第五章 三角函数（单元测试·基础通关卷）高一数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第五章 三角函数函数·基础通关卷（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B D B A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．/ 13． 14．3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，因式分解得，解得 或 ，（1分） 因为是第三象限角，所以，故， （2分） 由此可得，， （3分） 利用诱导公式化简原式：，， ，，， 所以.（6分） （2）已知，两边平方得， 所以， （8分） 设，则， 所以， （10分） 因为，所以， 又因为 ，所以， 因此，故. （13分） 16．（15分） 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为， 所以， （3分） 所以； （5分） （7分） （2）由题意可知为第一象限角， 因为，为锐角， （9分） 所以， 所以， （12分） 所以 （15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）由题得 （3分） ∴的最小正周期是. （5分） （2）令， （7分） 得， （8分） 故的单调递增区间为. （10分） （3） ∵，∴， , （12分） ， （14分） 故在区间上的最大值为，最小值为. （15分） 18．（17分） 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为，； (2)单调递增区间为，； (3) 【详解】（1）， ， ， （3分） 最小正周期， （4分） 令，，解得，， （5分） 此时，故的对称中心为，. （7分） （2）令，， （8分） 解得，， （10分） 故函数的单调递增区间为，. （11分） （3）将函数的图象向右平移个单位长度得， ， （13分） 将横坐标伸长到原来的2倍得， ， （15分） 则. （17分） 19．（17分） 【详解】（1）(1)该正方形无法覆盖该扇形，理由如下： 该扇形的半径为，圆心角为，因此弧长，所以，即， 该扇形面积，将代入，则，则， 所以当时，面积取最大值，此时，即该扇形的圆心角大于， 如下图： 过圆心作，则，所以， 则，，同理， 则，而边长为的正方形中，最长线段为对角线，长为， 因此，该正方形无法覆盖这个扇形. （6分） （2）该直角三角形两直角边长分别为和，且周长为，所以， 设斜边长， 则，当且仅当时等号成立，（8分） 即，化简得，解得（舍）或， 所以当时，斜边有最小值为. （11分） (3)猜想：当该四边形是正方形时面积最大. 四边形的边，，，的长分别为，，，，则， 连接，，过点作交于， 对于，若以为底边，则高为， 面积为，当且仅当时等号成立， 同理的面积的最大值为，当且仅当时等号成立， 因此四边形的面积，当且仅当，时等号成立， 同理，当且仅当，时等号成立， 故当且仅当该四边形是矩形时等号成立. （14分） 由基本不等式得，，即，当且仅当时等号成立， 则，即， 所以该四边形为矩形，且时，面积取最大值， 由矩形的性质可知，，，所以， 综上所述，当该四边形为正方形时面积最大. （17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第五章 三角函数函数·基础通关卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为： . 阴影部分终边在第四象限角的集合为： . 所以终边在阴影部分的角的集合为. 2．（2026·云南昆明·模拟预测）若点关于轴的对称点为，则的一个取值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得方程组， 对第一个等式用两角和的余弦公式展开：， 整理得，即得， 对第二个等式用两角和的余弦公式展开：， 整理得，即得， 因此,取，得的一个取值为， 此时,关于轴对称，符合题意. 3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）在中，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为，所以， 又，故，即， 因此. 4.（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可知，， 且，则，所以，所以， 所以. 5．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知，则（   ） A． B．-1 C． D．1 【答案】B 【详解】， 分子分母同除以得：，代入， . 6.（26-27高三上·山西长治·开学考试）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点．则当与第2026次重合时，的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】射线的斜率是，对应角度在第四象限，为或，由题意，点初始角度为0，点初始角度为（或图1中）， 当第一次重合时，如图1，此时点转过的角度比点转过的角度多， 当第二次重合时，如图2，此时点比多转一圈，所以点转过的角度比点转过的角度总共多， 可以想象，从第次重合开始，到第次重合，点又比多转一圈， 所以，第2026次重合时，点转过的角度比点转过的角度总共多， 设此时时刻为，则点转过的角度与点转过的角度之差为. 解得， 所以当第2026次重合时，以为终边的角， ，， 所以点坐标为. 7．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数与的图象关于轴对称，则的一个取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象关于轴对称的图象的函数解析式为， 由已知， 所以或，， 由化简可得，该式无法对任意恒成立，舍去； 由化简可得，即， 当时，，选项符合要求. 8．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数 的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后， 可得 ， 由，当时，有， 在区间上单调递增，则有 ， 解得， 因此的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高一上·四川内江·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．，则角与角终边相同 B．若角为锐角，则是第一象限角 C．若，且，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 【答案】BC 【详解】对于A，，与终边不相同，故A错误； 对于B，若角为锐角，则是第一象限角，故B正确； 对于C，若，则，又因为，所以， 解得，则，故C正确； 对于D，圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积，故D错误. 10．（2026·陕西榆林·一模）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的增区间为 C．为偶函数 D．在上的最大值为2 【答案】ACD 【详解】根据二倍角公式，可得， 代入原函数，可得：， ， 选项A：根据周期公式，故选项A正确； 选项B： 令， 解得：，， 所以的增区间应为；故选项B错误； 选项C： 将代入得：， 因为，所以是偶函数，故选项C正确； 选项D：当时，， 结合正弦函数的性质可知，当（即）时，， 所以，故选项D正确. 11．（26-27高一上·河北保定·期中）如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．若区间内包含了的零点与对称轴，则 D．若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 【答案】AD 【详解】令得，或，， 由图可知：，， 所以，结合， 所以，所以，故A正确， 所以，由且处在减区间，得， 所以，， 所以，， 因为，所以，故B错误． 函数的零点满足， 函数的对称轴满足， 相邻的一个零点和极值点之间的最小距离为， 即在一个周期内，零点与相邻对称轴之间的最小距离为， 若区间内包含了的零点与对称轴，则即可，故C错误； 若的图象沿轴向右平移个单位得的图象， 为偶函数得，， 所以，，且， 则时，的最小值为， 若的图象沿轴向左平移个单位得的图象， 为偶函数得，， 所以，，且， 则时，的最小值为， 综合可知．的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知，且，则______． 【答案】/ 【详解】由题意得， 13．（25-26高一下·上海·期中）若中，、是方程的两个根，则___________． 【答案】 【详解】因为、是方程的两个根， 由韦达定理可得，； 因为中，； 故， 故； ． 14．（26-27高三上·天津宁河·阶段检测）设函数，则下列结论 ① ②的图象可由图象向左平移个单位得到 ③函数的单调递增区间为 ④若在上恰有3个最值点和4个零点，则 其中正确的个数为________． 【答案】3 【详解】对于①， ，故①错误； 对于②，向左平移个单位得到： ， 且，②正确； 对于③，， ，解得，函数的单调递增区间为，③正确； 对于④，， 令，则， 恰有3个最值点：正弦函数最值点对应，要求第3个最值点落在区间内、第4个最值点不落在区间内，即； 恰有4个零点：正弦函数零点对应，要求第4个零点落在区间内、第5个零点不落在区间内，即； 联立两个不等式解得，④正确． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（26-27高三上·天津蓟州·阶段检测）已知是方程的根，且是第三象限角． (1)求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，因式分解得，解得 或 ， 因为是第三象限角，所以，故， 由此可得，， 利用诱导公式化简原式：，， ，，， 所以. （2）已知，两边平方得， 所以， 设，则， 所以， 因为，所以， 又因为 ，所以， 因此，故. 16．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边经过点． (1)求和的值； (2)若为锐角，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）由题意可知为第一象限角， 因为，为锐角， 所以， 所以， 所以 17.（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知函数，． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）由题得 ∴的最小正周期是. （2）令， 得， 故的单调递增区间为. （3）∵，∴，, ， 故在区间上的最大值为，最小值为. 18．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)求函数的单调递增区间； (3)若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，求的值. 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为，； (2)单调递增区间为，； (3) 【详解】（1）， ， ， 最小正周期， 令，，解得，， 此时，故的对称中心为，. （2）令，， 解得，， 故函数的单调递增区间为，. （3）将函数的图象向右平移个单位长度得， ， 将横坐标伸长到原来的2倍得， ， 则. 19.（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是． (1)当封闭曲线为扇形，并且面积取到最大值时，用边长为的正方形纸片能否完全覆盖这个扇形？请说明理由．（提示，圆心角度数为，半径为的扇形面积公式为，弧长公式为） (2)当封闭曲线为直角三角形时，求斜边长的最小值；如图，设直角边边长分别为，， (3)当封闭曲线是四边形时，猜想是什么样的四边形的面积最大并证明你的猜想. 如图，设四边形的边，，，的长度分别为，，，. 【详解】（1）(1)该正方形无法覆盖该扇形，理由如下： 该扇形的半径为，圆心角为，因此弧长，所以，即， 该扇形面积，将代入，则，则， 所以当时，面积取最大值，此时，即该扇形的圆心角大于， 如下图： 过圆心作，则，所以， 则，，同理， 则，而边长为的正方形中，最长线段为对角线，长为， 因此，该正方形无法覆盖这个扇形. （2）该直角三角形两直角边长分别为和，且周长为，所以， 设斜边长，则，当且仅当时等号成立， 即，化简得，解得（舍）或， 所以当时，斜边有最小值为. (3)猜想：当该四边形是正方形时面积最大. 四边形的边，，，的长分别为，，，，则， 连接，，过点作交于， 对于，若以为底边，则高为， 面积为，当且仅当时等号成立， 同理的面积的最大值为，当且仅当时等号成立， 因此四边形的面积，当且仅当，时等号成立， 同理，当且仅当，时等号成立， 故当且仅当该四边形是矩形时等号成立. 由基本不等式得，，即，当且仅当时等号成立， 则，即， 所以该四边形为矩形，且时，面积取最大值， 由矩形的性质可知，，，所以， 综上所述，当该四边形为正方形时面积最大. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第五章 三角函数函数·基础通关卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）若点关于轴的对称点为，则的一个取值为（） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）在中，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 4.（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知，则（   ） A． B．-1 C． D．1 6.（26-27高三上·山西长治·开学考试）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点．则当与第2026次重合时，的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数与的图象关于轴对称，则的一个取值为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数 的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高一上·四川内江·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．，则角与角终边相同 B．若角为锐角，则是第一象限角 C．若，且，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 10．（2026·陕西榆林·一模）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的增区间为 C．为偶函数 D．在上的最大值为2 11．（26-27高一上·河北保定·期中）如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．若区间内包含了的零点与对称轴，则 D．若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知，且，则______． 13．（25-26高一下·上海·期中）若中，、是方程的两个根，则___________． 14．（26-27高三上·天津宁河·阶段检测）设函数，则下列结论 ① ②的图象可由图象向左平移个单位得到 ③函数的单调递增区间为 ④若在上恰有3个最值点和4个零点，则 其中正确的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（26-27高三上·天津蓟州·阶段检测）已知是方程的根，且是第三象限角． (1)求的值； (2)已知，求的值． 16．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边经过点． (1)求和的值； (2)若为锐角，且，求的值． 17.（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知函数，． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在区间上的最大值和最小值． 18．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)求函数的单调递增区间； (3)若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，求的值. 19.（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是． (1)当封闭曲线为扇形，并且面积取到最大值时，用边长为的正方形纸片能否完全覆盖这个扇形？请说明理由．（提示，圆心角度数为，半径为的扇形面积公式为，弧长公式为） (2)当封闭曲线为直角三角形时，求斜边长的最小值；如图，设直角边边长分别为，， (3)当封闭曲线是四边形时，猜想是什么样的四边形的面积最大并证明你的猜想. 如图，设四边形的边，，，的长度分别为，，，. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第五章 三角函数函数·基础通关卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）若点关于轴的对称点为，则的一个取值为（） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）在中，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 4.（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知，则（   ） A． B．-1 C． D．1 6.（26-27高三上·山西长治·开学考试）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点．则当与第2026次重合时，的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数与的图象关于轴对称，则的一个取值为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数 的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高一上·四川内江·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．，则角与角终边相同 B．若角为锐角，则是第一象限角 C．若，且，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 10．（2026·陕西榆林·一模）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的增区间为 C．为偶函数 D．在上的最大值为2 11．（26-27高一上·河北保定·期中）如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．若区间内包含了的零点与对称轴，则 D．若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知，且，则______． 13．（25-26高一下·上海·期中）若中，、是方程的两个根，则___________． 14．（26-27高三上·天津宁河·阶段检测）设函数，则下列结论 ① ②的图象可由图象向左平移个单位得到 ③函数的单调递增区间为 ④若在上恰有3个最值点和4个零点，则 其中正确的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（26-27高三上·天津蓟州·阶段检测）已知是方程的根，且是第三象限角． (1)求的值； (2)已知，求的值． 16．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边经过点． (1)求和的值； (2)若为锐角，且，求的值． 17.（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知函数，． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在区间上的最大值和最小值． 18．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)求函数的单调递增区间； (3)若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，求的值. 19.（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是． (1)当封闭曲线为扇形，并且面积取到最大值时，用边长为的正方形纸片能否完全覆盖这个扇形？请说明理由．（提示，圆心角度数为，半径为的扇形面积公式为，弧长公式为） (2)当封闭曲线为直角三角形时，求斜边长的最小值；如图，设直角边边长分别为，， (3)当封闭曲线是四边形时，猜想是什么样的四边形的面积最大并证明你的猜想. 如图，设四边形的边，，，的长度分别为，，，. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $