C，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期是π B．函数在上单调递减 C．函数的图象向左平移个单位后关于对称 D．若圆C的半径为，则 【答案】ACD 【分析】对于A选项，由图象可得，进而得到的最小正周期；对于B选项，求出，，从而得到，判断出函数不单调；对于C选项，求出平移后的解析式，得到当时，，从而可得对称性；对于D选项，由圆的半径求出，进而代入解析式，求出，得到答案. 【详解】对于A选项，由图象可知，关于点中心对称， 故，设的最小正周期为，则， 解得，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 故，将代入解析式得，， 因为，所以， 故，解得，故， 当时，， 因为在上不单调， 故在上不单调，故B错误； 对于C选项，函数的图象向左平移个单位后， 得到， 当时，，故关于对称，故C正确； 对于D选项，圆C的半径为，由勾股定理得， 故，将其代入中，得， 解得，故，故D正确. 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【答案】 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是， 所以角的集合是． 13．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知 ，则 ______． 【答案】 【详解】由 有意义知 ，，. 所以 ， 所以. 又， . 所以 ， 即 ，所以 . 14．（26-27高三上·天津宁河·阶段检测）设函数，则下列结论 ① ②的图象可由图象向左平移个单位得到 ③函数的单调递增区间为 ④若在上恰有3个最值点和4个零点，则 其中正确的个数为________． 【答案】3 【详解】对于①， ，故①错误； 对于②，向左平移个单位得到： ， 且，②正确； 对于③，， ，解得，函数的单调递增区间为，③正确； 对于④，， 令，则， 恰有3个最值点：正弦函数最值点对应，要求第3个最值点落在区间内、第4个最值点不落在区间内，即； 恰有4个零点：正弦函数零点对应，要求第4个零点落在区间内、第5个零点不落在区间内，即； 联立两个不等式解得，④正确． 四、解答题 15．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，两锐角的始边都为轴非负半轴，终边分别与单位圆O交于两点，若点A的横坐标为，点B的纵坐标为. (1)分别求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意得，，， 因为均为锐角，所以，，则； （2）； （3）因为， ， 所以， 因为，为锐角，所以， 因为，为锐角，所以， 所以，则. 16．（25-26高一下·上海长宁·期末）已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案； 方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上； 方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上； (1)若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小； (2)若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度；（用表示）； 【答案】(1)， (2)， . 【详解】（1）因为扇形半径，圆心角， ，所以，， ， 所以， 设矩形的面积为S， 因为，所以，所以， 当，即时，面积有最大值； （2）由对称性可知，矩形面积最大时关于角平分线对称， 设，所以， 设，所以， 因为，所以，即， 所以矩形面积 所以，当， 即时，面积有最大值，， 此时 米. 17．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的单调递增区间． 【答案】(1)最小正周期为； (2)值域为； (3)单调递增区间为和. 【详解】（1）由二倍角公式与辅助角公式可得， ， 所以函数的最小正周期为. （2）因为，所以， 所以，所以. （3）在上的单调增区间满足 ， 解得， 所以函数在上的单调递增区间为和. 18．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数． (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （ⅰ）求，的值． （ⅱ）若在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件②：，； 选条件③：，. 【详解】（1）， 若，所以，即， 则，即. 因为，所以令，即； （2）若选条件①： 已知条件为在区间上单调递增，，. 因为，在区间上单调递增， 所以，显然，不能同时成立， 故不存在函数，不能选择该条件； 若选条件②：已知条件为在区间上单调递增，，. 因为，在区间上单调递增， 所以有，显然，同时能成立， （ⅰ）由可知该函数的最小值为， 于是有，解得，即. 又因为， 所以，即，则. 因为，所以令，即. 所以可以选择本条件，此时； （ⅱ），令，即，则. 当时，；当时，；当时，；当时，. 若在区间上有且只有两个零点，则. 即m的取值范围为. 若选条件③：已知条件为在区间上单调递增，，在区间上单调递减. 因为在区间上单调递增，上单调递减. 所以函数. 所以有，显然，在区间上单调递减，同时能成立， （ⅰ）由的最小值为， 于是有，解得，即. 又因为， 所以，即，则. 因为，所以令，即. 所以可以选择本条件，此时. （ⅱ），令，即，则. 当时，；当时，；当时，；当时，. 若在区间上有且只有两个零点，则. 即m的取值范围为. 19.（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数 (1)求函数的对称中心； (2)若方程在上有两个解，求的范围； (3)将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2) (3)． 【详解】（1）因为，所以， 令，，解得，，所以对称中心为，． （2）因为，所以，因为， 当，即时，单调递增， 当，即，单调递减， 当或时，， 当时，， 所以方程在上有两个解，所以． （3）因为函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，所以， 因为，，不等式成立，所以， 因为，所以， 当，即时，， 当时，令， 所以，即，即， 所以实数的取值范围． $第五章 三角函数   知识点一 任意角与弧度制 1.角的定义:一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. 2.角的分类: 项目 分类 定义 图示 任 意 角 正角 一条射线绕其端点按 旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按 旋转形成的角 零角 一条射线 旋转形成的角 3. 与角终边相同的角的集合： . 4.把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 5.弧度与角度的换算 (1)180°=π rad,1°=rad≈0.017 45 rad; (2)π rad=180°,1rad=()°≈57.30°=57°18'. 6.弧长公式：. 7.扇形面积公式：. 知识点二 三角函数概念 1. 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2.设点为角终边上任意一点，那么：（设） ，，， 3. 平方关系：. 4.商数关系：. 知识点三 三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1. 诱导公式一： （其中：） 3.诱导公式三： 2. 诱导公式二： 4.诱导公式四： 5.诱导公式五： 6.诱导公式六： 知识点四 三角函数的图象和性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 无 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 在 上单调递增 在 上单调递减 在 上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 无对称轴 对称中心 知识点五 三角恒等变换 1.记住15°的三角函数值： 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 . . 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)， 变形： . (2). 变形如下： (3) 升幂公式： 降幂公式： (4) (5) 4.简单的三角恒等变换 (1)半角公式 正弦 sin= 余弦 cos= 正切 tan= (2)半角的有理公式:tan ==, (3)积化和差公式 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]; cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. (4)和差化积公式 sin θ+sin φ=2sincos; sin θ-sin φ=2cossin; cos θ+cos φ=2coscos; cos θ-cos φ=-2sinsin. (5) 辅助角公式: （其中辅助角所在象限由点的象限决定, ). 知识点六 函数的图象 1.对于函数有：振幅 ，周期，初相，相位 ，频率. 2.能够讲出函数的图象与的图象之间的平移伸缩变换关系. 1 先平移后伸缩： 平移个单位 （左加右减） 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的倍 平移个单位 （上加下减） 2 先伸缩后平移： 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的倍 平移个单位 （左加右减） 平移个单位 （上加下减） 3.三角函数的周期，对称轴和对称中心 (1)函数，x∈R及函数，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期 (2)函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期 . (3)对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与 解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4.由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：，.要根据周期来求,要用图像的关键点来求. 易错点1 区域角的书写易错写 易错提醒 1. 易漏加，导致不是区域角通式。 2. 端点开闭混淆，没看清是否包含边界。 3. 角度制弧度制混用，书写不统一。 4. 找起始范围出错，旋转方向判断失误。 5. 合并区域角时，范围写重或漏区间。 6. 未检验 k 取整，出现范围表示无效。 【对点训练1】 （26-27高一上·全国·课后作业）写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 易错点2 角的范围具体界限不清晰 易错提醒 1. 误把 0°～90° 都当成第一象限角，0°、90° 不是象限角。 2. 错认为钝角就是大于 90° 的角，钝角要大于 90° 且小于 180°。 3. 混淆小于 90° 的角，包含负角，不只是锐角。 4. 概念辨析易忽略角的推广定义，仍局限初中认知。 【对点训练2】（25-26高一下·全国·阶段检测）（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．的角是第一象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．钝角都是第二象限角 D．小于的角都是锐角 易错点3 n倍角、n分角所在具体范围不清晰 易错提醒 1. 求 n 分角范围，直接除以 n，忽略 k 的整数分类讨论。 2. 漏掉 ，不是通解形式。 3. n 倍角扩大范围时，不等关系处理出错。 4. 判断所在象限，凭主观，不代 k 检验。 5. 角度弧度混用，书写不规范。 【对点训练3】（2026高一·全国·专题练习）已知为第一象限角，试确定，，分别是第几象限角． 易错点4 角度与弧度概念易混淆 易错提醒 1. 混淆角度、弧度，计算时单位不统一直接代值运算出错。 2. 误把 π 当成 3.14，忽略 π 是 180° 的弧度含义。 3. 写角的集合混用°与 rad，格式不规范丢分。 4. 转化换算记错公式，角度弧度互化比例弄反。 5. 判断象限角时，看到 π 不会快速对应度数。 【对点训练4】（25-26高一下·全国·阶段检测）（多选）下列命题中，正确的是（   ） A． “角度制”和“弧度制”是度量角的两种不同的度量制度 B．1rad的角等于1度的角 B． 的角是周角的，1rad的角是周角的 D．180°的角一定等于的角 易错点5 用扇形弧长公式与面积公式求最值易用错 易错提醒 1. 记错弧长、扇形面积公式，混淆两种面积表达式。 2. 未统一用弧度制，直接用角度代公式计算失误。 3. 忽略实际定义域，求最值不检验自变量范围。 4. 审题分不清是扇形周长还是弧长，条件看错。 5. 配方求最值时，计算变形粗心出错。 【对点训练5】 （26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 易错点6 由终边或终边上的点求三角函数值易讨论不全面 易错提醒 1. 忽略点含参数时要分类讨论，不判断符号直接代入。 2. 求 r 计算失误，忘记 r>0。 3. 记错三角函数定义，分子分母弄反。 4. 未考虑角终边落在坐标轴特殊情况，造成漏解。 5. 计算符号出错，混淆各象限三角函数符号规律。 【对点训练6】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合. (1)若终边上有一点，求； (2)若角的终边上一点（）求及； (3)点在角的终边上，且，求t的值. 易错点7 同角三角函数基本关系“弦化切”易出错 易错提醒 1. 弦切互化直接默认，不检验定义域，容易增根漏根。 2. 混淆齐次式判断，非齐次强行弦切互化，方法误用。 3. 符号忽略，开方不讨论角象限，结果符号出错。 4. 分式变形随便约式，不考虑式子能否为零，丢情况。 5. 计算转化时公式记错，弦切关系式弄反。 【对点训练7】（25-26高三上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（    ） A． B．11 C． D． 易错点8 sinα±cosα和sinα·cosα的关系的化简中角的范围易讨论错 易错提醒 1. 忽视角范围，开方直接取正，正负判断出错。 2.  平方变形产生增根，最后不检验舍去。 3. 角之间隐藏关系挖掘不足，无法配凑化简。 4. 变形时忽略角本身取值限制，扩大范围。 【对点训练8】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 易错点9 同角三角函数基本关系中因忽略角的范围而错 易错提醒 1. 开方求三角函数值，不结合角范围直接取正值，符号出错。 2. 平方恒等变形后，未利用角范围检验，出现增根。 3. 判断角所在象限时，忽略题干隐含限制，范围扩大。 4. 由三角函数值推角，不缩小角范围，解不唯一致错。 5. 齐次式求值，忽略角限制，产生不符合条件的解。 【对点训练9】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，求的值（    ） A． B． C． D． 易错点10 诱导公式混乱而致错 易错提醒 1. 记错“奇变偶不变，符号看象限”，分不清变不变函数名。 2. 符号判断凭直觉，没有把角默认看成锐角检验。 3. 混淆正负角、大角转化方法，乱套诱导公式。 4. 特殊角三角函数值记混，化简最后一步出错。 5. 角度弧度混在一起套用诱导公式，运算失误。 【对点训练10】（2027高三·全国·专题练习）已知是方程的根，是第三象限角，则______． 易错点11 五点法作图具体点不清楚而出错 易错提醒 1. 列表求五点时，容易算错相位，忽略 ω、φ 的影响。 2. 描点作图混淆横坐标，直接把 x 替换成相位，造成错误。 3. 画图忘记定义域、周期性，只画一段遗漏延伸。 4. 平移伸缩顺序搞错，五点法变换混淆。 5. 忽略最值点、零点准确性，图像草图失真。 【对点训练11】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，用“五点法”作出在上简图． 易错点12 三角函数取值边界不清晰而致错 易错提醒 1. 容易混淆零点是包含还是排除边界，不等号写反出错。 2. 对参数取边界值时，不代入验证零点是否刚好满足题意。 3. 整体换元后，对新角范围端点处理随意，漏掉临界情况。 4. 计数零点时，多算或少算端点零点，范围偏大偏小。 5. 忽略三角函数周期性带来的临界，直接凭不等式下结论。 【对点训练12】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数 （）在区间 内恰有 个零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 易错点13 单调区间不清楚而致错 易错提醒 1. 混淆三角函数单调区间是子集关系，误当成完全相等求 ω。 2. 忽略 ω 的正负，直接套用单调区间公式，产生错解。 3. 端点不等式处理不当，不等号随意，临界值未检验。 4. 换元后没理清内层函数增减，复合单调性判断失误。 5. 漏掉题干定义域限制，求出参数范围扩大。 【对点训练13】（2026·广东广州·模拟预测）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 易错点14 函数对称关系混淆而致错 易错提醒 1. 混淆对称轴与对称中心公式，记错正弦、余弦、正切结论。 2. 分不清对称轴是最值点，对称中心是零点（特殊除外）。 3. 带 ω，φ 时，整体代换出错，直接套原函数结论。 4. 忽略正切对称中心不只是零点，容易漏情况。 5. 记错性质，把对称与周期性混在一起，推理失误。 【对点训练14】（25-26高一下·上海·期中）若直线是函数的一条对称轴，则__________． 易错点15 图象变换时忽略函数图象是对x而言致错 易错提醒 1. 伸缩平移变换容易直接对整体操作，忘记仅针对自变量 x。 2.  顺序混淆，先平移再伸缩与先伸缩再平移处理方式分不清。 3. 参数提取失误，不提取 x 系数，平移量算错，图像变换跑偏。 4. 审题分不清是图像本身平移，还是解析式直接变形。 【对点训练15】（2026·吉林·一模）（多选）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 易错点16 和角差角公式混淆致错 易错提醒 1. 和差角公式混淆正弦、余弦展开式，符号容易记反。 2. 倍角公式记错，平方关系乱用，二倍余弦多种形式分不清。 3. 公式变形记错，辅助角公式系数处理失误。 4. 分不清是和角还是差角，代公式张冠李戴。 5. 逆用公式不熟练，看不出结构，化简方向出错。 【对点训练16】（2026·湖南·一模）已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 易错点17 辅助角公式、倍角公式记忆不清致错 易错提醒 1. 倍角公式记错，余弦的三种表达式混淆，平方转换出错。 2. 辅助角公式中，a,b 与容易代错。 3. 忽略辅助角的取值范围，求相位时判断失误。 4. 公式逆用识别不出结构，不能快速配凑。 5. 化简时系数漏乘，直接套用公式造成结果偏差。 【对点训练17】25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知，则＝（    ） A． B． C． D． 易错点18 忽略三角形中角的范围致错 易错提醒 1. 开方求三角函数值，不结合角范围，符号判断错误。 2. 平方恒等变形后，不利用角范围检验，产生增根。 3. 缩小角范围意识不足，无法锁定唯一三角函数值。 4. 做和差倍角求值，忽略角隐含限制，多解错解。 5. 求相位、参数时漏掉角范围，所求结果不符合题意。 【对点训练18】（2026·陕西·三模）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（26-27高三·全国·一轮复习）把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·湖北·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（浙江杭州2026-2027年质量检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 4.（25-26高三·全国·一轮复习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 5．（26-27高三上·江苏·学业考试真题）已知函数（，）的图象过三点，，，且的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）在中，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·河南信阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数的图象关于点对称 C．在区间上的所有实根之和为 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 二、多选题 9．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）（多选）下面说法正确的是（　　） A．角 与角 终边相同 B．终边在直线 上的角 的取值集合可表示为 C．若 是第二象限角，则 是钝角 D．若 为第二象限角，则 为第一象限角或第三象限角 10．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象 11.（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）（多选）若函数，的部分图象如图中实线所示，记其与x轴在原点右侧的第一个交点为C，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期是π B．函数在上单调递减 C．函数的图象向左平移个单位后关于对称 D．若圆C的半径为，则 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 13．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知 ，则 ______． 14．（26-27高三上·天津宁河·阶段检测）设函数，则下列结论 ① ②的图象可由图象向左平移个单位得到 ③函数的单调递增区间为 ④若在上恰有3个最值点和4个零点，则 其中正确的个数为________． 四、解答题 15．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，两锐角的始边都为轴非负半轴，终边分别与单位圆O交于两点，若点A的横坐标为，点B的纵坐标为. (1)分别求的值； (2)求的值； (3)求的值. 16．（25-26高一下·上海长宁·期末）已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案； 方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上； 方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上； (1)若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小； (2)若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度；（用表示）； 17．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的单调递增区间． 18．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数． (1)若，求的值； (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （ⅰ）求，的值． （ⅱ）若在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19.（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数 (1)求函数的对称中心； (2)若方程在上有两个解，求的范围； (3)将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围． $