5.2 二元一次方程组的解法（讲义）数学新教材北师大版八年级上册
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精品
内容正文：
第五章
二元一次方程组
5.2二元一次方程组的解法
课标要点
1.掌握解二元一次方程组的核心数学思想——消元转化思想，理解将二元问题转化为一元一次方程问题的推导逻辑，建立化繁为简、化未知为已知的数学转化模型。
2.熟练掌握代入消元法、加减消元法的完整定义、理论依据和操作流程，明确两种解法的适用题型与优缺点，能够区分不同系数结构方程组的最优解题方案。
3.依据等式基本性质和等量代换原理规范解题，熟练完成方程变形、扩倍、去分母、去括号、移项合并等运算，保证代数运算严谨规范。
4.能够独立求解整数、负数、分数、小数系数的常规二元一次方程组，熟练掌握完整解题步骤，养成求解后代入原方程检验的良好解题习惯。
5.能够结合方程组结构特征灵活选择解题方法，系数简单、可直接变形优先代入法，系数成倍数、适合同系数抵消优先加减法，提升解题效率与解题灵活性。
6.落实数学核心素养，持续提升运算能力、符号意识、逻辑推理能力，能清晰阐述每一步消元的依据，形成严谨的代数推理思维。
学习重难点
重点：
1.熟练掌握代入消元法完整步骤，能够根据方程结构，将其中一个方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，通过整体代入实现消元，准确求出方程组的解。
2.牢固掌握加减消元法核心规则，明确同系数相减、相反数系数相加的消元逻辑，能利用等式性质对方程扩倍变形，构造可消元的系数结构完成解题。
3.能根据方程组系数特点灵活择优选择解法，系数简单易变形选用代入法，系数成倍数、适合抵消选用加减法，有效简化运算、提升解题速度与准确率。
难点：
1.深度理解消元转化思想，难以跳出机械套用步骤的思维，无法自主理解“化二元为一元”的数学本质，面对陌生方程组不会自主设计消元思路。
2.代入消元运算易错，移项容易忘记变号，整体代入时遗漏括号、符号混乱，回代求解时选错方程，频繁出现细节性计算错误。
3.加减消元扩倍变形极易出错，方程整体扩倍时容易漏乘常数项，破坏等式基本性质，同时正负号判断混淆，导致整题答案错误。
4.复杂方程组解题能力薄弱，面对含分数、小数、负数系数的方程组，去分母、合并同类项、多步扩倍综合运算失误多，且不会提前简化方程，运算量大、正确率低。
知识点 解二元一次方程组的核心思想
定义：解二元一次方程组的基本思想是消元转化思想，指通过数学运算消除方程组中的一个未知数，将含有两个未知数的二元一次方程组，转化为已经学过的、只有一个未知数的一元一次方程，从而实现化未知为已知、化复杂为简单的求解目的。
特别提醒
所有二元一次方程组的解法本质都是消元，代入法、加减法只是消元的不同手段，最终目标统一为“二元转一元”。
易错提醒
学生容易机械背诵解题步骤，不理解消元本质，遇到需要先化简、先变形的复杂方程组，无法灵活调整解题思路。
教材延伸
消元转化是初中代数核心化归思想，后续三元一次方程组、方程与函数综合题、参数题型求解均沿用此思想，是初中方程体系的核心基础。
随学随练
1．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去 得 ，从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．转化思想
【答案】D
【详解】解：∵题干中的解法是代入消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，把未知问题转化为已知可解的问题，
∴这种解法体现的是转化思想．
2．用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入②中，通过消去未知数y，将方程组转化为一元一次方程求解，这一过程体现的数学思想是（ ）
A．建模思想 B．化归思想 C．数形结合思想 D．类比思想
【答案】B
【详解】代入法解二元一次方程组时，通过消元将陌生的二元方程组问题，转化为已经掌握解法的一元一次方程问题，
即将复杂问题转化为可解决的简单问题，符合化归思想的特征．
因为建模思想是建立数学模型解决实际问题，数形结合思想是结合数与形分析问题，
类比思想是根据两类对象的相似性推导结论，均不符合该过程．
知识点 代入消元法
基本概念：利用等量代换原理解二元一次方程组的方法。先选取方程组中系数简单的方程变形，改写为用一个未知数表示另一个未知数的代数式，再将代数式整体代入另一个方程，消去一个未知数，求解一元一次方程后，回代求出另一个未知数，最终得到方程组的解。
特别提醒
优先选择未知数系数为或的方程变形，最大程度简化代数式，避免出现分数，降低运算难度。易错提醒
移项变形时常忘记变号；代入时代数式未加括号导致符号出错；容易将变形式子代回原变形方程，造成无法消元、循环计算。
教材延伸
代入消元法适用于所有二元一次方程组，是整体代换思想的雏形，为后续代数式整体求值、复杂方程换元法解题铺垫基础。
随学随练
1．由可以得到用表示的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ 原方程为，
移项得，
等式两边同时乘，得．
2．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（ ）
A．先把变形
B．先把变形
C．可先把变形，也可先把变形
D．把同时变形
【答案】C
【分析】观察方程组未知数的系数，优先选择系数为的未知数所在方程变形．
【详解】解：方程中的系数为，可变形为，代入计算简便；
方程中的系数为，可变形为，代入计算简便，
∴先把变形或先把变形均较为简便．
3．用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去，可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：，
将①代入②得．
4．用代入消元法解方程组，将②代入①，且去括号后，得___________．
【答案】
【详解】解：把②代入①得，
去括号得．
5．解二元一次方程组（用代入消元法）：．
【答案】
【详解】解：，
由①得③，
将③代入②得，
解得，
将代入③，得，
∴方程组的解为．
6．解方程组．
解：由②得．③…………………………（第1步）
把③代入②得．……………………（第2步）
即，所以原方程组有无数组解．………………（第3步）
指出上面的解法从第几步出现错误，并写出正确的解答过程．
【答案】从第2步出现错误，，
正确解答：
由②得，③，
将③代入①得，
解得，
将代入③得，
所以方程组的解为．
7．阅读下面的材料解决问题．
解方程组．
解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组．
【答案】
【详解】解：由①得，
所以，
将③代入②得，
解得；
把代入①，解得，
所以该方程组的解为．
知识点 加减消元法
依据等式的基本性质，对二元一次方程组的方程进行扩倍变形，使同一个未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程左右两边对应相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解的方法。
特别提醒
易错提醒
扩倍时只乘未知数项、漏乘常数项；减法消元时整体符号错乱；双方程扩倍时选取公倍数过大，导致计算繁琐出错。
教材延伸
加减消元法是中考主流解法，重点适配无系数、系数成倍数的方程组，是同解方程组、含参方程组高频解题方法。
随学随练
1．解方程组，则下列步骤可以消去未知数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要消去未知数，需使两个方程变形后的系数互为相反数或相等，再通过加减消去即可．
【详解】解：A、由得，不能消去未知数，故不符合题意；
B、由得，不能消去未知数，故不符合题意；
C、由得，不能消去未知数，故不符合题意；
D、由得，能消去未知数，故符合题意．
2．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】若消去未知数，则运算后的系数为，计算整理即可得到和满足的条件．
【详解】解： ，得：
，
整理得：，
消去了未知数，
的系数为，
即．
3．在解关于x，y的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数y，那么a和b满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】两方程相加后可消去y，说明相加后y的系数和为0，据此推导a和b满足的关系即可．
【详解】解：将得：，
整理得：，
∵可直接消去未知数，
∴的系数为，
即．
4．解方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
①②得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，
∴方程组的解为．
5．下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解方程组：
解：，得③第一步；
，得．第二步
将代入①，得．第三步
所以，原方程组的解为．第四步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______；
(2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________；
(3)求出该方程组的正确解．
【答案】(1)加减消元法；等式的基本性质2
(2)解：二，合并同类项计算错误
(3)
【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案；
（2）根据解方程的方法即可得出答案；
（3）根据，求出的值再代入①即可得出答案．
【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质2；
（2）略
（3）解：，得
③
，得
整理可得
将代入①，得
解得
∴原方程组的解为
知识点 二元一次方程组标准化化简
概念：对含分数、小数、括号、未整理的杂乱方程组，通过去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式（不同时为0）的过程，是解复杂方程组的前置必备步骤。
特别提醒
所有复杂方程组必须先化简、再消元，标准化整理后可大幅降低分数、小数带来的运算错误。
易错提醒
去分母时漏乘整数常数项；移项不统一变号；合并同类项不彻底，方程未化为最简，导致后续消元计算失误。
教材延伸
方程标准化是初中代数通用运算规范，适用于所有方程、方程组，衔接后续一元二次方程、分式方程的化简求解。
随学随练
1．解方程（组）：
(1)；
(2)；
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
得，，
即，解得，
将代入①得，，解得，
∴原方程组的解为；
2．解方程组：
【答案】
【分析】先将方程组整理得，再根据加减消元法求解即可．
【详解】解：整理方程组得 ，
，得，
，得，
，
把代入②，得，
解得，
原方程组的解是 ．
3．解方程组：．
【答案】
【分析】对第一个方程进行去分母和去括号化简，将其转换成标准的二元一次方程组，然后通过代入消元法求出，再回代求出．
【详解】解：
两边同时乘得
，
展开化简得，
展开化简得
，
由得
，
将其代入中得
，
解得，
将代入，
解得．
故方程组的解为．
4．解方程组：．
【答案】
【分析】先对原方程组去分母整理为整数系数方程组，再用加减消元法求解．
【详解】解：原方程组为，
第一个方程两边同乘去分母，得，
整理得，
第二个方程两边同乘去分母，得，
整理得，
，得，
解得，
把代入，得，
解得，
因此原方程组的解为．
知识点二元一次方程组解法择优规则
定义：根据方程组的系数结构特征，快速判定最优解法的解题策略：未知数系数为、易变形优先代入消元法；同一未知数系数相等、互为相反数、成整数倍数，优先加减消元法。
特别提醒
解题前必须先观察系数，不盲目套用固定方法，择优解题可大幅简化运算、节省解题时间。
易错提醒
学生解题方法固化，无论方程组结构统一使用一种解法，简单题复杂化，运算量大、正确率低。
教材延伸
解法择优是数学运算灵活性的核心体现，在中考大题、综合题型中，合理选择解法是快速解题、规避失误的关键能力。
随学随练
1．用适当的方法解方程组：
【答案】
【详解】解：
，得．
把代入②，得，
．
2．用适当的方法解方程组：
【答案】
【详解】解：
②式两边同乘2，得
，得
将 代入②，得，
解得
所以原方程组的解为．
3．用适当的方法解方程组
【答案】
【详解】解：
，得，
解得，
把代入①，得，
∴方程组的解为．
4．用适当的方法解方程组：．
【答案】
【详解】解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①，得：，
∴方程组的解是．
5．用适当的方法解下列方程组．
(1)；
(2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
由①②得，
解得
将代入①得，
解得
∴原方程组的解为
（2）解：
由得，③
由得，④
由得，，解得
将代入①得，，解得
∴原方程组的解为．
6．用适当的方法解方程组解方程组：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
得，
把代入①得，
∴
所以方程组的解为；
（2）解：
得，
由②得
③④得，
∴
代入③得，
解得
所以方程组的解为．
知识点 二元一次方程组的解的检验
定义：将求解得到的成对解，同时代入原方程组的两个原始方程，验证方程左右两边数值全部相等，以此判定解是否正确的完整验算流程。
特别提醒
检验必须代入原始未变形方程，不可代入化简、扩倍后的方程，避免因前期变形错误导致检验失效。
易错提醒
只代入一个方程检验，判定结果正确；省略检验步骤，无法发现消元、运算中的隐蔽错误。
教材延伸
验算是方程求解的必备素养，贯穿初中所有方程、方程组、函数求值题型，是保证运算严谨性的核心习惯。
随学随练
1．下列以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将代入得6-1=5，方程左右两边相等，
将代入得2×2-3×(-1)=4+3=7，方程左右两边相等，
∴是的解．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解，解题的关键是知道二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
2．二元一次方程有无数个解，下列各组数值中，不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．，此选项不符合题意；
B．，此选项符合题意；
C．，此选项不符合题意；
D．，此选项不符合题意；
故选：B．
3．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把代入方程组检验即可．
【详解】解：A、将代入方程组，
可得：，
即是方程组的解，符合题意；
B、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
C、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
D、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
4．若是下列某个二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
A. 故是方程组解，本选项符合题意；
B.，故不是方程组解，本选项不合题意；
C.，不是方程组解，本选项不合题意；
D. ，不是方程组解，本选项不合题意；
故选：A
拓展 运算能力
运算能力是本节最核心的基础素养，指学生能依据等式基本性质、等量代换规则，规范完成方程变形、扩倍、去分母、去括号、移项合并、符号运算等一系列代数操作，精准完成二元一次方程组的消元与求解，具备严谨、有序、正确的代数运算思维。
素养拓展要点
1.规范运算逻辑：学生不再机械算题，能明确每一步运算依据，清楚变形、扩倍、消元操作为什么成立，做到“步步有依据、运算不盲目”。
2.强化符号运算：能熟练处理负数、分数、小数、多重括号的混合运算，攻克移项变号、整体加减、扩倍不漏项等高频易错点，提升复杂代数式运算稳定性。
3.优化运算策略：能主动观察方程组系数结构，择优使用代入法或加减法，主动简化方程、提前去分母化整，主动减少计算量，实现巧算、简算、稳算。
4.养成验算素养：形成“求解必检验”的习惯，能将结果回代原方程核验，主动排查隐蔽计算错误，提升运算准确率与严谨性。
活学活用
1．解方程组
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
整理得
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
整理得
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为．
2．若关于、的方程组的解满足，求的值？
【答案】
【详解】，
得，
得，
得，解得，
把代入，得 ，解得，
把，代入，得，
整理得，解得．
3．解答下列问题：
(1)计算：；
(2)下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：
解方程组：
解：，得．③………………第一步
，得．…………………………第二步
解得．……………………………………第三步
把代入②，得．………………第四步
原方程组的解为………………第五步
任务一：填空
①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是 （填字母即可）
A．公式法 B．换元法 C．代入法 D．加减法
②小明从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：直接写出原方程组的正确解；
任务三：请你根据学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项为其他同学提一条建议．
【答案】(1)
(2)任务一：①D；②一；方程时漏乘了等号右边5这一项；任务二：；任务三：移项要变号；等式变形时不漏乘每一项等
【分析】（1）先计算乘除，再计算加减即可得出结果；
（2）任务一：根据解题过程判断即可得出结果；任务二：利用加减消元法解二元一次方程组即可；任务三：根据解二元一次方程组的步骤提出合理建议即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：任务一：①由解题过程可得上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是加减法；
②由解题过程可得小明从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是方程时漏乘了等号右边5这一项；
任务二：解：，得．③
，得．
解得．
把代入②，得，
∴原方程组的解为；
任务三：移项要变号；等式变形时不漏乘每一项等．（答案不唯一，正确即可）
拓展 推理能力
本节推理能力主要体现为化归推理，学生能自主理解“消元降次、化二元为一元”的推理逻辑，能将陌生的二元方程组问题，自主转化为已掌握的一元一次方程问题，形成完整的数学转化推理链条。
素养拓展要点
1.理解转化本质：学生明白解方程组不是固定步骤，核心是减少未知数个数，能自主分析方程组结构，自主设计消元思路，突破死套公式的思维局限。
2.形成逻辑链条：能完整推理：观察系数→选择消元方式→方程变形→消元得一元方程→求解回代→验证结果，推理过程完整、有序、严密。
3.迁移推理思维：能将“多元转一元、复杂转简单”的推理方法迁移，可自主应对含参方程组、同解方程组、错题还原参数等变式题型。
4.培养数学思维迁移：通过本节消元推理，建立初中代数核心转化思维，为后续三元方程组、函数方程、几何方程综合推理打下思维基础。
活学活用
1．新定义：已知关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就称方程组的解x与y具有“邻好关系”．如：关于x，y的方程组的解为，因为，所以关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”．
(1)判断方程组的解x与y是否具有“邻好关系”，并说明理由；
(2)若关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
【答案】(1)该方程组的解与具有“邻好关系”，理由如下：
，
由得，
将代入得，
解得，
∵，
∴该方程组的解与具有“邻好关系”；
(2)
【分析】（1）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义判断即可得出结果；
（2）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义计算即可得出结果．
【详解】（1）略；
（2）解：，
由得，
解得，
将代入②得，
解得，
∵关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”，
∴，
解得．
2．解答题
(1)【课本回顾】已知关于，的二元一次方程组解为，求，的值．
【变式练习】邹老师在课堂上对该题进行了变式：
已知关于，的二元一次方程组解为，
那么关于，的二元一次方程组的解是什么？
小毛和小叶同学的做法如下：
Ⅰ小毛：先把代入第一个方程组中求出，；再把，的值代入第二个方程组中求出它的解．
Ⅱ小叶：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数换成，未知数换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解．
邹老师对两位同学进行表扬，并指出小叶的思路体现了数学中“整体思想”、“转化思想”等的运用．
【解决问题】请你参考小毛或小叶的做法，解决下面的问题：
(2)已知方程组的解是，求方程组的解．
(3)已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解．（其中、、、都为常数）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入方程组解直接计算即可．
（2）利用换元法解方程组即可．
（3）利用换元法解方程组即可．
【详解】（1）解：将代入，得
得
∴
将代入得
∴
∴．
（2）根据题意可知，方程组的解是
根据题意，令，
∴新的方程组为，新方程组的解为
∴
解得．
（3）根据题意可知，方程组的解是
将所求方程组变形得
令，得方程组，该方程组和原方程组解相同
∴即
∴．
题型 代入消元法解二元一次方程组
解题贴士
代入消元法适用于方程组中存在未知数系数为或、容易变形的题型。解题时优先选择结构最简单的方程，通过移项变形，将方程化为用一个未知数表示另一个未知数的形式或，变形过程严格遵守移项变号法则。将变形后的代数式整体代入另一个未变形的方程，彻底消去一个未知数，得到一元一次方程并求解。求出第一个未知数后，必须回代到最简变形式中计算第二个未知数，避免代入复杂原方程增加计算误差。最后成对写出方程组的解，并可代入原方程组检验正误，全程避免回代原变形方程造成无法消元的错误。
▌例1对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：将①式代入②式可得，
去括号得，．
▌对点练1-1．把方程组中的方程①或方程②改写成用含的式子表示的形式，下列改写正确的是（ ）
A．由①，得 B．由①，得
C．由②，得 D．由②，得
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的变形，将看作已知数，通过移项，系数化为1求出，即可判断选项正误．
【详解】解：对方程① 变形，
，
移项得 ，
系数化为1得 ，
A错误，B正确；
对方程② 变形，
移项得 ，
系数化为1得 ，
C错误，D错误．
▌对点练1-2．解方程组．
【答案】
【详解】解：把①代入②，得
解得
把代入①，得
∴方程组的解为．
题型 加减消元法解二元一次方程组
解题贴士
加减消元法适用于同一未知数系数相等、互为相反数或成整数倍数的方程组。先观察、的系数，系数互为相反数直接两式相加，系数相等直接两式相减消元。若系数不匹配，利用等式基本性质对单个或两个方程同乘最小公倍数，统一同一未知数的系数，扩倍时所有项（含常数项）必须同步相乘，不可漏项。完成系数统一后通过加减运算消去一个未知数，得到一元一次方程求解，再回代求出剩余未知数。解题优先选择公倍数更小、运算量更少的未知数进行消元，有效减少符号错误与计算量，适配大部分常规、复杂含分数、整数系数的方程组。
▌例1小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（ ）
A．2，3 B．2， C．3，2 D．3，
【答案】A
【详解】解：观察方程组中的系数之间的关系可知，①②可以消去，
则，的值可能是2，3．
▌对点练1-1.解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．①②，消去 B．①②，消去
C．①②，消去 D．①②，消去
【答案】C
【详解】解：∵原方程组为，
得，无法消去或，因此A、B错误；
得，可消去，无法消去，因此C正确，D错误.
▌对点练1-2.解下列方程组：
【答案】
【详解】解：，
由得，；
由得，，
解得：，
把代入式可得，，
解得：；
∴原方程组的解为：．
题型 构造二元一次方程组求解
解题贴士
此类题型需要根据题干隐藏条件主动列出两个独立一次方程，再联立求解。常见条件包括：平方、绝对值、算术平方根的非负性、同类项定义、多项式对应系数相等、几何角度和边长关系、倍数和差关系等。解题核心是从题干中提取两组互不重复、不能互相推导的等量关系，分别列出标准一次方程，联立形成二元一次方程组。求解时灵活选用代入或加减消元法，求出未知数后，需检验数值是否满足题目隐含取值限制，保证结果合理有效。
▌例1在等式中，当时，；当时，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“当时，；当时，”列方程组求解即可．
【详解】解：∵当时，；当时，，
∴，
解得：．
▌对点练1-1已知和是关于的二元一次方程的两组解．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)的值为5，的值为
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
（1）把两组解代入得到二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据（1）得到二元一次方程为，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵和是关于x，y的二元一次方程的两组解，
∴
解得
即的值为5，的值为．
（2）由（1）得，该二元一次方程为．
当时，．
▌对点练1-2定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
(1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母）
A． B． C． D．
(2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根．
【答案】(1)C；
(2)的平方根是
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ．
（1）由定义直接可求；
（2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可
【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是，
故答案为：C．
（2）解：由题意可得整理得，
②－①，得，即．
的平方根是，
的平方根是．
题型 错解复原问题
解题贴士
错解复原题型核心规律：看错系数的解，只满足未看错的正确方程，不满足看错的方程。解题第一步区分题目中被看错符号、看错系数、漏写数字的错误方程，锁定完全正确、未被改动的方程。将题目给出的错误解代入正确方程，反向求出方程组中的参数、未知常数，还原出完整正确的二元一次方程组。再用标准消元法重新求解，得到真正的方程组的解。切记错解只能用来求参数，不能直接作为最终答案，全程区分正确方程与错误方程，避免参数计算错误。
▌例1小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
把代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出的值，即可求出的值．
【详解】解：把代入，
得，
解得．
把代入，
得，
即，
所以．
▌对点练1-1在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是．
(1)求原方程组中、的值各是多少？
(2)求出原方程组中的正确解
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是利用甲、乙看错的条件分别求出、的值，再求解原方程组．
（1）利用甲看错但正确，将甲的解代入含的方程求；利用乙看错但正确，将乙的解代入含的方程求；
（2）将、代入原方程组求解正确解．
【详解】（1）解：将代入②得，
将代入①得；
（2）解：原方程组为，
①②得：，
解得：，
①②得：，
解得：，
即原方程组的解为：．
▌对点练1-2甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组错解问题，解此类问题抓住一句话“看错谁，不用谁”，把解代入未看错方程来组建新的关于，的方程解题．
【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，
，
解得：，
同理乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，
可得：，
解得：，
．
题型 方程组同解问题
解题贴士
两个二元一次方程组有相同的解，则该组公共解同时满足四个方程。解题固定步骤：优先选取两组不含参数的最简方程联立，先求出唯一公共解，再将公共解代入剩余含参数的方程，构造出关于参数的一元一次方程，依次求出所有参数的值。多参数题目分步代入、分步求解，最后将参数回代检验，确保公共解适配全部方程，避免直接代入复杂含参方程导致运算繁琐出错。
▌例1已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值．
【答案】，
【分析】根据同解的性质，先求出两个方程组公共的的解，再代入得到关于的方程组，用消元法求解即可．
【详解】解： 得 ，
将代入原方程组含参数的方程，得 ，
解得 ．
▌对点练1-1已知关于、的方程组和有相同的解．
(1)求这两个方程组相同的解；
(2)求的值．
【答案】(1) (2)5
【分析】（1）将和联立方程组求解即可；
（2）把代入后相减即可．
【详解】（1）解：由题意可得
得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴这两个方程组相同的解为．
（2）解：把代入，得，
得，．
▌对点练1-2已知关于x，y的方程组与的解相同．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)， (2)
【详解】（1）解：与的解相同，
可联立得，
解得两个二元一次方程的公共解为，
将代入，
可得，解得，
，．
（2）将，代入，得，
的平方根为，
的平方根为．
题型 二元一次方程组的特殊解法
解题贴士
特殊解法适用于系数较大、对称结构、循环结构、常数项相同或系数互为轮换的特殊方程组，常规消元计算量大。常用技巧包含整体代入法、整体加减法、换元法、加减组合消元法。解题时不单独展开每一项，而是把含的整体代数式当作整体进行消元运算，直接整体加减、整体代换，跳过繁琐扩倍与分步计算。面对分数结构、重复系数结构的方程组，优先整体化简，大幅简化运算步骤，降低多步计算产生的符号、漏项错误。
▌例1如果关于m，n的二元一次方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？
【答案】关于，的二元一次方程组的解为.
【分析】观察两组方程组形式完全一致，将整体替换m，整体替换n，代入已知解得到关于x、y的二元一次方程组，再联立加减消元算出x、y的值．
【详解】解：由方程组结构可得，
两式相加，，．
将代入，，．
∴关于x、y的二元一次方程组的解为．
▌对点练1-1小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单：
得：，即．
再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
(1)方程组的解为________；
(2)利用轮换对称解法解方程组
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
得，解得，
把代入③得，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：
得，
∴，
得，
得，解得，
把代入⑦得，解得，
∴原方程组的解为．
▌对点练1-2仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题．
材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法：
解：②−①，得：，所以③，
将③，得④，
①−④，得，从而可得，
所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组：；
(2)猜测关于，的方程组 的解，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，
理由如下：，
①−②，得：，
∵，
∴ ③，
将③，得④，
①−④，得，解得，从而可得，
所以原方程组的解为．
【详解】（1）解：，
①−②，得：，所以③，
将③，得④，
④−②，得，解得，从而可得，
所以原方程组的解为．
题型7利用二元一次方程组的解求参数问题
解题贴士
已知是二元一次方程（组）的解，可直接利用方程的解的定义解题：解代入方程能使等式左右两边相等。将已知的数值完整代入原含参方程或方程组，替换未知数后得到只含字母参数的一元一次方程，通过移项、合并同类项、系数化为1求出参数值。若存在多个参数，可联立多个方程分步求解。求出参数后必须回代检验，确保原方程仍然符合二元一次方程定义，排除使系数为0、次数改变的无效参数值。
▌例1.关于x、y的二元一次方程组的解满足x与y互为相反数，求m的值．
【答案】
m的值为12
【分析】由x与y互为相反数得，代入原方程组消去y，求解m的值；
【详解】解：∵x与y互为相反数，
∴，
将代入原方程组，得，
整理得，
由第二个方程得，代入第一个方程，
解得：．
▌对点练1-1我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”．
(1)若为“和谐点”，求的值；
(2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据“和谐点”的定义建立关于k的一元一次方程并求解，即可获得答案；
（2）解方程组，结合“和谐点”的定义建立关于m的一元一次方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：为“和谐点”，
∴根据题意，得，
解得；
（2）解：存在，理由如下：
解方程组，
得，
点是“和谐点”，
，
即，
解得，
综上所述，当时，点是“和谐点”．
▌对点练1-2对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“互为相反关系”．
(1)方程组的解与是否具有“互为相反关系”？说明你的理由．
(2)若方程组的解与具有“互为相反关系”，求的值．
【答案】(1)具有，理由见解析
(2)
【分析】（1）解方程组，根据新定义进行判断即可；
（2）根据题意，得到，进而得到方程组的解与方程组的解相同，求出方程组的解，代入，进行求解即可.
【详解】（1）解：具有，理由如下：
，
，得，解得；
把代入，得，解得，
∴，
∴方程组的解与具有“互为相反关系”；
（2）解：由题意，方程组的解与方程组的解相同，
解，得，
把，代入，得，
解得.
基础通关
1．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】D
【详解】解：∵是关于和的二元一次方程的解，
∴
∴．
2．以下两个方程组：①，②，在解的过程中，用简便的方法，下列叙述正确的是（ ）
A．①②均用代入法 B．①②均用加减法
C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法
【答案】C
【分析】本题根据二元一次方程组消元法的适用特点，判断两个方程组分别适合的简便解法，根据方程组的结构选择代入消元法或加减消元法即可．
【详解】解：对于方程组①，∵第一个方程已经直接将表示为的一次代数式，
∴使用代入消元法可以直接消元，计算简便；
对于方程组②，∵两个方程中l的系数分别为和，互为相反数，
∴将两个方程相加即可直接消去l，得到关于的一元一次方程，使用加减消元法计算简便，因此①用代入法，②用加减法．
3．已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】仔细观察题目，用②①即可得的值．
【详解】解：二元一次方程组，
②①，得．
4．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察方程组中未知数的系数，发现互为相反数，A选项直接相加即可消去，其他选项无法消元，即可作答．
【详解】解：A、依题意，
，得，
解得，
则把代入，得
解得；
B、，得，无法消元，故该选项不符合题意；
C、，得，无法消元，故该选项不符合题意；
D、，得，无法消元，故该选项不符合题意；
5．方程与方程的公共解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】两个方程的公共解就是对应二元一次方程组的解，联立两个方程进行求解即可．
【详解】解：根据题意，联立两个方程得，
解得，
∴两个方程的公共解为．
6．已知与是同类项，那么a，b的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同类项的定义，列出方程即可求出a和b的值．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
解得：．
7．已知方程组的解满足与互为相反数，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相反数性质得到x与y的关系，再将方程组相加得，然后
整体代入计算k即可．
【详解】解：∵x与y互为相反数,
∴．
方程组，
，得，
即
由，得，
解得．
8．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则可表示为_______________．
【答案】
【分析】把看作已知数，解关于的一元一次方程即可得到结果．
【详解】解：原方程为，
移项，得，
方程两边同时除以，
得．
9．解方程组：的解为_____________．
【答案】
【详解】解：
得：，
解得，
再将代入方程②得到，
解得，
故原方程组的解为： ．
10．已知方程组，则的值是___________．
【答案】
【分析】直接利用第一个方程减去第二个方程即可求解；
【详解】解：，
由得：．
11．解二元一次方程组：．
【答案】
【分析】用代入消元法解二元一次方程组．
【详解】解：已知，
把②代入①得：，
解得，
把代入②，可得，
∴方程组的解为．
12．如果单项式 与 的和为 ，那么_______．
【答案】6
【分析】根据题意可得与 为同类项，根据同类项的定义列出方程，求出，，代入代数式求解即可．
【详解】解：根据题意可得，与 为同类项，
则，解得，
则．
13．解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】利用代入消元法解方程组即可；
先由方程组整理得，再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
将代入，得，解得，
将代入，得，
∴该方程组的解为；
（2）解：由整理得，
，得，解得，
将代入，得，解得，
∴该方程组的解为．
14．解方程（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元一次方程的解法，解题步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
（2）利用加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
由得：，
由得：，解得：，
将代入①得：，解得：，
∴方程组的解为．
15．已知的三边长分别为a，b，c．
(1)化简；
(2)若a，b满足
①求c的取值范围；
②若c为小于7的奇数，求的周长．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，，根据绝对值的性质进行化简，即可求解；
（2）①由解方程组求出，，根据三角形三边关系求出c的取值范围；
②根据题意确定c的值，根据三角形周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：（1）的三边长为a，b，c，
，
，，
，，
∴原式
．
（2）解：①方程组，
①+②，得，
，
②-①，得，
，；
②由①可知，，，
∵c为小于7的奇数，∴c为3或5，
∴的周长为或．
【点睛】熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
16．已知关于，的方程组，且其解满足．在求的值时，有下面两种方案：
甲方案
按照传统思路，先对方程组进行求解，然后将含的解，代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解．
乙方案
通过观察方程组和最后一个关系式，可以利用整体法，将方程组的两个方程相加，再直接代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解．
请你任选一种方案，求出的值．
【答案】
【分析】甲方案先利用加减消元法求出二元一次方程组的解，再代入即可得到的值；乙方案直接结合题目所给条件得出，求解即可得到的值．
【详解】解：利用甲方案：
，
得，
得，解得，
把代入得，
，
，
化简得，
移项得，
解得；
利用乙方案：
，
得，
，
，
移项得，
解得；
以上两种方案任选一种解答即可．
素养提升
1．已知代数式，当时，值为3；当时，值为1，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将的两个取值代入代数式后两式相加，可消去直接求得结果．
【详解】解：将代入，得，
将代入，得，
两式相加，得，
．
2．已知是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知解代入方程组，求解,后计算的值.
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程组的解，
∴，
得，
解得，
把代入①得，
∴.
3．若方程组的解满足，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将方程组中两个方程相减，构造出关于的表达式，再结合已知条件求解的值．
【详解】解：记方程组
得．
．
已知，
．
解得．
4．对实数x、y定义一种新运算：，a、b均为常数，例如：．若，，则的值为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】B
【分析】根据新运算定义列出关于，的方程组，观察所求式子与方程组的关系，整体计算求解．
【详解】解：∵新运算规则为，且，
∴，整理得，
∵，
∴，整理得，
∴得．
5．已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题利用整体换元思想，对比两个方程组的结构，将所求方程组中的和看作整体，对应原方程组的未知数，即可求解．
【详解】解：∵已知方程组的解是，
待解方程组与原方程组结构完全相同，
∴可得，
解方程组得．
6．已知和都是关于、的二元一次方程的解，则、的值为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】把两组解分别代入二元一次方程得到关于与的二元一次方程组，解方程组即可得到结果.
【详解】解：和都是二元一次方程的解，
将两组解分别代入方程，得：.
解得.
7．如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（ ）
x
1
2
ax+3b
3
1
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据表格中给出的完整数据，选取两组x和对应整式的值列出方程组，求解即可得到a和b的值．
【详解】解：由表格可知，当时，，
当时，，
，
得，
将代入，
得，解得，
即．
8．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为_____________．
【答案】
【分析】对方程组两个方程作差得到与的关系，代入求出的值，再根据同底数幂的乘法法则计算结果．
【详解】解：记方程组，，用 ，
代入中，得到，解得，
所以．
9．若单项式与的和是一个单项式，则这两个单项式的积为_______．
【答案】
【分析】根据两个单项式的和为单项式，得出两个单项式为同类项，然后确定两个单项式，最后利用单项式相乘的法则进行运算．
【详解】解：∵单项式与的和是一个单项式，
∴单项式与是同类项，
∴，
解得，
∴两单项式分别为与，
∴．
10．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把第一个多项式中的“”错抄成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为．
(1)试求出式子中a，b的值；
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先按甲、乙的错误利用多项式的乘法法则运算，根据对应项的系数相等得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a，b的值；
（2）把（1）中得到的a，b的值代入原式，根据多项式的乘法法则运算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴可得二元一次方程组，
解得；
（2）解：由（1）得，，
∴
．
11．甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果．
(1)求出，的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据甲、乙的错误分别写出对应的整式乘法算式，利用多项式相等时对应项系数相等列方程，联立求解，的值；
（2）将，的值代入原式计算，得到正确的整式乘法结果．
【详解】（1）解：∵甲抄错的符号，
∴甲计算的整式为，
，
∵甲的结果为，
∴①，
∵乙漏抄第二个多项式的系数，即第二个多项式变为，
∴乙计算的整式为，
，
∵乙的结果为，
∴②，
②①得：，
解得，
将代入②得，
解得，
∴；
（2）解：将，代入原式，
．
12．我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，；用表示大于a的最小整数，例如：，，．解决下列问题：
(1)______，______；
(2)若，那么x的取值范围是______；
(3)已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
【答案】(1)4，3
(2)
(3)，
【分析】（1）根据与的定义求解即可；
（2）根据与的定义求解即可；
（3）设，代入求解二元一次方程组，再根据与的定义求解即可．
【详解】（1）解：；
．
（2）解：∵表示不大于a的最大整数，
∴若，则是不大于的最大整数，
∴．
（3）解：设，
则有，
解得，
即，
∵表示不大于的最大整数，
∴，
∵表示大于的最小整数，
∴．
迁移创新
1．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题利用整体换元的思想，将待解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式，再利用已知方程组的解得到新的方程，即可求解.
【详解】解：首先整理待解方程组：，将方程组变形得：，
∵已知原方程组的解是
∴可得，解第一个方程得，即，解第二个方程得，
∴待解方程组的解为，对应选项C．
2．已知在第四象限内的点 到x轴、y轴的距离相等，且的平方根是它本身，则的算术平方根为____．
【答案】
【分析】先根据立方根的定义求出点的纵坐标，再结合第四象限点的坐标特征和点到坐标轴的距离关系得到第一个方程，根据平方根的定义得到第二个方程，联立方程组求出的值，再计算的算术平方根即可．
【详解】首先计算点的纵坐标：，即
因为点在第四象限，
所以点的横坐标
因为点到轴、轴的距离相等，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，
因此可得：
因为，化简得，
即
因为的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有，
因此可得：，
即
联立得方程组
解得
计算得，
的算术平方根为．
3．如果无理数的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中，是连续正整数），我们称无理数的“新星区间”为．例：，所以的“新星区间”为．若某一无理数的“新星区间”为，且满足，其中是关于、的二元一次方程的一组正整数解，则________．
【答案】33或127或353
【分析】本题考查了无理数的估算、二元一次方程解的应用，根据“新星区间”的定义可得，为连续正整数，且，结合，是二元一次方程的正整数解，可得是正整数，即为完全平方数，再根据不等式求出所有符合条件的，，代入方程计算即可得到的值．
【详解】解： 某一无理数的“新星区间”为，
，是连续正整数，且，
是的一组正整数解，
是正整数，
设（为正整数），
则，，
将，代入得：
，
即，
为正整数
当时，
，
不符合条件，舍去；
当时，
，
满足，
此时，，，，
代入，
得；
当时，
，
满足，
此时，，，，
代入，
得；
当时，
，
满足，
此时，，，，
代入，
得；
当时，
，
不符合条件，舍去．
综上，为 或或．
4．阅读材料：关于未知数x、y的二元一次方程组，将称为方程组的解距，当解距为1时，我们就说方程组的解具有单位差，例如，方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”．
(1)判断方程组的解是否具有“单位差”？并说明理由；
(2)已知关于x、y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值；
(3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，求出所有满足条件的整数k．
【答案】(1)该方程组的解具有“单位差”，理由如下：
，
②①得，
把代入②得，
解得，
，符合“单位差”的定义，
因此该方程组的解具有“单位差”；
(2)或
(3)所有满足条件的整数为
【分析】（1）先解方程组得到的值，计算 判断是否等于1即可；
（2）先解方程组，用表示出，再根据“单位差”的定义得到 ，解方程求出的值；
（3）先解方程组，用表示出解距，根据解距是整数且是整数，分析得到是的约数，进而求出所有符合条件的．
【详解】（1）略；
（2）解： ，
①②得，
解得，
把代入①得，
，
方程组的解具有“单位差”，
，
当 时，解得；
当 时，解得．
经检验和都符合题意，
因此的值为或；
（3）解：，
②①得，
解得，
把代入②得，
，
，
解距 是整数，是整数，
是的整数约数，即，
解得，
验证得所有结果都符合要求，
因此所有满足条件的整数为．
5．【阅读材料】
关于x，y的二元一次方程组把每个方程中未知数x，y的系数分别互换（常数项不变），得到的新方程组称为原方程组的“倒位方程组”．如果原方程组和它的“倒位方程组”有完全相同的解，则原方程组为“自倒方程组”．
【初步感知】
(1)方程组的“倒位方程组”为 ，该方程组 （选填“是”或“不是”）“自倒方程组”．
【深入探究】
(2)若关于x，y的方程组是“自倒方程组”，求m的值和该方程组的解．
【拓展延伸】
(3)已知关于x，y的方程组是“自倒方程组”，且，，，，求a，b，c，d，m，n应满足的数量关系．
【答案】(1)；不是；
(2)；
(3)如果是“自倒方程组”，那么
【详解】解：（1）方程组的“倒位方程组”为；
解得
解得
∴不是“自倒方程组”．
（2）方程组的“倒位方程组”是
∵该方程组是“自倒方程组”，∴它们的解相同．
联立得解得
把代入，解得．
（3）是“自倒方程组”，
与解相同．
联立可得，
，则．
代入方程，得．
同理可得，．
综上，如果是“自倒方程组”，那么．
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第五章
二元一次方程组
5.2二元一次方程组的解法
课标要点
1.掌握解二元一次方程组的核心数学思想——消元转化思想，理解将二元问题转化为一元一次方程问题的推导逻辑，建立化繁为简、化未知为已知的数学转化模型。
2.熟练掌握代入消元法、加减消元法的完整定义、理论依据和操作流程，明确两种解法的适用题型与优缺点，能够区分不同系数结构方程组的最优解题方案。
3.依据等式基本性质和等量代换原理规范解题，熟练完成方程变形、扩倍、去分母、去括号、移项合并等运算，保证代数运算严谨规范。
4.能够独立求解整数、负数、分数、小数系数的常规二元一次方程组，熟练掌握完整解题步骤，养成求解后代入原方程检验的良好解题习惯。
5.能够结合方程组结构特征灵活选择解题方法，系数简单、可直接变形优先代入法，系数成倍数、适合同系数抵消优先加减法，提升解题效率与解题灵活性。
6.落实数学核心素养，持续提升运算能力、符号意识、逻辑推理能力，能清晰阐述每一步消元的依据，形成严谨的代数推理思维。
学习重难点
重点：
1.熟练掌握代入消元法完整步骤，能够根据方程结构，将其中一个方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，通过整体代入实现消元，准确求出方程组的解。
2.牢固掌握加减消元法核心规则，明确同系数相减、相反数系数相加的消元逻辑，能利用等式性质对方程扩倍变形，构造可消元的系数结构完成解题。
3.能根据方程组系数特点灵活择优选择解法，系数简单易变形选用代入法，系数成倍数、适合抵消选用加减法，有效简化运算、提升解题速度与准确率。
难点：
1.深度理解消元转化思想，难以跳出机械套用步骤的思维，无法自主理解“化二元为一元”的数学本质，面对陌生方程组不会自主设计消元思路。
2.代入消元运算易错，移项容易忘记变号，整体代入时遗漏括号、符号混乱，回代求解时选错方程，频繁出现细节性计算错误。
3.加减消元扩倍变形极易出错，方程整体扩倍时容易漏乘常数项，破坏等式基本性质，同时正负号判断混淆，导致整题答案错误。
4.复杂方程组解题能力薄弱，面对含分数、小数、负数系数的方程组，去分母、合并同类项、多步扩倍综合运算失误多，且不会提前简化方程，运算量大、正确率低。
知识点 解二元一次方程组的核心思想
定义：解二元一次方程组的基本思想是消元转化思想，指通过数学运算消除方程组中的一个未知数，将含有两个未知数的二元一次方程组，转化为已经学过的、只有一个未知数的一元一次方程，从而实现化未知为已知、化复杂为简单的求解目的。
特别提醒
所有二元一次方程组的解法本质都是消元，代入法、加减法只是消元的不同手段，最终目标统一为“二元转一元”。
易错提醒
学生容易机械背诵解题步骤，不理解消元本质，遇到需要先化简、先变形的复杂方程组，无法灵活调整解题思路。
教材延伸
消元转化是初中代数核心化归思想，后续三元一次方程组、方程与函数综合题、参数题型求解均沿用此思想，是初中方程体系的核心基础。
随学随练
1．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去 得 ，从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．转化思想
2．用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入②中，通过消去未知数y，将方程组转化为一元一次方程求解，这一过程体现的数学思想是（ ）
A．建模思想 B．化归思想 C．数形结合思想 D．类比思想
知识点 代入消元法
基本概念：利用等量代换原理解二元一次方程组的方法。先选取方程组中系数简单的方程变形，改写为用一个未知数表示另一个未知数的代数式，再将代数式整体代入另一个方程，消去一个未知数，求解一元一次方程后，回代求出另一个未知数，最终得到方程组的解。
特别提醒
优先选择未知数系数为或的方程变形，最大程度简化代数式，避免出现分数，降低运算难度。易错提醒
移项变形时常忘记变号；代入时代数式未加括号导致符号出错；容易将变形式子代回原变形方程，造成无法消元、循环计算。
教材延伸
代入消元法适用于所有二元一次方程组，是整体代换思想的雏形，为后续代数式整体求值、复杂方程换元法解题铺垫基础。
随学随练
1．由可以得到用表示的式子是（ ）
A． B． C． D．
2．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（ ）
A．先把变形
B．先把变形
C．可先把变形，也可先把变形
D．把同时变形
3．用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去，可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．用代入消元法解方程组，将②代入①，且去括号后，得___________．
5．解二元一次方程组（用代入消元法）：．
6．解方程组．
解：由②得．③…………………………（第1步）
把③代入②得．……………………（第2步）
即，所以原方程组有无数组解．………………（第3步）
指出上面的解法从第几步出现错误，并写出正确的解答过程．
7．阅读下面的材料解决问题．
解方程组．
解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组．
知识点 加减消元法
依据等式的基本性质，对二元一次方程组的方程进行扩倍变形，使同一个未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程左右两边对应相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解的方法。
特别提醒
易错提醒
扩倍时只乘未知数项、漏乘常数项；减法消元时整体符号错乱；双方程扩倍时选取公倍数过大，导致计算繁琐出错。
教材延伸
加减消元法是中考主流解法，重点适配无系数、系数成倍数的方程组，是同解方程组、含参方程组高频解题方法。
随学随练
1．解方程组，则下列步骤可以消去未知数的是（ ）
A． B． C． D．
2．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（）
A． B．
C． D．
3．在解关于x，y的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数y，那么a和b满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．解方程组：．
5．下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解方程组：
解：，得③第一步；
，得．第二步
将代入①，得．第三步
所以，原方程组的解为．第四步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______；
(2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________；
(3)求出该方程组的正确解．
知识点 二元一次方程组标准化化简
概念：对含分数、小数、括号、未整理的杂乱方程组，通过去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式（不同时为0）的过程，是解复杂方程组的前置必备步骤。
特别提醒
所有复杂方程组必须先化简、再消元，标准化整理后可大幅降低分数、小数带来的运算错误。
易错提醒
去分母时漏乘整数常数项；移项不统一变号；合并同类项不彻底，方程未化为最简，导致后续消元计算失误。
教材延伸
方程标准化是初中代数通用运算规范，适用于所有方程、方程组，衔接后续一元二次方程、分式方程的化简求解。
随学随练
1．解方程（组）：
(1)；
(2)；
2．解方程组：
3．解方程组：．
4．解方程组：．
知识点二元一次方程组解法择优规则
定义：根据方程组的系数结构特征，快速判定最优解法的解题策略：未知数系数为、易变形优先代入消元法；同一未知数系数相等、互为相反数、成整数倍数，优先加减消元法。
特别提醒
解题前必须先观察系数，不盲目套用固定方法，择优解题可大幅简化运算、节省解题时间。
易错提醒
学生解题方法固化，无论方程组结构统一使用一种解法，简单题复杂化，运算量大、正确率低。
教材延伸
解法择优是数学运算灵活性的核心体现，在中考大题、综合题型中，合理选择解法是快速解题、规避失误的关键能力。
随学随练
1．用适当的方法解方程组：
2．用适当的方法解方程组：
3．用适当的方法解方程组
4．用适当的方法解方程组：．
5．用适当的方法解下列方程组．
(1)；
(2)
6．用适当的方法解方程组解方程组：
(1)；
(2)
知识点 二元一次方程组的解的检验
定义：将求解得到的成对解，同时代入原方程组的两个原始方程，验证方程左右两边数值全部相等，以此判定解是否正确的完整验算流程。
特别提醒
检验必须代入原始未变形方程，不可代入化简、扩倍后的方程，避免因前期变形错误导致检验失效。
易错提醒
只代入一个方程检验，判定结果正确；省略检验步骤，无法发现消元、运算中的隐蔽错误。
教材延伸
验算是方程求解的必备素养，贯穿初中所有方程、方程组、函数求值题型，是保证运算严谨性的核心习惯。
随学随练
1．下列以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
2．二元一次方程有无数个解，下列各组数值中，不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
4．若是下列某个二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
拓展 运算能力
运算能力是本节最核心的基础素养，指学生能依据等式基本性质、等量代换规则，规范完成方程变形、扩倍、去分母、去括号、移项合并、符号运算等一系列代数操作，精准完成二元一次方程组的消元与求解，具备严谨、有序、正确的代数运算思维。
素养拓展要点
1.规范运算逻辑：学生不再机械算题，能明确每一步运算依据，清楚变形、扩倍、消元操作为什么成立，做到“步步有依据、运算不盲目”。
2.强化符号运算：能熟练处理负数、分数、小数、多重括号的混合运算，攻克移项变号、整体加减、扩倍不漏项等高频易错点，提升复杂代数式运算稳定性。
3.优化运算策略：能主动观察方程组系数结构，择优使用代入法或加减法，主动简化方程、提前去分母化整，主动减少计算量，实现巧算、简算、稳算。
4.养成验算素养：形成“求解必检验”的习惯，能将结果回代原方程核验，主动排查隐蔽计算错误，提升运算准确率与严谨性。
活学活用
1．解方程组
(1) (2)
2．若关于、的方程组的解满足，求的值？
3．解答下列问题：
(1)计算：；
(2)下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：
解方程组：
解：，得．③………………第一步
，得．…………………………第二步
解得．……………………………………第三步
把代入②，得．………………第四步
原方程组的解为………………第五步
任务一：填空
①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是 （填字母即可）
A．公式法 B．换元法 C．代入法 D．加减法
②小明从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：直接写出原方程组的正确解；
任务三：请你根据学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项为其他同学提一条建议．
拓展 推理能力
本节推理能力主要体现为化归推理，学生能自主理解“消元降次、化二元为一元”的推理逻辑，能将陌生的二元方程组问题，自主转化为已掌握的一元一次方程问题，形成完整的数学转化推理链条。
素养拓展要点
1.理解转化本质：学生明白解方程组不是固定步骤，核心是减少未知数个数，能自主分析方程组结构，自主设计消元思路，突破死套公式的思维局限。
2.形成逻辑链条：能完整推理：观察系数→选择消元方式→方程变形→消元得一元方程→求解回代→验证结果，推理过程完整、有序、严密。
3.迁移推理思维：能将“多元转一元、复杂转简单”的推理方法迁移，可自主应对含参方程组、同解方程组、错题还原参数等变式题型。
4.培养数学思维迁移：通过本节消元推理，建立初中代数核心转化思维，为后续三元方程组、函数方程、几何方程综合推理打下思维基础。
活学活用
1．新定义：已知关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就称方程组的解x与y具有“邻好关系”．如：关于x，y的方程组的解为，因为，所以关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”．
(1)判断方程组的解x与y是否具有“邻好关系”，并说明理由；
(2)若关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
2．解答题
(1)【课本回顾】已知关于，的二元一次方程组解为，求，的值．
【变式练习】邹老师在课堂上对该题进行了变式：
已知关于，的二元一次方程组解为，
那么关于，的二元一次方程组的解是什么？
小毛和小叶同学的做法如下：
Ⅰ小毛：先把代入第一个方程组中求出，；再把，的值代入第二个方程组中求出它的解．
Ⅱ小叶：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数换成，未知数换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解．
邹老师对两位同学进行表扬，并指出小叶的思路体现了数学中“整体思想”、“转化思想”等的运用．
【解决问题】请你参考小毛或小叶的做法，解决下面的问题：
(2)已知方程组的解是，求方程组的解．
(3)已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解．（其中、、、都为常数）
题型 代入消元法解二元一次方程组
解题贴士
代入消元法适用于方程组中存在未知数系数为或、容易变形的题型。解题时优先选择结构最简单的方程，通过移项变形，将方程化为用一个未知数表示另一个未知数的形式或，变形过程严格遵守移项变号法则。将变形后的代数式整体代入另一个未变形的方程，彻底消去一个未知数，得到一元一次方程并求解。求出第一个未知数后，必须回代到最简变形式中计算第二个未知数，避免代入复杂原方程增加计算误差。最后成对写出方程组的解，并可代入原方程组检验正误，全程避免回代原变形方程造成无法消元的错误。
▌例1对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B．
C． D．
▌对点练1-1．把方程组中的方程①或方程②改写成用含的式子表示的形式，下列改写正确的是（ ）
A．由①，得 B．由①，得
C．由②，得 D．由②，得
▌对点练1-2．解方程组．
题型 加减消元法解二元一次方程组
解题贴士
加减消元法适用于同一未知数系数相等、互为相反数或成整数倍数的方程组。先观察、的系数，系数互为相反数直接两式相加，系数相等直接两式相减消元。若系数不匹配，利用等式基本性质对单个或两个方程同乘最小公倍数，统一同一未知数的系数，扩倍时所有项（含常数项）必须同步相乘，不可漏项。完成系数统一后通过加减运算消去一个未知数，得到一元一次方程求解，再回代求出剩余未知数。解题优先选择公倍数更小、运算量更少的未知数进行消元，有效减少符号错误与计算量，适配大部分常规、复杂含分数、整数系数的方程组。
▌例1小华在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①②消去y，则a，b的值可能是（ ）
A．2，3 B．2， C．3，2 D．3，
▌对点练1-1.解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．①②，消去 B．①②，消去
C．①②，消去 D．①②，消去
▌对点练1-2.解下列方程组：
题型 构造二元一次方程组求解
解题贴士
此类题型需要根据题干隐藏条件主动列出两个独立一次方程，再联立求解。常见条件包括：平方、绝对值、算术平方根的非负性、同类项定义、多项式对应系数相等、几何角度和边长关系、倍数和差关系等。解题核心是从题干中提取两组互不重复、不能互相推导的等量关系，分别列出标准一次方程，联立形成二元一次方程组。求解时灵活选用代入或加减消元法，求出未知数后，需检验数值是否满足题目隐含取值限制，保证结果合理有效。
▌例1在等式中，当时，；当时，．则（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-1已知和是关于的二元一次方程的两组解．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
▌对点练1-2定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
(1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母）
A． B． C． D．
(2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根．
题型 错解复原问题
解题贴士
错解复原题型核心规律：看错系数的解，只满足未看错的正确方程，不满足看错的方程。解题第一步区分题目中被看错符号、看错系数、漏写数字的错误方程，锁定完全正确、未被改动的方程。将题目给出的错误解代入正确方程，反向求出方程组中的参数、未知常数，还原出完整正确的二元一次方程组。再用标准消元法重新求解，得到真正的方程组的解。切记错解只能用来求参数，不能直接作为最终答案，全程区分正确方程与错误方程，避免参数计算错误。
▌例1小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值．
▌对点练1-1在解方程组时，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是．
(1)求原方程组中、的值各是多少？
(2)求出原方程组中的正确解
▌对点练1-2甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值．
题型 方程组同解问题
解题贴士
两个二元一次方程组有相同的解，则该组公共解同时满足四个方程。解题固定步骤：优先选取两组不含参数的最简方程联立，先求出唯一公共解，再将公共解代入剩余含参数的方程，构造出关于参数的一元一次方程，依次求出所有参数的值。多参数题目分步代入、分步求解，最后将参数回代检验，确保公共解适配全部方程，避免直接代入复杂含参方程导致运算繁琐出错。
▌例1已知关于x，y的方程组的解也是关于x，y的方程组的解，求m，n的值．
▌对点练1-1已知关于、的方程组和有相同的解．
(1)求这两个方程组相同的解；
(2)求的值．
▌对点练1-2已知关于x，y的方程组与的解相同．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
题型 二元一次方程组的特殊解法
解题贴士
特殊解法适用于系数较大、对称结构、循环结构、常数项相同或系数互为轮换的特殊方程组，常规消元计算量大。常用技巧包含整体代入法、整体加减法、换元法、加减组合消元法。解题时不单独展开每一项，而是把含的整体代数式当作整体进行消元运算，直接整体加减、整体代换，跳过繁琐扩倍与分步计算。面对分数结构、重复系数结构的方程组，优先整体化简，大幅简化运算步骤，降低多步计算产生的符号、漏项错误。
▌例1如果关于m，n的二元一次方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？
▌对点练1-1小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单：
得：，即．
再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
(1)方程组的解为________；
(2)利用轮换对称解法解方程组
▌对点练1-2仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题．
材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法：
解：②−①，得：，所以③，
将③，得④，
①−④，得，从而可得，
所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组：；
(2)猜测关于，的方程组 的解，并说明理由．
题型7利用二元一次方程组的解求参数问题
解题贴士
已知是二元一次方程（组）的解，可直接利用方程的解的定义解题：解代入方程能使等式左右两边相等。将已知的数值完整代入原含参方程或方程组，替换未知数后得到只含字母参数的一元一次方程，通过移项、合并同类项、系数化为1求出参数值。若存在多个参数，可联立多个方程分步求解。求出参数后必须回代检验，确保原方程仍然符合二元一次方程定义，排除使系数为0、次数改变的无效参数值。
▌例1.关于x、y的二元一次方程组的解满足x与y互为相反数，求m的值．
▌对点练1-1我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”．
(1)若为“和谐点”，求的值；
(2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
▌对点练1-2对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“互为相反关系”．
(1)方程组的解与是否具有“互为相反关系”？说明你的理由．
(2)若方程组的解与具有“互为相反关系”，求的值．
基础通关
1．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．5
2．以下两个方程组：①，②，在解的过程中，用简便的方法，下列叙述正确的是（ ）
A．①②均用代入法 B．①②均用加减法
C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法
3．已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
4．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．方程与方程的公共解为（ ）
A． B． C． D．
6．已知与是同类项，那么a，b的值分别是（ ）
A． B． C． D．
7．已知方程组的解满足与互为相反数，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．
8．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则可表示为_______________．
9．解方程组：的解为_____________．
10．已知方程组，则的值是___________．
11．解二元一次方程组：．
12．如果单项式 与 的和为 ，那么_______．
13．解方程组：
(1)；
(2)．
14．解方程（组）：
(1)；
(2)．
15．已知的三边长分别为a，b，c．
(1)化简；
(2)若a，b满足
①求c的取值范围；
②若c为小于7的奇数，求的周长．
16．已知关于，的方程组，且其解满足．在求的值时，有下面两种方案：
甲方案
按照传统思路，先对方程组进行求解，然后将含的解，代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解．
乙方案
通过观察方程组和最后一个关系式，可以利用整体法，将方程组的两个方程相加，再直接代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解．
请你任选一种方案，求出的值．
素养提升
1．已知代数式，当时，值为3；当时，值为1，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若方程组的解满足，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
4．对实数x、y定义一种新运算：，a、b均为常数，例如：．若，，则的值为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
5．已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．已知和都是关于、的二元一次方程的解，则、的值为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
7．如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（ ）
x
1
2
ax+3b
3
1
A． B．
C． D．
8．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为_____________．
9．若单项式与的和是一个单项式，则这两个单项式的积为_______．
10．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把第一个多项式中的“”错抄成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为．
(1)试求出式子中a，b的值；
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．
11．甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果．
(1)求出，的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果．
12．我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，；用表示大于a的最小整数，例如：，，．解决下列问题：
(1)______，______；
(2)若，那么x的取值范围是______；
(3)已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
迁移创新
1．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知在第四象限内的点 到x轴、y轴的距离相等，且的平方根是它本身，则的算术平方根为____．
3．如果无理数的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中，是连续正整数），我们称无理数的“新星区间”为．例：，所以的“新星区间”为．若某一无理数的“新星区间”为，且满足，其中是关于、的二元一次方程的一组正整数解，则________．
4．阅读材料：关于未知数x、y的二元一次方程组，将称为方程组的解距，当解距为1时，我们就说方程组的解具有单位差，例如，方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”．
(1)判断方程组的解是否具有“单位差”？并说明理由；
(2)已知关于x、y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值；
(3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，求出所有满足条件的整数k．
5．【阅读材料】
关于x，y的二元一次方程组把每个方程中未知数x，y的系数分别互换（常数项不变），得到的新方程组称为原方程组的“倒位方程组”．如果原方程组和它的“倒位方程组”有完全相同的解，则原方程组为“自倒方程组”．
【初步感知】
(1)方程组的“倒位方程组”为 ，该方程组 （选填“是”或“不是”）“自倒方程组”．
【深入探究】
(2)若关于x，y的方程组是“自倒方程组”，求m的值和该方程组的解．
【拓展延伸】
(3)已知关于x，y的方程组是“自倒方程组”，且，，，，求a，b，c，d，m，n应满足的数量关系．
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